2398:
1959:
2393:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}\right)\mathbf {\hat {z}} }
2824:
17:
1406:
2591:
1944:
102:
1193:
2819:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}
1219:
1599:
1723:
988:
999:
2580:
1401:{\displaystyle \nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} }
1421:
1939:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}}
1708:
261:
846:
698:
3759:
3937:
105:
Parabolic coordinate system showing curves of constant σ and τ the horizontal and vertical axes are the x and y coordinates respectively. These coordinates are projected along the z-axis, and so this diagram will hold for any value of the z
1188:{\displaystyle d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}} }
835:
2452:
547:
3054:
4064:
1594:{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
1616:
336:
151:
421:
3498:
3238:
983:{\displaystyle d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}} }
3579:
2596:
2457:
602:
156:
3394:
3116:
597:
4313:
3593:
2920:
3765:
23:
of parabolic cylindrical coordinates. The red parabolic cylinder corresponds to Ļ=2, whereas the yellow parabolic cylinder corresponds to Ļ=1. The blue plane corresponds to
714:
3285:
2575:{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}
4467:
76:
456:
4306:
3954:
are now the product of the solutions. The combination will reduce the number of constants and the general solution to
Laplace's equation may be written:
2937:
4472:
4299:
4270:
3960:
568:
1703:{\displaystyle \mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }
4235:
4142:
256:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}
4417:
278:
4432:
360:
4407:
4075:
3423:
3144:
3504:
4402:
4382:
553:
4322:
4108:
3585:
3293:
4387:
4377:
4336:
693:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}}
32:
4361:
3071:
4356:
3754:{\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}
4397:
2866:
3932:{\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}
4427:
4412:
4341:
4113:
4087:
2857:
2428:
2416:
48:
4351:
4345:
4103:
830:{\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz}
127:
55:
4079:
16:
4442:
4422:
4286:
4437:
3253:
2856:, Laplace's equation is separable in parabolic cylindrical coordinates. Using the technique of the
4265:(corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 21ā24 (Table 1.04).
4083:
1950:
557:
4263:
Field Theory
Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions
4172:
4266:
4231:
4214:
4197:
4176:
4148:
4138:
79:
51:
20:
90:
4189:
4130:
4126:
542:{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}
4165:
4160:
4091:
61:
4461:
560:
89:
cylinders. Parabolic cylindrical coordinates have found many applications, e.g., the
433:. The foci of all these parabolic cylinders are located along the line defined by
4291:
3049:{\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}
40:
101:
1714:
4074:
The classic applications of parabolic cylindrical coordinates are in solving
1412:
564:
2853:
1210:
86:
83:
4261:
Moon P, Spencer DE (1988). "Parabolic-Cylinder
Coordinates (Ī¼, Ī½, z)".
4059:{\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}}
2585:
Parabolic unit vectors expressed in terms of
Cartesian unit vectors:
2415:
by substituting the scale factors into the general formulae found in
100:
15:
2403:
Other differential operators can be expressed in the coordinates
4218:
4201:
4180:
4152:
4295:
2860:, a separated solution to Laplace's equation may be written:
579:
The scale factors for the parabolic cylindrical coordinates
331:{\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}
4287:
MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates
416:{\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}
3493:{\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}
3233:{\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}}
3963:
3768:
3596:
3574:{\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}
3507:
3426:
3296:
3256:
3147:
3074:
2940:
2869:
2594:
2455:
1962:
1726:
1619:
1424:
1222:
1002:
849:
717:
600:
459:
363:
281:
154:
64:
4370:
4329:
4094:surrounding a flat semi-infinite conducting plate.
426:that open in the opposite direction, i.e., towards
4242:Same as Morse & Feshbach (1953), substituting
4194:Mathematical Handbook for Scientists and Engineers
4164:
4058:
3931:
3753:
3573:
3492:
3389:{\displaystyle \left=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}
3388:
3279:
3232:
3110:
3048:
2914:
2818:
2574:
2392:
1938:
1702:
1593:
1400:
1187:
982:
829:
692:
541:
415:
330:
255:
70:
3065:equation is separate from the rest, we may write
2806:
2787:
2696:
2605:
2384:
2196:
2082:
1694:
1669:
1644:
1392:
1357:
1290:
1179:
1117:
1061:
974:
952:
902:
54:that results from projecting the two-dimensional
4230:. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114.
4307:
3111:{\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}
8:
840:The differential displacement is given by:
27:=2. These surfaces intersect at the point
4314:
4300:
4292:
993:The differential normal area is given by:
4213:. New York: Springer Verlag. p. 96.
