3822:
36:
3508:
1929:
2541:
2782:
3817:{\displaystyle P_{y}^{2}f(x)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}P_{y}f(x+t_{1}y)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}\left.{\partial \over \partial t_{2}}\right|_{t_{2}=0}f(x+(t_{1}+t_{2})y)=2!g_{2}(x,y).}
2226:
2075:
1708:
3227:
4006:
2330:
3402:
2578:
987:
is the zero function and our homomorphism is not an isomorphism (and, actually, the algebras are not isomorphic, since the algebra of polynomials is infinite while that of polynomial functions is finite).
3493:
1424:
2975:
899:
1479:
1619:
1149:
3074:
363:
2276:
1669:
1296:
812:
2322:
777:
4068:
2570:
302:
54:
1231:
1032:
985:
1199:
720:
4112:
3845:
1545:
1375:
1090:
2094:
942:
442:
4156:
1700:
1506:
554:
512:
477:
409:
253:
226:
1261:
1058:
639:
687:
199:
2870:
expansion and, conversely, one can recover the function from the series expansion. This fact continues to hold for polynomials functions on a vector space. If
1961:
1924:{\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}\lambda (e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{q}})t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q})}
4182:
4217:
3131:
2536:{\displaystyle \psi (f)(v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\cdots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q}).}
3885:
2777:{\displaystyle \phi (\lambda )(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})=\lambda (t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q},...,t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})}
3309:
72:
3858:, but over some algebra, then one may define additional structure. Thus, for example, one may consider the ring of functions over
3413:
1380:
2896:
4236:
2833:
Note: φ is independent of a choice of basis; so the above proof shows that ψ is also independent of a basis, the fact not
841:
4170:
1429:
1565:
1331:
120:
1095:
3003:
307:
4161:
The above can be considered to be an additional requirement imposed on the ring; it is sometimes called the
2234:
1628:
4071:
1556:
1548:
1234:
445:
416:
1266:
782:
4197:
4119:
2281:
729:
4017:
2549:
4241:
3860:
815:
258:
3876:
2572:
is the identity; in particular, φ is surjective. To see φ is injective, suppose φ(λ) = 0. Consider
1204:
374:
101:
1002:
955:
4012:
2863:
143:
2221:{\displaystyle f=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}\cdots t_{i_{q}}}
1162:
696:
669:
given by the standard multiplication and addition of polynomials and functions. We can map each
4192:
4115:
4081:
3830:
2080:
We show it is an isomorphism. Choosing a basis as before, any homogeneous polynomial function
1514:
1344:
1063:
642:
526:
124:
912:
421:
17:
4125:
1678:
1484:
532:
490:
455:
387:
231:
204:
4187:
4118:. In practical calculations, it is usually required that the sums be analytic within some
2859:
568:
132:
108:
1240:
1037:
609:
2841:
672:
580:
149:
4230:
4075:
2867:
2853:
4158:. Thus, the ring of functions can be taken to be the ring of polynomial functions.
3080:
2070:{\displaystyle \phi :S^{q}(V)\to k_{q},\,\phi (\lambda )(v)=\lambda (v,\cdots ,v).}
94:
827:
588:
86:
1952:
1303:
484:
382:
1307:
1299:
4166:
412:
3222:{\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}P_{y}^{n}f(x)}
3095:. It is called the polarization operator. We then have, as promised:
4001:{\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}
4169:, a special case of the operator product algebra is known as the
3397:{\displaystyle P_{y}f(x)=\left.{d \over dt}\right|_{t=0}f(x+ty)}
29:
653:
be the set of all polynomial functions in one variable over
3683:
3634:
3544:
3419:
3340:
2844:
in a unique way and any quadratic form arises in this way.
3488:{\displaystyle \left.{f(x+ty)-f(x) \over t}\right|_{t=0}.}
2997:, and only finitely many of them are nonzero. We then let
4070:
are required to be single-valued functions, rather than
1419:{\displaystyle \textstyle \lambda :\prod _{1}^{q}V\to k}
594:
Throughout the article, for simplicity, the base field
50:
2970:{\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x,y)}
1384:
4128:
4084:
4020:
3888:
3833:
3511:
3416:
3312:
3134:
3006:
2899:
2581:
2552:
2333:
2284:
2237:
2097:
1964:
1711:
1681:
1631:
1568:
1517:
1487:
1432:
1383:
1347:
1269:
1243:
1207:
1165:
1098:
1066:
1040:
1005:
958:
915:
844:
785:
732:
699:
675:
612:
535:
493:
458:
424:
390:
310:
261:
234:
207:
152:
3868:. In this case, one may impose an additional axiom.
