1106:
721:
1728:
1101:{\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}
1906:
1427:
1247:
295:
1723:{\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}
1320:
606:
2223:
2088:
are taken and points that are mutually close are required to have measurements that are highly correlated. In practice, one must be careful to ensure that the resulting covariance matrix (an
1736:
508:
438:
1964:
139:
1380:
553:
1284:
667:
1419:
713:
96:
70:
2304:
2106:: this must be positive-definite. Bochner's theorem states that if the correlation between two points is dependent only upon the distance between them (via function
2371:
2330:
2269:
632:
2086:
1984:
1343:
329:
2134:
1121:
2159:
177:
2153:
2499:
2445:
2608:
1901:{\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}
1289:
558:
2185:
2141:
469:
364:
2635:
2603:
2417:. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.
1911:
108:
2630:
2230:
1351:
517:
2625:
2598:
2387:
1255:
301:
637:
2534:
Corney, J. F.; Olsen, M. K. (19 February 2015). "Non-Gaussian pure states and positive Wigner functions".
2171:
2162:; Bochner's theorem extends to this context. Positive-definite functions on groups occur naturally in the
39:
1385:
672:
2382:
2163:
2038:
2553:
2029:
1999:
169:
2054:
2034:
1111:
As nonnegative linear combinations of positive definite functions are again positive definite, the
511:
79:
53:
2577:
2543:
2274:
2569:
2495:
2441:
2103:
2005:
344:
17:
2561:
2341:
2309:
2239:
611:
332:
2064:
1969:
2468:
1346:
1112:
2125:
In this context, Fourier terminology is not normally used and instead it is stated that
2557:
2517:
2473:
1328:
314:
99:
2619:
2581:
2167:
2098:
matrix) is always positive-definite. One strategy is to define a correlation matrix
2037:
positive-definite function on the real line is the
Fourier transform of a (positive)
1242:{\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}
1323:
2435:
1115:
is positive definite as a nonnegative linear combination of the above functions:
73:
31:
2565:
2050:
290:{\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}
2573:
2138:
2008:; it can be seen directly that to be positive-definite it is sufficient for
2119:
1987:
2335:
Note that this definition conflicts with definition 1, given above.
2548:
458:
if the weak inequality is replaced with a strong (<, > 0).
2057:, the theorem is usually applied to real functions. Typically,
2004:
Positive-definiteness arises naturally in the theory of the
2114:
must be positive-definite to ensure the covariance matrix
358:
In particular, it is necessary (but not sufficient) that
311:
By definition, a positive semi-definite matrix, such as
2492:
2061:
scalar measurements of some scalar value at points in
2344:
2312:
2277:
2242:
2188:
2067:
1972:
1914:
1739:
1430:
1388:
1354:
1331:
1292:
1258:
1124:
724:
675:
640:
614:
561:
520:
472:
367:
317:
180:
111:
82:
56:
38:
is, depending on the context, either of two types of
2373:
is sometimes dropped (see, e.g., Corney and Olsen).
1315:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }
601:{\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}
2516:
2472:
2365:
2324:
2298:
2263:
2218:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
2217:
2158:One can define positive-definite functions on any
2080:
1978:
1958:
1900:
1722:
1413:
1374:
1337:
1314:
1278:
1241:
1100:
707:
661:
626:
600:
547:
502:
443:(these inequalities follow from the condition for
432:
323:
289:
133:
90:
64:
2440:. American Mathematical Society. pp. 77–78.
503:{\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
433:{\displaystyle f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)}
2102:which is then multiplied by a scalar to give a
1959:{\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}
454:if the inequality is reversed. A function is
134:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
2408:Positive Definite and Definitizable Functions
1881:
1770:
1375:{\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }
548:{\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }
8:
1252:One can create a positive definite function
1076:
1057:
997:
978:
931:
912:
858:
826:
592:
580:
494:
482:
2399:Christian Berg, Christensen, Paul Ressel.
