1806:
1350:
1801:{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}}
824:
335:
9598:
151:
3832:
with a maximum element of 49 and a pandiagonal magic constant of 150. This square is pandiagonal and semi-bimagic, that means that rows, columns, main diagonals and broken diagonals have a sum of 150 and, if we square all the numbers in the square, only the rows and the columns are magic and have a
330:{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}}
1336:
of the rows and columns (wrapping around), which in a pandiagonal magic square does not affect the equality of the magic constants. This leads to 100 quincunx sums, including broken quincunxes analogous to broken diagonals.
3056:
1898:
3293:
3214:
3135:
2949:
2870:
2788:
2706:
2627:
2540:
2461:
2379:
2300:
2221:
2142:
2060:
1981:
1065:. In addition, the two numbers at the opposite corners of any 3 × 3 square add up to half the magic constant. Consequently, all 4 × 4 pandiagonal magic squares that are
1355:
4976:
3924:
9179:
3854:
This leads to squares having a maximum element of 169 and a pandiagonal magic constant of 850, which are also semi-bimagic with each row or column sum of squares equal to 102,850.
1187:
The number of 4 × 4 pandiagonal magic squares using numbers 1-16 without duplicates is 384 (16 times 24, where 16 accounts for the translation and 24 accounts for the 4
680:
479:
420:
620:
536:
7740:
7407:
800:
7453:
7331:
7299:
7209:
7154:
7096:
6307:
6060:
6028:
5196:
7267:
7238:
5752:
7122:
6842:
760:
720:
101:
7484:
natural numbers so that each column has the same sum. You can do this by starting with a 3 × 3 magic square and set up the rest cells of the rectangle in
4899:
4870:
3958:
3699:
131:
8773:
4670:
9102:
9073:
7482:
5781:
3371:
3338:
7177:
6796:
6773:
5508:
5485:
5247:
5224:
3376:
Consider the sum 1+2+3+5+6+7 = 24. This sum can be divided in half by taking the appropriate groups of three addends, or in thirds using groups of two addends:
563:
360:
156:
9539:
834:
The smallest non-trivial pandiagonal magic squares are 4 × 4 squares. All 4 × 4 pandiagonal magic squares must be
1311:
In addition to the rows, columns, and diagonals, a 5 × 5 pandiagonal magic square also shows its magic constant in four "
8206:
Continue copying the current 3 columns into the next 3 columns, shifted ring-wise by 1 row, until the square is filled completely.
2958:
4299:
Continue copying the current column into the next column with ring-wise shift by 2 rows until the square is filled completely.
3404:
With both equal partitions available, the numbers 1, 2, 3, 5, 6, 7 can be arranged into 6 × 6 pandigonal patterns
1215:
There are many 5 × 5 pandiagonal magic squares. Unlike 4 × 4 pandiagonal magic squares, these can be
3058:, which divided by 5 gives the quincunx sum. Similar linear combinations can be constructed for the other quincunx patterns
9637:
1818:
3836:
For 10th order a similar construction is possible using the equal partitionings of the sum 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:
9587:
9532:
3219:
3140:
3061:
2875:
2796:
2714:
2632:
2553:
2466:
2387:
2305:
2226:
2147:
2068:
1986:
1907:
830:
of requirements of some types of 4 × 4 magic squares. Cells of the same colour sum to the magic constant.
9562:
7742:
square and two copies of the rectangle beneath it so that the first 3 columns of the square are filled completely.
1061:
Since each 2 × 2 subsquare sums to the magic constant, 4 × 4 pandiagonal magic squares are
9642:
7334:
4906:
1062:
9691:
3873:
1216:
1066:
142:
70:
1072:
All 4 × 4 pandiagonal magic squares using numbers 1-16 without duplicates are obtained by letting
9525:
765:
9109:
629:
428:
369:
9768:
9622:
1093:
835:
808:
572:
488:
74:
66:
7689:
7356:
3705:
is the magic square with 1 for all cells) gives the nonconsecutive pandiagonal 6 × 6 square:
3389:
An additional equal partitioning of the sum of squares guarantees the semi-bimagic property noted below:
807:
However, if the magic square concept is generalized to include geometric shapes instead of numbers – the
3850:
1 + 3 + 9 + 10 + 12 = 2 + 4 + 5 + 11 + 13 = 335 (equal partitioning of squares; semi-bimagic property)
773:
3398:
7417:
9732:
9663:
7304:
7272:
7182:
7127:
7069:
6280:
6033:
6001:
5169:
1900:(corresponding to the 20+2+13+24+6 = 65 example given above), we can add together the following:
1341:
1333:
7243:
7214:
5728:
7101:
6803:
729:
689:
80:
9701:
9612:
4875:
4846:
3934:
3666:
9617:
823:
106:
8751:
4648:
9727:
9675:
9670:
9078:
9049:
7458:
5757:
3347:
3314:
724:. However, if we move the third column in front and perform the same argument, we obtain
55:
9512:
7159:
6778:
6755:
5490:
5467:
5229:
5206:
545:
9737:
9572:
3960:
345:
59:
9470:
9762:
9567:
9548:
9488:. New York: Dover, 1960. Originally printed in 1917. See especially Chapter X.
827:
58:, i.e. the diagonals that wrap round at the edges of the square, also add up to the
9747:
9717:
9627:
9577:
9507:
51:
9597:
7962:
Copy the left 3 columns into the next 3 columns, but shift it ring-wise by 1 row.
9742:
9722:
812:
4131:
Copy the first column into the second column but shift it ring-wise by 2 rows.
1332:
Each of these quincunxes can be translated to other positions in the square by
17:
9658:
9582:
1344:
of the row, column, and diagonal sums. Consider the pandiagonal magic square
1219:. The following is a 5 × 5 associative pandiagonal magic square:
804:. Therefore, all 3 × 3 pandiagonal magic squares must be trivial.
4468:
3344:
are used. But certain sequences of nonconsecutive integers do admit order-(
1188:
8474:
Build a second square and copy the transpose of the first square into it.
1312:
7485:
5510:
natural numbers in reverse. Each vertical pair must have the same sum.
3341:
145:
pandiagonal magic squares of order 3 do not exist. Suppose the square
7488:-style. You can also use the pattern shown in the following examples.
1328:
20+2+13+24+6 = 65 (center plus the remaining squares on its diagonals)
65:
A pandiagonal magic square remains pandiagonally magic not only under
7156:
square will have the same sum. Therefore, many symmetric patterns of
1322:
21+7+13+19+5 = 65 (center plus the remaining row and column squares)
7409:
pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.
7269:
rectangle will have the same sum as any row and any column of the
5198:
pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.
3926:
pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.
822:
9517:
9521:
1319:
17+25+13+1+9 = 65 (center plus adjacent row and column squares)
77:
from one side of the square to the opposite side. As such, an
6309:
square and copy the first square into it but turn it by 90°.
1325:
4+10+13+16+22 = 65 (center plus diagonally adjacent squares)
9046:
Build the final square by multiplying the second square by
6752:
Build the final square by multiplying the second square by
4843:
Build the final square by multiplying the second square by
3397:
Note that the consecutive integer sum 1+2+3+4+5+6 = 21, an
815:– a 3 × 3 pandiagonal magic square does exist.
3307:+2) pandiagonal magic squares with nonconsecutive elements
3051:{\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}
7179:
cells have the same sum as any row and any column of the
768:
of 3 × 3 magic squares, all cells must equal
7098:
pandiagonal magic square with this algorithm then every
1092:
equal 1, 2, 4, and 8 in some order; and applying some
778:
9513:
http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares
9112:
9081:
9052:
8754:
7692:
7461:
7420:
7359:
7307:
7275:
7246:
7217:
7185:
7162:
7130:
7104:
7072:
6806:
6781:
6758:
6283:
6036:
6004:
5760:
5731:
5493:
5470:
5232:
5209:
5172:
4909:
4878:
4849:
4651:
3937:
3931:
Set up the first column of the square with the first
3876:
3669:
3350:
3317:
3222:
3143:
3064:
2961:
2878:
2799:
2717:
2635:
2556:
2469:
2390:
2308:
2229:
2150:
2071:
1989:
1910:
1821:
1353:
776:
732:
692:
632:
575:
548:
491:
431:
372:
348:
154:
109:
83:
1893:{\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}
9710:
9684:
9651:
9605:
9555:
7686:Put this rectangle in the left upper corner of the
103:pandiagonal magic square can be regarded as having
9173:
9096:
9067:
8767:
7734:
7476:
7447:
7401:
7325:
7293:
7261:
7232:
7203:
7171:
7148:
7116:
7090:
6836:
6790:
6767:
6301:
6054:
6022:
5775:
5746:
5502:
5479:
5241:
5218:
5190:
4970:
4893:
4864:
4664:
3952:
3918:
3693:
3365:
3332:
3288:{\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}
3287:
3209:{\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}
3208:
3130:{\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}
3129:
3050:
2944:{\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}
2943:
2865:{\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}
2864:
2783:{\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}
2782:
2701:{\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}
2700:
2622:{\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}
2621:
2535:{\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}
2534:
2456:{\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}
2455:
2374:{\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}
2373:
2295:{\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}
2294:
2216:{\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}
2215:
2137:{\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}
2136:
2055:{\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}
2054:
1976:{\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}
1975:
1892:
1800:
794:
754:
714:
674:
614:
557:
530:
473:
414:
354:
329:
125:
95:
5226:natural numbers into the first row and the first
1793:
1792:
1781:
1780:
1777:
1776:
1775:
1764:
1763:
1760:
1759:
1758:
1747:
1746:
1743:
1742:
1741:
1730:
1729:
1726:
1725:
1724:
1712:
1711:
1710:
1705:
1704:
1693:
1692:
1689:
1688:
1687:
1676:
1675:
1672:
1671:
1670:
1659:
1658:
1655:
1654:
1653:
1642:
1641:
1638:
1637:
1636:
1624:
1623:
1622:
1617:
1616:
1605:
1604:
1601:
1600:
1599:
1588:
1587:
1584:
1583:
1582:
1571:
1570:
1567:
1566:
1565:
1554:
1553:
1550:
1549:
1548:
1536:
1535:
1534:
1529:
1528:
1517:
1516:
1513:
1512:
1511:
1500:
1499:
1496:
1495:
1494:
1483:
1482:
1479:
1478:
1477:
1466:
1465:
1462:
1461:
1460:
1448:
1447:
1446:
1441:
1440:
1429:
1428:
1425:
1424:
1423:
1412:
1411:
1408:
1407:
1406:
1395:
1394:
1391:
1390:
1389:
1378:
1377:
1374:
1373:
1372:
1360:
1359:
1358:
322:
321:
310:
309:
305:
304:
303:
302:
291:
290:
287:
286:
285:
273:
272:
271:
266:
265:
254:
253:
249:
248:
247:
246:
235:
234:
231:
230:
229:
217:
216:
215:
210:
209:
198:
197:
193:
192:
191:
190:
179:
178:
175:
174:
173:
161:
160:
159:
9533:
6062:rectangle but shift it ring-wise by one row.
8:
3311:No pandiagonal magic square exists of order
1315:" patterns, which in the above example are:
4971:{\displaystyle A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B}
340:is pandiagonally magic with magic constant
9540:
9526:
9518:
9471:"Magic Counting with Inside-Out Polytopes"
1713:
1625:
1537:
1449:
1361:
1340:The quincunx sums can be proved by taking
306:
274:
250:
218:
194:
162:
9185:is the magic square with all cells as 1.
9141:
9111:
9080:
9051:
8759:
8753:
7691:
7460:
7419:
7358:
7306:
7274:
7245:
7216:
7184:
7161:
7129:
7103:
7071:
6848:is the magic square with all cells as 1.
6805:
6780:
6757:
6282:
6035:
6003:
5759:
5730:
5492:
5469:
5231:
5208:
5171:
4982:is the magic square with all cells as 1.
4938:
4908:
4877:
4848:
4656:
4650:
3936:
3919:{\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}
3875:
3668:
3349:
3316:
3279:
3266:
3253:
3240:
3227:
3221:
3200:
3187:
3174:
3161:
3148:
3142:
3121:
3108:
3095:
3082:
3069:
3063:
3033:
3017:
3001:
2985:
2969:
2960:
2935:
2922:
2909:
2896:
2883:
2877:
2856:
2843:
2830:
2817:
2804:
2798:
2774:
2761:
2748:
2735:
2722:
2716:
2692:
2679:
2666:
2653:
2640:
2634:
2613:
2600:
2587:
2574:
2561:
2555:
2526:
2513:
2500:
2487:
2474:
2468:
2447:
2434:
2421:
2408:
2395:
2389:
2365:
2352:
2339:
2326:
2313:
2307:
2286:
2273:
2260:
2247:
2234:
2228:
2207:
2194:
2181:
2168:
2155:
2149:
2128:
2115:
2102:
2089:
2076:
2070:
2046:
2033:
2020:
2007:
1994:
1988:
1967:
1954:
1941:
1928:
1915:
1909:
1878:
1865:
1852:
1839:
1826:
1820:
1786:
1769:
1752:
1735:
1718:
1698:
1681:
1664:
1647:
1630:
1610:
1593:
1576:
1559:
1542:
1522:
1505:
1488:
1471:
1454:
1434:
1417:
1400:
1383:
1366:
1354:
1352:
777:
775:
740:
731:
700:
691:
663:
650:
637:
631:
606:
593:
580:
574:
547:
522:
509:
496:
490:
462:
449:
436:
430:
403:
390:
377:
371:
347:
315:
296:
279:
259:
240:
223:
203:
184:
167:
155:
153:
117:
108:
82:
9187:
8775:
8482:
8475:
8207:
7963:
7743:
7598:
7535:
7494:
7489:
6850:
6534:
6317:
6310:
6063:
5784:
5511:
5250:
4984:
4672:
4479:
4472:
4300:
4132:
3964:
3707:
3538:
3414:
1221:
1126:
840:
9495:Most-perfect pandiagonal magic squares.
