38:
6380:
3620:
number also gives an example of a real number that is not a period. It is also possible to construct artificial examples of computable numbers which are not periods. However there are no computable numbers proven not to be periods, which have not been artificially constructed for that purpose.
3448:
2032:
319:
2743:
1551:
3273:
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1754:
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4177:
2293:
4541:
1072:
750:
4774:
3596:
A useful property of algebraic numbers is that equality between two algebraic expressions can be determined algorithmically. The conjecture of
Kontsevich and Zagier would imply that equality of periods is also decidable:
3489:
Kontsevich and Zagier conjectured that, if a period is given by two different integrals, then each integral can be transformed into the other using only the linearity of integrals (in both the integrand and the domain),
952:
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1799:
3612:
Further open questions consist of proving which known mathematical constants do not belong to the ring of periods. An example of a real number that is not a period is given by
2996:
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991:
710:
3443:{\displaystyle _{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}};{\tfrac {4}{3}};-1)={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1+x}}{x^{2/3}}}\mathrm {d} x}
5703:
4702:
886:
755:
Periods include some of those transcendental numbers, that can be described in an algorithmic way and only contain a finite amount of information.
5659:
3959:
2027:{\displaystyle {\text{Cl}}_{2}({\tfrac {1}{3}}\pi )=2\int _{0}^{1}\int _{1}^{1+y}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{x{\sqrt {(1-y)(3+y)}}}}}
1225:
138:
as well as in open problems of modern arithmetical algebraic geometry. They also appear when computing the integrals that arise from
5426:
3609:
if two integrals agree, then an algorithm could confirm so by trying all possible ways to transform one of them into the other one.
463:; this looks more general, but is equivalent. The coefficients of the rational functions and polynomials can also be generalised to
3042:
5418:
6419:
6404:
6265:
3495:
959:
804:
314:{\displaystyle \alpha =\int _{P(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq 0}Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}
3635:
2738:{\displaystyle {\text{Ti}}_{2}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{y}{\frac {1}{y(1+x^{2})}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}
3896:
6226:
1831:
1546:{\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}{1-xyz}}}
5696:
4923:
1079:
3268:{\displaystyle \mathrm {B} \left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)=2n\int _{0}^{1}{\sqrt{1-x^{n}}}\ \mathrm {d} x}
2508:{\displaystyle {\text{Li}}_{2}(\alpha )=-\int _{0}^{\alpha }\int _{1}^{1-y}{\frac {1}{xy}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}
6409:
3503:
4943:
4887:{\displaystyle {\text{Si}}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }\int _{-y}^{y}{\frac {e^{ix}}{2y}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
6414:
3613:
3723:
6260:
6216:
3931:
619:, which are uncountable and apart from very few specific examples hard to describe. They are also not generally
6383:
6255:
2520:
600:
413:
2525:
2305:
653:
4377:
3804:{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}\subset {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {EP}}\subset \mathbb {C} }
3001:
5689:
4027:
3479:
3280:
1558:
3659:
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2367:
2115:
2080:
6343:
5847:
4781:
3602:
135:
5601:
Commelin, Johan; Habegger, Philipp; Huber, Annette (2022-03-30). "Exponential periods and o-minimality".
3833:
1395:
6328:
6164:
5892:
5887:
5653:
5293:
4928:
4659:{\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{y}{\frac {e^{-y}}{x}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}
1766:
1301:
616:
131:
82:
74:
1628:
2957:
573:
375:
73:. The periods are a class of numbers which includes, alongside the algebraic numbers, many well known
6081:
5814:
5132:
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1594:
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66:
46:
3590:
2935:{\displaystyle P=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}x^{2}}{b^{4}-b^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x}
1563:
1400:
1367:
1306:
1186:{\displaystyle {\text{artanh}}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }{\frac {1}{1-x^{2}}}\ \mathrm {d} x}
6355:
6318:
6282:
6221:
6207:
5902:
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5524:
5505:
5422:
5270:
5241:
4675:
3628:
3617:
3598:
3482:. Kontsevich and Zagier note that there "seems to be no universal rule explaining why certain
2750:
1749:{\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1+x^{2}y^{2}}}}
852:
620:
499:
468:
369:
31:
17:
5478:
Lagarias, Jeffrey C. (2013-07-19). "Euler's constant: Euler's work and modern developments".
4680:
4552:
3135:
2563:
2343:
1335:
1085:
965:
782:
153:
6302:
6277:
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5786:
5432:
5234:
5051:
4899:
3645:
Kontsevich and Zagier suspect these problems to be very hard and remain open a long time.
