1623:
918:
1618:{\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx&{\text{expansion of terms in the numerator}}\\&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx&{\text{ using polynomial long division}}&\\&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{definite integration}}\\&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad &{\text{with }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ and }}\arctan(0)=0\\&={\frac {22}{7}}-\pi .&{\text{addition}}\end{aligned}}}
5520:
3364:
31:
4678:
5146:
5115:
1925:
2951:
2940:
3645:
4206:
5515:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{\ell }\,dx&={\frac {\ell }{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{\ell -1}\,dx\\&\,\,\,\vdots \\&={\frac {\ell }{k+1}}{\frac {\ell -1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+\ell }}\int _{0}^{1}x^{k+\ell }\,dx\\&={\frac {1}{(k+\ell +1){\binom {k+\ell }{k}}}}.\qquad (2)\end{aligned}}}
4715:
3943:
1662:
2456:
2230:
3359:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-2}}}&\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx\\={}&\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}\left(\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}\right)\end{aligned}}}
6165:
6478:
2637:
2572:
4673:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\&=\sum _{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\\&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\end{aligned}}}
3390:
652:
4195:
5864:
5110:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}=\sum _{j=0}^{2n-1}&{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\&{}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}.\qquad (1)\end{aligned}}}
837:
6599:
6282:
2006:
869:. It is easier than most Putnam Competition problems, but the competition often features seemingly obscure problems that turn out to refer to something very familiar. This integral has also been used in the entrance examinations for the
3691:
5977:
5682:
1920:{\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,dx={1 \over 630}.}
923:
2301:
2066:
5151:
893:; the denominator is positive and the numerator is a product of nonnegative numbers. One can also easily check that the integrand is strictly positive for at least one point in the range of integration, say at
6022:
4211:
6331:
2935:{\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx,}
3640:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx&={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}\\&\sim {\frac {\sqrt {\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)}},\end{aligned}}}
4720:
3696:
3395:
2956:
2473:
2280:
564:
569:
3961:
394:(pi) date back to antiquity. One of these proofs, more recently developed but requiring only elementary techniques from calculus, has attracted attention in modern mathematics due to its
5733:
8002:
715:
6489:
7990:
3938:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{\ell }&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{\ell -2}\\&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{\ell -2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell -2}.\end{aligned}}}
6176:
1936:
866:
8112:
7997:
5875:
5545:
2451:{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\ldots ,}
7980:
7975:
7985:
7970:
7084:
7272:
2225:{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi .}
6892:
7965:
677:
is an overestimate in the 3rd century BCE, although he may not have been the first to use that approximation. His proof proceeds by showing that
7582:
7336:
6160:{\displaystyle {\frac {1}{16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}\left(1-x\right)^{12}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi }
6473:{\displaystyle {\frac {1}{64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}}
7134:
6668:
119:
8080:
7939:
6902:
6873:
6827:
6660:
2567:{\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}\,.}
262:
7494:
7410:
7214:
909:. Since the integrand is continuous at that point and nonnegative elsewhere, the integral from 0 to 1 must be strictly positive.
