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7679:
1279:
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3189:
2160:
2017:
3764:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}
2557:
3353:
3940:
2315:
1807:
1543:
2863:
1418:
2867:
Given a norm, one can evaluate both sides of the parallelogram law above. A remarkable fact is that if the parallelogram law holds, then the norm must arise in the usual way from some inner product. In particular, it holds for the
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514:
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2683:
1297:
6448:
5729:
1875:
As a consequence of this definition, in an inner product space the parallelogram law is an algebraic identity, readily established using the properties of the inner product:
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550:
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6301:
5926:
4980:
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5625:
3802:
2928:
For any norm satisfying the parallelogram law (which necessarily is an inner product norm), the inner product generating the norm is unique as a consequence of the
2915:
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6085:
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4641:
4473:
4237:
30:
The sides of parallelogram ABCD are shown in blue and the diagonals in red. The sum of the areas of the blue squares equal that of the red ones.
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5296:
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5957:
4836:
4619:
4361:
4120:
4021:
3184:{\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ or }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}
2582:
do not have inner products, but all normed vector spaces have norms (by definition). For example, a commonly used norm for a vector
2155:{\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}
2012:{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}
1822:
1193:
6336:
4754:
4597:
837:
269:
5065:
2552:{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}
5981:
5284:
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6702:
6208:
5301:
5274:
4920:
4589:
3348:{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}
6142:
5824:
5117:
5107:
5025:
4437:
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5558:
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6782:
6692:
6572:
6341:
3986:
3805:
3935:{\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}
3778:
Another necessary and sufficient condition for there to exist an inner product that induces the given norm
7635:
7583:
7482:
7310:
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4742:
4578:
4572:
4459:
4335:
4304:
4223:
2560:
481:
54:
equals the sum of the squares of the lengths of the two diagonals. We use these notations for the sides:
7683:
7535:
7320:
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7068:
6870:
6777:
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5916:
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5215:
5168:
4905:
4567:
4534:
4507:
4386:
4340:
4283:
3980:
2929:
2654:
2310:{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}
7691:
7379:
5205:
2659:
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7564:
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1802:{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}
7571:
7442:
7359:
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7103:
7051:
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6178:
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4401:
4278:
4149:
1538:{\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y}
26:
7212:
7202:
7096:
6822:
6193:
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6095:
6090:
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5247:
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5147:
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4968:
4935:
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4861:
4853:
4781:
4749:
4614:
4546:
4381:
2891:
6020:
3380:
2858:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}
1413:{\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}
432:
3426:
2343:
1683:
and then simplifying. With the same proof, the parallelogram law is also equivalent to:
1663:
1594:
1181:{\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}
7472:
7467:
7295:
7187:
7167:
6995:
6552:
6522:
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5832:
5780:
5697:
5440:
5306:
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4514:
3406:
3360:
2871:
2689:
2576:
2323:
700:
641:
517:
404:
16:
The sum of the squares of the 4 sides of a parallelogram equals that of the 2 diagonals
4183:
7710:
7432:
7300:
7270:
7091:
6899:
6842:
6387:
6311:
6040:
6025:
6015:
5837:
5643:
5450:
5404:
5372:
5339:
5190:
5185:
5178:
4799:
4732:
4705:
4524:
4497:
4274:
4246:
1816:
455:
for a parallelogram, and so the general formula simplifies to the parallelogram law.