1805:
1202:
402:
139:
4326:{\displaystyle \sinh(\alpha )={\frac {1}{2}}\int _{-\alpha }^{\alpha }e^{x}\mathrm {d} x}
4172:{\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}\int _{-\alpha }^{\alpha }e^{ix}\mathrm {d} x}
2288:{\displaystyle \psi _{m}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {y^{z-1}}{1-y}}\left^{m}\,\mathrm {d} y}
524:
6297:
6287:
6272:
6091:
5959:
5730:
5227:
5127:
4975:
4536:{\displaystyle \Gamma (p/q)=\int _{0}^{\infty }t^{{\frac {p}{q}}-1}e^{-x}\mathrm {d} x}
3935:
3696:
2947:
2802:
2782:
2758:
1633:
1067:{\displaystyle \arctan(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \mathrm {d} x}
504:
481:
442:
422:
409:
351:
327:
58:
615:, which form a class too narrow to include many common mathematical constants and the
6398:
6360:
6333:
6242:
5356:
4968:
2951:
2300:
700:
5501:
6323:
6125:
5177:
3483:
3455:
745:{\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} \subset {\mathcal {P}}\subset \mathbb {C} }
37:
6149:
5931:
5013:
405:
5566:
5407:
6130:
5987:
5639:
5403:
4933:
4769:{\displaystyle \delta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+x}}e^{-x}\mathrm {d} x}
345:
124:
120:
5509:
947:{\displaystyle \ln(\alpha )=\int _{1}^{\alpha }{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}
3814:
The following numbers are among the ones known to be exponential periods:
142:, and there has been intensive work trying to understand the connections.
30:
For a more frequently used sense of the word "period" in mathematics, see
6238:
6169:
6015:
5580:
Yoshinaga, Masahiko (2008-05-03). "Periods and elementary real numbers".
5218:
3478:
Many of the constants known to be periods are also given by integrals of
62:
4015:{\displaystyle e^{\alpha }=\int _{-\infty }^{\alpha }e^{x}\mathrm {d} x}
5758:
5089:
2776:
6373:
5712:
1289:{\displaystyle \pi =\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x}
611:
The periods are intended to bridge the gap between the well-behaved
570:
In other words, a (nonnegative) period is the volume of a region in
5607:
5550:
5586:
5492:
5456:
36:
5681:
5450:
Marcolli, Matilde (2009-07-02). "Feynman integrals and motives".
5676:
5161:
472:
5685:
703:. The periods themselves are all computable, and in particular
567:
over a region defined by a polynomial in additional variables.
5169:
763:
The following numbers are among the ones known to be periods:
170:
is a period if it can be expressed as an integral of the form
3087:{\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}})}
5864:
3845:
3788:
3785:
3775:
3736:
3729:
3717:
of an algebraic function, results in another extension: the
3667:
729:
635:
94:
1802:
1198:
78:
41:
The algebraic periods as a subset of the complex numbers.
840:{\displaystyle \alpha =\int _{0}^{\alpha }\mathrm {d} x}
3486:
or integrals of transcendental functions are periods".
27:
Numbers expressible as integrals of algebraic functions
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4035:
3962:
3938:
3921:{\displaystyle \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}}
3899:
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1871:{\displaystyle {\text{Cl}}_{2}({\tfrac {1}{3}}\pi )}
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3713:to be the product of an algebraic function and the
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3743:
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3679:
3653:The ring of periods can be widened to the ring of
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101:
3751:. They also form a ring and are countable. It is
544:, by replacing the integrand with an integral of
5551:"Transcendence of periods: the state of the art"
3579:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}
650:lies in between the fields of algebraic numbers
130:Periods play an important role in the theory of
5413:. In Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (eds.).
471:algebraic numbers are expressible in terms of
5697:
5480:Bulletin of the American Mathematical Society
123:gave a survey of periods and introduced some
8:
3744:{\displaystyle {\mathcal {E}}{\mathcal {P}}}
5622:Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003).
5415:Mathematics unlimited—2001 and beyond
6379:
5704:
5690:
5682:
5628:International Mathematics Research Notices
5139:
5101:
5063:
5025:
4987:
4909:Sums and products of exponential periods.
6180:
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4716:
4704:
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4516:
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4493:
4483:
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1337:
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220:
201:
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155:
93:
92:
90:
5624:"Periods and Igusa local zeta functions"
3816:
2553:{\displaystyle {\text{Ti}}_{n}(\alpha )}
2333:{\displaystyle {\text{Li}}_{s}(\alpha )}
765:
670:{\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }
5342:
4408:{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ^{+}}
3825:Example of exponential period integral
3032:{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ^{+}}
5651:
5555:Pure and Applied Mathematics Quarterly
5523:Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2010).
