2011:
43:
31:
1652:
51:
2345:
2353:
2006:{\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},}
1443:
2733:
2337:
595:
1216:
1267:
2574:
952:
2172:
1598:
828:
2120:
453:
1096:
2565:
2064:
695:
246:
415:
2456:
1508:
of the directrix. Hence the envelope is a collection of circles. This property is the key for a parametric representation of the canal surface. The center of the circle (for parameter
1506:
1642:
361:
2514:
313:
1104:
448:
2158:
2773:
277:
1243:
1034:
2814:
1008:
722:
981:
1526:
1466:
742:
1438:{\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}
2728:{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}
1098:. The last condition means that the curvature of the curve is less than that of the corresponding sphere. The envelope of the 1-parameter pencil of spheres
850:
2332:{\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}
1531:
749:
2069:
590:{\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}
2891:
1039:
2522:
2021:
604:
155:
366:
2372:
1471:
126:
100:
1603:
321:
2464:
75:
282:
118:
1211:{\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0}
424:
112:
2128:
2857:
2843:
2883:
2743:
255:
2925:
2887:
1228:
744:
being at least twice continuously differentiable). The surface defined by the two equations
1013:
147:
2781:
986:
700:
957:
2876:
1511:
1451:
727:
2907:
2919:
2871:
2823:
1600:(see condition above) from the center of the corresponding sphere and its radius is
125:
Canal surfaces play an essential role in descriptive geometry, because in case of an
92:. If the radii of the generating spheres are constant, the canal surface is called a
42:
115:(canal surface, directrix is a line (the axis), radii of the spheres not constant),
947:{\displaystyle \Gamma :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }}
2122:
form an orthonormal basis, is a parametric representation of the canal surface.
88:
17:
30:
50:
63:
59:
2819:
d) The 4. picture shows a pipe knot. Its directrix is a curve on a torus
2344:
1593:{\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r}
823:{\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}
79:
2352:
106:
83:
35:
597:. The last equation is the reason for the following definition.
2115:{\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}
1468:
the equation of a plane, which is orthogonal to the tangent
1169:
1135:
103:(pipe surface, directrix is a line, the axis of the cylinder)
129:
its contour curve can be drawn as the envelope of circles.
46:
pipe surface: directrix is a helix, with generating spheres
1091:{\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}
2778:
c) For the 3. picture the pipe surface b) has parameter
2910:
Computing
Rational Parametrizations of Canal Surfaces
2784:
2746:
2577:
2560:{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}
2525:
2467:
2375:
2175:
2131:
2072:
2059:{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}
2024:
1655:
1606:
1534:
1514:
1474:
1454:
1270:
1231:
1107:
1042:
1016:
989:
960:
853:
752:
730:
703:
690:{\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in }
607:
456:
427:
369:
324:
285:
258:
241:{\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in }
158:
2875:
2808:
2767:
2727:
2559:
2508:
2450:
2331:
2152:
2114:
2058:
2005:
1636:
1592:
1520:
1500:
1460:
1437:
1237:
1210:
1090:
1028:
1002:
975:
946:
822:
736:
716:
689:
589:
442:
409:
355:
315:intersect in a curve that fulfills the equations
307:
271:
240:
27:Surface formed from spheres centered along a curve
2859:Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
2845:Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
2740:b) For the second picture the radius is constant:
1424:
1308:
133:In technical area canal surfaces can be used for
2366:a) The first picture shows a canal surface with
490:
1448:of the canal surface above is for any value of
410:{\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}
2451:{\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in }
2321:
2235:
1995:
1909:
1352:
1318:
8:
2775:, i. e. the canal surface is a pipe surface.
2722:
2716:
2648:
2642:
2160:one gets the parametric representation of a
2109:
2092:
1893:
1866:
1775:
1748:
1578:
1561:
1257:Parametric representation of a canal surface
1249:. If the radii are constant, it is called a
1085:
1068:
697:be a 1-parameter pencil of regular implicit
2783:
2745:
2711:
2697:
2695:
2694:
2685:
2679:
2678:
2665:
2659:
2658:
2637:
2617:
2616:
2599:
2598:
2586:
2580:
2579:
2576:
2551:
2545:
2544:
2534:
2528:
2527:
2524:
2495:
2466:
2374:
2320:
2319:
2289:
2283:
2282:
2248:
2242:
2241:
2234:
2233:
2212:
2211:
2187:
2186:
2177:
2176:
2174:
2133:
2132:
2130:
2098:
2096:
2095:
2087:
2076:
2074:
2073:
2071:
2050:
2044:
2043:
2033:
2027:
2026:
2023:
1994:
1993:
1963:
1957:
1956:
1922:
1916:
1915:
1908:
1907:
1896:
1872:
1870:
1869:
1858:
1837:
1836:
1833:
1825:
1790:
1788:
1787:
1778:
1754:
1752:
1751:
1726:
1725:
1710:
1692:
1691:
1667:
1666:
1657:
1656:
1654:
1626:
1613:
1607:
1605:
1567:
1565:
1564:
1548:
1547:
1541:
1533:
1513:
1478:
1476:
1475:
1473:
1453:
1423:
1422:
1402:
1401:
1366:
1364:
1363:
1357:
1351:
1350:
1334:
1333:
1324:
1323:
1317:
1316:
1307:
1306:
1285:
1284:
1275:
1269:
1230:
1187:
1174:
1168:
1167:
1151:
1150:
1141:
1140:
1134:
1133:
1115:
1114:
1106:
1074:
1072:
1071:
1060:
1049:
1048:
1043:
1041:
1015:
994:
988:
959:
938:
871:
870:
861:
860:
852:
799:
798:
789:
760:
759:
751:
729:
708:
702:
678:
665:
628:
627:
612:
606:
546:
545:
521:
520:
511:
493:
471:
470:
461:
455:
426:
377:
376:
368:
332:
331:
323:
290:
284:
263:
257:
229:
216:
179:
178:
163:
157:
142:Envelope of a pencil of implicit surfaces
2351:
2343:
1501:{\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}
49:
41:
29:
2836:
109:(pipe surface, directrix is a circle),
1637:{\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}
356:{\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}
121:(canal surface, directrix is a line),
7:
2509:{\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi }
1358:
1232:
939:
854:
609:
572:
561:
494:
428:
392:
308:{\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}
297:
287:
260:
160:
54:pipe surface: directrix is a helix
25:
2882:(2nd ed.). Chelsea. p.
