2872:
6612:
2658:
3116:
6900:
6371:
6200:
7048:
2867:{\displaystyle {\text{coker}}\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times {\hat {X}}_{i}\times \cdots \times X_{n}){\xrightarrow {id\times \cdots \times x_{i}\times \cdots \times id}}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times X_{n})\right)}
4135:
1745:
3785:
1413:
3363:
790:
2980:
4652:
6043:
5449:
2294:
2579:
6732:
5659:
4398:
7261:
4914:
6281:
6607:{\displaystyle {\begin{aligned}H^{1,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{0}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\mathcal {O}}^{*}(X)\\H^{2,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\text{Pic}}(X)\end{aligned}}}
571:
2646:
3421:
5877:
2370:
3874:
2079:
3603:
4734:
6093:
4282:
202:
874:
2212:
6724:
6376:
4842:
2420:
1156:
392:
1873:
5028:
3531:
3233:
3183:
6911:
5554:
1484:
2972:
5224:
942:
476:
430:
3915:
2017:
2126:
316:
5292:
2163:
1005:
7181:
1817:
6363:
5502:
1601:
1569:
1196:
5116:
5072:
4981:
1912:
141:
6674:
6320:
5693:
5323:
3452:
1224:
969:
4493:
4447:
4165:
2474:
6065:
1934:
1649:
93:
3815:
2925:
4952:
1037:
5349:
3907:
595:
4215:
3663:
1310:
1278:
813:
655:
5960:
3273:
1974:
343:
5153:
1513:
1094:
900:
509:
253:
6643:
6085:
5920:
5900:
5776:
5756:
5733:
5713:
5472:
5173:
4754:
4513:
4185:
3647:
3623:
3484:
3278:
1776:
1641:
1621:
1298:
1252:
1061:
695:
675:
635:
615:
273:
3111:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\oplus \mathbb {Z} _{tr}(Y){\xrightarrow {\begin{bmatrix}1\times y&x\times 1\end{bmatrix}}}\mathbb {Z} _{tr}(X\times Y)}
1226:
if the underlying field is understood. Each of the categories in this section are abelian categories, hence they are suitable for doing homological algebra.
703:
4526:
6895:{\displaystyle C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))\simeq C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})}
5973:
5357:
2217:
2479:
5562:
4293:
7186:
4847:
7293:
6208:
7053:
which is found using splitting techniques along with a series of quasi-isomorphisms. The details are in lecture 15 of the Clay Math book.
514:
2584:
224:
33:
3368:
32:, comes with pushforwards, “transfer” maps. Precisely, it is, by definition, a contravariant additive functor from the category of
5784:
2307:
47:
with transfers is restricted to the subcategory of smooth separated schemes, it can be viewed as a presheaf on the category with
3820:
2022:
6195:{\displaystyle H^{p,0}(X,\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} (X)&{\text{if }}p=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
3536:
4657:
4223:
148:
822:
7285:
2168:
6679:
4771:
2375:
7332:
1118:
352:
7281:
7043:{\displaystyle \mathbb {Z} (n)\simeq C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))}
1822:
1097:
4986:
3489:
3188:
3124:
1040:
5507:
1424:
25:
2930:
1758:
One of the basic examples of presheaves with transfers are given by representable functors. Given a smooth scheme
4130:{\displaystyle {\frac {k}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1)}}\to {\frac {k}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1,x_{j})}}}
5178:
909:
443:
397:
1979:
2084:
511:, is the category where the objects are smooth algebraic schemes over a field; where a Hom set is given as:
282:
5229:
2131:
974:
7148:
1781:
7337:
6325:
5477:
1574:
1543:
1164:
114:
5077:
5033:
4957:
1886:
117:
7072:
6648:
6294:
5667:
5297:
3426:
1740:{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}(Y)\to {\mathcal {O}}^{*}(W){\xrightarrow {N}}{\mathcal {O}}^{*}(X)}
816:
6138:
1201:
950:
4452:
4406:
4143:
2433:
574:
96:
6048:
1917:
54:
7273:
7082:
7067:
4403:
