5866:
2748:
5861:{\displaystyle {\begin{aligned}1/19&=0.{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}1}\dots \\2/19&=0.1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2\dots \\3/19&=0.1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}6{\text{ }}3\dots \\4/19&=0.2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4\dots \\5/19&=0.2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5\dots \\6/19&=0.3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6\dots \\7/19&=0.3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}1}{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7\dots \\8/19&=0.4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8\dots \\9/19&=0.4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9\dots \\10/19&=0.5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0\dots \\11/19&=0.5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1\dots \\12/19&=0.6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}8}{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2\dots \\13/19&=0.6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3\dots \\14/19&=0.7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4\dots \\15/19&=0.7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5\dots \\16/19&=0.8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}3{\text{ }}6\dots \\17/19&=0.8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7\dots \\18/19&=0.{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}8}\dots \\\end{aligned}}}
7528:
5966:
7523:{\displaystyle {\begin{aligned}1/17&=0.{\color {blue}0}{\text{ }}5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;{\color {blue}7}\dots \\5/17&=0.2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;{\color {blue}3}\;5\dots \\8/17&=0.4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;{\color {blue}1}\;7\;6\dots \\6/17&=0.3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;{\color {blue}5}\;8\;8\;2\dots \\13/17&=0.7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;{\color {blue}2}\;9\;4\;1\;1\dots \\14/17&=0.8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;{\color {blue}6}\;4\;7\;0\;5\;8\dots \\2/17&=0.1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;{\color {blue}8}\;2\;3\;5\;2\;9\;4\dots \\10/17&=0.5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;{\color {blue}4}\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\dots \\16/17&=0.9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;{\color {blue}7}\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\dots \\12/17&=0.7\;0\;5\;8\;8\;2\;{\color {blue}3}\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\dots \\9/17&=0.5\;2\;9\;4\;1\;{\color {blue}1}\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\dots \\11/17&=0.6\;4\;7\;0\;{\color {blue}5}\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\dots \\4/17&=0.2\;3\;5\;{\color {blue}2}\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\dots \\3/17&=0.1\;7\;{\color {blue}6}\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\dots \\15/17&=0.8\;{\color {blue}8}\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\dots \\7/17&=0.{\color {blue}4}\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\dots \\\end{aligned}}}
1930:
1476:
1925:{\displaystyle {\begin{aligned}1/7=&{\text{ }}0.142\;857\dots \\+&{\text{ }}0.857\;142\ldots =6/7\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\ldots \\\\1/13=&{\text{ }}0.076\;923\;076\;923\dots \\+&{\text{ }}0.923\;076\;923\;076\ldots =12/13\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\;999\;999\ldots \\\\1/19=&{\text{ }}0.052631578\;947368421\dots \\+&{\text{ }}0.947368421\;052631578\ldots =18/19\\&------------\\&{\text{ }}0.999999999\;999999999\dots \\\end{aligned}}}
2190:
8072:
1994:
443:
2185:{\displaystyle {\begin{aligned}1/23&=0.04347826\;08695652\;173913\ldots \\2/23&=0.08695652\;17391304\;347826\ldots \\4/23&=0.17391304\;34782608\;695652\ldots \\8/23&=0.34782608\;69565217\;391304\ldots \\16/23&=0.69565217\;39130434\;782608\ldots \\\end{aligned}}}