353:
8075:
8007:
7632:
7487:
7455:
2238:
870:
647:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}
98:
7708:
7400:
7056:
7685:
6678:
324:
7798:
7736:
7531:
7405:
7077:
6686:
216:
114:
4190:{\displaystyle x^{4n}(1-x)^{4n}=\left(1+x^{2}\right)\sum _{j=0}^{2n-1}(-2)^{j}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.}
7284:
7262:
3657:
145:
8092:
7472:
7294:
7858:
171:
7477:
7247:
399:
7896:
7843:
2624:(in both references, however, no calculations are given). For explicit calculations, consider, for every integer
535:
7304:
5859:{\displaystyle {\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}}
191:
8012:
7783:
7331:
7070:
1629:
8143:
7778:
7450:
186:
7906:
7788:
7609:
7557:
7363:
7341:
7209:
6888:
6652:
3374:
140:
8032:
7891:
7803:
7460:
7395:
7368:
7358:
7279:
7252:
7224:
832:{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .}
395:
7267:
3661:
7848:
7467:
7314:
6594:{\displaystyle {\frac {1}{128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,dx={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}},}
5132:
346:
201:
166:
6924:
7868:
7793:
7680:
7637:
7388:
7373:
7204:
7192:
7179:
7139:
7119:
6859:
306:
241:
231:
7957:
7932:
7763:
7716:
7657:
7622:
7617:
7597:
7552:
7499:
7482:
7257:
7242:
7187:
7036:
7028:
543:
407:
366:
196:
27:
This is the
Mathematical proof related to the constant pi 22/7 calculate the area of the sector c
7592:
7587:
7383:
7154:
3650:
where the approximation (the tilde means that the quotient of both sides tends to one for large
6277:{\displaystyle {\frac {1}{32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,dx={\frac {1}{2\,163\,324\,800}},}
8097:
7921:
7853:
7675:
7652:
7526:
7519:
7422:
7237:
7129:
6989:
6898:
6869:
6823:
2001:{\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}},}
555:
17:
6774:
402:. Stephen Lucas calls this proof "one of the more beautiful results related to approximating
8055:
7838:
7751:
7731:
7662:
7572:
7514:
7506:
7440:
7353:
7114:
7109:
7020:
6962:
6946:
6908:
6841:
6801:
88:
6958:
6837:
6797:
8117:
8102:
7886:
7741:
7721:
7690:
7667:
7647:
7541:
7197:
7144:
6966:
6954:
6912:
6845:
6833:
6805:
6793:
698:
370:
339:
316:
285:
268:
246:
6714:
Proposition 3: The ratio of the circumference of any circle to its diameter is less than
6863:
1650:
in the denominator, one gets a lower bound on the integral, and if 0 is substituted for
8027:
7926:
7773:
7726:
7627:
7430:
5972:{\displaystyle {\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,dx={\frac {1}{1\,750\,320}},}
5677:{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}.}
226:
30:
34:
This is not a perfect 22/7 circle, because 22/7 is not a perfect representation of pi.
8132:
7901:
7756:
7642:
7346:
7321:
7040:
6894:
The
William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984
414:
with the result, describing it as "impossible to resist mentioning" in that context.
311:
206:
93:
6950:
7911:
7881:
7746:
7309:
7007:
Backhouse, Nigel (July 1995), "Note 79.36, Pancake functions and approximations to
2015:< 3.1421 in decimal expansion. The bounds deviate by less than 0.015% from
890:
211:
8138:
7159:
7101:
3381:
912:
It remains to show that the integral in fact evaluates to the desired quantity:
236:
221:
176:
150:
42:
7876:
7808:
7562:
7435:
7299:
7289:
7232:
658:
6993:
8070:
7818:
7813:
7124:
886:
694:
487:, which is approximately 3.142857. But it takes much less work to show that
181:
8065:
7567:
7445:
7093:
2038:, the well-known Diophantine approximation and far better upper estimate
882:
2612:
The above ideas can be generalized to get better approximations of
7916:
7169:
7032:
6005:, where the bold digits of the lower and upper bound are those of
2600:, where the bold digits of the lower and upper bound are those of
2285:
where the first six digits after the decimal point agree with those of
2039:
417:
The purpose of the proof is not primarily to convince its readers that
8085:
7149:
2467:
in the denominator, we get twice this value as an upper bound, hence
290:
7024:
7164:
865:
The evaluation of this integral was the first problem in the 1968
29:
7066:
5687:
Integrating equation (1) from 0 to 1 using equation (2) and
4695:
cancel, and the second equality arises from the index shift
701:
with 96 sides to the diameter of a circle it circumscribes.
7062:
6897:, Washington, DC: The Mathematical Association of America,
1306:
389:
51:
6822:, Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 96,
2275:{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\ldots ,}
467:
is approximately 3.14159, then it trivially follows that
6891:; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C., eds. (1985),
3664:
and shows the fast convergence of the integrals to
4683:
where the first equality holds, because the terms for
6492:
6334:
6179:
6025:
5878:
5736:
5548:
5149:
4718:
4209:
3964:
3694:
3393:
2954:
2640:
2476:
2304:
2241:
2069:
1939:
1665:
921:
718:
567:
6927:, question 41 on page 12 of the mathematics section.