giving a complex of presheaves with transfers. The homology invaritant presheaves with transfers
3793:
3455:
2880:
1067:
971:
of smooth algebraic schemes as a subcategory in the following sense: there is a faithful functor
212:
17:
4919:
3780:{\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {k}{\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1}}\right)}
1408:{\displaystyle 0\to F(X){\xrightarrow {\text{diag}}}F(U){\xrightarrow {(+,-)}}F(U\times _{X}U)}
7342:
7289:
7077:
1010:
903:
29:
5328:
3879:
580:
4190:
1257:
798:
640:
7303:
5933:
3246:
1947:
321:
7299:
5129:
3358:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X^{\wedge q})=\mathbb {Z} _{tr}(X\wedge \cdots \wedge X)}
37:
1492:
1073:
879:
488:
232:
7127:
7062:
6628:
6070:
5905:
5885:
5761:
5741:
5718:
5698:
5457:
5158:
4739:
4498:
4170:
3632:
3608:
3469:
1761:
1626:
1606:
1283:
1237:
1234:
These are defined as presheaves with transfers such that the restriction to any scheme
1046:
785:{\displaystyle \beta \circ \alpha =p_{{13},*}(p_{12}^{*}\alpha \cdot p_{23}^{*}\beta )}
680:
660:
620:
600:
258:
7326:
4647:{\displaystyle H_{0}^{sing}(X/k):=H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X))({\text{Spec}}(k))}
2649:
7317:
6038:{\displaystyle \mathbb {Z} (0)\cong \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge 0})}
5444:{\displaystyle \mathbb {Z} (q)=C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})}
2289:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{tr}(X,x)}
255:
be algebraic schemes (i.e., separated and of finite type over a field) and suppose
2574:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}((X_{1},x_{1})\wedge \cdots \wedge (X_{n},x_{n}))}
5654:{\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,\mathbb {Z} (q))}
6291:
This case requires more work, but the end result is a quasi-isomorphism between
5930:
There are a few special cases which can be analyzed explicitly. Namely, when
4916:
where homotopy equivalence is given as follows. Two finite correspondences
4393:{\displaystyle \sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\partial _{i}^{*}:C_{j}F\to C_{j-1}F}
7256:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X\times \{y\})\cong \mathbb {Z} _{tr}(X)}
5962:. These results can be found in the fourth lecture of the Clay Math book.
4909:{\displaystyle {\text{Hom}}_{Cor}(X,Y)/\mathbb {A} ^{1}{\text{ homotopy}}}
4495:
is the universal homotopy invariant presheaf with transfers associated to
432:
be the free abelian group generated by elementary correspondences from
6276:{\displaystyle \mathbb {Z} (X)={\text{Hom}}_{Cor}(X,{\text{Spec}}(k))}
3040:
2765:
1707:
1527:, where the Etale topology is switched with the Nisnevich topology.
1361:
1337:
566:{\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=\operatorname {Cor} (X,Y)}
2641:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n})}
2304:
There is a representable functor associated to the pointed scheme
1944:
Another class of elementary examples comes from pointed schemes
4187:, there is an associated complex of presheaves with transfers
3416:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})}
1108:
The basic notion underlying all of the different theories are
6569:
6472:
6452:
6332:
1717:
1682:
1656:
1550:
6617:
where the middle cohomology groups are
Zariski cohomology.
6188:
5872:{\displaystyle H^{p,q}(X,A)=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,A(q))}
3423:, which is used in the definition of the motivic complexes
2365:{\displaystyle \mathbb {G} _{m}=(\mathbb {A} ^{1}-\{0\},1)}
40:, “presheaf” is another term for a contravariant functor).