265:
51:
7374:
7162:
6837:
6597:
6587:
6377:
6030:
6000:
5349:
5344:
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4657:
4502:
4482:
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1287:
463:
422:
6988:
6876:
6582:
6567:
6306:
6296:
6203:
6005:
5638:
5554:
5460:
5445:
5425:
5399:
5364:
4915:
4878:
4551:
4396:
3983: â Formula relating the norm and the inner product in a inner product space
3772:
2572:
1278:
35:
50:. It states that the sum of the squares of the lengths of the four sides of a
6974:
6893:
6832:
6827:
6767:
6752:
6697:
6682:
6637:
6577:
6562:
6542:
6512:
6477:
6239:
6079:
6075:
6071:
5743:
5704:
5394:
5359:
5200:
4948:
4710:
4106:
6727:
6712:
6662:
6557:
6547:
6532:
6502:
6426:
5470:
4715:
4679:
4188:
3989: â inequality relating the six distances between four points on a plane
178:
20:
6864:
6642:
6487:
5773:
5736:
5620:
5546:
5506:
5409:
5232:
3019:{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}
426:
47:
3965: â Generalization of the dot product; used to define Hilbert spaces
7437:
6762:
6757:
6657:
6647:
6622:
5541:
5375: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
4624:
4161:
1545:
because the reverse inequality can be obtained from it by substituting
1422:
The parallelogram law is equivalent to the seemingly weaker statement:
4451:
6732:
6607:
2686:
4153:
7108:
7086:
6742:
4344:
1277:
462:
25:
4215:
1290:, the statement of the parallelogram law is an equation relating
827:{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}
394:{\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}
6430:
5946:
4455:
4219:
74:
a parallelogram necessarily has opposite sides equal, that is,
4201:
3959: â Italian mathematician and military officer (1734â1798)
2932:. In the real case, the polarization identity is given by:
3446:
the evaluation of the inner product proceeds as follows:
4013:
Modern mathematical methods for physicists and engineers
429:
of the diagonals. It can be seen from the diagram that
4083:{\textstyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}
4038:
3681:
3546:
2407:
and the above equation for the norm of a sum becomes:
1620:
1551:
5861:
5787:
5749:
5710:
5658:
5561:
5512:
3814:
3784:
3452:
3429:
3409:
3383:
3363:
3199:
3032:
2938:
2894:
2874:
2714:
2692:
2662:
2588:
2567:
Normed vector spaces satisfying the parallelogram law
2413:
2369:
2346:
2326:
2170:
2024:
1881:
1825:
1689:
1666:
1597:
1428:
1300:
1196:
1039:
993:
905:
845:
741:
709:
654:
558:
526:
484:
435:
407:
278:
195:
96:
4032: â 2, there is no inner product such that
3991:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
978:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}
631:{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}
7623:
7501:
7451:
7425:
7347:
7329:
7228:
7221:
7077:
7039:
6856:
6464:
6365:
6289:
6268:
6227:
6166:
6108:
6054:
5989:
5904:
5489:
5418:
5327:
5161:
5006:
4934:
4780:
4693:
4607:
4490:
4410:
4354:
4323:
4297:
4253:
3977: â Vector space on which a distance is defined
6302:Spectral theory of ordinary differential equations
5889:
5813:
5762:
5723:
5686:
5596:
5530:
4082:
3971: â Mathematical metric in normed vector space
3934:
3796:
3763:
3438:
3415:
3395:
3369:
3347:
3183:
3018:
2909:
2880:
2857:
2698:
2677:
2645:
2551:
2399:
2355:
2332:
2309:
2154:
2011:
1865:
1801:
1675:
1652:
1606:
1583:
1537:
1412:
1263:
1180:
1025:
977:
891:
826:
727:
691:
630:
544:
508:
447:
413:
393:
252:
167:
470:In the parallelogram on the right, let AD = BC =
3953: â Property of some mathematical operations
692:{\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}
168:{\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}
5814:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
1866:{\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}
6442:
5958:
5922:Mathematical formulation of quantum mechanics
4467:
4231:
4138:"Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric"
2646:{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
1274:The parallelogram law in inner product spaces
8:
4207:The Parallelogram Law: A Proof Without Words
4071:
4064:
4056:
4041:
3905:
3899:
3895:
3883:
3871:
3865:
3861:
3849:
3837:
3831:
3827:
3815:
3791:
3785:
3520:
3507:
3495:
3482:
3469:
3457:
3327:
3311:
3299:
3283:
3259:
3246:
3234:
3221:
3212:
3200:
3163:
3150:
3138:
3131:
3119:
3112:
3087:
3080:
3068:
3061:
3049:
3036:
2998:
2985:
2973:
2960:
2951:
2939:
2722:
2715:
2537:
2530:
2518:
2511:
2505:
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2475:
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2451:
2439:
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2385:
2370:
2295:
2288:
2273:
2266:
2257:
2245:
2236:
2224:
2209:
2196:
2184:
2171:
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2134:
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2116:
2110:
2098:
2092:
2080:
2074:
2050:
2038:
2025:
2003:
1991:
1985:
1973:
1967:
1955:
1949:
1937:
1931:
1907:
1895:
1882:
1857:
1845:
1833:
1826:
1772:
1765:
1750:
1743:
1728:
1715:
1703:
1690:
1511:
1498:
1486:
1473:
1461:
1454:
1439:
1432:
1383:
1370:
1358:
1345:
1333:
1326:
1311:
1304:
1264:{\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}
892:{\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}
4016:. Cambridge University Press. p. 535.