8045:
7956:
7949:
7867:
7829:
7701:
7608:
7540:
7421:
7223:
7178:
7100:
507:by the method used in this proof than to show that
6858:Archimedes (2002) , "Measurement of a circle", in
6775:"Integral proofs that 355/113 >
6593:
6472:
6276:
6159:
5971:
5858:
5676:
5514:
5109:
4672:
4189:
3937:
3639:
3358:
2934:
2566:
2450:
2274:
2224:
2000:
1919:
1617:
831:
657:The approximation has been known since antiquity.
646:
3671:Calculation of these integrals: For all integers
1644:, it is pointed out that if 1 is substituted for
459:; systematic methods of computing the value of
6980:Dalzell, D. P. (1971), "On 22/7 and 355/113",
7078:
5706:, we get the claimed equation involving
5662:
5639:
5486:
5465:
3560:
3537:
3233:
3192:
1656:in the denominator, one gets an upper bound:
347:
8:
709:The proof can be expressed very succinctly:
7057:The problems of the 1968 Putnam competition
2295:in the denominator, we get the lower bound
885:is positive follows from the fact that the
7953:
7085:
7071:
7063:
6939:Journal of the London Mathematical Society
354:
340:
37:
8113:Regiomontanus' angle maximization problem
6581:
6577:
6573:
6569:
6560:
6550:
6544:
6522:
6512:
6507:
6493:
6491:
6463:
6459:
6455:
6446:
6442:
6438:
6432:
6416:
6407:
6389:
6367:
6360:
6354:
6349:
6335:
6333:
6264:
6260:
6256:
6247:
6237:
6231:
6209:
6199:
6194:
6180:
6178:
6144:
6140:
6131:
6127:
6121:
6111:
6102:
6084:
6058:
6051:
6045:
6040:
6026:
6024:
5959:
5955:
5946:
5936:
5930:
5908:
5898:
5893:
5879:
5877:
5849:
5840:
5834:
5818:
5809:
5791:
5769:
5762:
5756:
5751:
5737:
5735:
5661:
5638:
5636:
5612:
5602:
5593:
5568:
5558:
5553:
5547:
5485:
5464:
5462:
5435:
5418:
5406:
5396:
5391:
5369:
5340:
5322:
5308:
5307:
5306:
5292:
5280:
5252:
5242:
5237:
5215:
5201:
5195:
5173:
5163:
5158:
5150:
5148:
5081:
5065:
5056:
5031:
5012:
4984:
4973:
4961:
4930:
4899:
4872:
4861:
4845:
4828:
4817:
4798:
4770:
4755:
4730:
4723:
4719:
4717:
4654:
4635:
4607:
4596:
4583:
4543:
4524:
4487:
4456:
4423:
4412:
4389:
4370:
4342:
4331:
4315:
4296:
4274:
4263:
4243:
4218:
4210:
4208:
4175:
4162:
4116:
4085:
4075:
4047:
4036:
4021:
3994:
3969:
3963:
3916:
3888:
3866:
3844:
3839:
3830:
3795:
3773:
3760:
3725:
3703:
3695:
3693:
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3579:
3559:
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1166:
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1032:
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1002:
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920:
810:
800:
791:
773:
747:
740:
734:
729:
717:
633:
629:
618:
598:
592:
572:
568:
566:
7059:, with this proof listed as question A1.
7461:Differentiating under the integral sign
6786:Australian Mathematical Society Gazette
6765:
6707:
4709:Application of these two results gives
2945:where the middle integral evaluates to
2020:
1641:
298:
277:
254:
158:
127:
106:
80:
49:
6868:, Dover Publications, pp. 93–96,
7337:Inverse functions and differentiation
6170:with correction term and error bound
2621:
2035:
877:Details of evaluation of the integral
406:". Julian Havil ends a discussion of
398:and its connections to the theory of
7:
1290: using polynomial long division
369:of the mathematical result that the
1149:expansion of terms in the numerator
542:. It is a convergent in the simple
7135:Free variables and bound variables
6937:Dalzell, D. P. (1944), "On 22/7",
5643:
5469:
3948:Applying this formula recursively
3541:
3196:
25:
7940:The Method of Mechanical Theorems
6982:Eureka; the Archimedeans' Journal
6820:Gamma. Exploring Euler's Constant
2577:In decimal expansion, this means
693:is greater than the ratio of the
661:wrote the first known proof that
7495:Partial fractions in integration
7411:Stochastic differential equation
554:, as can be readily seen in the
7633:Jacobian matrix and determinant
7488:Tangent half-angle substitution
7456:Fundamental theorem of calculus
5498:
5093:
3373:. The last sum also appears in
1513:
871:Indian Institutes of Technology
511:is approximately 3.14159.