9461:
9075:, adding the first square and subtract
6775:, adding the first square and subtract
4872:, adding the first square and subtract
2546:From this sum, subtract the following:
54:with the additional property that the
9174:{\displaystyle A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B}
675:{\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}
474:{\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}
415:{\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}
7:
3845:1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14
615:{\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}
531:{\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}
7735:{\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}
7402:{\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}
5783:times beneath the first rectangle.
4467:Build a second square and copy the
27:Magic square with extra constraints
5487:natural numbers beneath the first
3401:sum, lacks the half-partitioning.
1904:3 times each of the diagonal sums
25:
1191:ways to assign 1, 2, 4, and 8 to
73:, but also if a row or column is
9596:
795:{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}
7597:For 21 × 21 square
7534:For 15 × 15 square
9165:
9150:
9134:
9119:
7729:
7714:
7708:
7693:
7448:{\displaystyle (2n+1)\times 3}
7436:
7421:
7396:
7381:
7375:
7360:
4962:
4947:
4931:
4916:
3913:
3898:
3892:
3877:
3840:1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35
2793:Twice each of the column sums
1:
9638:Prime reciprocal magic square
7493:For 9 × 9 square
7349:+3) pandiagonal magic squares
4471:of the first square into it.
3866:±1) pandiagonal magic squares
3373:) pandiagonal magic squares.
1815:. To prove the quincunx sum
1211:5×5 pandiagonal magic squares
819:4×4 pandiagonal magic squares
137:3×3 pandiagonal magic squares
9508:Panmagic Square at MathWorld
9104:in each cell of the square.
6798:in each cell of the square.
4901:in each cell of the square.
9497:IMA, Southend-on-Sea (1998)
9493:Ollerenshaw, K., Brée, D.:
7326:{\displaystyle 4n\times 4n}
7294:{\displaystyle 4n\times 4n}
7204:{\displaystyle 4n\times 4n}
7149:{\displaystyle 4n\times 4n}
7091:{\displaystyle 4n\times 4n}
6302:{\displaystyle 4n\times 4n}
6055:{\displaystyle 4n\times 2n}
6023:{\displaystyle 4n\times 2n}
5191:{\displaystyle 4n\times 4n}
1124:, we have the magic square
1069:must have duplicate cells.
9785:
9469:Ng, Louis (May 13, 2018).
7262:{\displaystyle 2\times 2n}
7233:{\displaystyle 2n\times 2}
5747:{\displaystyle 2\times 2n}
3393:1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 62
1063:most-perfect magic squares
9652:Higher dimensional shapes
9643:Most-perfect magic square
9594:
7455:rectangle with the first
7335:most-perfect magic square
7117:{\displaystyle 2\times 2}
6837:{\displaystyle A+4nB-4nC}
6030:rectangle into the right
5162:pandiagonal magic squares
3412:, respectively given by:
836:translationally symmetric
755:{\displaystyle 3a_{22}=s}
715:{\displaystyle 3a_{22}=s}
96:{\displaystyle n\times n}
9697:Pandiagonal magic square
9692:Associative magic square
9633:Pandiagonal magic square
7211:square. Especially each
5249:columns of the square.
32:pandiagonal magic square
9486:Magic Squares and Cubes
4894:{\displaystyle 6n\pm 1}
4865:{\displaystyle 6n\pm 1}
3953:{\displaystyle 6n\pm 1}
3694:{\displaystyle 7A+B-7C}
809:geometric magic squares
48:diabolical magic square
9175:
9098:
9069:
8769:
7736:
7478:
7449:
7403:
7327:
7295:
7263:
7234:
7205:
7173:
7150:
7118:
7092:
6838:
6792:
6769:
6303:
6056:
6024:
5777:
5748:
5504:
5481:
5243:
5220:
5192:
4972:
4895:
4866:
4666:
3954:
3920:
3695:
3367:
3334:
3289:
3210:
3131:
3052:
2945:
2866:
2784:
2702:
2623:
2536:
2457:
2375:
2296:
2217:
2138:
2056:
1977:
1894:
1802:
831:
796:
756:
716:
676:
616:
559:
532:
475:
416:
356:
331:
127:
126:{\displaystyle 8n^{2}}
97:
9176:
9099:
9070:
8770:
8768:{\displaystyle A^{T}}
7737:
7479:
7450:
7404:
7328:
7296:
7264:
7235:
7206:
7174:
7151:
7119:
7093:
6839:
6793:
6770:
6304:
6057:
6025:
5778:
5749:
5505:
5482:
5244:
5221:
5193:
4973:
4896:
4867:
4667:
4665:{\displaystyle A^{T}}
3955:
3921:
3696:
3368:
3335:
3290:
3211:
3132:
3053:
2946:
2867:
2785:
2703:
2624:
2537:
2458:
2376:
2297:
2218:
2139:
2057:
1978:
1895:
1803:
826:
797:
764:. In fact, using the
757:
717:
677:
617:
560:
533:
476:
417:
357:
332:
141:It can be shown that
128:
98:
9110:
9097:{\displaystyle 6n+3}
9079:
9068:{\displaystyle 6n+3}
9050:
8752:
8199:
8196:
8193:
7955:
7952:
7949:
7946:
7943:
7940:
7690:
7477:{\displaystyle 6n+3}
7459:
7418:
7357:
7305:
7273:
7244:
7215:
7183:
7160:
7128:
7102:
7070:
6804:
6779:
6756:
6281:
6034:
6002:
5991:
5988:
5985:
5982:
5965:
5962:
5959:
5956:
5939:
5936:
5933:
5930:
5913:
5910:
5907:
5904:
5887:
5884:
5881:
5878:
5861:
5858:
5855:
5852:
5835:
5832:
5829:
5826:
5809:
5806:
5803:
5800:
5776:{\displaystyle 2n-1}
5758:
5729:
5562:
5559:
5556:
5553:
5536:
5533:
5530:
5527:
5491:
5468:
5275:
5272:
5269:
5266:
5230:
5207:
5170:
4907:
4876:
4847:
4649:
4154:
4151:
4148:
4145:
4142:
3986:
3983:
3980:
3977:
3974:
3971:
3935:
3874:
3667:
3366:{\displaystyle 4n+2}
3348:
3333:{\displaystyle 4n+2}
3315:
3220:
3141:
3062:
2959:
2876:
2797:
2715:
2633:
2554:
2467:
2388:
2306:
2227:
2148:
2069:
1987:
1908:
1819:
1811:with magic constant
1351:
1096:. For example, with
774:
730:
690:
630:
573:
546:
489:
429:
370:
346:
152:
107:
81:
9733:Eight queens puzzle
3385:1+7 = 2+6 = 3+5 = 8
1342:linear combinations
9171:
9094:
9065:
8765:
7732:
7474:
7445:
7399:
7323:
7291:
7259:
7230:
7201:
7172:{\displaystyle 4n}
7169:
7146:
7114:
7088:
6834:
6791:{\displaystyle 4n}
6788:
6768:{\displaystyle 4n}
6765:
6299:
6052:
6020:
5773:
5744:
5503:{\displaystyle 2n}
5500:
5480:{\displaystyle 2n}
5477:
5242:{\displaystyle 2n}
5239:
5219:{\displaystyle 2n}
5216:
5188:
4968:
4891:
4862:
4662:
3950:
3916:
3691:
3380:1+5+6 = 2+3+7 = 12
3363:
3330:
3285:
3206:
3127:
3048:
2955:The net result is
2941:
2862:
2780:
2698:
2619:
2532:
2453:
2371:
2292:
2213:
2134:
2065:The diagonal sums
2052:
1973:
1890:
1798:
1796:
1334:cyclic permutation
832:
792:
787:
752:
712:
672:
612:
558:{\displaystyle 3s}
555:
528:
471:
412:
352:
327:
325:
123:
93:
9756:
9755:
9702:Multimagic square
9613:Alphamagic square
9451:
9450:
9043:
9042:
9039:
9038:
8746:
8745:
8471:
8470:
8203:
8202:
7959:
7958:
7683:
7682:
7679:vertical sum = 77
7678:
7677:
7594:vertical sum = 40
7593:
7592:
7531:vertical sum = 15
7530:
7529:
7333:square is also a
7061:
7060:
6749:
6748:
6745:
6744:
6528:
6527:
6274:
6273:
5995:
5994:
5722:
5721:
5461:
5460:
5148:
5147:
4840:
4839:
4836:
4835:
4643:
4642:
4464:
4463:
4296:
4295:
4128:
4127:
3830:
3829:
3661:
3660:
3537:
3536:
1309:
1308:
1185:
1184:
1076:equal 1; letting
1059:
1058:
786:
355:{\displaystyle s}
44:diabolical square
16:(Redirected from
9776:
9711:Related concepts
9618:Antimagic square
9600:
9542:
9535:
9528:
9519:
9478:
9477:
9475:
9466:
9188:
9184:
9180:
9178:
9177:
9172:
9146:
9145:
9103:
9101:
9100:
9095:
9074:
9072:
9071:
9066:
8776:
8774:
8772:
8771:
8766:
8764:
8763:
8483:
8481:
8476:
8208:
7964:
7744:
7741:
7739:
7738:
7733:
7599:
7536:
7495:
7490:
7483:
7481:
7480:
7475:
7454:
7452:
7451:
7446:
7408:
7406:
7405:
7400:
7332:
7330:
7329:
7324:
7300:
7298:
7297:
7292:
7268:
7266:
7265:
7260:
7239:
7237:
7236:
7231:
7210:
7208:
7207:
7202:
7178:
7176:
7175:
7170:
7155:
7153:
7152:
7147:
7123:
7121:
7120:
7115:
7097:
7095:
7094:
7089:
6851:
6847:
6843:
6841:
6840:
6835:
6797:
6795:
6794:
6789:
6774:
6772:
6771:
6766:
6535:
6533:
6318:
6316:
6311:
6308:
6306:
6305:
6300:
6064:
6061:
6059:
6058:
6053:
6029:
6027:
6026:
6021:
5785:
5782:
5780:
5779:
5774:
5753:
5751:
5750:
5745:
5512:
5509:
5507:
5506:
5501:
5486:
5484:
5483:
5478:
5251:
5248:
5246:
5245:
5240:
5225:
5223:
5222:
5217:
5197:
5195:
5194:
5189:
4985:
4981:
4977:
4975:
4974:
4969:
4943:
4942:
4900:
4898:
4897:
4892:
4871:
4869:
4868:
4863:
4673:
4671:
4669:
4668:
4663:
4661:
4660:
4480:
4478:
4473:
4301:
4133:
3965:
3959:
3957:
3956:
3951:
3925:
3923:
3922:
3917:
3708:
3704:
3700:
3698:
3697:
3692:
3539:
3415:
3411:
3407:
3372:
3370:
3369:
3364:
3339:
3337:
3336:
3331:
3294:
3292:
3291:
3286:
3284:
3283:
3271:
3270:
3258:
3257:
3245:
3244:
3232:
3231:
3215:
3213:
3212:
3207:
3205:
3204:
3192:
3191:
3179:
3178:
3166:
3165:
3153:
3152:
3136:
3134:
3133:
3128:
3126:
3125:
3113:
3112:
3100:
3099:
3087:
3086:
3074:
3073:
3057:
3055:
3054:
3049:
3038:
3037:
3022:
3021:
3006:
3005:
2990:
2989:
2974:
2973:
2950:
2948:
2947:
2942:
2940:
2939:
2927:
2926:
2914:
2913:
2901:
2900:
2888:
2887:
2871:
2869:
2868:
2863:
2861:
2860:
2848:
2847:
2835:
2834:
2822:
2821:
2809:
2808:
2789:
2787:
2786:
2781:
2779:
2778:
2766:
2765:
2753:
2752:
2740:
2739:
2727:
2726:
2707:
2705:
2704:
2699:
2697:
2696:
2684:
2683:
2671:
2670:
2658:
2657:
2645:
2644:
2628:
2626:
2625:
2620:
2618:
2617:
2605:
2604:
2592:
2591:
2579:
2578:
2566:
2565:
2541:
2539:
2538:
2533:
2531:
2530:
2518:
2517:
2505:
2504:
2492:
2491:
2479:
2478:
2462:
2460:
2459:
2454:
2452:
2451:
2439:
2438:
2426:
2425:
2413:
2412:
2400:
2399:
2380:
2378:
2377:
2372:
2370:
2369:
2357:
2356:
2344:
2343:
2331:
2330:
2318:
2317:
2301:
2299:
2298:
2293:
2291:
2290:
2278:
2277:
2265:
2264:
2252:
2251:
2239:
2238:
2222:
2220:
2219:
2214:
2212:
2211:
2199:
2198:
2186:
2185:
2173:
2172:
2160:
2159:
2143:
2141:
2140:
2135:
2133:
2132:
2120:
2119:
2107:
2106:
2094:
2093:
2081:
2080:
2061:
2059:
2058:
2053:
2051:
2050:
2038:
2037:
2025:
2024:
2012:
2011:
1999:
1998:
1982:
1980:
1979:
1974:
1972:
1971:
1959:
1958:
1946:
1945:
1933:
1932:
1920:
1919:
1899:
1897:
1896:
1891:
1883:
1882:
1870:
1869:
1857:
1856:
1844:
1843:
1831:
1830:
1814:
1807:
1805:
1804:
1799:
1797:
1791:
1790:
1774:
1773:
1757:
1756:
1740:
1739:
1723:
1722:
1703:
1702:
1686:
1685:
1669:
1668:
1652:
1651:
1635:
1634:
1615:
1614:
1598:
1597:
1581:
1580:
1564:
1563:
1547:
1546:
1527:
1526:
1510:
1509:
1493:
1492:
1476:
1475:
1459:
1458:
1439:
1438:
1422:
1421:
1405:
1404:
1388:
1387:
1371:
1370:
1222:
1206:
1202:
1198:
1194:
1127:
1123:
1116:
1109:
1102:
1091:
1087:
1083:
1079:
1075:
841:
803:
801:
799:
798:
793:
788:
779:
763:
761:
759:
758:
753:
745:
744:
723:
721:
719:
718:
713:
705:
704:
683:
681:
679:
678:
673:
668:
667:
655:
654:
642:
641:
623:
621:
619:
618:
613:
611:
610:
598:
597:
585:
584:
566:
564:
562:
561:
556:
539:
537:
535:
534:
529:
527:
526:
514:
513:
501:
500:
482:
480:
478:
477:
472:
467:
466:
454:
453:
441:
440:
423:
421:
419:
418:
413:
408:
407:
395:
394:
382:
381:
363:
361:
359:
358:
353:
336:
334:
333:
328:
326:
320:
319:
301:
300:
284:
283:
264:
263:
245:
244:
228:
227:
208:
207:
189:
188:
172:
171:
132:
130:
129:
124:
122:
121:
102:
100:
99:
94:
56:broken diagonals
21:
9784:
9783:
9779:
9778:
9777:
9775:
9774:
9773:
9759:
9758:
9757:
9752:
9728:Number Scrabble
9706:
9680:
9676:Magic hyperbeam
9671:Magic hypercube
9647:
9623:Geomagic square
9601:
9592:
9551:
9546:
9504:
9484:W. S. Andrews,
9481:
9473:
9468:
9467:
9463:
9459:
9454:
9182:
9137:
9108:
9107:
9077:
9076:
9048:
9047:
8755:
8750:
8749:
8479:
7688:
7687:
7457:
7456:
7416:
7415:
7355:
7354:
7351:
7303:
7302:
7271:
7270:
7242:
7241:
7213:
7212:
7181:
7180:
7158:
7157:
7126:
7125:
7100:
7099:
7068:
7067:
7064:
6845:
6802:
6801:
6777:
6776:
6754:
6753:
6531:
6314:
6279:
6278:
6277:Build a second
6032:
6031:
6000:
5999:
5756:
5755:
5727:
5726:
5489:
5488:
5466:
5465:
5228:
5227:
5205:
5204:
5168:
5167:
5164:
5151:
4979:
4934:
4905:
4904:
4874:
4873:
4845:
4844:
4652:
4647:
4646:
4476:
3961:natural numbers
3933:
3932:
3872:
3871:
3868:
3702:
3665:
3664:
3409:
3405:
3346:
3345:
3340:if consecutive
3313:
3312:
3309:
3275:
3262:
3249:
3236:
3223:
3218:
3217:
3196:
3183:
3170:
3157:
3144:
3139:
3138:
3117:
3104:
3091:
3078:
3065:
3060:
3059:
3029:
3013:
2997:
2981:
2965:
2957:
2956:
2931:
2918:
2905:
2892:
2879:
2874:
2873:
2852:
2839:
2826:
2813:
2800:
2795:
2794:
2770:
2757:
2744:
2731:
2718:
2713:
2712:
2711:The column sum
2688:
2675:
2662:
2649:
2636:
2631:
2630:
2609:
2596:
2583:
2570:
2557:
2552:
2551:
2522:
2509:
2496:
2483:
2470:
2465:
2464:
2443:
2430:
2417:
2404:
2391:
2386:
2385:
2361:
2348:
2335:
2322:
2309:
2304:
2303:
2282:
2269:
2256:
2243:
2230:
2225:
2224:
2203:
2190:
2177:
2164:
2151:
2146:
2145:
2124:
2111:
2098:
2085:
2072:
2067:
2066:
2042:
2029:
2016:
2003:
1990:
1985:
1984:
1963:
1950:
1937:
1924:
1911:
1906:
1905:
1874:
1861:
1848:
1835:
1822:
1817:
1816:
1812:
1795:
1794:
1782:
1778:
1765:
1761:
1748:
1744:
1731:
1727:
1714:
1707:
1706:
1694:
1690:
1677:
1673:
1660:
1656:
1643:
1639:
1626:
1619:
1618:
1606:
1602:
1589:
1585:
1572:
1568:
1555:
1551:
1538:
1531:
1530:
1518:
1514:
1501:
1497:
1484:
1480:
1467:
1463:
1450:
1443:
1442:
1430:
1426:
1413:
1409:
1396:
1392:
1379:
1375:
1362:
1349:
1348:
1213:
1204:
1200:
1196:
1192:
1118:
1111:
1104:
1097:
1089:
1085:
1081:
1077:
1073:
821:
772:
771:
769:
736:
728:
727:
725:
696:
688:
687:
685:
659:
646:
633:
628:
627:
625:
602:
589:
576:
571:
570:
568:
567:. Subtracting
544:
543:
541:
518:
505:
492:
487:
486:
484:
458:
445:
432:
427:
426:
424:
399:
386:
373:
368:
367:
365:
344:
343:
341:
324:
323:
311:
307:
292:
288:
275:
268:
267:
255:
251:
236:
232:
219:
212:
211:
199:
195:
180:
176:
163:
150:
149:
139:
113:
105:
104:
79:
78:
40:diabolic square
36:panmagic square
28:
23:
22:
18:Panmagic square
15:
12:
11:
5:
9782:
9780:
9772:
9771:
9761:
9760:
9754:
9753:
9751:
9750:
9745:
9740:
9738:Magic constant
9735:
9730:
9725:
9720:
9714:
9712:
9708:
9707:
9705:
9704:
9699:
9694:
9688:
9686:
9685:Classification
9682:
9681:
9679:
9678:
9673:
9668:
9667:
9666:
9655:
9653:
9649:
9648:
9646:
9645:
9640:
9635:
9630:
9625:
9620:
9615:
9609:
9607:
9606:Related shapes
9603:
9602:
9595:
9593:
9591:
9590:
9588:Magic triangle
9585:
9580:
9575:
9573:Magic hexagram
9570:
9565:
9559:
9557:
9553:
9552:
9549:Magic polygons
9547:
9545:
9544:
9537:
9530:
9522:
9516:
9515:
9510:
9503:
9502:External links
9500:
9499:
9498:
9490:
9489:
9480:
9479:
9460:
9458:
9455:
9453:
9452:
9449:
9448:
9447: 21
9445:
9444: 65
9442:
9441: 28
9439:
9438: 22
9436:
9435: 69
9433:
9432: 32
9430:
9429: 26
9427:
9426: 70
9424:
9423: 36
9420:
9419:
9418: 17
9416:
9415: 61
9413:
9412: 54
9410:
9409: 12
9407:
9406: 56
9404:
9403: 46
9401:
9400: 13
9398:
9397: 60
9395:
9394: 50
9391:
9390:
9387:
9386: 78
9384:
9383: 41
9381:
9378:
9377: 79
9375:
9374: 45
9372:
9369:
9368: 74
9366:
9365: 37
9362:
9361:
9360: 30
9358:
9357: 20
9355:
9354: 64
9352:
9351: 31
9349:
9348: 24
9346:
9345: 68
9343:
9342: 35
9340:
9339: 25
9337:
9336: 72
9333:
9332:
9331: 53
9329:
9328: 16
9326:
9325: 63
9323:
9322: 48
9320:
9319: 11
9317:
9316: 55
9314:
9313: 49
9311:
9310: 15
9308:
9307: 59
9304:
9303:
9302: 40
9300:
9297:
9296: 77
9294:
9293: 44
9291:
9288:
9287: 81
9285:
9284: 39
9282:
9279:
9278: 73
9275:
9274:
9273: 66
9271:
9270: 29
9268:
9267: 19
9265:
9264: 67
9262:
9261: 33
9259:
9258: 23
9256:
9255: 71
9253:
9252: 34
9250:
9249: 27
9246:
9245:
9244: 62
9242:
9241: 52
9239:
9238: 18
9236:
9235: 57
9233:
9232: 47
9230:
9229: 10
9227:
9226: 58
9224:
9223: 51
9221:
9220: 14
9217:
9216:
9215: 76
9213:
9212: 42
9210:
9207:
9206: 80
9204:
9203: 43
9201:
9198:
9197: 75
9195:
9194: 38
9192:
9170:
9167:
9164:
9161:
9158:
9155:
9152:
9149:
9144:
9140:
9136:
9133:
9130:
9127:
9124:
9121:
9118:
9115:
9093:
9090:
9087:
9084:
9064:
9061:
9058:
9055:
9044:
9041:
9040:
9037:
9036:
9033:
9030:
9027:
9024:
9021:
9018:
9015:
9012:
9008:
9007:
9004:
9001:
8998:
8995:
8992:
8989:
8986:
8983:
8979:
8978:
8975:
8972:
8969:
8966:
8963:
8960:
8957:
8954:
8950:
8949:
8946:
8943:
8940:
8937:
8934:
8931:
8928:
8925:
8921:
8920:
8917:
8914:
8911:
8908:
8905:
8902:
8899:
8896:
8892:
8891:
8888:
8885:
8882:
8879:
8876:
8873:
8870:
8867:
8863:
8862:
8859:
8856:
8853:
8850:
8847:
8844:
8841:
8838:
8834:
8833:
8830:
8827:
8824:
8821:
8818:
8815:
8812:
8809:
8805:
8804:
8803: 9
8801:
8800: 5
8798:
8797: 1
8795:
8794: 9
8792:
8791: 5
8789:
8788: 1
8786:
8785: 9
8783:
8782: 5
8780:
8779: 1
8762:
8758:
8747:
8744:
8743:
8740:
8737:
8734:
8731:
8728:
8725:
8722:
8719:
8715:
8714:
8711:
8708:
8705:
8702:
8699:
8696:
8693:
8690:
8686:
8685:
8682:
8679:
8676:
8673:
8670:
8667:
8664:
8661:
8657:
8656:
8653:
8650:
8647:
8644:
8641:
8638:
8635:
8632:
8628:
8627:
8624:
8621:
8618:
8615:
8612:
8609:
8606:
8603:
8599:
8598:
8595:
8592:
8589:
8586:
8583:
8580:
8577:
8574:
8570:
8569:
8566:
8563:
8560:
8557:
8554:
8551:
8548:
8545:
8541:
8540:
8537:
8534:
8531:
8528:
8525:
8522:
8519:
8516:
8512:
8511:
8510: 4
8508:
8507: 6
8505:
8504: 5
8502:
8501: 8
8499:
8498: 7
8496:
8495: 9
8493:
8492: 3
8490:
8489: 2
8487:
8486: 1
8472:
8469:
8468:
8467: 3
8465:
8464: 2
8462:
8461: 1
8459:
8458: 4
8456:
8455: 6
8453:
8452: 5
8450:
8449: 8
8447:
8446: 7
8444:
8443: 9
8440:
8439:
8438: 8
8436:
8435: 7
8433:
8432: 9
8430:
8429: 3
8427:
8426: 2
8424:
8423: 1
8421:
8420: 4
8418:
8417: 6
8415:
8414: 5
8411:
8410:
8409: 4
8407:
8406: 6
8404:
8403: 5
8401:
8400: 8
8398:
8397: 7
8395:
8394: 9
8392:
8391: 3
8389:
8388: 2
8386:
8385: 1
8382:
8381:
8380: 3
8378:
8377: 2
8375:
8374: 1
8372:
8371: 4
8369:
8368: 6
8366:
8365: 5
8363:
8362: 8
8360:
8359: 7
8357:
8356: 9
8353:
8352:
8351: 8
8349:
8348: 7
8346:
8345: 9
8343:
8342: 3
8340:
8339: 2
8337:
8336: 1
8334:
8333: 4
8331:
8330: 6
8328:
8327: 5
8324:
8323:
8322: 4
8320:
8319: 6
8317:
8316: 5