4221:(new ed.), Wiley-Interscience (published 2004)
1377:denote the vector space of multilinear functionals
45:
may be too technical for most readers to understand
4150:
4106:
4062:
4000:
3839:
3816:
3487:
3396:
3221:
3068:
2969:
2776:
2564:
2535:
2316:
2270:
2220:
2069:
1923:
1694:
1663:
1613:
1539:
1500:
1473:
1418:
1369:
1290:
1255:
1225:
1193:
1143:
1084:
1052:
1026:
979:
936:
893:
806:
771:
714:
681:
633:
591:vector space.) The same definition still applies.
548:
506:
471:
436:
403:
365:This suggests the following: given a vector space
357:
296:
247:
220:
193:
3854:When the polynomials are valued not over a field
894:{\displaystyle p(x)=\prod \limits _{t\in K}(x-t)}
146:can be given as follows. Given a polynomial ring
3498:The theorem follows from this. For example, for
2840:Example: A bilinear functional gives rise to a
3407:where the right-hand side is, by definition,
8:
4218:Foundations of Differential Geometry, Vol. 2
4122:; typically with a radius of convergence of
1474:{\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})}
3099:
1614:{\displaystyle f(v)=\lambda (v,\dots ,v).}
779:. A routine check shows that the mapping
4143:
4129:
4127:
4089:
4083:
4030:
4025:
4019:
3983:
3949:
3944:
3934:
3912:
3893:
3887:
3832:
3790:
3762:
3749:
3716:
3711:
3698:
3685:
3667:
3662:
3649:
3636:
3617:
3595:
3577:
3572:
3559:
3546:
3521:
3516:
3510:
3470:
3421:
3415:
3361:
3342:
3317:
3311:
3201:
3196:
3177:
3171:
3160:
3133:
3042:
3014:
3005:
2946:
2936:
2925:
2898:
2765:
2755:
2736:
2726:
2701:
2691:
2672:
2662:
2640:
2630:
2611:
2601:
2580:
2551:
2521:
2506:
2501:
2485:
2470:
2465:
2453:
2440:
2435:
2425:
2412:
2393:
2388:
2372:
2353:
2332:
2308:
2289:
2283:
2260:
2247:
2242:
2236:
2210:
2205:
2190:
2185:
2173:
2160:
2155:
2145:
2132:
2113:
2108:
2096:
2015:
2006:
1975:
1963:
1912:
1897:
1892:
1876:
1861:
1856:
1841:
1836:
1815:
1810:
1794:
1781:
1762:
1757:
1741:
1722:
1710:
1686:
1680:
1645:
1636:
1630:
1625:is a polynomial function, choose a basis
1567:
1522:
1516:
1492:
1486:
1462:
1443:
1431:
1400:
1395:
1382:
1352:
1346:
1277:
1276:
1268:
1242:
1206:
1176:
1164:
1135:
1116:
1103:
1097:
1065:
1039:
1007:
1006:
1004:
960:
959:
957:
914:
864:
843:
793:
792:
784:
734:
733:
731:
701:
700:
698:
674:
611:
540:
534:
498:
492:
463:
457:
423:
395:
389:
343:
324:
309:
288:
266:
260:
239:
233:
212:
206:
182:
163:
151:
73:Learn how and when to remove this message
57:, without removing the technical details.
1144:{\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}}
4183:Algebraic geometry of projective spaces
3069:{\displaystyle (P_{y}f)(x)=g_{1}(x,y),}
358:{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}
834:is an infinite field. For example, if
2271:{\displaystyle a_{i_{1}\cdots i_{q}}}
1664:{\displaystyle e_{i},\,1\leq i\leq n}
1034:. We want to show this implies that
995:is infinite then choose a polynomial
55:make it understandable to non-experts
7:
1481:is the same for all permutations of
107:gives a coordinate-free analog of a
1338:a finite-dimensional vector space.