7709:Arithmetico-geometric sequence
7401:Ordinary differential equation
6541:
6528:
6386:
6373:
6228:
6215:
5927:
5914:
5788:
5775:
5633:
5618:
5590:
5577:
5505:
5499:
5459:
5441:
5277:
5264:
5192:
5179:
5100:
5094:
5053:
5043:
5009:
4999:
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4848:
4804:
4785:
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4632:
4622:
4589:
4570:
4521:
4511:
4503:
4491:
4478:
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4453:
4443:
4367:
4357:
4293:
4283:
4240:
4230:
4159:
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4062:
3991:
3978:
3913:
3900:
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3817:
3792:
3779:
3766:
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3722:
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3624:
3609:
3531:
3516:
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3245:
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3165:
3129:
3119:
3033:
3020:
2910:
2897:
2800:
2787:
2708:
2695:
1566:
1560:
1533:
1527:
18:Proof that 22 over 7 exceeds π
1:
7532:Integro-differential equation
7406:Partial differential equation
6951:10.1112/jlms/19.75_part_3.133
6669:Lindemann–Weierstrass theorem
6661:Chronology of computation of
6925:2010 IIT Joint Entrance Exam
3658:central binomial coefficient
1636:Quick upper and lower bounds
603:
7686:Generalized Stokes' theorem
7473:Integration by substitution
2027:Proof that 355/113 exceeds
455:is indeed bigger than
8160:
7215:(ε, δ)-definition of limit
6679:List of topics related to
3380:. The correction term and
2060:follows from the relation
400:Diophantine approximations
8108:Proof that 22/7 exceeds π
8023:
7897:Gottfried Wilhelm Leibniz
7844:e (mathematical constant)
536:Diophantine approximation
463:exist. If one knows that
146:Madhava's correction term
7859:Stirling's approximation
7332:Implicit differentiation
7280:Rules of differentiation
7013:The Mathematical Gazette
1630:polynomial long division
325:Other topics related to
8093:Euler–Maclaurin formula
7998:trigonometric functions
7451:Constant of integration
6889:Alexanderson, Gerald L.
6865:The Works of Archimedes
6773:Lucas, Stephen (2005),
8062:Differential geometry
7907:Infinitesimal calculus
7610:Multivariable calculus
7558:Directional derivative
7364:Second derivative test
7342:Logarithmic derivative
7315:General Leibniz's rule
7210:Order of approximation
6945:(75 Part 3): 133–134,
6818:Havil, Julian (2003),
6595:
6474:
6278:
6161:
5973:
5860:
5678:
5516:
5111:
4998:
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4674:
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4191:
4061:
3939:
3641:
3360:
3307:
3115:
2936:
2568:
2452:
2276:
2226:
2002:
1921:
1619:
833:
648:
50:mathematical constant
35:
7981:logarithmic functions
7976:exponential functions
7892:Generality of algebra
7770:Tests of convergence
7396:Differential equation
7380:Further applications
7369:Extreme value theorem
7359:First derivative test
7253:Differential operator
7225:Differential calculus
6596:
6475:
6279:
6162:
5974:
5861:
5720:are given above. For
5679:
5517:
5112:
4969:
4813:
4675:
4592:
4408:
4327:
4259:
4192:
4032:
3940:
3642:
3375:Leibniz' formula for
3361:
3278:
3086:
2937:
2569:
2453:
2289:. Substituting 1 for
2277:
2227:
2003:
1922:
1620:
834:
649:
550:. It is greater than
396:mathematical elegance
99:Use in other formulae
33:
8046:Miscellaneous topics
7986:hyperbolic functions
7971:irrational functions
7849:Exponential function
7702:Sequences and series
7468:Integration by parts
6490:
6332:
6318:. The next step for
6177:
6023:
5876:
5734:
5546:
5147:
5133:integration by parts
4716:
4207:
3962:
3692:
3391:
2952:
2638:
2474:
2302:
2239:
2067:
1937:
1663:
1446:definite integration
919:
716:
565:
43:a series of articles
8033:List of derivatives
7869:History of calculus
7784:Cauchy condensation
7681:Exterior derivative
7638:Lagrange multiplier
7374:Maximum and minimum
7205:Limit of a sequence
7193:Limit of a function
7140:Graph of a function
7120:Continuous function
6517:
6359:
6204:
6050:
5903:
5761:
5563:
5401:
5247:
5168:
3438:
3003:
2883:
2770:
2681:
2461:substituting 0 for
2319:
2090:
1848:
1763:
1693:
1441:
1176:
1042:
950:
739:
307:Squaring the circle
242:Chudnovsky brothers
232:Srinivasa Ramanujan
7966:rational functions
7933:Method of Fluxions
7779:Alternating series
7676:Differential forms
7658:Partial derivative
7618:Divergence theorem
7500:Quadratic integral
7268:Leibniz's notation
7258:Mean value theorem
7243:Partial derivative
7188:Indeterminate form
6675:is transcendental)
6653:Approximations of
6591:
6503:
6470:
6345:
6274:
6190:
6157:
6036:
5969:
5889:
5856:
5747:
5674:
5549:
5512:
5510:
5387:
5233:
5154:
5107:
5105:
4706:in the first sum.