8314:
8313: 8
8311:
8310: 7
8308:
8307: 9
8305:
8304: 3
8302:
8301: 2
8299:
8298: 1
8295:
8294:
8293: 3
8291:
8290: 2
8288:
8287: 1
8285:
8284: 4
8282:
8281: 6
8279:
8278: 5
8276:
8275: 8
8273:
8272: 7
8270:
8269: 9
8266:
8265:
8264: 8
8262:
8261: 7
8259:
8258: 9
8256:
8255: 3
8253:
8252: 2
8250:
8249: 1
8247:
8246: 4
8244:
8243: 6
8241:
8240: 5
8237:
8236:
8235: 4
8233:
8232: 6
8230:
8229: 5
8227:
8226: 8
8224:
8223: 7
8221:
8220: 9
8218:
8217: 3
8215:
8214: 2
8212:
8211: 1
8204:
8201:
8200:
8197:
8194:
8191:
8190: 4
8188:
8187: 6
8185:
8184: 5
8182:
8181: 8
8179:
8178: 7
8176:
8175: 9
8172:
8171:
8169:
8167:
8165:
8164: 3
8162:
8161: 2
8159:
8158: 1
8156:
8155: 4
8153:
8152: 6
8150:
8149: 5
8146:
8145:
8143:
8141:
8139:
8138: 8
8136:
8135: 7
8133:
8132: 9
8130:
8129: 3
8127:
8126: 2
8124:
8123: 1
8120:
8119:
8117:
8115:
8113:
8112: 4
8110:
8109: 6
8107:
8106: 5
8104:
8103: 8
8101:
8100: 7
8098:
8097: 9
8094:
8093:
8091:
8089:
8087:
8086: 3
8084:
8083: 2
8081:
8080: 1
8078:
8077: 4
8075:
8074: 6
8072:
8071: 5
8068:
8067:
8065:
8063:
8061:
8060: 8
8058:
8057: 7
8055:
8054: 9
8052:
8051: 3
8049:
8048: 2
8046:
8045: 1
8042:
8041:
8039:
8037:
8035:
8034: 4
8032:
8031: 6
8029:
8028: 5
8026:
8025: 8
8023:
8022: 7
8020:
8019: 9
8016:
8015:
8013:
8011:
8009:
8008: 3
8006:
8005: 2
8003:
8002: 1
8000:
7999: 4
7997:
7996: 6
7994:
7993: 5
7990:
7989:
7987:
7985:
7983:
7982: 8
7980:
7979: 7
7977:
7976: 9
7974:
7973: 3
7971:
7970: 2
7968:
7967: 1
7960:
7957:
7956:
7953:
7950:
7947:
7944:
7941:
7938:
7937: 8
7935:
7934: 7
7932:
7931: 9
7928:
7927:
7925:
7923:
7921:
7919:
7917:
7915:
7914: 4
7912:
7911: 6
7909:
7908: 5
7905:
7904:
7902:
7900:
7898:
7896:
7894:
7892:
7891: 3
7889:
7888: 2
7886:
7885: 1
7882:
7881:
7879:
7877:
7875:
7873:
7871:
7869:
7868: 8
7866:
7865: 7
7863:
7862: 9
7859:
7858:
7856:
7854:
7852:
7850:
7848:
7846:
7845: 4
7843:
7842: 6
7840:
7839: 5
7836:
7835:
7833:
7831:
7829:
7827:
7825:
7823:
7822: 3
7820:
7819: 2
7817:
7816: 1
7813:
7812:
7810:
7808:
7806:
7804:
7802:
7800:
7799: 8
7797:
7796: 7
7794:
7793: 9
7790:
7789:
7787:
7785:
7783:
7781:
7779:
7777:
7776: 4
7774:
7773: 6
7771:
7770: 5
7767:
7766:
7764:
7762:
7760:
7758:
7756:
7754:
7753: 3
7751:
7750: 2
7748:
7747: 1
7731:
7728:
7725:
7722:
7719:
7716:
7713:
7710:
7707:
7704:
7701:
7698:
7695:
7684:
7681:
7680:
7676:
7675:
7672:
7669:
7665:
7664:
7661:
7658:
7654:
7653:
7650:
7647:
7643:
7642:
7639:
7636:
7632:
7631:
7628:
7625:
7621:
7620:
7617:
7614:
7610:
7609:
7606:
7603:
7595:
7591:
7590:
7589: 13
7587:
7586: 14
7584:
7583: 15
7580:
7579:
7578: 12
7576:
7575: 11
7573:
7572: 10
7569:
7568:
7565:
7562:
7558:
7557:
7554:
7551:
7547:
7546:
7543:
7540:
7532:
7528:
7527:
7524:
7521:
7517:
7516:
7513:
7510:
7506:
7505:
7502:
7499:
7473:
7470:
7467:
7464:
7444:
7441:
7438:
7435:
7432:
7429:
7426:
7423:
7411:
7398:
7395:
7392:
7389:
7386:
7383:
7380:
7377:
7374:
7371:
7368:
7365:
7362:
7350:
7339:
7322:
7319:
7316:
7313:
7310:
7290:
7287:
7284:
7281:
7278:
7258:
7255:
7252:
7249:
7229:
7226:
7223:
7220:
7200:
7197:
7194:
7191:
7188:
7168:
7165:
7145:
7142:
7139:
7136:
7133:
7124:square in the
7113:
7110:
7107:
7087:
7084:
7081:
7078:
7075:
7066:If we build a
7063:
7062:
7059:
7058:
7057: 60
7055:
7054: 3
7052:
7051: 58
7049:
7048: 1
7046:
7045: 61
7043:
7042: 6
7040:
7039: 63
7037:
7036: 8
7033:
7032:
7031: 53
7029:
7028: 14
7026:
7025: 55
7023:
7022: 16
7020:
7019: 52
7017:
7016: 11
7014:
7013: 50
7011:
7010: 9
7007:
7006:
7005: 44
7003:
7002: 19
7000:
6999: 42
6997:
6996: 17
6994:
6993: 45
6991:
6990: 22
6988:
6987: 47
6985:
6984: 24
6981:
6980:
6979: 37
6977:
6976: 30
6974:
6973: 39
6971:
6970: 32
6968:
6967: 36
6965:
6964: 27
6962:
6961: 34
6959:
6958: 25
6955:
6954:
6953: 4
6951:
6950: 59
6948:
6947: 2
6945:
6944: 57
6942:
6941: 5
6939:
6938: 62
6936:
6935: 7
6933:
6932: 64
6929:
6928:
6927: 13
6925:
6924: 54
6922:
6921: 15
6919:
6918: 56
6916:
6915: 12
6913:
6912: 51
6910:
6909: 10
6907:
6906: 49
6903:
6902:
6901: 20
6899:
6898: 43
6896:
6895: 18
6893:
6892: 41
6890:
6889: 21
6887:
6886: 46
6884:
6883: 23
6881:
6880: 48
6877:
6876:
6875: 29
6873:
6872: 38
6870:
6869: 31
6867:
6866: 40
6864:
6863: 28
6861:
6860: 35
6858:
6857: 26
6855:
6854: 33
6833:
6830:
6827:
6824:
6821:
6818:
6815:
6812:
6809:
6787:
6784:
6764:
6761:
6750:
6747:
6746:
6743:
6742:
6741: 8
6739:
6738: 1
6736:
6735: 8
6733:
6732: 1
6730:
6729: 8
6727:
6726: 1
6724:
6723: 8
6721:
6720: 1
6717:
6716:
6715: 7
6713:
6712: 2
6710:
6709: 7
6707:
6706: 2
6704:
6703: 7
6701:
6700: 2
6698:
6697: 7
6695:
6694: 2
6691:
6690:
6689: 6
6687:
6686: 3
6684:
6683: 6
6681:
6680: 3
6678:
6677: 6
6675:
6674: 3
6672:
6671: 6
6669:
6668: 3
6665:
6664:
6663: 5
6661:
6660: 4
6658:
6657: 5
6655:
6654: 4
6652:
6651: 5
6649:
6648: 4
6646:
6645: 5
6643:
6642: 4
6639:
6638:
6637: 1
6635:
6634: 8
6632:
6631: 1
6629:
6628: 8
6626:
6625: 1
6623:
6622: 8
6620:
6619: 1
6617:
6616: 8
6613:
6612:
6611: 2
6609:
6608: 7
6606:
6605: 2
6603:
6602: 7
6600:
6599: 2
6597:
6596: 7
6594:
6593: 2
6591:
6590: 7
6587:
6586:
6585: 3
6583:
6582: 6
6580:
6579: 3
6577:
6576: 6
6574:
6573: 3
6571:
6570: 6
6568:
6567: 3
6565:
6564: 6
6561:
6560:
6559: 4
6557:
6556: 5
6554:
6553: 4
6551:
6550: 5
6548:
6547: 4
6545:
6544: 5
6542:
6541: 4
6539:
6538: 5
6529:
6526:
6525:
6524: 4
6522:
6521: 3
6519:
6518: 2
6516:
6515: 1
6513:
6512: 5
6510:
6509: 6
6507:
6506: 7
6504:
6503: 8
6500:
6499:
6498: 5
6496:
6495: 6
6493:
6492: 7
6490:
6489: 8
6487:
6486: 4
6484:
6483: 3
6481:
6480: 2
6478:
6477: 1
6474:
6473:
6472: 4
6470:
6469: 3
6467:
6466: 2
6464:
6463: 1
6461:
6460: 5
6458:
6457: 6
6455:
6454: 7
6452:
6451: 8
6448:
6447:
6446: 5
6444:
6443: 6
6441:
6440: 7
6438:
6437: 8
6435:
6434: 4
6432:
6431: 3
6429:
6428: 2
6426:
6425: 1
6422:
6421:
6420: 4
6418:
6417: 3
6415:
6414: 2
6412:
6411: 1
6409:
6408: 5
6406:
6405: 6
6403:
6402: 7
6400:
6399: 8
6396:
6395:
6394: 5
6392:
6391: 6
6389:
6388: 7
6386:
6385: 8
6383:
6382: 4
6380:
6379: 3
6377:
6376: 2
6374:
6373: 1
6370:
6369:
6368: 4
6366:
6365: 3
6363:
6362: 2
6360:
6359: 1
6357:
6356: 5
6354:
6353: 6
6351:
6350: 7
6348:
6347: 8
6344:
6343:
6342: 5
6340:
6339: 6
6337:
6336: 7
6334:
6333: 8
6331:
6330: 4
6328:
6327: 3
6325:
6324: 2
6322:
6321: 1
6298:
6295:
6292:
6289:
6286:
6275:
6272:
6271:
6270: 4
6268:
6267: 3
6265:
6264: 2
6262:
6261: 1
6259:
6258: 5
6256:
6255: 6
6253:
6252: 7
6250:
6249: 8
6246:
6245:
6244: 5
6242:
6241: 6
6239:
6238: 7
6236:
6235: 8
6233:
6232: 4
6230:
6229: 3
6227:
6226: 2
6224:
6223: 1
6220:
6219:
6218: 4
6216:
6215: 3
6213:
6212: 2
6210:
6209: 1
6207:
6206: 5
6204:
6203: 6
6201:
6200: 7
6198:
6197: 8
6194:
6193:
6192: 5
6190:
6189: 6
6187:
6186: 7
6184:
6183: 8
6181:
6180: 4
6178:
6177: 3
6175:
6174: 2
6172:
6171: 1
6168:
6167:
6166: 4
6164:
6163: 3
6161:
6160: 2
6158:
6157: 1
6155:
6154: 5
6152:
6151: 6
6149:
6148: 7
6146:
6145: 8
6142:
6141:
6140: 5
6138:
6137: 6
6135:
6134: 7
6132:
6131: 8
6129:
6128: 4
6126:
6125: 3
6123:
6122: 2
6120:
6119: 1
6116:
6115:
6114: 4
6112:
6111: 3
6109:
6108: 2
6106:
6105: 1
6103:
6102: 5
6100:
6099: 6
6097:
6096: 7
6094:
6093: 8
6090:
6089:
6088: 5
6086:
6085: 6
6083:
6082: 7
6080:
6079: 8
6077:
6076: 4
6074:
6073: 3
6071:
6070: 2
6068:
6067: 1
6051:
6048:
6045:
6042:
6039:
6019:
6016:
6013:
6010:
6007:
5998:Copy the left
5996:
5993:
5992:
5989:
5986:
5983:
5980:
5979: 5
5977:
5976: 6
5974:
5973: 7
5971:
5970: 8
5967:
5966:
5963:
5960:
5957:
5954:
5953: 4
5951:
5950: 3
5948:
5947: 2
5945:
5944: 1
5941:
5940:
5937:
5934:
5931:
5928:
5927: 5
5925:
5924: 6
5922:
5921: 7
5919:
5918: 8
5915:
5914:
5911:
5908:
5905:
5902:
5901: 4
5899:
5898: 3
5896:
5895: 2
5893:
5892: 1
5889:
5888:
5885:
5882:
5879:
5876:
5875: 5
5873:
5872: 6
5870:
5869: 7
5867:
5866: 8
5863:
5862:
5859:
5856:
5853:
5850:
5849: 4
5847:
5846: 3
5844:
5843: 2
5841:
5840: 1
5837:
5836:
5833:
5830:
5827:
5824:
5823: 5
5821:
5820: 6
5818:
5817: 7
5815:
5814: 8
5811:
5810:
5807:
5804:
5801:
5798:
5797: 4
5795:
5794: 3
5792:
5791: 2
5789:
5788: 1
5772:
5769:
5766:
5763:
5743:
5740:
5737:
5734:
5723:
5720:
5719:
5716:
5713:
5710:
5707:
5704:
5701:
5698:
5694:
5693:
5690:
5687:
5684:
5681:
5678:
5675:
5672:
5668:
5667:
5664:
5661:
5658:
5655:
5652:
5649:
5646:
5642:
5641:
5638:
5635:
5632:
5629:
5626:
5623:
5620:
5616:
5615:
5612:
5609:
5606:
5603:
5600:
5597:
5594:
5590:
5589:
5586:
5583:
5580:
5577:
5574:
5571:
5568:
5564:
5563:
5560:
5557:
5554:
5551:
5550: 5
5548:
5547: 6
5545:
5544: 7
5542:
5541: 8
5538:
5537:
5534:
5531:
5528:
5525:
5524: 4
5522:
5521: 3
5519:
5518: 2
5516:
5515: 1
5499:
5496:
5476:
5473:
5462:
5459:
5458:
5455:
5452:
5449:
5446:
5443:
5440:
5437:
5433:
5432:
5429:
5426:
5423:
5420:
5417:
5414:
5411:
5407:
5406:
5403:
5400:
5397:
5394:
5391:
5388:
5385:
5381:
5380:
5377:
5374:
5371:
5368:
5365:
5362:
5359:
5355:
5354:
5351:
5348:
5345:
5342:
5339:
5336:
5333:
5329:
5328:
5325:
5322:
5319:
5316:
5313:
5310:
5307:
5303:
5302:
5299:
5296:
5293:
5290:
5287:
5284:
5281:
5277:
5276:
5273:
5270:
5267:
5264:
5263: 4
5261:
5260: 3
5258:
5257: 2
5255:
5254: 1
5238:
5235:
5215:
5212:
5203:Put the first
5200:
5187:
5184:
5181:
5178:
5175:
5163:
5152:
5150:
5149:
5146:
5145:
5144: 9
5142:
5141: 4
5139:
5138: 48
5136:
5135: 36
5133:
5132: 31
5130:
5129: 26
5127:
5126: 21
5123:
5122:
5121: 22
5119:
5118: 17
5116:
5115: 12
5113:
5112: 7
5110:
5109: 44
5107:
5106: 39
5104:
5103: 34
5100:
5099:
5098: 42
5096:
5095: 30
5093:
5092: 25
5090:
5089: 20
5087:
5086: 8
5084:
5083: 3
5081:
5080: 47
5077:
5076:
5075: 6
5073:
5072: 43
5070:
5069: 38
5067:
5066: 33
5064:
5063: 28
5061:
5060: 16
5058:
5057: 11
5054:
5053:
5052: 19
5050:
5049: 14
5047:
5046: 2
5044:
5043: 46
5041:
5040: 41
5038:
5037: 29
5035:
5034: 24
5031:
5030:
5029: 32
5027:
5026: 27
5024:
5023: 15
5021:
5020: 10
5018:
5017: 5
5015:
5014: 49
5012:
5011: 37
5008:
5007:
5006: 45
5004:
5003: 40
5001:
5000: 35
4998:
4997: 23
4995:
4994: 18
4992:
4991: 13
4989:
4988: 1
4967:
4964:
4961:
4958:
4955:
4952:
4949:
4946:
4941:
4937:
4933:
4930:
4927:
4924:
4921:
4918:
4915:
4912:
4890:
4887:
4884:
4881:
4861:
4858:
4855:
4852:
4841:
4838:
4837:
4834:
4833:
4832: 2
4830:
4829: 1
4827:
4826: 7
4824:
4823: 6
4821:
4820: 5
4818:
4817: 4
4815:
4814: 3
4811:
4810:
4809: 4
4807:
4806: 3
4804:
4803: 2
4801:
4800: 1
4798:
4797: 7
4795:
4794: 6
4792:
4791: 5
4788:
4787:
4786: 6
4784:
4783: 5
4781:
4780: 4
4778:
4777: 3
4775:
4774: 2
4772:
4771: 1
4769:
4768: 7
4765:
4764:
4763: 1
4761:
4760: 7
4758:
4757: 6
4755:
4754: 5
4752:
4751: 4
4749:
4748: 3
4746:
4745: 2
4742:
4741:
4740: 3
4738:
4737: 2
4735:
4734: 1
4732:
4731: 7
4729:
4728: 6
4726:
4725: 5
4723:
4722: 4
4719:
4718:
4717: 5
4715:
4714: 4
4712:
4711: 3
4709:
4708: 2
4706:
4705: 1
4703:
4702: 7
4700:
4699: 6
4696:
4695:
4694: 7
4692:
4691: 6
4689:
4688: 5
4686:
4685: 4
4683:
4682: 3
4680:
4679: 2
4677:
4676: 1
4659:
4655:
4644:
4641:
4640:
4639: 2
4637:
4636: 4
4634:
4633: 6
4631:
4630: 1
4628:
4627: 3
4625:
4624: 5
4622:
4621: 7
4618:
4617:
4616: 1
4614:
4613: 3
4611:
4610: 5
4608:
4607: 7
4605:
4604: 2
4602:
4601: 4
4599:
4598: 6
4595:
4594:
4593: 7
4591:
4590: 2
4588:
4587: 4
4585:
4584: 6
4582:
4581: 1
4579:
4578: 3
4576:
4575: 5
4572:
4571:
4570: 6
4568:
4567: 1
4565:
4564: 3
4562:
4561: 5
4559:
4558: 7
4556:
4555: 2
4553:
4552: 4
4549:
4548:
4547: 5
4545:
4544: 7
4542:
4541: 2
4539:
4538: 4
4536:
4535: 6
4533:
4532: 1
4530:
4529: 3
4526:
4525:
4524: 4
4522:
4521: 6
4519:
4518: 1
4516:
4515: 3
4513:
4512: 5
4510:
4509: 7
4507:
4506: 2
4503:
4502:
4501: 3
4499:
4498: 5
4496:
4495: 7
4493:
4492: 2
4490:
4489: 4
4487:
4486: 6
4484:
4483: 1
4465:
4462:
4461:
4460: 2
4458:
4457: 4
4455:
4454: 6
4452:
4451: 1
4449:
4448: 3
4446:
4445: 5
4443:
4442: 7
4439:
4438:
4437: 1
4435:
4434: 3
4432:
4431: 5
4429:
4428: 7
4426:
4425: 2
4423:
4422: 4
4420:
4419: 6
4416:
4415:
4414: 7
4412:
4411: 2
4409:
4408: 4
4406:
4405: 6
4403:
4402: 1
4400:
4399: 3
4397:
4396: 5
4393:
4392:
4391: 6
4389:
4388: 1
4386:
4385: 3
4383:
4382: 5
4380:
4379: 7
4377:
4376: 2
4374:
4373: 4
4370:
4369:
4368: 5
4366:
4365: 7
4363:
4362: 2
4360:
4359: 4
4357:
4356: 6
4354:
4353: 1
4351:
4350: 3
4347:
4346:
4345: 4
4343:
4342: 6
4340:
4339: 1
4337:
4336: 3
4334:
4333: 5
4331:
4330: 7
4328:
4327: 2
4324:
4323:
4322: 3
4320:
4319: 5
4317:
4316: 7
4314:
4313: 2
4311:
4310: 4
4308:
4307: 6
4305:
4304: 1
4297:
4294:
4293:
4290:
4287:
4284:
4281:
4278:
4277: 5
4275:
4274: 7
4271:
4270:
4267:
4264:
4261:
4258:
4255:
4254: 4
4252:
4251: 6
4248:
4247:
4244:
4241:
4238:
4235:
4232:
4231: 3
4229:
4228: 5
4225:
4224:
4221:
4218:
4215:
4212:
4209:
4208: 2
4206:
4205: 4
4202:
4201:
4198:
4195:
4192:
4189:
4186:
4185: 1
4183:
4182: 3
4179:
4178:
4175:
4172:
4169:
4166:
4163:
4162: 7
4160:
4159: 2
4156:
4155:
4152:
4149:
4146:
4143:
4140:
4139: 6
4137:
4136: 1
4129:
4126:
4125:
4122:
4119:
4116:
4113:
4110:
4107:
4106: 7
4103:
4102:
4099:
4096:
4093:
4090:
4087:
4084:
4083: 6
4080:
4079:
4076:
4073:
4070:
4067:
4064:
4061:
4060: 5
4057:
4056:
4053:
4050:
4047:
4044:
4041:
4038:
4037: 4
4034:
4033:
4030:
4027:
4024:
4021:
4018:
4015:
4014: 3
4011:
4010:
4007:
4004:
4001:
3998:
3995:
3992:
3991: 2
3988:
3987:
3984:
3981:
3978:
3975:
3972:
3969:
3968: 1
3949:
3946:
3943:
3940:
3928:
3915:
3912:
3909:
3906:
3903:
3900:
3897:
3894:
3891:
3888:
3885:
3882:
3879:
3867:
3856:
3852:
3851:
3847:
3846:
3842:
3841:
3828:
3827:
3824:
3821:
3818:
3815:
3812:
3808:
3807:
3804:
3801:
3798:
3795:
3792:
3788:
3787:
3784:
3781:
3778:
3775:
3772:
3768:
3767:
3764:
3761:
3758:
3755:
3752:
3748:
3747:
3744:
3741:
3738:
3735:
3732:
3728:
3727:
3724:
3721:
3718:
3715:
3712:
3690:
3687:
3684:
3681:
3678:
3675:
3672:
3659:
3658:
3655:
3652:
3649:
3646:
3643:
3639:
3638:
3635:
3632:
3629:
3626:
3623:
3619:
3618:
3615:
3612:
3609:
3606:
3603:
3599:
3598:
3595:
3592:
3589:
3586:
3583:
3579:
3578:
3575:
3572:
3569:
3566:
3563:
3559:
3558:
3555:
3552:
3549:
3546:
3543:
3535:
3534:
3531:
3528:
3525:
3522:
3519:
3515:
3514:
3511:
3508:
3505:
3502:
3499:
3495:
3494:
3491:
3488:
3485:
3482:
3479:
3475:
3474:
3471:
3468:
3465:
3462:
3459:
3455:
3454:
3451:
3448:
3445:
3442:
3439:
3435:
3434:
3431:
3428:
3425:
3422:
3419:
3395:
3394:
3387:
3386:
3382:
3381:
3362:
3359:
3356:
3353:
3329:
3326:
3323:
3320:
3308:
3297:
3282:
3278:
3274:
3269:
3265:
3261:
3256:
3252:
3248:
3243:
3239:
3235:
3230:
3226:
3203:
3199:
3195:
3190:
3186:
3182:
3177:
3173:
3169:
3164:
3160:
3156:
3151:
3147:
3124:
3120:
3116:
3111:
3107:
3103:
3098:
3094:
3090:
3085:
3081:
3077:
3072:
3068:
3047:
3044:
3041:
3036:
3032:
3028:
3025:
3020:
3016:
3012:
3009:
3004:
3000:
2996:
2993:
2988:
2984:
2980:
2977:
2972:
2968:
2964:
2953:
2952:
2938:
2934:
2930:
2925:
2921:
2917:
2912:
2908:
2904:
2899:
2895:
2891:
2886:
2882:
2859:
2855:
2851:
2846:
2842:
2838:
2833:
2829:
2825:
2820:
2816:
2812:
2807:
2803:
2791:
2777:
2773:
2769:
2764:
2760:
2756:
2751:
2747:
2743:
2738:
2734:
2730:
2725:
2721:
2709:
2695:
2691:
2687:
2682:
2678:
2674:
2669:
2665:
2661:
2656:
2652:
2648:
2643:
2639:
2616:
2612:
2608:
2603:
2599:
2595:
2590:
2586:
2582:
2577:
2573:
2569:
2564:
2560:
2544:
2543:
2529:
2525:
2521:
2516:
2512:
2508:
2503:
2499:
2495:
2490:
2486:
2482:
2477:
2473:
2450:
2446:
2442:
2437:
2433:
2429:
2424:
2420:
2416:
2411:
2407:
2403:
2398:
2394:
2382:
2368:
2364:
2360:
2355:
2351:
2347:
2342:
2338:
2334:
2329:
2325:
2321:
2316:
2312:
2289:
2285:
2281:
2276:
2272:
2268:
2263:
2259:
2255:
2250:
2246:
2242:
2237:
2233:
2210:
2206:
2202:
2197:
2193:
2189:
2184:
2180:
2176:
2171:
2167:
2163:
2158:
2154:
2131:
2127:
2123:
2118:
2114:
2110:
2105:
2101:
2097:
2092:
2088:
2084:
2079:
2075:
2063:
2049:
2045:
2041:
2036:
2032:
2028:
2023:
2019:
2015:
2010:
2006:
2002:
1997:
1993:
1970:
1966:
1962:
1957:
1953:
1949:
1944:
1940:
1936:
1931:
1927:
1923:
1918:
1914:
1889:
1886:
1881:
1877:
1873:
1868:
1864:
1860:
1855:
1851:
1847:
1842:
1838:
1834:
1829:
1825:
1809:
1808:
1789:
1785:
1779:
1772:
1768:
1762:
1755:
1751:
1745:
1738:
1734:
1728:
1721:
1717:
1709:
1708:
1701:
1697:
1691:
1684:
1680:
1674:
1667:
1663:
1657:
1650:
1646:
1640:
1633:
1629:
1621:
1620:
1613:
1609:
1603:
1596:
1592:
1586:
1579:
1575:
1569:
1562:
1558:
1552:
1545:
1541:
1533:
1532:
1525:
1521:
1515:
1508:
1504:
1498:
1491:
1487:
1481:
1474:
1470:
1464:
1457:
1453:
1445:
1444:
1437:
1433:
1427:
1420:
1416:
1410:
1403:
1399:
1393:
1386:
1382:
1376:
1369:
1365:
1357:
1356:
1330:
1329:
1326:
1323:
1320:
1307:
1306:
1303:
1300:
1297:
1294:
1290:
1289:
1286:
1283:
1280:
1277:
1273:
1272:
1269:
1266:
1263:
1260:
1256:
1255:
1252:
1249:
1246:
1243:
1239:
1238:
1235:
1232:
1229:
1226:
1212:
1209:
1183:
1182:
1179:
1176:
1173:
1169:
1168:
1165:
1162:
1159:
1155:
1154:
1151:
1148:
1145:
1141:
1140:
1137:
1134:
1131:
1057:
1056:
1043:
1034:
1021:
1003:
1002:
993:
972:
963:
949:
948:
935:
926:
913:
895:
894:
877:
864:
847:
820:
817:
811:discovered by
791:
785:
782:
751:
748:
743:
739:
735:
711:
708:
703:
699:
695:
671:
666:
662:
658:
653:
649:
645:
640:
636:
609:
605:
601:
596:
592:
588:
583:
579:
554:
551:
525:
521:
517:
512:
508:
504:
499:
495:
470:
465:
461:
457:
452:
448:
444:
439:
435:
411:
406:
402:
398:
393:
389:
385:
380:
376:
364:. Adding sums
351:
338:
337:
318:
314:
308:
299:
295:
289:
282:
278:
270:
269:
262:
258:
252:
243:
239:
233:
226:
222:
214:
213:
206:
202:
196:
187:
183:
177:
170:
166:
158:
157:
138:
135:
133:orientations.