1653:{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}
1584:{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}
7455:
7225:
6449:
6435:
6427:
5993:
5965:
5951:
5943:
4474:
4460:
4452:
4238:
4224:
4216:
1282:Vectors involved in the parallelogram law.
5878:
5860:
5801:
5797:
5796:
5786:
5754:
5748:
5715:
5709:
5663:
5657:
5597:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
5587:
5586:
5577:
5566:
5560:
5511:
4074:
4039:
4037:
3909:
3898:
3864:
3830:
3813:
3783:
3724:
3714:
3704:
3680:
3659:
3654:
3647:
3634:
3625:
3619:
3606:
3601:
3594:
3581:
3572:
3566:
3545:
3523:
3498:
3479:
3453:
3451:
3428:
3408:
3382:
3362:
3330:
3302:
3280:
3262:
3237:
3218:
3198:
3166:
3141:
3122:
3109:
3103:
3090:
3071:
3052:
3033:
3031:
3001:
2976:
2957:
2937:
2893:
2873:
2842:
2838:
2827:
2822:
2815:
2806:
2791:
2786:
2779:
2770:
2761:
2756:
2749:
2740:
2725:
2713:
2691:
2669:
2665:
2664:
2661:
2634:
2615:
2602:
2587:
2540:
2521:
2430:
2412:
2368:
2345:
2325:
2298:
2276:
2212:
2187:
2169:
2041:
2023:
1898:
1880:
1836:
1824:
1782:
1775:
1753:
1731:
1706:
1688:
1665:
1621:
1619:
1596:
1552:
1550:
1521:
1514:
1489:
1464:
1442:
1427:
1393:
1386:
1361:
1336:
1314:
1299:
1252:
1236:
1220:
1204:
1195:
1190:Simplifying this expression, it becomes:
1142:
1129:
1089:
1076:
1063:
1047:
1038:
1017:
1001:
992:
966:
923:
910:
904:
859:
844:
815:
790:
759:
746:
740:
708:
674:
653:
619:
576:
563:
557:
525:
483:
434:
406:
382:
366:
350:
334:
318:
302:
286:
277:
244:
225:
206:
194:
181:, the two diagonals are of equal lengths
164:
158:
142:
126:
107:
95:
6255:Group algebra of a locally compact group
2400:{\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}
268:(with four sides not necessarily equal)
5687:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
4002:
253:{\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}
7478:Latin translations of the 12th century
5927:Ordinary Differential Equations (ODEs)
5041:BanachâSteinhaus (Uniform boundedness)
7208:Straightedge and compass construction
4094:-norm violates the parallelogram law.
7:
7173:Incircle and excircles of a triangle
3193:In the complex case it is given by:
4198:The Parallelogram Law Proven Simply
1815:, the norm is determined using the
509:{\displaystyle \angle BAD=\alpha .}
5755:
5716:
5678:
5522:
710:
655:
527:
485:
14:
5419:Subsets / set operations
5196:Differentiation in Fréchet spaces
4362:Compact operator on Hilbert space
260:and the statement reduces to the
7690:
7677:
6411:
6410:
6337:Topological quantum field theory
2678:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5724:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
3908:
3108:
3102:
1781:
1520:
1392:
7510:A History of Greek Mathematics
7023:The Quadrature of the Parabola
5884:
5865:
5681:
5675:
5591:
5583:
5525:
5519:
5113:Lomonosov's invariant subspace
5036:BanachâSchauder (open mapping)
3655:
3626:
3602:
3573:
2823:
2807:
2787:
2771:
2757:
2741:
2640:
2595:
2164:Adding these two expressions:
1172:
1166:
1119:
1113:
953:
947:
871:
852:
802:
783:
728:{\displaystyle \triangle ADC,}
606:
600:
545:{\displaystyle \triangle BAD,}
1:
7722:Theorems about quadrilaterals
6133:Uniform boundedness principle
4112:Beginning functional analysis
1026:{\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}
899:to the former result proves:
270:Euler's quadrilateral theorem
7291:Intersecting secants theorem
4998:Singular value decomposition
21:Parallelogram rule (physics)
7286:Intersecting chords theorem
7153:Doctrine of proportionality
5763:{\displaystyle L^{\infty }}
5531:{\displaystyle ba(\Sigma )}
5400:Radially convex/Star-shaped
4010:Cantrell, Cyrus D. (2000).