839:of the given pencil of surfaces.
2698:
2680:
2660:
2581:
2546:
2529:
2284:
2243:
2213:
2188:
2178:
2099:
2077:
2045:
2028:
1958:
1917:
1873:
1791:
1755:
1693:
1668:
1658:
1568:
1479:
1367:
1335:
1325:
1286:
1152:
1142:
1116:
1075:
872:
862:
800:
761:
629:
547:
522:
472:
378:
333:
180:
2874:; Cohn-Vossen, Stephan (1952).
784:
2908:M. Peternell and H. Pottmann:
2803:
2791:
2756:
2750:
2708:
2674:
2634:
2595:
2477:
2471:
2445:
2433:
2421:
2409:
2403:
2391:
2385:
2376:
2316:
2310:
2301:
2295:
2275:
2269:
2260:
2254:
2224:
2218:
2205:
2193:
1990:
1984:
1975:
1969:
1949:
1943:
1934:
1928:
1889:
1883:
1855:
1848:
1822:
1816:
1807:
1801:
1771:
1765:
1743:
1737:
1722:
1716:
1704:
1698:
1685:
1673:
1495:
1489:
1419:
1413:
1398:
1392:
1383:
1377:
1346:
1340:
1297:
1281:
1199:
1193:
1163:
1157:
1127:
1111:
1061:
1044:
970:
964:
935:
931:
925:
916:
910:
901:
895:
889:
883:
877:
811:
795:
772:
756:
684:
658:
640:
624:
567:
542:
533:
517:
500:
483:
467:
434:
398:
373:
344:
328:
235:
209:
191:
175:
34:canal surface: directrix is a
1:
954:be a regular space curve and
443:{\displaystyle \Delta c\to 0}
82:whose centers lie on a space
38:, with its generating spheres
2878:Geometry and the Imagination
2356:canal surface: Dupin cyclide
2153:{\displaystyle {\dot {r}}=0}
74:is a surface formed as the
2942:
2822:e) The 5. picture shows a
2768:{\displaystyle r(u):=0.2}
272:{\displaystyle \Phi _{c}}
252:two neighboring surfaces
1261:The envelope condition
2066:and the tangent vector
1238:{\displaystyle \Gamma }
127:orthographic projection
101:right circular cylinder
96:. Simple examples are:
2810:
2769:
2729:
2561:
2510:
2452:
2357:
2349:
2333:
2154:
2116:
2060:
2007:
1638:
1594:
1522:
1502:
1462:
1439:
1239:
1212:
1092:
1030:
1029:{\displaystyle r>0}
1004:
977:
948:
824:
738:
718:
691:
591:
444:
411:
357:
309:
273:
242:
55:
47:
39:
2811:
2809:{\displaystyle u\in }
2770:
2730:
2562:
2511:
2453:
2355:
2347:
2334:
2155:
2117:
2061:
2008:
1639:
1595:
1523:
1503:
1463:
1440:
1240:
1213:
1093:
1031:
1005:
1003:{\displaystyle C^{1}}
978:
949:
825:
739:
719:
717:{\displaystyle C^{2}}
692:
592:
445:
412:
358:
310:
274:
243:
119:surface of revolution
53:
45:
33:
2782:
2744:
2575:
2523:
2465:
2461:the radius function
2373:
2173:
2129:
2070:
2022:
1653:
1604:
1532:
1528:) has the distance
1512:
1472:
1452:
1268:
1229:
1105:
1040:
1014:
987:
976:{\displaystyle r(t)}
958:
851:
750:
728:
701:
605:
454:
425:
367:
322:
283:
256:
156:
146:Given the pencil of
113:right circular cone
2806:
2765:
2725:
2557:
2506:
2448:
2358:
2350:
2329:
2150:
2112:
2056:
2018:where the vectors
2003:
1634:
1590:
1518:
1498:
1458:
1435:
1235:
1208:
1088:
1026:
1000:
973:
944:
820:
734:
714:
687:
587:
510:
440:
407:
353:
305:
269:
238:
56:
48:
40:
2705:
2656:
2625:
2607:
2567:is the following:
2141:
2106:
2084:
1905:
1903:
1880:
1845:
1798:
1785:
1762:
1734:
1632:
1582:
1575:
1556:
1521:{\displaystyle u}
1486:
1461:{\displaystyle u}
1410:
1374:
1082:
1057:
737:{\displaystyle f}
579:
505:
489:
148:implicit surfaces
135:blending surfaces
16:(Redirected from
2933:
2897:
2881:
2863:
2855:
2849:
2841:
2826:(canal surface).
2815:
2813:
2812:
2807:
2774:
2772:
2771:
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