1310:and thus an algebra isomorphism of
1291:{\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}
861:
807:{\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}
4215:Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963),
3691:
3687:
3642:
3638:
3552:
3548:
3172:
2937:
2788:which is zero. The coefficient of
2317:{\displaystyle i_{1},\dots ,i_{q}}
1334:zero (or at least very large) and
772:{\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)}
559:In applications, one also defines
25:
4063:{\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)}
2989:(x, y) are homogeneous of degree
2862:function, locally, one can get a
2565:{\displaystyle \phi \circ \psi }
1302:. Since this mapping is clearly
645:of all polynomials over a field
34:
1155: +1 distinct elements of
142:The explicit definition of the
4144:
4130:
4101:
4095:
4057:
4039:
3995:
3989:
3976:
3958:
3924:
3918:
3905:
3899:
3808:
3796:
3774:
3768:
3742:
3733:
3626:
3604:
3536:
3530:
3457:
3451:
3442:
3427:
3391:
3376:
3332:
3326:
3216:
3210:
3150:
3138:
3060:
3048:
3032:
3026:
3023:
3007:
2964:
2952:
2915:
2903:
2771:
2655:
2646:
2594:
2591:
2585:
2527:
2514:
2491:
2478:
2378:
2346:
2343:
2337:
2061:
2043:
2034:
2028:
2025:
2019:
2003:
1996:
1990:
1987:
1981:
1951:Thus, there is a well-defined
1918:
1905:
1882:
1869:
1849:
1803:
1747:
1715:
1605:
1587:
1578:
1572:
1534:
1528:
1468:
1436:
1409:
1364:
1358:
1282:
1273:
1182:
1169:
1012:
965:
925:
919:
888:
876:
854:
848:
798:
789:
766:
760:
751:
745:
739:
706:
628:
622:
428:
349:
317:
297:{\displaystyle t_{i}(x)=x_{i}}
278:
272:
188:
156:
1:
4078:. The fields (or operators)
3827:The general case is similar.
1226:{\displaystyle 0\leq i\leq n}
602:Relation with polynomial ring
1027:{\displaystyle {\hat {f}}=0}
980:{\displaystyle {\hat {p}}=0}
228:as a coordinate function on
91:ring of polynomial functions
18:Polynomials on vector spaces
3502: = 2, we have:
3234:Proof: We first note that (
2810:in the above expression is
905:is a nonzero polynomial in
838:is a finite field then let
598:is assumed to be infinite.
4258:
4171:operator product expansion
2851:
2830:); it follows that λ = 0.
1322:Symmetric multilinear maps
1194:{\displaystyle f(t_{i})=0}
826:. This homomorphism is an
715:{\displaystyle {\hat {f}}}
4114:are required to span the
3269:); in other words, since
2866:of the function from its
479:for its dual basis, then
4107:{\displaystyle A^{i}(x)}
3873:operator product algebra
3850:Operator product algebra
3840:{\displaystyle \square }
3250:) is the coefficient of
3079:resulting in the linear
1540:{\displaystyle S^{q}(V)}
1370:{\displaystyle S^{q}(V)}
1330:be an infinite field of
1085:{\displaystyle \deg f=n}
2848:Taylor series expansion
1939:is a polynomial in the
4152:
4108:
4064:
4002:
3841:
3818:
3489:
3398:
3223:
3176:
3070:
2971:
2941:
2778:
2566:
2537:
2430:
2318:
2272:
2222:
2150:
2071:
1925:
1799:
1696:
1665:
1615:
1549:homogeneous polynomial
1541:
1502:
1475:
1420:
1405:
1371:
1292:
1257:
1235:Lagrange interpolation
1227:
1195:
1145:
1086:
1054:
1028:
981:
938:
937:{\displaystyle p(t)=0}
895:
808:
773:
716:
683:
635:
550:
508:
473:
438:
437:{\displaystyle V\to k}
405:
359:
298:
249:
222:
195:
4198:Zariski tangent space
4153:
4151:{\displaystyle |x-y|}
4120:radius of convergence
4109:
4065:
4003:
3842:
3819:
3490:
3399:
3224:
3156:
3071:
2972:
2921:
2878:, then we write: for
2779:
2567:
2538:
2384:
2319:
2273:
2223:
2104:
2072:
1926:
1753:
1697:
1695:{\displaystyle t_{i}}
1666:
1616:
1542:
1503:
1501:{\displaystyle v_{i}}
1476:
1421:
1391:
1372:
1293:
1263:. Hence the mapping
1258:
1228:
1196:
1146:
1087:
1055:
1029:
982:
939:
896:
809:
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