3911: for all vectors
3804:is for the norm to satisfy
90:, the law can be stated as
38:, the simplest form of the
7738:
6982:On the Sphere and Cylinder
6935:On the Sizes and Distances
6276:Invariant subspace problem
5890:{\displaystyle W(X,L^{p})}
4331:Hilbert projection theorem
3797:{\displaystyle \|\cdot \|}
177:If the parallelogram is a
18:
7684:Ancient Greece portal
7673:
7488:Philosophy of mathematics
7458:
7403:Ptolemy's table of chords
6458:Ancient Greek mathematics
6406:
5996:
5436:Algebraic interior (core)
5051:CauchyâSchwarz inequality
4694:Function space Topologies
4310:CauchyâSchwarz inequality
7355:Aristarchus's inequality
6928:On Conoids and Spheroids
6245:Spectrum of a C*-algebra
4136:Apostol, Tom M. (1967).
4115:. Springer. p. 10.
46:) belongs to elementary
19:Not to be confused with
7463:Ancient Greek astronomy
7276:Inscribed angle theorem
7266:Greek geometric algebra
6921:Measurement of a Circle
6342:Noncommutative geometry
3357:For example, using the
987:Now the sum of squares
7697:Mathematics portal
7483:Non-Euclidean geometry
7438:Mouseion of Alexandria
7311:Tangent-secant theorem
7261:Geometric mean theorem
7246:Exterior angle theorem
7241:Angle bisector theorem
6945:On Sizes and Distances
6398:TomitaâTakesaki theory
6373:Approximation property
6317:Calculus of variations
5891:
5815:
5764:
5725:
5688:
5598:
5532:
4701:BanachâMazur compactum
4491:Types of Banach spaces
4084:
3936:
3798:
3771:which is the standard
3765:
3440:
3417:
3397:
3371:
3349:
3185:
3020:
2911:
2882:
2859:
2700:
2679:
2647:
2553:
2401:
2357:
2334:
2311:
2156:
2013:
1867:
1803:
1677:
1654:
1608:
1585:
1539:
1414:
1283:
1265:
1182:
1027:
979:
893:
838:trigonometric identity
828:
729:
693:
632:
546:
510:
467:
449:
415:
395:
254:
169:
44:parallelogram identity
31:
7385:Pappus's area theorem
7321:Theorem of the gnomon
7198:Quadratrix of Hippias
7121:Circles of Apollonius
7069:Problem of Apollonius
7047:Constructible numbers
6871:Archimedes Palimpsest
6393:BanachâMazur distance
6356:Generalized functions
5917:Finite element method
5912:Differential operator
5892:
5816:
5765:
5726:
5689:
5599:
5533:
5373:Convex series related
5169:Abstract Wiener space
5096:hyperplane separation
4651:Minkowski functionals
4535:Polarization identity
4341:Polarization identity
4284:Orthogonal complement
4085:
3981:Polarization identity
3937:
3799:
3766:
3441:
3418:
3398:
3372:
3350:
3186:
3021:
2930:polarization identity
2912:
2888:-norm if and only if
2883:
2860:
2701:
2680:
2655:real coordinate space
2648:
2554:
2402:
2358:
2335:
2312:
2157:
2014:
1868:
1804:
1678:
1655:
1609:
1586:
1540:
1415:
1281:
1266:
1183:
1033:can be expressed as:
1028:
980:
894:
829:
730:
694:
633:
547:
511:
466:
450:
421:is the length of the
416:
396:
255:
170:
29:
7601:prehistoric counting
7398:Ptolemy's inequality
7339:Apollonius's theorem
7178:Method of exhaustion
7148:Diophantine equation
7138:Circumscribed circle
6955:On the Moving Sphere
6138:Kakutani fixed-point
6123:Riesz representation
5859:
5785:
5747:
5708:
5656:
5559:
5510:
5499:Absolute continuity
5153:Schauder fixed-point
5143:Riesz representation
5103:Kakutani fixed-point
5071:Freudenthal spectral
4557:L-semi-inner product
4315:Riesz representation
4270:L-semi-inner product
4142:Mathematics Magazine
4036:
3987:Ptolemy's inequality
3951:Commutative property
3812:
3806:Ptolemy's inequality
3782:
3450:
3427:
3407:
3381:
3361:
3197:
3030:
2936:
2910:{\displaystyle p=2,}
2892:
2872:
2712:
2690:
2660:
2586:
2580:normed vector spaces
2411:
2367:
2344:
2324:
2168:
2022:
1879:
1823:
1687:
1664:
1618:
1595:
1549:
1426:
1298:
1194:
1037:
991:
903:
843:
739:
707:
652:
640:In a parallelogram,
556:
524:
482:
433:
405:
276:
193:
94:
7687: •
7493:Neusis construction
7413:Spiral of Theodorus
7306:Pythagorean theorem
7251:Euclidean algorithm
7193:Lune of Hippocrates
7062:Squaring the circle
6818:Theon of Alexandria
6493:Aristaeus the Elder
6322:Functional calculus
6281:Mahler's conjecture
6260:Von Neumann algebra
5974:Functional analysis
5582:
5320:measurable function
5270:Functional calculus
5133:Parseval's identity
5046:Bessel's inequality
4993:Polar decomposition
4772:Uniform convergence
4530:Inner product space
4336:Parseval's identity
4305:Bessel's inequality
4184:"Parallelogram Law"
3975:Normed vector space
3963:Inner product space
3396:{\displaystyle p=2}
3026:or equivalently by
2561:Pythagoras' theorem
1813:inner product space
1784: for all
1523: for all
1395: for all
448:{\displaystyle x=0}
262:Pythagorean theorem
7717:Euclidean geometry
7380:Menelaus's theorem
7370:Irrational numbers
7183:Parallel postulate
7158:Euclidean geometry
7126:Apollonian circles
6668:Isidore of Miletus
6347:Riemann hypothesis
6046:Topological vector
5932:Validated numerics
5887:
5843:Sobolev inequality
5811:
5760:
5721:
5684:
5613:Bounded variation
5594:
5562:
5547:Banach coordinate
5528:
5466:Minkowski addition
5128:M. Riesz extension
4608:Banach spaces are:
4181:Weisstein, Eric W.
4080:
3969:Minkowski distance
3932:
3794:
3761:
3759:
3709:
3690:
3624:
3571:
3555:
3439:{\displaystyle y,}
3436:
3413:
3393:
3367:
3345:
3181:
3016:
2907:
2878:
2855:
2696:
2675:
2643:
2549:
2397:
2356:{\displaystyle y,}
2353:
2330:
2307:
2152:
2009:
1863:
1799:
1676:{\displaystyle y,}
1673:
1650:
1607:{\displaystyle x,}
1604:
1581:
1535:
1410:
1284:
1261:
1178:
1023:
975:
889:
824:
725:
689:
628:
542:
506:
468:
445:
411:
391:
264:. For the general
250:
165:
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32:
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7703:
7669:
7668:
7421:
7420:
7408:Ptolemy's theorem
7281:Intercept theorem
7131:Apollonian gasket
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7030:The Sand Reckoner
6424:
6423:
6327:Integral operator
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5939:
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5634:compact Hausdorff
5481:Relative interior
5335:Absolutely convex
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4837:on Hilbert spaces
4598:of Hilbert spaces
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4448:
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3403:and real vectors
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3100:
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2333:{\displaystyle x}
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42:(also called the
40:parallelogram law
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7682:
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7680:
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7390:Problem II.8 of
7360:Crossbar theorem
7316:Thales's theorem
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70:. But since in
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