4337:Rational values of the gamma function
3680:{\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}
3122:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
2612:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
2392:{\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}
2140:{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}
2105:{\displaystyle z\in \mathbb {Q} ^{+}}
7:
5473:
5471:
5469:
5467:
5394:
5392:
5390:
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5386:
5384:
5382:
5380:
5378:
5376:
5350:
5348:
5346:
5893:Set-theoretically definable numbers
5525:"Computable functions of the reals"
3853:{\displaystyle I\in {\mathcal {P}}}
5658:: CS1 maint: unflagged free DOI (
4877:
4869:
4759:
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3984:
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3162:
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2720:
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2252:
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1967:
1794:{\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)}
1708:
1700:
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1508:
1500:
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1057:
937:
830:
297:
279:
25:
855:of any positive algebraic number
419:An alternative definition allows
6378:
2991:{\displaystyle \Gamma (p/q)^{q}}
592:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
394:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5502:10.1090/S0273-0979-2013-01423-X
5148:{\displaystyle :\;\mathbb {N} }
5110:{\displaystyle :\;\mathbb {Z} }
5072:{\displaystyle :\;\mathbb {Q} }
5034:{\displaystyle :\;\mathbb {R} }
4996:{\displaystyle :\;\mathbb {C} }
2946:Several numbers related to the
960:inverse trigonometric functions
85:periods, such that the periods
81:. Sums and products of periods
5872:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
5532:Münster Journal of Mathematics
4804:
4798:
4468:
4454:
4434:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
4361:
4347:
4271:
4265:
4243:{\displaystyle \cosh(\alpha )}
4237:
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4211:{\displaystyle \sinh(\alpha )}
4205:
4199:
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4108:
4080:
4074:
4048:
4042:
3671:
3599:inequality of computable reals
3573:
3567:
3558:
3552:
3536:
3530:
3465:Sums and products of periods.
3368:
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3051:
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2058:
2016:
2004:
2001:
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1918:
1900:
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1313:
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1120:
1007:
1001:
902:
896:
643:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
272:
240:
226:
194:
102:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
18:Period (Kontsevich and Zagier)
1:
6227:Plane-based geometric algebra
4086:{\displaystyle \cos(\alpha )}
4054:{\displaystyle \sin(\alpha )}
2755:In particular: The perimeter
45:In mathematics, specifically
6187:{\displaystyle \mathbb {S} }
6110:{\displaystyle \mathbb {C} }
6071:{\displaystyle \mathbb {R} }
6033:{\displaystyle \mathbb {O} }
6005:{\displaystyle \mathbb {H} }
5977:{\displaystyle \mathbb {C} }
5949:{\displaystyle \mathbb {R} }
5837:{\displaystyle \mathbb {A} }
5804:{\displaystyle \mathbb {Q} }
5776:{\displaystyle \mathbb {Z} }
5748:{\displaystyle \mathbb {N} }
5549:Waldschmidt, Michel (2006).
4924:Transcendental number theory
4780:Algebraic values of several
4367:{\displaystyle \Gamma (p/q)}
3913:
3765:
3496:Newton–Leibniz formula
2070:{\displaystyle \psi _{m}(z)}
1080:inverse hyperbolic functions
874:{\displaystyle \alpha >0}
719:
692:{\displaystyle \mathbb {C} }
662:
603:with rational coefficients.
498:can be restricted to be the
61:that can be expressed as an
3886:{\displaystyle e^{\alpha }}
3687:by adjoining the element 1/
1620:{\displaystyle \pi ^{2n+1}}
1364:In particular: Even powers
774:Example of period integral
759:Numbers known to be periods
6436:
5567:10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3
1591:In particular: Odd powers
29:
6369:
6217:Algebra of physical space
5640:10.1155/S107379280313142X
5417:. Berlin, New York City:
3693:Permitting the integrand
3636:Euler–Mascheroni constant
3624:It is conjectured that 1/
3589:(or, more generally, the
1801:at rational multiples of
1582:{\displaystyle \beta (s)}
1419:{\displaystyle \zeta (3)}
1387:{\displaystyle \pi ^{2n}}
1325:{\displaystyle \zeta (s)}
607:Properties and motivation
6273:Extended complex numbers
6256:Extended natural numbers
4670:Algebraic values of the
3480:transcendental functions
3283:at algebraic arguments.