2012:to be the Fourier transform of a function
2547:
2343:
2311:
2276:
2241:
2211:
2210:
2201:
2197:
2196:
2187:
2160:locally compact abelian topological group
2072:
2066:
1971:
1947:
1928:
1917:
1916:
1913:
1886:
1880:
1879:
1869:
1858:
1857:
1847:
1836:
1835:
1813:
1791:
1769:
1768:
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1742:
1741:
1738:
1696:
1685:
1684:
1677:
1658:
1636:
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1570:
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1300:
1299:
1291:
1279:{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }
1272:
1271:
1257:
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648:
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540:
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118:
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84:
83:
81:
58:
57:
55:
2426:
1286:easily from positive definite function
2415:Embeddings and extensions in analysis
2154:Positive-definite function on a group
662:{\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}
7:
1414:{\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }
708:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
2142:probability density function (PDF)
25:
2338:In physics, the requirement that
2437:A course in Approximation Theory
2401:Harmonic Analysis on Semigroups
608:is positive definite for every
392:
238:
2413:Wells, J. H.; Williams, L. R.
2354:
2348:
2287:
2281:
2252:
2246:
2207:
1953:
1940:
1922:
1875:
1863:
1841:
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1822:
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1778:
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1754:
1747:
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1697:
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1667:
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473:
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411:
407:
401:
394:
377:
371:
284:
258:
123:
18:Positive semidefinite function
1:
2479:. Princeton University Press.
2475:Lectures on Fourier integrals
2599:"Positive-definite function"
2490:Verhulst, Ferdinand (1996).
2434:Cheney, Elliot Ward (2009).
1605:
1509:
1044:
899:
803:
91:{\displaystyle \mathbb {C} }
65:{\displaystyle \mathbb {R} }
2604:Encyclopedia of Mathematics
2652:
2566:10.1103/PhysRevA.91.023824
2494:(2nd ed.). Springer.
2182:Alternatively, a function
2151:
2118:is positive-definite. See
1997:
36:positive-definite function
2299:{\displaystyle f(x)>0}
2388:Positive-definite kernel
145:if for any real numbers
2515:Hahn, Wolfgang (1967).
2410:, Akademie Verlag, 1994
2403:, GTM, Springer Verlag.
2172:unitary representations
2135:characteristic function
2027:The converse result is
1993:
2367:
2366:{\displaystyle f(0)=0}
2326:
2325:{\displaystyle x\in D}
2300:
2265:
2264:{\displaystyle f(0)=0}
2219:
2082:
2016:on the real line with
1980:
1960:
1902:
1724:
1592:
1496:
1415:
1376:
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1316:
1280:
1243:
1102:
1031:
956:
886:
790:
709:
663:
628:
627:{\displaystyle y\in X}
602:
549:
504:
452:negative semi-definite
434:
325:
291:
143:positive semi-definite
135:
92:
66:
2383:Positive definiteness
2368:
2327:
2301:
2266:
2220:
2164:representation theory
2083:
2081:{\displaystyle R^{d}}
1981:
1979:{\displaystyle \phi }
1961:
1903:
1725:
1566:
1470:
1416:
1377:
1340:
1317:
1281:
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1103:
1011:
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710:
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136:
93:
67:
2342:
2310:
2275:
2240:
2186:
2170:(i.e. the theory of
2065:
1970:
1912:
1737:
1428:
1386:
1352:
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638:
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559:
518:
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365:
315:
178:
109:
80:
54:
2558:2015PhRvA..91b3824C
2519:Stability of Motion
2306:for every non-zero
2055:Bayesian statistics
2033:, stating that any
512:inner product space
231:
2636:Types of functions
2363:
2322:
2296:
2261:
2215:
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187:
131:
88:
62:
2631:Dynamical systems
2536:Physical Review A
2236:of the origin if
2227:positive-definite
2110:), then function
2104:covariance matrix
2053:, and especially
2030:Bochner's theorem
2006:Fourier transform
2000:Bochner's theorem
1994:Bochner's theorem
1925:
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1151:
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345:complex conjugate
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16:(Redirected from
2643:
2626:Complex analysis
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1966:are distinct as
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1167:
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1091:
1090:
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1081:
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