120:
116:
112:
92:
89:
86:
60:magic constant
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
9781:
9770:
9769:Magic squares
9767:
9766:
9764:
9749:
9746:
9744:
9741:
9739:
9736:
9734:
9731:
9729:
9726:
9724:
9721:
9719:
9716:
9715:
9713:
9709:
9703:
9700:
9698:
9695:
9693:
9690:
9689:
9687:
9683:
9677:
9674:
9672:
9669:
9665:
9662:
9661:
9660:
9657:
9656:
9654:
9650:
9644:
9641:
9639:
9636:
9634:
9631:
9629:
9626:
9624:
9621:
9619:
9616:
9614:
9611:
9610:
9608:
9604:
9599:
9589:
9586:
9584:
9581:
9579:
9576:
9574:
9571:
9569:
9568:Magic hexagon
9566:
9564:
9561:
9560:
9558:
9554:
9550:
9543:
9538:
9536:
9531:
9529:
9524:
9523:
9520:
9514:
9511:
9509:
9506:
9505:
9501:
9496:
9492:
9491:
9487:
9483:
9482:
9472:
9465:
9462:
9456:
9446:
9443:
9440:
9437:
9434:
9431:
9428:
9425:
9422:
9421:
9417:
9414:
9411:
9408:
9405:
9402:
9399:
9396:
9393:
9392:
9389: 4
9388:
9385:
9382:
9380: 8
9379:
9376:
9373:
9371: 3
9370:
9367:
9364:
9363:
9359:
9356:
9353:
9350:
9347:
9344:
9341:
9338:
9335:
9334:
9330:
9327:
9324:
9321:
9318:
9315:
9312:
9309:
9306:
9305:
9301:
9299: 6
9298:
9295:
9292:
9290: 7
9289:
9286:
9283:
9281: 2
9280:
9277:
9276:
9272:
9269:
9266:
9263:
9260:
9257:
9254:
9251:
9248:
9247:
9243:
9240:
9237:
9234:
9231:
9228:
9225:
9222:
9219:
9218:
9214:
9211:
9209: 5
9208:
9205:
9202:
9200: 9
9199:
9196:
9193:
9191: 1
9190:
9189:
9186:
9168:
9162:
9159:
9156:
9153:
9147:
9142:
9138:
9131:
9128:
9125:
9122:
9116:
9113:
9091:
9088:
9085:
9082:
9062:
9059:
9056:
9053:
9045:
9035: 3
9034:
9032: 8
9031:
9029: 4
9028:
9026: 3
9025:
9023: 8
9022:
9020: 4
9019:
9017: 3
9016:
9014: 8
9013:
9011: 4
9010:
9009:
9006: 2
9005:
9003: 7
9002:
9000: 6
8999:
8997: 2
8996:
8994: 7
8993:
8991: 6
8990:
8988: 2
8987:
8985: 7
8984:
8982: 6
8981:
8980:
8977: 1
8976:
8974: 9
8973:
8971: 5
8970:
8968: 1
8967:
8965: 9
8964:
8962: 5
8961:
8959: 1
8958:
8956: 9
8955:
8953: 5
8952:
8951:
8948: 4
8947:
8945: 3
8944:
8942: 8
8941:
8939: 4
8938:
8936: 3
8935:
8933: 8
8932:
8930: 4
8929:
8927: 3
8926:
8924: 8
8923:
8922:
8919: 6
8918:
8916: 2
8915:
8913: 7
8912:
8910: 6
8909:
8907: 2
8906:
8904: 7
8903:
8901: 6
8900:
8898: 2
8897:
8895: 7
8894:
8893:
8890: 5
8889:
8887: 1
8886:
8884: 9
8883:
8881: 5
8880:
8878: 1
8877:
8875: 9
8874:
8872: 5
8871:
8869: 1
8868:
8866: 9
8865:
8864:
8861: 8
8860:
8858: 4
8857:
8855: 3
8854:
8852: 8
8851:
8849: 4
8848:
8846: 3
8845:
8843: 8
8842:
8840: 4
8839:
8837: 3
8836:
8835:
8832: 7
8831:
8829: 6
8828:
8826: 2
8825:
8823: 7
8822:
8820: 6
8819:
8817: 2
8816:
8814: 7
8813:
8811: 6
8810:
8808: 2
8807:
8806:
8802:
8799:
8796:
8793:
8790:
8787:
8784:
8781:
8778:
8777:
8760:
8756:
8748:
8742: 3
8741:
8739: 2
8738:
8736: 1
8735:
8733: 4
8732:
8730: 6
8729:
8727: 5
8726:
8724: 8
8723:
8721: 7
8720:
8718: 9
8717:
8716:
8713: 8
8712:
8710: 7
8709:
8707: 9
8706:
8704: 3
8703:
8701: 2
8700:
8698: 1
8697:
8695: 4
8694:
8692: 6
8691:
8689: 5
8688:
8687:
8684: 4
8683:
8681: 6
8680:
8678: 5
8677:
8675: 8
8674:
8672: 7
8671:
8669: 9
8668:
8666: 3
8665:
8663: 2
8662:
8660: 1
8659:
8658:
8655: 3
8654:
8652: 2
8651:
8649: 1
8648:
8646: 4
8645:
8643: 6
8642:
8640: 5
8639:
8637: 8
8636:
8634: 7
8633:
8631: 9
8630:
8629:
8626: 8
8625:
8623: 7
8622:
8620: 9
8619:
8617: 3
8616:
8614: 2
8613:
8611: 1
8610:
8608: 4
8607:
8605: 6
8604:
8602: 5
8601:
8600:
8597: 4
8596:
8594: 6
8593:
8591: 5
8590:
8588: 8
8587:
8585: 7
8584:
8582: 9
8581:
8579: 3
8578:
8576: 2
8575:
8573: 1
8572:
8571:
8568: 3
8567:
8565: 2
8564:
8562: 1
8561:
8559: 4
8558:
8556: 6
8555:
8553: 5
8552:
8550: 8
8549:
8547: 7
8546:
8544: 9
8543:
8542:
8539: 8
8538:
8536: 7
8535:
8533: 9
8532:
8530: 3
8529:
8527: 2
8526:
8524: 1
8523:
8521: 4
8520:
8518: 6
8517:
8515: 5
8514:
8513:
8509:
8506:
8503:
8500:
8497:
8494:
8491:
8488:
8485:
8484:
8478:
8477:
8473:
8466:
8463:
8460:
8457:
8454:
8451:
8448:
8445:
8442:
8441:
8437:
8434:
8431:
8428:
8425:
8422:
8419:
8416:
8413:
8412:
8408:
8405:
8402:
8399:
8396:
8393:
8390:
8387:
8384:
8383:
8379:
8376:
8373:
8370:
8367:
8364:
8361:
8358:
8355:
8354:
8350:
8347:
8344:
8341:
8338:
8335:
8332:
8329:
8326:
8325:
8321:
8318:
8315:
8312:
8309:
8306:
8303:
8300:
8297:
8296:
8292:
8289:
8286:
8283:
8280:
8277:
8274:
8271:
8268:
8267:
8263:
8260:
8257:
8254:
8251:
8248:
8245:
8242:
8239:
8238:
8234:
8231:
8228:
8225:
8222:
8219:
8216:
8213:
8210:
8209:
8205:
8198:
8195:
8192:
8189:
8186:
8183:
8180:
8177:
8174:
8173:
8170:
8168:
8166:
8163:
8160:
8157:
8154:
8151:
8148:
8147:
8144:
8142:
8140:
8137:
8134:
8131:
8128:
8125:
8122:
8121:
8118:
8116:
8114:
8111:
8108:
8105:
8102:
8099:
8096:
8095:
8092:
8090:
8088:
8085:
8082:
8079:
8076:
8073:
8070:
8069:
8066:
8064:
8062:
8059:
8056:
8053:
8050:
8047:
8044:
8043:
8040:
8038:
8036:
8033:
8030:
8027:
8024:
8021:
8018:
8017:
8014:
8012:
8010:
8007:
8004:
8001:
7998:
7995:
7992:
7991:
7988:
7986:
7984:
7981:
7978:
7975:
7972:
7969:
7966:
7965:
7961:
7954:
7951:
7948:
7945:
7942:
7939:
7936:
7933:
7930:
7929:
7926:
7924:
7922:
7920:
7918:
7916:
7913:
7910:
7907:
7906:
7903:
7901:
7899:
7897:
7895:
7893:
7890:
7887:
7884:
7883:
7880:
7878:
7876:
7874:
7872:
7870:
7867:
7864:
7861:
7860:
7857:
7855:
7853:
7851:
7849:
7847:
7844:
7841:
7838:
7837:
7834:
7832:
7830:
7828:
7826:
7824:
7821:
7818:
7815:
7814:
7811:
7809:
7807:
7805:
7803:
7801:
7798:
7795:
7792:
7791:
7788:
7786:
7784:
7782:
7780:
7778:
7775:
7772:
7769:
7768:
7765:
7763:
7761:
7759:
7757:
7755:
7752:
7749:
7746:
7745:
7726:
7723:
7720:
7717:
7711:
7705:
7702:
7699:
7696:
7685:
7673:
7670:
7667:
7666:
7662:
7659:
7656:
7655:
7651:
7648:
7645:
7644:
7640:
7637:
7634:
7633:
7630: 8
7629:
7627: 7
7626:
7624: 9
7623:
7622:
7619: 4
7618:
7616: 6
7615:
7613: 5
7612:
7611:
7608: 3
7607:
7605: 2
7604:
7602: 1
7601:
7600:
7596:
7588:
7585:
7582:
7581:
7577:
7574:
7571:
7570:
7567: 8
7566:
7564: 7
7563:
7561: 9
7560:
7559:
7556: 4
7555:
7553: 6
7552:
7550: 5
7549:
7548:
7545: 3
7544:
7542: 2
7541:
7539: 1
7538:
7537:
7533:
7526: 8
7525:
7523: 7
7522:
7520: 9
7519:
7518:
7515: 4
7514:
7512: 6
7511:
7509: 5
7508:
7507:
7504: 3
7503:
7501: 2
7500:
7498: 1
7497:
7496:
7492:
7491:
7487:
7471:
7468:
7465:
7462:
7442:
7439:
7433:
7430:
7427:
7424:
7413:
7412:
7410:
7393:
7390:
7387:
7384:
7378:
7372:
7369:
7366:
7363:
7348:
7344:
7340:
7338:
7336:
7320:
7317:
7314:
7311:
7308:
7288:
7285:
7282:
7279:
7276:
7256:
7253:
7250:
7247:
7227:
7224:
7221:
7218:
7198:
7195:
7192:
7189:
7186:
7166:
7163:
7143:
7140:
7137:
7134:
7131:
7111:
7108:
7105:
7085:
7082:
7079:
7076:
7073:
7056:
7053:
7050:
7047:
7044:
7041:
7038:
7035:
7034:
7030:
7027:
7024:
7021:
7018:
7015:
7012:
7009:
7008:
7004:
7001:
6998:
6995:
6992:
6989:
6986:
6983:
6982:
6978:
6975:
6972:
6969:
6966:
6963:
6960:
6957:
6956:
6952:
6949:
6946:
6943:
6940:
6937:
6934:
6931:
6930:
6926:
6923:
6920:
6917:
6914:
6911:
6908:
6905:
6904:
6900:
6897:
6894:
6891:
6888:
6885:
6882:
6879:
6878:
6874:
6871:
6868:
6865:
6862:
6859:
6856:
6853:
6852:
6849:
6831:
6828:
6825:
6822:
6819:
6816:
6813:
6810:
6807:
6785:
6782:
6762:
6759:
6751:
6740:
6737:
6734:
6731:
6728:
6725:
6722:
6719:
6718:
6714:
6711:
6708:
6705:
6702:
6699:
6696:
6693:
6692:
6688:
6685:
6682:
6679:
6676:
6673:
6670:
6667:
6666:
6662:
6659:
6656:
6653:
6650:
6647:
6644:
6641:
6640:
6636:
6633:
6630:
6627:
6624:
6621:
6618:
6615:
6614:
6610:
6607:
6604:
6601:
6598:
6595:
6592:
6589:
6588:
6584:
6581:
6578:
6575:
6572:
6569:
6566:
6563:
6562:
6558:
6555:
6552:
6549:
6546:
6543:
6540:
6537:
6536:
6530:
6523:
6520:
6517:
6514:
6511:
6508:
6505:
6502:
6501:
6497:
6494:
6491:
6488:
6485:
6482:
6479:
6476:
6475:
6471:
6468:
6465:
6462:
6459:
6456:
6453:
6450:
6449:
6445:
6442:
6439:
6436:
6433:
6430:
6427:
6424:
6423:
6419:
6416:
6413:
6410:
6407:
6404:
6401:
6398:
6397:
6393:
6390:
6387:
6384:
6381:
6378:
6375:
6372:
6371:
6367:
6364:
6361:
6358:
6355:
6352:
6349:
6346:
6345:
6341:
6338:
6335:
6332:
6329:
6326:
6323:
6320:
6319:
6313:
6312:
6296:
6293:
6290:
6287:
6284:
6276:
6269:
6266:
6263:
6260:
6257:
6254:
6251:
6248:
6247:
6243:
6240:
6237:
6234:
6231:
6228:
6225:
6222:
6221:
6217:
6214:
6211:
6208:
6205:
6202:
6199:
6196:
6195:
6191:
6188:
6185:
6182:
6179:
6176:
6173:
6170:
6169:
6165:
6162:
6159:
6156:
6153:
6150:
6147:
6144:
6143:
6139:
6136:
6133:
6130:
6127:
6124:
6121:
6118:
6117:
6113:
6110:
6107:
6104:
6101:
6098:
6095:
6092:
6091:
6087:
6084:
6081:
6078:
6075:
6072:
6069:
6066:
6065:
6049:
6046:
6043:
6040:
6037:
6017:
6014:
6011:
6008:
6005:
5997:
5990:
5987:
5984:
5981:
5978:
5975:
5972:
5969:
5968:
5964:
5961:
5958:
5955:
5952:
5949:
5946:
5943:
5942:
5938:
5935:
5932:
5929:
5926:
5923:
5920:
5917:
5916:
5912:
5909:
5906:
5903:
5900:
5897:
5894:
5891:
5890:
5886:
5883:
5880:
5877:
5874:
5871:
5868:
5865:
5864:
5860:
5857:
5854:
5851:
5848:
5845:
5842:
5839:
5838:
5834:
5831:
5828:
5825:
5822:
5819:
5816:
5813:
5812:
5808:
5805:
5802:
5799:
5796:
5793:
5790:
5787:
5786:
5770:
5767:
5764:
5761:
5741:
5738:
5735:
5732:
5724:
5717:
5714:
5711:
5708:
5705:
5702:
5699:
5696:
5695:
5691:
5688:
5685:
5682:
5679:
5676:
5673:
5670:
5669:
5665:
5662:
5659:
5656:
5653:
5650:
5647:
5644:
5643:
5639:
5636:
5633:
5630:
5627:
5624:
5621:
5618:
5617:
5613:
5610:
5607:
5604:
5601:
5598:
5595:
5592:
5591:
5587:
5584:
5581:
5578:
5575:
5572:
5569:
5566:
5565:
5561:
5558:
5555:
5552:
5549:
5546:
5543:
5540:
5539:
5535:
5532:
5529:
5526:
5523:
5520:
5517:
5514:
5513:
5497:
5494:
5474:
5471:
5464:Put the next
5463:
5456:
5453:
5450:
5447:
5444:
5441:
5438:
5435:
5434:
5430:
5427:
5424:
5421:
5418:
5415:
5412:
5409:
5408:
5404:
5401:
5398:
5395:
5392:
5389:
5386:
5383:
5382:
5378:
5375:
5372:
5369:
5366:
5363:
5360:
5357:
5356:
5352:
5349:
5346:
5343:
5340:
5337:
5334:
5331:
5330:
5326:
5323:
5320:
5317:
5314:
5311:
5308:
5305:
5304:
5300:
5297:
5294:
5291:
5288:
5285:
5282:
5279:
5278:
5274:
5271:
5268:
5265:
5262:
5259:
5256:
5253:
5252:
5236:
5233:
5213:
5210:
5202:
5201:
5199:
5185:
5182:
5179:
5176:
5173:
5161:
5157:
5153:
5143:
5140:
5137:
5134:
5131:
5128:
5125:
5124:
5120:
5117:
5114:
5111:
5108:
5105:
5102:
5101:
5097:
5094:
5091:
5088:
5085:
5082:
5079:
5078:
5074:
5071:
5068:
5065:
5062:
5059:
5056:
5055:
5051:
5048:
5045:
5042:
5039:
5036:
5033:
5032:
5028:
5025:
5022:
5019:
5016:
5013:
5010:
5009:
5005:
5002:
4999:
4996:
4993:
4990:
4987:
4986:
4983:
4965:
4959:
4956:
4953:
4950:
4944:
4939:
4935:
4928:
4925:
4922:
4919:
4913:
4910:
4888:
4885:
4882:
4879:
4859:
4856:
4853:
4850:
4842:
4831:
4828:
4825:
4822:
4819:
4816:
4813:
4812:
4808:
4805:
4802:
4799:
4796:
4793:
4790:
4789:
4785:
4782:
4779:
4776:
4773:
4770:
4767:
4766:
4762:
4759:
4756:
4753:
4750:
4747:
4744:
4743:
4739:
4736:
4733:
4730:
4727:
4724:
4721:
4720:
4716:
4713:
4710:
4707:
4704:
4701:
4698:
4697:
4693:
4690:
4687:
4684:
4681:
4678:
4675:
4674:
4657:
4653:
4645:
4638:
4635:
4632:
4629:
4626:
4623:
4620:
4619:
4615:
4612:
4609:
4606:
4603:
4600:
4597:
4596:
4592:
4589:
4586:
4583:
4580:
4577:
4574:
4573:
4569:
4566:
4563:
4560:
4557:
4554:
4551:
4550:
4546:
4543:
4540:
4537:
4534:
4531:
4528:
4527:
4523:
4520:
4517:
4514:
4511:
4508:
4505:
4504:
4500:
4497:
4494:
4491:
4488:
4485:
4482:
4481:
4475:
4474:
4470:
4466:
4459:
4456:
4453:
4450:
4447:
4444:
4441:
4440:
4436:
4433:
4430:
4427:
4424:
4421:
4418:
4417:
4413:
4410:
4407:
4404:
4401:
4398:
4395:
4394:
4390:
4387:
4384:
4381:
4378:
4375:
4372:
4371:
4367:
4364:
4361:
4358:
4355:
4352:
4349:
4348:
4344:
4341:
4338:
4335:
4332:
4329:
4326:
4325:
4321:
4318:
4315:
4312:
4309:
4306:
4303:
4302:
4298:
4291:
4288:
4285:
4282:
4279:
4276:
4273:
4272:
4268:
4265:
4262:
4259:
4256:
4253:
4250:
4249:
4245:
4242:
4239:
4236:
4233:
4230:
4227:
4226:
4222:
4219:
4216:
4213:
4210:
4207:
4204:
4203:
4199:
4196:
4193:
4190:
4187:
4184:
4181:
4180:
4176:
4173:
4170:
4167:
4164:
4161:
4158:
4157:
4153:
4150:
4147:
4144:
4141:
4138:
4135:
4134:
4130:
4123:
4120:
4117:
4114:
4111:
4108:
4105:
4104:
4100:
4097:
4094:
4091:
4088:
4085:
4082:
4081:
4077:
4074:
4071:
4068:
4065:
4062:
4059:
4058:
4054:
4051:
4048:
4045:
4042:
4039:
4036:
4035:
4031:
4028:
4025:
4022:
4019:
4016:
4013:
4012:
4008:
4005:
4002:
3999:
3996:
3993:
3990:
3989:
3985:
3982:
3979:
3976:
3973:
3970:
3967:
3966:
3962:
3947:
3944:
3941:
3938:
3930:
3929:
3927:
3910:
3907:
3904:
3901:
3895:
3889:
3886:
3883:
3880:
3865:
3861:
3857:
3855:
3849:
3848:
3844:
3843:
3839:
3838:
3837:
3834:
3833:sum of 5150.
3825:
3822:
3819:
3816:
3813:
3810:
3809:
3805:
3802:
3799:
3796:
3793:
3790:
3789:
3785:
3782:
3779:
3776:
3773:
3770:
3769:
3765:
3762:
3759:
3756:
3753:
3750:
3749:
3745:
3742:
3739:
3736:
3733:
3730:
3729:
3725:
3722:
3719:
3716:
3713:
3710:
3709:
3706:
3688:
3685:
3682:
3679:
3676:
3673:
3670:
3656:
3653:
3650:
3647:
3644:
3641:
3640:
3636:
3633:
3630:
3627:
3624:
3621:
3620:
3616:
3613:
3610:
3607:
3604:
3601:
3600:
3596:
3593:
3590:
3587:
3584:
3581:
3580:
3576:
3573:
3570:
3567:
3564:
3561:
3560:
3556:
3553:
3550:
3547:
3544:
3541:
3540:
3532:
3529:
3526:
3523:
3520:
3517:
3516:
3512:
3509:
3506:
3503:
3500:
3497:
3496:
3492:
3489:
3486:
3483:
3480:
3477:
3476:
3472:
3469:
3466:
3463:
3460:
3457:
3456:
3452:
3449:
3446:
3443:
3440:
3437:
3436:
3432:
3429:
3426:
3423:
3420:
3417:
3416:
3413:
3402:
3400:
3392:
3391:
3390:
3384:
3383:
3379:
3378:
3377:
3374:
3360:
3357:
3354:
3351:
3343:
3327:
3324:
3321:
3318:
3306:
3302:
3298:
3296:
3280:
3276:
3272:
3267:
3263:
3259:
3254:
3250:
3246:
3241:
3237:
3233:
3228:
3224:
3201:
3197:
3193:
3188:
3184:
3180:
3175:
3171:
3167:
3162:
3158:
3154:
3149:
3145:
3122:
3118:
3114:
3109:
3105:
3101:
3096:
3092:
3088:
3083:
3079:
3075:
3070:
3066:
3045:
3042:
3039:
3034:
3030:
3026:
3023:
3018:
3014:
3010:
3007:
3002:
2998:
2994:
2991:
2986:
2982:
2978:
2975:
2970:
2966:
2962:
2936:
2932:
2928:
2923:
2919:
2915:
2910:
2906:
2902:
2897:
2893:
2889:
2884:
2880:
2857:
2853:
2849:
2844:
2840:
2836:
2831:
2827:
2823:
2818:
2814:
2810:
2805:
2801:
2792:
2775:
2771:
2767:
2762:
2758:
2754:
2749:
2745:
2741:
2736:
2732:
2728:
2723:
2719:
2710:
2693:
2689:
2685:
2680:
2676:
2672:
2667:
2663:
2659:
2654:
2650:
2646:
2641:
2637:
2614:
2610:
2606:
2601:
2597:
2593:
2588:
2584:
2580:
2575:
2571:
2567:
2562:
2558:
2550:The row sums
2549:
2548:
2547:
2527:
2523:
2519:
2514:
2510:
2506:
2501:
2497:
2493:
2488:
2484:
2480:
2475:
2471:
2448:
2444:
2440:
2435:
2431:
2427:
2422:
2418:
2414:
2409:
2405:
2401:
2396:
2392:
2384:The row sums
2383:
2366:
2362:
2358:
2353:
2349:
2345:
2340:
2336:
2332:
2327:
2323:
2319:
2314:
2310:
2287:
2283:
2279:
2274:
2270:
2266:
2261:
2257:
2253:
2248:
2244:
2240:
2235:
2231:
2208:
2204:
2200:
2195:
2191:
2187:
2182:
2178:
2174:
2169:
2165:
2161:
2156:
2152:
2129:
2125:
2121:
2116:
2112:
2108:
2103:
2099:
2095:
2090:
2086:
2082:
2077:
2073:
2064:
2047:
2043:
2039:
2034:
2030:
2026:
2021:
2017:
2013:
2008:
2004:
2000:
1995:
1991:
1968:
1964:
1960:
1955:
1951:
1947:
1942:
1938:
1934:
1929:
1925:
1921:
1916:
1912:
1903:
1902:
1901:
1887:
1884:
1879:
1875:
1871:
1866:
1862:
1858:
1853:
1849:
1845:
1840:
1836:
1832:
1827:
1823:
1787:
1783:
1770:
1766:
1753:
1749:
1736:
1732:
1719:
1715:
1699:
1695:
1682:
1678:
1665:
1661:
1648:
1644:
1631:
1627:
1611:
1607:
1594:
1590:
1577:
1573:
1560:
1556:
1543:
1539:
1523:
1519:
1506:
1502:
1489:
1485:
1472:
1468:
1455:
1451:
1435:
1431:
1418:
1414:
1401:
1397:
1384:
1380:
1367:
1363:
1347:
1346:
1345:
1343:
1338:
1335:
1327:
1324:
1321:
1318:
1317:
1316:
1314:
1304:
1301:
1298:
1295:
1292:
1291:
1287:
1284:
1281:
1278:
1275:
1274:
1270:
1267:
1264:
1261:
1258:
1257:
1253:
1250:
1247:
1244:
1241:
1240:
1236:
1233:
1230:
1227:
1224:
1223:
1220:
1218:
1210:
1208:
1190:
1180:
1177:
1174:
1171:
1170:
1166:
1163:
1160:
1157:
1156:
1152:
1149:
1146:
1143:
1142:
1138:
1135:
1132:
1129:
1128:
1125:
1121:
1114:
1107:
1100:
1095:
1070:
1068:
1064:
1055:
1051:
1047:
1044:
1042:
1038:
1035:
1033:
1029:
1025:
1022:
1020:
1016:
1012:
1008:
1005:
1004:
1001:
997:
994:
992:
988:
984:
980:
976:
973:
971:
967:
964:
962:
958:
954:
951:
950:
947:
943:
939:
936:
934:
930:
927:
925:
921:
917:
914:
912:
908:
904:
900:
897:
896:
893:
889:
885:
881:
878:
876:
872:
868:
865:
863:
859:
855:
851:
848:
846:
843:
842:
839:
837:
829:
828:Euler diagram
825:
818:
816:
814:
810:
805:
789:
783:
780:
767:
749:
746:
741:
737:
733:
709:
706:
701:
697:
693:
669:
664:
660:
656:
651:
647:
643:
638:
634:
607:
603:
599:
594:
590:
586:
581:
577:
552:
549:
523:
519:
515:
510:
506:
502:
497:
493:
468:
463:
459:
455:
450:
446:
442:
437:
433:
409:
404:
400:
396:
391:
387:
383:
378:
374:
349:
316:
312:
297:
293:
280:
276:
260:
256:
241:
237:
224:
220:
204:
200:
185:
181:
168:
164:
148:
147:
146:
144:
136:
134:
118:
114:
110:
90:
87:
84:
76:
72:
68:
63:
61:
57:
53:
49:
45:
41:
37:
33:
19:
9748:Magic series
9718:Latin square
9696:
9632:
9628:Heterosquare
9578:Magic square
9563:Magic circle
9494:
9485:
9464:
9105:
7352:
7346:
7342:
7301:square. The
7065:
6799:
5165:
5159:
5155:
4902:
3869:
3863:
3859:
3853:
3835:
3831:
3662:
3403:
3396:
3388:
3375:
3310:
3304:
3300:
2954:
2545:
1810:
1339:
1331:
1310:
1214:
1186:
1119:
1112:
1105:
1098:
1071:
1060:
1053:
1049:
1045:
1040:
1036:
1031:
1027:
1023:
1018:
1014:
1010:
1006:
999:
995:
990:
986:
982:
978:
974:
969:
965:
960:
956:
952:
945:
941:
937:
932:
928:
923:
919:
915:
910:
906:
902:
898:
891:
887:
883:
879:
874:
870:
866:
861:
857:
853:
849:
844:
838:to the form
833:
806:
339:
140:
64:
52:magic square
47:
43:
39:
35:
31:
29:
9743:Magic graph
9723:Word square
1217:associative
1094:translation
1067:associative
813:Lee Sallows
540:results in
143:non-trivial
9659:Magic cube
9583:Magic star
9457:References
5754:rectangle
5725:Copy that
766:symmetries
71:reflection
9148:−
9106:Example:
7712:×
7440:×
7414:Create a
7379:×
7315:×
7283:×
7251:×
7240:and each
7225:×
7193:×
7138:×
7109:×
7080:×
6823:−
6800:Example:
6291:×
6044:×
6012:×
5768:−
5736:×
5180:×
4957:±
4945:−
4926:±
4903:Example:
4886:±
4857:±
4469:transpose
3945:±
3908:±
3896:×
3887:±
3683:−
88:×
9763:Category
9181:, where
6844:, where
4978:, where
3342:integers
1313:quincunx
67:rotation
9664:classes
7486:meander
3701:(where
802:
770:
762:
726:
722:
686:
684:we get
682:
626:
622:
569:
565:
542:
538:
485:
481:
425:
422:
366:
362:
342:
50:) is a
7345:+3)×(6
5718:
5715:
5712:
5709:
5706:
5703:
5700:
5697:
5692:
5689:
5686:
5683:
5680:
5677:
5674:
5671:
5666:
5663:
5660:
5657:
5654:
5651:
5648:
5645:
5640:
5637:
5634:
5631:
5628:
5625:
5622:
5619:
5614:
5611:
5608:
5605:
5602:
5599:
5596:
5593:
5588:
5585:
5582:
5579:
5576:
5573:
5570:
5567:
5457:
5454:
5451:
5448:
5445:
5442:
5439:
5436:
5431:
5428:
5425:
5422:
5419:
5416:
5413:
5410:
5405:
5402:
5399:
5396:
5393:
5390:
5387:
5384:
5379:
5376:
5373:
5370:
5367:
5364:
5361:
5358:
5353:
5350:
5347:
5344:
5341:
5338:
5335:
5332:
5327:
5324:
5321:
5318:
5315:
5312:
5309:
5306:
5301:
5298:
5295:
5292:
5289:
5286:
5283:
5280:
4292:
4289:
4286:
4283:
4280:
4269:
4266:
4263:
4260:
4257:
4246:
4243:
4240:
4237:
4234:
4223:
4220:
4217:
4214:
4211:
4200:
4197:
4194:
4191:
4188:
4177:
4174:
4171:
4168:
4165:
4124:
4121:
4118:
4115:
4112:
4109:
4101:
4098:
4095:
4092:
4089:
4086:
4078:
4075:
4072:
4069:
4066:
4063:
4055:
4052:
4049:
4046:
4043:
4040:
4032:
4029:
4026:
4023:
4020:
4017:
4009:
4006:
4003:
4000:
3997:
3994:
3862:±1)×(6
3303:+2)×(4
3216:, and
2302:, and
1203:, and
1117:, and
1088:, and
38:(also
9556:Types
9474:(PDF)
3663:Then
75:moved
3408:and
2872:and
2629:and
2463:and
1983:and
624:and
483:and
3826:16
3806:45
3786:14
3766:20
3746:47
3399:odd
1288:15
1271:19
1254:23
1207:).