259:
2722:
magic square with maximum period 18 contains a row-and-column total of 81, that is also obtained by both diagonals. This makes it the first full, non-normal base-10 prime reciprocal magic square whose multiples fit inside respective
246:
5971:
2753:
1999:
1481:
438:{\displaystyle {\begin{aligned}1/7&=0.142857\dots \\2/7&=0.285714\dots \\3/7&=0.428571\dots \\4/7&=0.571428\dots \\5/7&=0.714285\dots \\6/7&=0.857142\dots \end{aligned}}}
264:
2422:
2720:
5955:
2221:
505:
196:
144:
111:
82:
167:
7558:
2354:
2280:
2252:
1414:
1366:
1324:
7879:
7578:
2741:
2328:
2308:
1983:
1963:
1465:
1445:
1386:
1278:
1257:
1236:
1215:
1194:
1173:
1150:
1129:
1108:
1087:
1066:
1045:
1022:
1001:
980:
959:
938:
917:
894:
873:
852:
831:
810:
789:
766:
745:
724:
703:
682:
661:
638:
617:
596:
575:
554:
533:
201:
7973:
7856:
5881:
8013:
5870:
The first few prime numbers in decimal whose reciprocals can be used to produce a non-normal, full prime reciprocal magic square of this type are
7532:
As such, this full magic square is the first of its kind in decimal that does not admit a uniform solution where consecutive multiples of
7884:
7742:
2365:
7806:
7733:
7687:
7631:
5957:
prime reciprocal magic square with maximum period of 16 and magic constant of 72 can be constructed where its rows represent
7798:
8061:
8006:
2226:
A uniform solution of a prime reciprocal magic square, whether full or not, will hold rows with successive multiples of
8036:
7679:
8116:
2694:
8170:
8165:
8106:
28:
7999:
8242:
8096:
5901:
7672:
7594:
1939:
1468:
5931:
2426:
The table below lists some prime numbers that generate prime-reciprocal magic squares in given bases.
2197:
7915:"On two interesting properties of primes, p, with reciprocals in base 10 having maximum period p – 1"
7616:
1420:
454:
172:
120:
87:
58:
8206:
149:
8137:
7945:
7937:
7754:
7645:
251:
7789:
8175:
8086:
7820:
7802:
7701:
7683:
7637:
7627:
2254:. Other magic squares can be constructed whose rows do not represent consecutive multiples of
1935:
114:
8091:
7929:
7828:
7770:
7746:
7709:
7914:
7816:
7766:
7697:
8201:
8149:
8144:
7832:
7812:
7774:
7762:
7713:
7693:
7663:
1290:
7535:
2333:
2257:
2229:
1391:
1345:
1303:
8211:
8046:
7563:
2726:
2313:
2293:
1968:
1948:
1450:
1430:
1371:
1327:
1263:
1242:
1221:
1200:
1179:
1158:
1135:
1114:
1093:
1072:
1051:
1030:
1007:
986:
965:
944:
923:
902:
879:
858:
837:
816:
795:
774:
751:
730:
709:
688:
667:
646:
623:
602:
581:
560:
539:
518:
8236:
8041:
8022:
7949:
7667:
7649:
7623:
7589:
5889:
1986:
1424:
53:
5874:{19, 383, 32327, 34061, 45341, 61967, 65699, 117541, 158771, 405817, ...} (sequence
8221:
8191:
8101:
8051:
5905:
508:
32:
24:
8071:
8216:
8196:
7963:
7846:
5893:
7728:
8132:
8056:
7941:
1334:, such that their diagonals, rows and columns collectively yield equal sums.
7705:
7641:
2357:
7824:
7674:
The
Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur
1416:— not necessarily successively — where a magic constant can be obtained.
241:{\displaystyle 0.{\mathbf {1}}42857{\mathbf {1}}42857{\mathbf {1}}\dots }
7933:
1326:
period will generate magic squares where all rows and columns produce a
7758:
49:
448:
7897:"Fourteen primes less than 1000000 possess this required property ".
7750:
1938:. These complementary sequences are generated between multiples of
1297:
7991:
1471:
of digits that yield strings of nines (9) when added together:
7995:
1293:
is 27, as one diagonal adds to 23 while the other adds to 31.
507:
This yields the smallest base-10 non-normal, prime reciprocal
7967:
7892:(2). Amityville, NY: Baywood Publishing & Co.: 158–160.
7850:
5917:
5913:
5876:
2194:
In this case, a factor of 2 moves the repeating decimal of
1342:
In a full, or otherwise prime reciprocal magic square with
7968:"Sequence A007450 (Decimal expansion of 1/17.)"