3281:hypergeometric functions
2521:inverse tangent integral
478:In the other direction,
414:real and imaginary parts
4782:trigonometric integrals
4690:{\displaystyle \delta }
4562:{\displaystyle \gamma }
3145:{\displaystyle \varpi }
2753:with algebraic bounds.
2573:{\displaystyle \alpha }
2353:{\displaystyle \alpha }
2038:Rational values of the
1559:Dirichlet beta function
1351:{\displaystyle s\geq 2}
1095:{\displaystyle \alpha }
975:{\displaystyle \alpha }
792:{\displaystyle \alpha }
163:{\displaystyle \alpha }
6420:Transcendental numbers
6405:Mathematical constants
6329:Transcendental numbers
6188:
6165:Hyperbolic quaternions
6111:
6072:
6034:
6006:
5978:
5950:
5873:
5838:
5805:
5777:
5749:
5235:Dyadic (finite binary)
5149:
5111:
5073:
5035:
4997:
4944:Gauss–Manin connection
4888:
4770:
4691:
4660:
4563:
4537:
4435:
4409:
4368:
4327:
4244:
4212:
4173:
4087:
4055:
4016:
3946:
3922:
3887:
3854:
3805:
3745:
3707:
3681:
3603:recursively enumerable
3580:
3458:at certain arguments.
3444:
3269:
3146:
3123:
3088:
3033:
2992:
2936:
2813:
2793:
2769:
2739:
2613:
2574:
2554:
2509:
2393:
2354:
2334:
2289:
2141:
2106:
2071:
2028:
1872:
1816:
1795:
1760:Certain values of the
1750:
1644:
1621:
1583:
1557:Integer values of the
1547:
1420:
1388:
1352:
1326:
1300:Integer values of the
1290:
1213:
1187:
1096:
1068:
976:
948:
875:
841:
793:
746:
693:
671:
644:
617:transcendental numbers
599:defined by polynomial
593:
561:
538:
515:
492:
453:
433:
395:
362:
338:
315:
164:
136:transcendental numbers
132:differential equations
103:
75:mathematical constants
42:
6261:Extended real numbers
6189:
6112:
6082:Split-complex numbers
6073:
6035:
6007:
5979:
5951:
5874:
5839:
5815:Constructible numbers
5806:
5778:
5750:
5361:mathworld.wolfram.com
5150:
5112:
5074:
5036:
4998:
4929:Mathematical constant
4889:
4771:
4692:
4661:
4564:
4538:
4436:
4410:
4369:
4328:
4250:at algebraic values.
4245:
4213:
4174:
4093:at algebraic values.
4088:
4056:
4017:
3947:
3923:
3888:
3855:
3830:Any algebraic period
3806:
3746:
3708:
3682:
3581:
3445:
3270:
3147:
3129:. In particular: The
3124:
3089:
3034:
2993:
2937:
2814:
2794:
2779:with algebraic radii
2770:
2740:
2614:
2575:
2560:at algebraic numbers
2555:
2510:
2394:
2355:
2340:at algebraic numbers
2335:
2290:
2142:
2107:
2072:
2029:
1873:
1817:
1796:
1751:
1645:
1622:
1584:
1548:
1421:
1389:
1353:
1327:
1302:Riemann zeta function
1291:
1214:
1188:
1097:
1082:at algebraic numbers
1069:
977:
962:at algebraic numbers
949:
876:
842:
794:
779:Any algebraic number
747:
694:
672:
645:
594:
562:
560:{\displaystyle \pm 1}
539:
516:
493:
475:of suitable domains.
454:
434:
396:
363:
339:
316:
165:
104:
40:
6293:Supernatural numbers
6203:Multicomplex numbers
6176:
6160:Dual-complex numbers
6099:
6060:
6022:
5994:
5966:
5938:
5920:Composition algebras
5888:Arithmetical numbers
5859:
5826:
5793:
5765:
5737:
5421:. pp. 771–808.
5280:Algebraic irrational
5133:
5095:
5057:
5019:
4981:
4949:Mixed motives (math)
4790:
4703:
4681:
4672:exponential integral
4575:
4553:
4448:
4421:
4378:
4341:
4256:
4222:
4190:
4099:
4065:
4033:
3960:
3936:
3897:
3870:
3866:Numbers of the form
3834:
3755:
3724:
3697:
3660:
3614:Chaitin's constant Ω
3504:
3492:changes of variables
3289:
3158:
3136:
3098:
3043:
3002:
2958:
2826:
2803:
2783:
2759:
2625:
2588:
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2526:
2405:
2368:
2344:
2306:
2153:
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