3869:{\displaystyle \partial _{j}:\Delta ^{n}\to \Delta ^{n+1}}
2128:. There is a splitting coming from the structure morphism
2074:{\displaystyle x_{*}:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{tr}(X)}
3598:{\displaystyle p^{*}:F(X)\to F(X\times \mathbb {A} ^{1})}
3121:
This is analogous to the smash product in topology since
4729:{\displaystyle H_{0}^{sing}(X/k)\to {\text{CH}}_{0}(X)}
5126:
For
Voevodsky's category of mixed motives, the motive
4277:{\displaystyle C_{i}F:U\mapsto F(U\times \Delta ^{i})}
3045:
197:{\displaystyle F(X)\simeq F(X\times \mathbb {A} ^{1})}
36:(defined below) to the category of abelian groups (in
7189:
7151:
6914:
6735:
6682:
6651:
6631:
6374:
6328:
6297:
6211:
6096:
6073:
6051:
5976:
5936:
5908:
5888:
5787:
5764:
5744:
5721:
5701:
5670:
5565:
5556:. These give the motivic cohomology groups defined by
5510:
5480:
5460:
5360:
5331:
5300:
5232:
5181:
5161:
5132:
5080:
5036:
4989:
4960:
4922:
4850:
4774:
4742:
4660:
4529:
4501:
4455:
4409:
4296:
4226:
4193:
4173:
4146:
3918:
3882:
3823:
3796:
3666:
3635:
3611:
3539:
3492:
3472:
3429:
3371:
3281:
3249:
3191:
3127:
2983:
2933:
2883:
2661:
2587:
2482:
2436:
2378:
2310:
2220:
2171:
2134:
2087:
2025:
1982:
1950:
1920:
1889:
1825:
1784:
1764:
1652:
1629:
1609:
1577:
1546:
1495:
1427:
1313:
1286:
1260:
1240:
1204:
1167:
1121:
1076:
1049:
1013:
977:
953:
912:
882:
869:{\displaystyle p_{12}:X\times Y\times Z\to X\times Y}
825:
801:
706:
683:
663:
643:
623:
603:
583:
517:
491:
446:
400:
355:
324:
285:
261:
235:
151:
120:
57:
7101:
2207:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\to \mathbb {Z} }
6719:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})}
4837:{\displaystyle H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(Y))(X)}
2415:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m})}
1161:and their associated category is typically denoted
485:The category of finite correspondences, denoted by
7255:
7175:
7042:
6894:
6718:
6668:
6637:
6606:
6357:
6314:
6275:
6194:
6079:
6059:
6037:
5954:
5914:
5894:
5871:
5770:
5750:
5727:
5707:
5687:
5653:
5548:
5496:
5466:
5443:
5343:
5317:
5286:
5218:
5167:
5147:
5110:
5066:
5022:
4975:
4946:
4908:
4836:
4748:
4728:
4646:
4507:
4487:
4441:
4392:
4276:
4209:
4179:
4159:
4129:
3901:
3868:
3809:
3779:
3641:
3617:
3597:
3525:
3478:
3446:
3415:
3357:
3267:
3227:
3177:
3110:
2966:
2927:, there is the associated presheaf with transfers
2919:
2866:
2640:
2573:
2468:
2414:
2364:
2288:
2206:
2157:
2120:
2073:
2011:
1968:
1928:
1906:
1867:
1811:
1770:
1739:
1635:
1615:
1595:
1563:
1507:
1478:
1407:
1292:
1272:
1246:
1218:
1190:
1150:
1088:
1055:
1031:
999:
963:
936:
894:
868:
807:
784:
689:
669:
649:
629:
609:
589:
565:
503:
470:
424:
386:
337:
310:
267:
247:
196:
135:
87:
7318:https://ncatlab.org/nlab/show/sheaf+with+transfer
5758:. They can also be extended to any abelian group
3486:is homotopy invariant if the projection morphism
1571:is a presheaf with transfers. Any correspondence
1151:{\displaystyle F:{\text{Cor}}_{k}\to {\text{Ab}}}
387:{\displaystyle \operatorname {Supp} (W)\to X_{i}}
1868:{\displaystyle U\mapsto {\text{Hom}}_{Cor}(U,X)}
5882:giving motivic cohomology with coefficients in
5023:{\displaystyle h:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X}
3526:{\displaystyle p:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X}
3228:{\displaystyle X\times \{y\}\cup \{x\}\times Y}
3178:{\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)}
2476:there is an associated presheaf with transfers
6365:. This gives the two motivic cohomology groups
5294:. One of the elementary motivic complexes are
1007:that sends an object to itself and a morphism
5549:{\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}
1479:{\displaystyle F(X\coprod Y)=F(X)\oplus F(Y)}
8:
7220:
7214:
7170:
7164:
7135:. Clay Math. pp. 13, 15–16, 17, 21, 22.
5695:restrict to a complex of Zariksi sheaves of
4983:-homotopy equivalent if there is a morphism
3216:
3210:
3204:
3198:
2967:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X\wedge Y)}
2350:
2344:
1070:taken as the monoid operation, the category
1879:Representable functor associated to a point
1112:. These are contravariant additive functors
573:and where the composition is defined as in
3649:using an analogue of simplicial homology.