7851:"Sequence A021023 (Decimal expansion of 1/19.)"
7618:
The
Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers
5888:
The smallest prime number to yield such magic square in
5936:
2700:
2202:
177:
125:
92:
63:
7901:
Solution to problem 2420, "Only 19?" by M. J. Zerger.
7566:
7538:
5969:
5934:
2751:
2729:
2697:
2368:
2336:
2316:
2296:
2260:
2232:
2200:
1997:
1971:
1965:
in the numerator of the reciprocal of a prime number
1951:
1479:
1453:
1433:
1394:
1374:
1348:
1306:
1266:
1245:
1224:
1203:
1182:
1161:
1138:
1117:
1096:
1075:
1054:
1033:
1010:
989:
968:
947:
926:
905:
882:
861:
840:
819:
798:
777:
754:
733:
712:
691:
670:
649:
626:
605:
584:
563:
542:
521:
457:
262:
204:
175:
152:
123:
90:
61:
1388:−th rows in the square are arranged by multiples of
8184:
8158:
8125:
8079:
8029:
7671:
7615:
7572:
7552:
7522:
5949:
5860:
2735:
2714:
2416:
2348:
2322:
2302:
2274:
2246:
2215:
2184:
1977:
1957:
1924:
1459:
1439:
1408:
1380:
1360:
1318:
1272:
1251:
1230:
1209:
1188:
1167:
1144:
1123:
1102:
1081:
1060:
1039:
1016:
995:
974:
953:
932:
911:
888:
867:
846:
825:
804:
783:
760:
739:
718:
697:
676:
655:
632:
611:
590:
569:
548:
527:
499:
437:
240:
190:
161:
138:
105:
76:
198:, on the other hand, repeats over six digits as,
1289:of this square do not sum to 27; however, their
2417:{\displaystyle M=(b-1)\times {\frac {p-1}{2}}.}
250:Consequently, multiples of one-seventh exhibit
8007:
2290:Magic squares based on reciprocals of primes
8:
1285:In contrast with its rows and columns, the
8014:
8000:
7992:
7505:
7501:
7497:
7493:
7489:
7485:
7481:
7477:
7473:
7469:
7465:
7461:
7457:
7453:
7449:
7410:
7402:
7398:
7394:
7390:
7386:
7382:
7378:
7374:
7370:
7366:
7362:
7358:
7354:
7346:
7314:
7310:
7302:
7298:
7294:
7290:
7286:
7282:
7278:
7274:
7270:
7266:
7262:
7254:
7250:
7218:
7214:
7210:
7202:
7198:
7194:
7190:
7186:
7182:
7178:
7174:
7170:
7162:
7158:
7154:
7122:
7118:
7114:
7110:
7102:
7098:
7094:
7090:
7086:
7082:
7078:
7070:
7066:
7062:
7058:
7026:
7022:
7018:
7014:
7010:
7002:
6998:
6994:
6990:
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7928:(2). Auburn, WA: S.M.A.R.T.: 198–200.
1989:of its decimal expansion accordingly,
7:
7885:Journal of Recreational Mathematics
7878:Singleton, Colin R.J., ed. (1999).
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1330:, and only a select few will be
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7788:Andrews, William Symes (1917).
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451:, each row and column sums to
1:
8112:Prime reciprocal magic square
7799:Open Court Publishing Company
1296:All prime reciprocals in any
21:prime reciprocal magic square
7727:Leavitt, William G. (1967).
1945:More specifically, a factor
162:{\displaystyle 0.3333\dots }
1368:period, the even number of
8259:
7964:Sloane, N. J. A.
7847:Sloane, N. J. A.
7680:Princeton University Press
8126:Higher dimensional shapes
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8068:
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8171:Pandiagonal magic square
8166:Associative magic square
8107:Pandiagonal magic square
2434:
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7791:Magic Squares and Cubes
7741:(6). Washington, D.C.:
5912:); these are listed at
1469:complementary sequences
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