4670:
4668:
4187:
3935:
3933:
3662:Stirling's formula
3637:
3635:
3424:
3356:
3354:
2989:
2932:
2869:
2756:
2667:
2564:
2448:
2305:
2272:
2222:
2076:
2011:hence 3.1412 <
1998:
1917:
1834:
1749:
1679:
1615:
1613:
1304:
1162:
1028:
936:
867:Putnam Competition
829:
725:
644:
642:
556:decimal expansions
544:continued fraction
410:approximations of
408:continued fraction
197:Ludolph van Ceulen
36:
8126:
8125:
8052:Complex calculus
8041:
8040:
7922:Law of Continuity
7854:Natural logarithm
7839:Bernoulli numbers
7830:Special functions
7789:Direct comparison
7653:Multiple integral
7527:Integral equation
7423:Integral calculus
7354:Stationary points
7328:Other techniques
7273:Newton's notation
7238:Second derivative
7130:Finite difference
6733:but greater than
6586:
6501:
6468:
6414:
6343:
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6188:
6149:
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5660:
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5484:
5385:
5364:
5338:
5231:
5140:times, we obtain
5088:
4893:
4808:
3628:
3588:
3567:
3558:
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1980:
1961:
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1272:
1150:
1136:
1009:
818:
798:
606:
580:
558:of these values:
534:is a widely used
364:
363:
16:(Redirected from
8151:
8056:Contour integral
7954:
7804:Limit comparison
7713:Types of series
7672:Advanced topics
7663:Surface integral
7507:Trapezoidal rule
7446:Basic properties
7441:Riemann integral
7389:Taylor's theorem
7115:Concave function
7110:Binomial theorem
7087:
7080:
7073:
7064:
7044:
7043:
7019:(485): 371–374,
7010:
7004:
6998:
6996:
6977:
6971:
6969:
6934:
6928:
6922:
6916:
6915:
6885:
6879:
6878:
6855:
6849:
6848:
6815:
6809:
6808:
6783:
6778:
6770:
6753:
6751:
6749:
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6723:
6719:
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6674:
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6656:
6642:
6624:
6600:
6598:
6597:
6592:
6587:
6585:
6561:
6549:
6548:
6527:
6526:
6516:
6511:
6502:
6494:
6479:
6477:
6476:
6471:
6469:
6467:
6450:
6433:
6415:
6413:
6412:
6411:
6395:
6394:
6393:
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6371:
6361:
6358:
6353:
6344:
6336:
6324:
6317:
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6281:
6280:
6275:
6270:
6268:
6248:
6236:
6235:
6214:
6213:
6203:
6198:
6189:
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6164:
6163:
6158:
6150:
6148:
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6122:
6110:
6108:
6107:
6106:
6090:
6089:
6088:
6083:
6079:
6063:
6062:
6052:
6049:
6044:
6035:
6027:
6015:
6009:. Similarly for
6008:
6004:
5994:
5978:
5976:
5975:
5970:
5965:
5963:
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5814:
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