2095:
1758:
2347:
2090:{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\alpha \beta \gamma \left({\frac {1+\alpha }{\gamma }}\right)\left({\frac {1+\gamma }{\alpha }}\right)=\beta (1+\alpha )(1+\gamma )\\&=\beta +\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \beta \gamma =\beta +(1+\delta )+(1+\varepsilon )+\alpha (1+\varepsilon )\\&=2+\alpha +\beta +\delta +\varepsilon +1+\gamma \\&=3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \end{aligned}}}
2106:
30:
1406:
3655:
1590:
2342:{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &={\sqrt {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}\varepsilon ^{2}}}\\&={\sqrt {\gamma \delta \cdot \delta \varepsilon \cdot \varepsilon \alpha \cdot \alpha \beta \cdot \beta \gamma }}\\&={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}\end{aligned}}}
2571:
2765:
1263:
1421:
2357:
1252:
19:
2576:
1401:{\displaystyle {\begin{aligned}1+\alpha &=\gamma \delta &1+\beta &=\delta \varepsilon &1+\gamma &=\alpha \varepsilon \\1+\delta &=\alpha \beta &1+\varepsilon &=\beta \gamma .\end{aligned}}}
1695:
1585:{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\;3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \\&=\;{\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}.\end{aligned}}}
932:
1088:
2566:{\displaystyle (1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\varepsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon e^{iA_{PQRST}},}
1727:
3083:
2966:
2898:
2111:
1763:
1426:
1268:
3507:
3432:
3370:
3308:
3246:
3138:
3183:
2760:{\displaystyle A_{PQRST}=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)}
173:
137:
101:
3026:
2991:
445:
309:
3527:
2837:
2797:
832:
711:
1068:
1042:
1016:
990:
964:
677:
65:
1747:
797:
754:
651:
628:
605:
582:
559:
536:
513:
490:
467:
412:
195:
774:
731:
389:
369:
349:
329:
238:
1598:
841:
3686:
3659:
2843:(a projection from the centre of the sphere) onto any plane tangent to the sphere is a rectilinear pentagon. Its five vertices
3573:
1700:
1257:
The following identities hold, allowing the determination of any three of the above quantities from the two remaining ones:
1247:{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST).}
2900:
835:
225:
3436:
3000:
3691:
3671:
3374:
3312:
3250:
3188:
3088:
251:
937:
258:
247:
34:
3616:
277:
On a sphere, both the angles and the sides of a triangle (arcs of great circles) are measured as angles.
3546:
266:
33:
Relations between the angles and sides of five right triangles adjacent to the inner pentagon. Their
3142:
2840:
3031:
2914:
2846:
141:
105:
69:
3550:
419:
283:
3632:
3592:
3512:
2810:
2770:
805:
684:
1047:
1021:
995:
969:
943:
656:
44:
3006:
2971:
2968:(lines passing through vertices and perpendicular to opposite sides) cross in one point
1732:
779:
736:
633:
610:
587:
564:
541:
518:
495:
472:
449:
394:
177:
3577:
759:
716:
374:
354:
334:
314:
255:
221:
38:
29:
18:
3680:
3612:
2996:
2904:
218:
210:
233:
229:
3625:
The London, Edinburgh, and Dublin
Philosophical Magazine and Journal of Science
3665:
3636:
1690:{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)}
3597:
3654:
3557:. Göttingen: Königliche Gesellschaft der Wissenschaften. pp. 481–490.
1071:
2908:
2993:, which is the image of the point of tangency of the plane to sphere.