1883:The associated presheaf with transfers of
99:but also from finite correspondences from
7235:
7231:
7230:
7196:
7192:
7191:
7188:
7150:
7007:
7003:
7002:
6989:
6985:
6984:
6978:
6969:
6965:
6964:
6951:
6947:
6946:
6936:
6916:
6915:
6913:
6871:
6866:
6862:
6861:
6848:
6844:
6843:
6836:
6811:
6807:
6806:
6793:
6789:
6788:
6782:
6773:
6769:
6768:
6755:
6751:
6750:
6740:
6734:
6707:
6703:
6702:
6689:
6685:
6684:
6681:
6653:
6652:
6650:
6630:
6586:
6574:
6568:
6567:
6551:
6540:
6522:
6521:
6500:
6477:
6471:
6470:
6457:
6451:
6450:
6434:
6423:
6405:
6404:
6383:
6375:
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6337:
6331:
6330:
6327:
6299:
6298:
6296:
6256:
6235:
6230:
6213:
6212:
6210:
6180:
6157:
6142:
6141:
6133:
6123:
6122:
6101:
6095:
6072:
6053:
6052:
6050:
6023:
6018:
6014:
6013:
6000:
5996:
5995:
5978:
5977:
5975:
5935:
5907:
5887:
5839:
5828:
5824:
5823:
5792:
5786:
5763:
5743:
5720:
5700:
5672:
5671:
5669:
5635:
5634:
5619:
5608:
5604:
5603:
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5591:
5570:
5564:
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5526:
5509:
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5482:
5481:
5479:
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5417:
5412:
5408:
5407:
5394:
5390:
5389:
5382:
5362:
5361:
5359:
5330:
5302:
5301:
5299:
5251:
5240:
5231:
5219:{\displaystyle C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X)}
5198:
5194:
5193:
5186:
5180:
5160:
5131:
5090:
5085:
5079:
5046:
5041:
5035:
5008:
5004:
5003:
4988:
4967:
4963:
4962:
4959:
4921:
4901:
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4891:
4890:
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4857:
4852:
4849:
4804:
4800:
4799:
4792:
4779:
4773:
4741:
4711:
4706:
4691:
4670:
4665:
4659:
4627:
4603:
4599:
4598:
4591:
4578:
4560:
4539:
4534:
4528:
4500:
4473:
4460:
4454:
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4312:
4301:
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4265:
4231:
4225:
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4172:
4151:
4145:
4115:
4096:
4074:
4050:
4031:
4018:
3997:
3975:
3951:
3932:
3919:
3917:
3887:
3881:
3854:
3841:
3828:
3822:
3801:
3795:
3758:
3736:
3721:
3702:
3689:
3680:
3671:
3665:
3634:
3610:
3586:
3582:
3581:
3544:
3538:
3511:
3507:
3506:
3491:
3471:
3431:
3430:
3428:
3401:
3396:
3392:
3391:
3378:
3374:
3373:
3370:
3325:
3321:
3320:
3304:
3288:
3284:
3283:
3280:
3248:
3190:
3155:
3126:
3084:
3080:
3079:
3035:
3017:
3013:
3012:
2990:
2986:
2985:
2982:
2940:
2936:
2935:
2932:
2882:
2850:
2831:
2815:
2811:
2810:
2785:
2760:
2751:
2732:
2721:
2720:
2704:
2688:
2684:
2683:
2676:
2662:
2660:
2629:
2610:
2594:
2590:
2589:
2586:
2559:
2546:
2521:
2508:
2489:
2485:
2484:
2481:
2457:
2444:
2435:
2430:Given a finite family of pointed schemes
2403:
2399:
2398:
2385:
2381:
2380:
2377:
2335:
2331:
2330:
2317:
2313:
2312:
2309:
2262:
2258:
2257:
2249:
2248:
2227:
2223:
2222:
2219:
2200:
2199:
2178:
2174:
2173:
2170:
2141:
2133:
2094:
2090:
2089:
2086:
2053:
2049:
2048:
2040:
2039:
2030:
2024:
1989:
1981:
1949:
1922:
1921:
1919:
1890:
1888:
1838:
1833:
1824:
1791:
1787:
1786:
1783:
1763:
1750:showing it is a presheaf with transfers.