1153:11
1139:14
1122:= 8
1115:= 4
1108:= 2
1101:= 1
69:or
46:or
34:or
9765::
7674:19
7671:20
7668:21
7663:18
7660:17
7657:16
7652:13
7649:14
7646:15
7641:12
7638:11
7635:10
7353:A
7341:(6
7337:.
5166:A
5158:×4
3963:.
3870:A
3858:(6
3823:49
3820:10
3817:30
3811:38
3800:21
3794:37
3791:35
3783:17
3780:44
3777:42
3774:31
3763:43
3760:12
3757:34
3751:40
3743:13
3740:15
3734:41
3731:29
3726:8
3723:19
3720:48
3717:36
3714:33
3657:2
3637:3
3617:7
3597:6
3577:5
3557:1
3533:3
3513:7
3493:2
3473:3
3453:7
3433:2
3299:(4
3295:.
3281:44
3268:42
3255:33
3242:24
3229:22
3202:53
3189:35
3176:33
3163:31
3150:13
3137:,
3123:43
3110:34
3097:33
3084:32
3071:23
3035:55
3019:51
3003:33
2987:15
2971:11
2937:54
2924:44
2911:34
2898:24
2885:14
2858:52
2845:42
2832:32
2819:22
2806:12
2776:53
2763:43
2750:33
2737:23
2724:13
2694:45
2681:44
2668:43
2655:42
2642:41
2615:25
2602:24
2589:23
2576:22
2563:21
2528:55
2515:54
2502:53
2489:52
2476:51
2449:15
2436:14
2423:13
2410:12
2397:11
2367:54
2354:43
2341:32
2328:21
2315:15
2288:55
2275:41
2262:32
2249:23
2236:14
2223:,
2209:51
2196:45
2183:34
2170:23
2157:12
2144:,
2130:52
2117:43
2104:34
2091:25
2078:11
2048:51
2035:42
2022:33
2009:24
1996:15
1969:55
1956:44
1943:33
1930:22
1917:11
1880:55
1867:51
1854:33
1841:15
1828:11
1788:55
1771:54
1754:53
1737:52
1720:51
1700:45
1683:44
1666:43
1649:42
1632:41
1612:35
1595:34
1578:33
1561:32
1544:31
1524:25
1507:24
1490:23
1473:22
1456:21
1436:15
1419:14
1402:13
1385:12
1368:11
1305:6
1302:18
1296:12
1293:24
1285:22
1279:16
1265:13
1262:25
1251:10
1248:17
1242:11
1237:2
1234:14
1231:21
1225:20
1199:,
1195:,
1181:4
1172:15
1167:5
1164:16
1158:10
1147:13
1133:12
1110:,
1103:,
1084:,
1080:,
1052:+
1048:+
1039:+
1030:+
1026:+
1017:+
1013:+
1009:+
998:+
989:+
985:+
981:+
977:+
968:+
959:+
955:+
944:+
940:+
931:+
922:+
918:+
909:+
905:+
901:+
890:+
886:+
882:+
873:+
869:+
860:+
856:+
852:+
742:22
702:22
665:33
652:32
639:31
608:13
595:12
582:11
524:31
511:22
498:13
464:32
451:22
438:12
405:33
392:22
379:11
317:33
298:32
281:31
261:23
242:22
225:21
205:13
186:12
169:11
62:.
42:,
30:A
9541:e
9534:t
9527:v
9476:.
9183:B
9169:B
9166:)
9163:3
9160:+
9157:n
9154:6
9151:(
9143:T
9139:A
9135:)
9132:3
9129:+
9126:n
9123:6
9120:(
9117:+
9114:A
9092:3
9089:+
9086:n
9083:6
9063:3
9060:+
9057:n
9054:6
8761:T
8757:A
8480:A
7730:)
7727:3
7724:+
7721:n
7718:6
7715:(
7709:)
7706:3
7703:+
7700:n
7697:6
7694:(
7472:3
7469:+
7466:n
7463:6
7443:3
7437:)
7434:1
7431:+
7428:n
7425:2
7422:(
7397:)
7394:3
7391:+
7388:n
7385:6
7382:(
7376:)
7373:3
7370:+
7367:n
7364:6
7361:(
7347:n
7343:n
7321:n
7318:4
7312:n
7309:4
7289:n
7286:4
7280:n
7277:4
7257:n
7254:2
7248:2
7228:2
7222:n
7219:2
7199:n
7196:4
7190:n
7187:4
7167:n
7164:4
7144:n
7141:4
7135:n
7132:4
7112:2
7106:2
7086:n
7083:4
7077:n
7074:4
6846:C
6832:C
6829:n
6826:4
6820:B
6817:n
6814:4
6811:+
6808:A
6786:n
6783:4
6763:n
6760:4
6532:B
6315:A
6297:n
6294:4
6288:n
6285:4
6050:n
6047:2
6041:n
6038:4
6018:n
6015:2
6009:n
6006:4
5771:1
5765:n
5762:2
5742:n
5739:2
5733:2
5498:n
5495:2
5475:n
5472:2
5237:n
5234:2
5214:n
5211:2
5186:n
5183:4
5177:n
5174:4
5160:n
5156:n
5154:4
4980:B
4966:B
4963:)
4960:1
4954:n
4951:6
4948:(
4940:T
4936:A
4932:)
4929:1
4923:n
4920:6
4917:(
4914:+
4911:A
4889:1
4883:n
4880:6
4860:1
4854:n
4851:6
4658:T
4654:A
4477:A
3948:1
3942:n
3939:6
3914:)
3911:1
3905:n
3902:6
3899:(
3893:)
3890:1
3884:n
3881:6
3878:(
3864:n
3860:n
3814:7
3803:9
3797:3
3771:2
3754:1
3737:5
3711:6
3703:C
3689:C
3686:7
3680:B
3677:+
3674:A
3671:7
3654:7
3651:3
3648:2
3645:7
3642:3
3634:2
3631:7
3628:3
3625:2
3622:7
3614:3
3611:2
3608:7
3605:3
3602:2
3594:1
3591:5
3588:6
3585:1
3582:5
3574:6
3571:1
3568:5
3565:6
3562:1
3554:5
3551:6
3548:1
3545:5
3542:6
3530:7
3527:2
3524:5
3521:1
3518:6
3510:2
3507:3
3504:1
3501:6
3498:5
3490:3
3487:7
3484:6
3481:5
3478:1
3470:7
3467:2
3464:5
3461:1
3458:6
3450:2
3447:3
3444:1
3441:6
3438:5
3430:3
3427:7
3424:6
3421:5
3418:1
3410:B
3406:A
3361:2
3358:+
3355:n
3352:4
3328:2
3325:+
3322:n
3319:4
3305:n
3301:n
3277:a
3273:+
3264:a
3260:+
3251:a
3247:+
3238:a
3234:+
3225:a
3198:a
3194:+
3185:a
3181:+
3172:a
3168:+
3159:a
3155:+
3146:a
3119:a
3115:+
3106:a
3102:+
3093:a
3089:+
3080:a
3076:+
3067:a
3046:s
3043:5
3040:=
3031:a
3027:5
3024:+
3015:a
3011:5
3008:+
2999:a
2995:5
2992:+
2983:a
2979:5
2976:+
2967:a
2963:5
2951:.
2933:a
2929:+
2920:a
2916:+
2907:a
2903:+
2894:a
2890:+
2881:a
2854:a
2850:+
2841:a
2837:+
2828:a
2824:+
2815:a
2811:+
2802:a
2790:,
2772:a
2768:+
2759:a
2755:+
2746:a
2742:+
2733:a
2729:+
2720:a
2708:,
2690:a
2686:+
2677:a
2673:+
2664:a
2660:+
2651:a
2647:+
2638:a
2611:a
2607:+
2598:a
2594:+
2585:a
2581:+
2572:a
2568:+
2559:a
2542:.
2524:a
2520:+
2511:a
2507:+
2498:a
2494:+
2485:a
2481:+
2472:a
2445:a
2441:+
2432:a
2428:+
2419:a
2415:+
2406:a
2402:+
2393:a
2381:,
2363:a
2359:+
2350:a
2346:+
2337:a
2333:+
2324:a
2320:+
2311:a
2284:a
2280:+
2271:a
2267:+
2258:a
2254:+
2245:a
2241:+
2232:a
2205:a
2201:+
2192:a
2188:+
2179:a
2175:+
2166:a
2162:+
2153:a
2126:a
2122:+
2113:a
2109:+
2100:a
2096:+
2087:a
2083:+
2074:a
2062:,
2044:a
2040:+
2031:a
2027:+
2018:a
2014:+
2005:a
2001:+
1992:a
1965:a
1961:+
1952:a
1948:+
1939:a
1935:+
1926:a
1922:+
1913:a
1888:s
1885:=
1876:a
1872:+
1863:a
1859:+
1850:a
1846:+
1837:a
1833:+
1824:a
1813:s
1784:a
1767:a
1750:a
1733:a
1716:a
1696:a
1679:a
1662:a
1645:a
1628:a
1608:a
1591:a
1574:a
1557:a
1540:a
1520:a
1503:a
1486:a
1469:a
1452:a
1432:a
1415:a
1398:a
1381:a
1364:a
1299:5
1282:9
1276:3
1268:1
1259:7
1245:4
1228:8
1205:e
1201:d
1197:c
1193:b
1189:!
1178:9
1175:6
1161:3
1150:2
1144:8
1136:7
1130:1
1120:e
1113:d
1106:c
1099:b
1090:e
1086:d
1082:c
1078:b
1074:a
1054:c
1050:b
1046:a
1041:e
1037:a
1032:d
1028:b
1024:a
1019:e
1015:d
1011:c
1007:a
1000:d
996:a
991:e
987:d
983:c
979:b
975:a
970:c
966:a
961:e
957:b
953:a
946:e
942:c
938:a
933:b
929:a
924:e
920:d
916:a
911:d
907:c
903:b
899:a
892:e
888:d
884:b
880:a
875:d
871:c
867:a
862:e
858:c
854:b
850:a
845:a
790:s
784:3
781:1
750:s
747:=
738:a
734:3
710:s
707:=
698:a
694:3
670:,
661:a
657:+
648:a
644:+
635:a
604:a
600:+
591:a
587:+
578:a
553:s
550:3
520:a
516:+
507:a
503:+
494:a
469:,
460:a
456:+
447:a
443:+
434:a
410:,
401:a
397:+
388:a
384:+
375:a
350:s
313:a
294:a
277:a
257:a
238:a
221:a
201:a
182:a
165:a
119:2
115:n
111:8
91:n
85:n
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.