713:, every vertex is the pole of the opposite side. For instance, point
214:
927:{\displaystyle \angle APT=\angle BPQ=RS,\;\angle BQP=\angle CQR=ST,}
206:
28:
17:
838:
is equal in measure to the opposite side. For instance,
1722:{\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \varepsilon }
3515:
3439:
3377:
3315:
3253:
3191:
3145:
3091:
3034:
3009:
2974:
2917:
2849:
2813:
2773:
2579:
2360:
2109:
1761:
1735:
1703:
1601:
1424:
1266:
1091:
1050:
1024:
998:
972:
946:
844:
808:
782:
762:
739:
719:
687:
659:
636:
613:
590:
567:
544:
521:
498:
475:
452:
422:
397:
377:
357:
337:
317:
286:
180:
144:
108:
72:
47:
3521:
3501:
3426:
3364:
3302:
3240:
3177:
3132:
3077:
3020:
2985:
2960:
2892:
2831:
2791:
2759:
2565:
2341:
2089:
1741:
1721:
1689:
1584:
1400:
1246:
1062:
1036:
1010:
984:
958:
926:
826:
791:
768:
748:
725:
705:
671:
645:
622:
599:
576:
553:
530:
507:
484:
461:
439:
406:
383:
363:
343:
323:
303:
189:
167:
131:
95:
59:
2497:
2440:
2383:
1411:Gauss proved the following "beautiful equality" (
3502:{\displaystyle x_{5}x_{3}+y_{5}y_{3}=-\rho ^{2}}
261:(two angles and three sides). The properties of
244:Description of the Admirable Table of Logarithms
2911:. Gauss showed that the altitudes of pentagram
8:
280:There are five right angles, each measuring
3529:is the length of the radius of the sphere.
2100:Proof of the second part of the equality:
1595:It is satisfied, for instance, by numbers
1495:
1451:
884:
3596:
3568:
3566:
3564:
3514:
3493:
3477:
3467:
3454:
3444:
3438:
3415:
3405:
3392:
3382:
3376:
3353:
3343:
3330:
3320:
3314:
3291:
3281:
3268:
3258:
3252:
3229:
3219:
3206:
3196:
3190:
3166:
3153:
3144:
3112:
3099:
3090:
3033:
3008:
2999:observed that, if we set the origin of a
2973:
2916:
2848:
2812:
2772:
2749:
2734:
2729:
2721:
2706:
2701:
2693:
2678:
2673:
2665:
2650:
2645:
2637:
2622:
2617:
2584:
2578:
2540:
2532:
2496:
2492:
2487:
2465:
2439:
2435:
2430:
2408:
2382:
2378:
2373:
2359:
2256:
2200:
2182:
2172:
2162:
2152:
2142:
2136:
2110:
2108:
1827:
1801:
1762:
1760:
1752:Proof of the first part of the equality:
1734:
1702:
1676:
1650:
1600:
1496:
1425:
1423:
1267:
1265:
1223:
1201:
1179:
1157:
1135:
1090:
1049:
1023:
997:
971:
945:
843:
807:
781:
761:
738:
718:
686:
658:
635:
612:
589:
566:
543:
520:
497:
474:
451:
426:
421:
396:
376:
356:
336:
316:
290:
285:
239:Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
179:
148:
143:
112:
107:
76:
71:
46:
3538:
3427:{\displaystyle x_{4}x_{2}+y_{4}y_{2}=}
3365:{\displaystyle x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}=}
3303:{\displaystyle x_{2}x_{5}+y_{2}y_{5}=}
3241:{\displaystyle x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}=}
3133:{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,}
7:
3028:, then the coordinates of vertices
416:There are ten arcs, each measuring
2352:From Gauss comes also the formula
900:
885:
860:
845:
14:
209:for "miraculous pentagram") is a
3653:
2807:The image of spherical pentagon
265:were studied, among others, by
3172:
3146:
3118:
3092:
2754:
2750:
2730:
2722:
2702:
2694:
2674:
2666:
2646:
2638:
2618:
2614:
2507:
2475:
2472:
2453:
2450:
2418:
2415:
2396:
2393:
2361:
2330:
2318:
2315:
2303:
2300:
2288:
2285:
2273:
2270:
2258:
1988:
1976:
1967:
1955:
1949:
1937:
1882:
1870:
1867:
1855:
1684:
1638:
1632:
1602:
1570:
1558:
1555:
1543:
1540:
1528:
1525:
1513:
1510:
1498:
1238:
1128:
1122:
1092:
1082:Gauss introduced the notation
232:. This shape was described by