1722:
1716:
1715:
1702:
1687:
1681:
1680:
1661:
1655:
1654:
1651:
1628:
1608:
1576:
1555:
1549:
1548:
1545:
1494:
1426:
1393:
1356:
1332:
1312:
1285:
1259:
1239:
1205:
1203:
1168:
1166:
1143:
1134:
1129:
1120:
1075:
1048:
1012:
979:
978:
976:
955:
954:
952:
937:{\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)}
911:
881:
830:
824:
800:
770:
765:
749:
744:
724:
723:
705:
682:
662:
642:
622:
602:
582:
516:
490:
471:{\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)}
445:
425:{\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)}
399:
378:
354:
329:
323:
296:
284:
260:
234:
185:
181:
180:
150:
127:
123:
122:
119:
56:
3625:. There is a construction associating a
3185:where the equivalence relation mods out
7094:
4519:Relation with Chow group of zero cycles
4449:are homotopy invariant. In particular,
2877:For example, given two pointed schemes
2300:Representable functor associated to A-0
2012:{\displaystyle x:{\text{Spec}}(k)\to X}
1300:is a presheaf with transfers, it is an
215:groups form presheaves with transfers.
3365:. One example of this construction is
2121:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X,x)}
311:{\displaystyle W\subset X_{i}\times Y}
6676:in terms of presheaves with transfer
5287:{\displaystyle DM_{Nis}^{eff,-}(k,R)}
4167:. Then, to a presheaf with transfers
2158:{\displaystyle X\to {\text{Spec}}(k)}
1643:, hence there is the induced morphism
1000:{\displaystyle {\textbf {Sm}}\to Cor}
7:
7176:{\displaystyle X\cong X\times \{y\}}
7122:
7120:
7118:
7116:
7114:
7112:
7110:
2652:. This is defined as the cokernel of
1812:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}
1418:is exact and there is an isomorphism
947:This category contains the category
211:For example, Chow groups as well as
7278:Lecture notes on motivic cohomology
7129:Lecture Notes on Motivic Cohomology
6087:cohomology groups are isomorphic to
6067:(top of page 17), hence the weight
4287:and has the induced chain morphisms
2019:. This morphism induces a morphism
1778:there is a presheaf with transfers
980:
956:
577:: given elementary correspondences
279:is an irreducible closed subscheme
225:Correspondence (algebraic geometry)
7102:Mazza, Voevodsky & Weibel 2006
6358:{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}}
5497:{\displaystyle \mathbb {Z} /\ell }
4338:
4262:
4148:
3851:
3838:
3825:
3798:
3668:
3629:for every presheaf with transfers
3243:A finite wedge of a pointed space
1596:{\displaystyle W\subset X\times Y}
1564:{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}}
1523:There is a similar definition for
14:
7284:, vol. 2, Providence, R.I.:
6645:, there is a nice description of
6625:In general, over a perfect field
5735:-th motivic cohomology groups of
4654:. There is an induced surjection
1191:{\displaystyle \mathbf {PST} (k)}
5111:{\displaystyle h|_{X\times 1}=g}
5067:{\displaystyle h|_{X\times 0}=f}
4976:{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}
2426:Smash product of pointed schemes
1907:{\displaystyle {\text{Spec}}(k)}
1519:Nisnevich sheaves with transfers
1212:
1209:
1206:
1175:
1172:
1169:
136:{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}
6669:{\displaystyle \mathbb {Z} (n)}
6315:{\displaystyle \mathbb {Z} (1)}
5688:{\displaystyle \mathbb {Z} (q)}
5318:{\displaystyle \mathbb {Z} (q)}
3447:{\displaystyle \mathbb {Z} (q)}
1603:induces a finite map of degree
1254:is an etale sheaf. That is, if
7250:
7244:
7223:
7205:
7037:
7025:
7022:
7019:
6998:
6975:
6960:
6942:
6926:
6920:
6889:
6883:
6880:
6857:
6826:
6823:
6802:
6779:
6764:
6746:
6713:
6698:
6663:
6657:
6597:
6591:
6580:
6557:
6526:
6512:
6489:
6483:
6463:
6440:
6409:
6395:
6352:
6343:
6309:
6303:
6270:
6267:
6261:
6247:
6223:
6217:
6152:
6146:
6127:
6113:
6032:
6009:
5988:
5982:
5866:
5863:
5857:
5845:
5816:
5804:
5682:
5676:
5648:
5645:
5639:
5625:
5596:
5582:
5537:
5531:
5520:
5514:
5438:
5429:
5426:
5403:
5372:
5366:
5312:
5306:
5281:
5269:
5213:
5207:
5142:
5136:
5086:
5042:
5014:
4938:
4881:
4869:
4831:
4825:
4822:
4819:
4813:
4785:
4723:
4717:
4702:
4699:
4685:
4641:
4638:
4632:
4624:
4621:
4618:
4612:
4584:
4568:
4554:
4482:
4466:
4436:
4420:
4368:
4328:
4318:
4271:
4252:
4246:
4121:
4067:
4062:
4024:
4015:
4009:
3968:
3963:
3925:
3847:
3727:
3695:
3592:
3571:
3565:
3562:
3556:
3517:
3441:
3435:
3410:
3387:
3352:
3334:
3313:
3297:
3262:
3250:
3172:
3160:
3152:
3140:
3105:
3093:
3032:
3026:
3005:
2999:
2961:
2949:
2914:
2902:
2896:
2884:
2856:
2824:
2757:
2726:
2697:
2635:
2603:
2568:
2565:
2539:
2527:
2501:
2498:
2463:
2437:
2409:
2394:
2359:
2326:
2283:
2271:
2242:
2236:
2196:
2193:
2187:
2152:
2146:
2138:
2115:
2103:
2068:
2062:
2044:
2003:
2000:
1994:
1963:
1951:
1901:
1895:
1862:
1850:
1829:
1806:
1800:
1734:
1728:
1699:
1693:
1676:
1673:
1667:
1525:Nisnevich sheaf with transfers
1473:
1467:
1458:
1452:
1443:
1431:
1402:
1383:
1374:
1362:
1353:
1347:
1329:
1323:
1317:
1264:
1219:{\displaystyle \mathbf {PST} }
1185:
1179:
1140:
1023:
985:
964:{\displaystyle {\textbf {Sm}}}
931:
919:
876:, etc. Note that the category
854:
779:
737:
560:
548:
536:
524:
465:
453:
419:
407:
394:is finite and surjective. Let
371:
368:
362:
191:
170:
161:
155:
82:
76:
70:
67:
61:
1:
7286:American Mathematical Society
6726:. There is a quasi-ismorphism
6045:which is quasi-isomorphic to
5504:, there is a motivic complex
4488:{\displaystyle H_{0}(C_{*}F)}
4442:{\displaystyle H_{i}(C_{*}F)}
4160:{\displaystyle \partial _{j}}
3790:giving a cosimplicial scheme
2469:{\displaystyle (X_{i},x_{i})}
2165:, so there is an induced map
1489:for any fixed smooth schemes
113:with transfers is said to be
6060:{\displaystyle \mathbb {Z} }
5664:since the motivic complexes
4736:which is an isomorphism for
1929:{\displaystyle \mathbb {Z} }
1230:Etale sheaves with transfers
345:some connected component of
88:{\displaystyle F(Y)\to F(X)}
7282:Clay Mathematics Monographs
4140:gives the induced morphism
3810:{\displaystyle \Delta ^{*}}
2920:{\displaystyle (X,x),(Y,y)}
1098:symmetric monoidal category
349:, such that the projection
7359:
7276:; Weibel, Charles (2006),
4947:{\displaystyle f,g:X\to Y}
3466:A presheaf with transfers
3462:Homotopy invariant sheaves
2081:whose cokernel is denoted
1302:Etale sheaf with transfers
222:
5351:, defined by the class of
1110:presheaves with transfers
277:elementary correspondence
3627:homotopy invariant sheaf
3605:for every smooth scheme
2974:equal to the cokernel of
1032:{\displaystyle f:X\to Y}
697:, their composition is:
5715:. These are called the
5344:{\displaystyle q\geq 1}
4768:The zeroth homology of
3902:{\displaystyle x_{j}=0}
3533:induces an isomorphism
1280:is an etale cover, and
590:{\displaystyle \alpha }
22:presheaf with transfers
7257:
7177:
7051:
7044:
6903:
6896:
6720:
6670:
6639:
6615:
6608:
6359:
6316:
6283:. Since an open cover
6277:
6203:
6196:
6081:
6061:
6039:
5956:
5916:
5896:
5880:
5873:
5772:
5752:
5729:
5709:
5689:
5662:
5655:
5550:
5498:
5468:
5452:
5445:
5345:
5319:
5288:
5220:
5169:
5149:
5112:
5068:
5024:
4977:
4948:
4910:
4838:
4750:
4730:
4648:
4509:
4489:
4443:
4401:
4394:
4317:
4285:
4278:
4211:
4210:{\displaystyle C_{*}F}
4181:
4161:
4138:
4131:
3903:
3870:
3817:, where the morphisms
3811:
3788:
3781:
3643:
3619:
3599:
3527:
3480:
3448:
3417:
3359:
3269:
3229:
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