4050:
4037:
4024:
4011:
3995:
3962:
3916:
3896:
3890:
3877:
3867:
3847:
3827:
3821:
3808:
3798:
3773:
3767:
3738:
3721:
3715:
3702:
3692:
3672:
3655:
3649:
3636:
3626:
3601:
3595:
3584:The solutions to these equations are the
3553:
3540:
3530:
3509:
3508:
3506:
3472:
3459:
3449:
3428:
3427:
3425:
3411:functions and introduce another constant
3377:
3364:
3351:
3324:
3322:
3304:
3302:
3295:
3287:, Laplace's equation may now be written:
3269:
3258:
3257:
3255:
3215:
3210:
3204:
3185:
3180:
3174:
3152:
3146:
3102:
3077:
3075:
3073:
3025:
3023:
3000:
2998:
2980:
2978:
2964:
2951:
2941:
2939:
2868:
2801:
2800:
2782:
2781:
2768:
2755:
2738:
2736:
2735:
2718:
2716:
2715:
2709:
2691:
2690:
2677:
2664:
2647:
2645:
2644:
2627:
2625:
2624:
2618:
2600:
2599:
2595:
2593:
2540:
2527:
2508:
2456:
2454:
2379:
2378:
2351:
2339:
2326:
2320:
2309:
2284:
2272:
2259:
2253:
2242:
2228:
2215:
2205:
2191:
2190:
2168:
2158:
2138:
2128:
2119:
2106:
2096:
2077:
2076:
2054:
2044:
2024:
2014:
2005:
1992:
1982:
1969:
1961:
1919:
1909:
1881:
1869:
1856:
1850:
1841:
1818:
1806:
1793:
1787:
1778:
1764:
1751:
1741:
1733:
1725:
1689:
1688:
1682:
1664:
1663:
1657:
1639:
1638:
1632:
1620:
1618:
1582:
1564:
1557:
1540:
1522:
1515:
1503:
1485:
1478:
1464:
1451:
1441:
1429:
1423:
1387:
1386:
1366:
1352:
1351:
1331:
1322:
1309:
1299:
1285:
1284:
1264:
1255:
1242:
1232:
1221:
1174:
1173:
1166:
1159:
1148:
1135:
1112:
1111:
1104:
1097:
1089:
1076:
1070:
1056:
1055:
1048:
1041:
1033:
1020:
1014:
1006:
1001:
969:
968:
967:
947:
946:
945:
938:
930:
917:
911:
897:
896:
895:
888:
880:
867:
861:
853:
848:
820:
813:
798:
785:
751:
741:
731:
716:
670:
654:
641:
635:
626:
609:
601:
599:
528:
515:
496:
485:
472:
466:
458:
407:
392:
382:
376:
362:
322:
307:
297:
291:
280:
221:
208:
189:
155:
153:
63:
4211:Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs
4167:The Mathematics of Physics and Chemistry
2915:{\displaystyle V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)}
2423:Relationship to other coordinate systems
2693:
2602:
2193:
2079:
1666:
1641:
1354:
1287:
1114:
1058:
949:
899:
708:The infinitesimal element of volume is
4196:. New York: McGraw-Hill. p. 181.
4171:. New York: D. van Nostrand. pp.
4137:. New York: McGraw-Hill. p. 658.
4135:Methods of Theoretical Physics, Part I
2834:Since all of the surfaces of constant
110:The parabolic cylindrical coordinates
4086:, for which such coordinates allow a
3942:The parabolic cylinder harmonics for
31:(shown as a black sphere), which has
7:
4468:Three-dimensional coordinate systems
2925:and Laplace's equation, divided by
348:, whereas the surfaces of constant
4090:. A typical example would be the
2364:
2312:
2297:
2245:
2176:
2161:
2146:
2131:
2062:
2047:
2032:
2017:
1963:
1927:
1912:
1892:
1844:
1829:
1781:
1727:
1575:
1561:
1533:
1519:
1496:
1482:
1426:
1377:
1369:
1342:
1334:
1275:
1267:
1223:
552:that proves useful in solving the
354:form confocal parabolic cylinders
272:form confocal parabolic cylinders
14:
556:in parabolic coordinates for the
45:parabolic cylindrical coordinates
2803:
2784:
2739:
2719:
2648:
2628:
2381:
1970:
1734:
1691:
1621:
1389:
1176:
1007:
971:
854:
1610:be a vector field of the form:
567:; for further details, see the
4076:partial differential equations
3985:
3967:
3926:
3883:
3857:
3814:
3788:
3782:
3748:
3708:
3682:
3642:
3616:
3610:
3559:
3523:
3478:
3442:
3383:
3357:
3164:
3158:
2909:
2903:
2897:
2891:
2885:
2879:
2743:
2723:
2652:
2632:
1887:
1847:
1824:
1784:
804:
778:
1:
4473:Orthogonal coordinate systems
4323:Orthogonal coordinate systems
3280:{\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}
450:has a simple formula as well
4109:Orthogonal coordinate system
3586:parabolic cylinder functions
2830:Parabolic cylinder harmonics
126:are defined in terms of the
56:parabolic coordinate system
4489:
4209:Sauer R, SzabĆ³ I (1967).
569:LaplaceāRungeāLenz vector
266:The surfaces of constant
3399:We may now separate the
1209:be a scalar field. The
554:HamiltonāJacobi equation
78:-direction. Hence, the
47:are a three-dimensional
4228:Handbook of Integration
4114:Curvilinear coordinates
4088:separation of variables
2858:separation of variables
2429:cylindrical coordinates
4060:
3933:
3755:
3575:
3494:
3390:
3281:
3234:
3112:
3050:
2916:
2820:
2576:
2417:orthogonal coordinates
2394:
1940:
1704:
1595:
1402:
1189:
984:
831:
694:
543:
417:
332:
257:
107:
72:
36:
4226:Zwillinger D (1992).
4104:Parabolic coordinates
4061:
3934:
3756:
3576:
3495:
3391:
3282:
3235:
3113:
3051:
2917:
2821:
2577:
2395:
1941:
1705:
1596:
1403:
1190:
985:
832:
704:Differential elements
695:
544:
418:
333:
258:
128:Cartesian coordinates
104:
73:
58:in the perpendicular
35:roughly (2, -1.5, 2).
33:Cartesian coordinates
19:
4418:Elliptic cylindrical
4163:, Murphy GM (1956).
3961:
3766:
3594:
3505:
3424:
3294:
3254:
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