184:
48:
1:
3178:{\displaystyle (x_{5},y_{5})}
3001:Cartesian coordinate system
802:At each vertex of pentagon
3708:
3078:{\displaystyle P'Q'R'S'T'}
2961:{\displaystyle P'Q'R'S'T'}
2893:{\displaystyle P'Q'R'S'T'}
681:In the spherical pentagon
22:Sample configurations of
3637:10.1080/14786447108640572
3555:Werke, Band III: Analysis
168:{\displaystyle \pi /2-A,}
132:{\displaystyle \pi /2-c,}
96:{\displaystyle \pi /2-B,}
2767:is the area of pentagon
1077:
250:that link the values of
3598:10.4064/aa-18-1-297-310
3551:"Pentagramma mirificum"
3185:satisfy the equalities
2901:unambiguously determine
940:of spherical triangles
733:is the pole of equator
440:{\displaystyle \pi /2:}
304:{\displaystyle \pi /2,}
252:trigonometric functions
3687:Spherical trigonometry
3523:
3503:
3428:
3366:
3304:
3242:
3179:
3134:
3079:
3022:
2987:
2962:
2894:
2833:
2793:
2761:
2567:
2343:
2091:
1743:
1723:
1691:
1586:
1402:
1248:
1064:
1038:
1012:
986:
960:
928:
828:
793:
776:— the pole of equator
770:
750:
727:
707:
673:
647:
624:
601:
578:
555:
532:
509:
486:
463:
441:
408:
385:
365:
345:
325:
305:
197:
191:
169:
133:
97:
61:
26:
3667:Pentagramma mirificum
3660:Pentagramma mirificum
3619:pentagramma mirificum
3547:Gauss, Carl Friedrich
3524:
3522:{\displaystyle \rho }
3504:
3429:
3367:
3305:
3243:
3180:
3135:
3080:
3023:
2988:
2963:
2895:
2834:
2832:{\displaystyle PQRST}
2794:
2792:{\displaystyle PQRST}
2762:
2568:
2344:
2092:
1744:
1724:
1692:
1587:
1403:
1249:
1065:
1039:
1013:
987:
961:
929:
829:
827:{\displaystyle PQRST}
794:
771:
751:
728:
708:
706:{\displaystyle PQRST}
674:
648:
625:
602:
579:
556:
533:
510:
487:
464:
442:
409:
386:
366:
346:
326:
306:
263:pentagramma mirificum
202:Pentagramma mirificum
192:
170:
134:
98:
62:
32:
24:pentagramma mirificum
21:
3662:at Wikimedia Commons
3513:
3437:
3375:
3313:
3251:
3189:
3143:
3089:
3032:
3007:
2972:
2915:
2907:; in this case — an
2847:
2811:
2771:
2577:
2358:
2107:
1759:
1733:
1701:
1599:
1422:
1264:
1089:
1048:
1022:
996:
970:
944:
842:
806:
780:
760:
737:
717:
685:
657:
634:
611:
588:
565:
542:
519:
496:
473:
450:
420:
395:
375:
355:
335:
315:
284:
273:Geometric properties
267:Carl Friedrich Gauss
178:
142:
106:
70:
45:
2841:gnomonic projection
2803:Gnomonic projection
1063:{\displaystyle ETS}
1037:{\displaystyle DSR}
1011:{\displaystyle CRQ}
985:{\displaystyle BQP}
959:{\displaystyle APT}
672:{\displaystyle TD.}
254:of five parts of a
217:, composed of five
60:{\displaystyle (a,}
3519:
3499:
3424:
3362:
3300:
3238:
3175:
3130:
3075:
3021:{\displaystyle O'}
3018:
2986:{\displaystyle O'}
2983:
2958:
2890:
2829:
2789:
2757:
2563:
2339:
2337:
2087:
2085:
1742:{\displaystyle 20}
1739:
1719:
1687:
1582:
1580:
1398:
1396:
1244:
1060:
1034:
1008:
982:
956:
924:
824:
792:{\displaystyle ST}
789:
766:
749:{\displaystyle RS}
746:
723:
703:
669:
646:{\displaystyle TB}
643:
623:{\displaystyle SC}
620:
600:{\displaystyle SA}
597:
577:{\displaystyle RB}
574:
554:{\displaystyle RE}
551:
531:{\displaystyle QA}
528:
508:{\displaystyle QD}
505:
485:{\displaystyle PE}
482:
462:{\displaystyle PC}
459:
437:
407:{\displaystyle E.}
404:
381:
361:
341:
321:
301:
259:spherical triangle
198:
190:{\displaystyle b)}
187:
165:
129:
93:
57:
27:
3692:Types of polygons
3658:Media related to
3578:"Frieze patterns"
3574:Coxeter, H. S. M.
2747:
2719:
2691:
2663:
2635:
2505:
2470:
2448:
2413:
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