2895:
2467:
2890:{\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}\left(2\pi {\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}+T({\boldsymbol {\theta }})\left(1+T({\boldsymbol {\theta }}){\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}\right)\right)I_{}(\theta _{2})}
1767:
1495:
1202:
1762:{\displaystyle p(\theta |{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{2\pi {\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\left(1+T(\theta ){\frac {\Phi (T(\theta ))}{\phi (T(\theta ))}}\right)I_{[0,2\pi )}(\theta )}
1000:
1926:
1375:
1197:{\displaystyle p(r,{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {r^{n-1}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\Sigma ^{-1}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})}}
2314:
1827:
1266:
850:
504:
406:
1258:
639:
459:
78:
692:
925:
171:
2123:
2368:
259:
1443:
123:
355:
958:
992:
1921:{\displaystyle T(\theta )={\frac {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}{\sqrt {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}}}
2202:
737:
1370:{\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})=\int _{0}^{\infty }p(r,{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})dr.}
1487:
578:
3081:
Hernandez-Stumpfhauser, Daniel; Breidt, F. Jay; van der Woerd, Mark J. (2017). "The
General Projected Normal Distribution of Arbitrary Dimension: Modeling and Bayesian Inference".
2181:
2045:
1975:
1465:
552:
526:
2459:
2419:
2149:
2013:
2125:. If the mean is parallel to the eigenvector associated to the smallest eigenvalue instead, the distribution is also symmetric but has either a mode or an antimode at
2065:
2938:
2918:
1810:
1790:
464:
2978:
2958:
1946:
360:
1210:
591:
411:
30:
647:
855:
133:
2070:
2319:
190:
3121:
1396:
2994:
1817:
642:
305:
3126:
91:
323:
930:
3116:
1821:
1813:
265:
963:
2309:{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta _{1}\sin \theta _{2},\sin \theta _{1}\sin \theta _{2},\cos \theta _{2})}
3094:
Wang, Fangpo; Gelfand, Alan E (2013). "Directional data analysis under the general projected normal distribution".
293:
2376:
1470:
561:
529:
2989:
2154:
2018:
1958:
1448:
535:
277:
2196:
183:
84:
509:
704:
2128:
1992:
297:
845:{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n-1})\in ^{n-2}\times [0,2\pi )}
528:
over the unit sphere. In the general case, the projected normal distribution can be asymmetric and
1949:
126:
1986:
1390:
2050:
499:{\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\frac {\boldsymbol {X}}{\lVert {\boldsymbol {X}}\rVert }}}
2923:
2903:
1795:
1775:
3024:
3022:
301:
174:
2963:
2943:
1931:
3110:
401:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}
1253:{\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}
634:{\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}
454:{\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}
73:{\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}
2192:
1978:
1386:
687:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}
555:
1982:
920:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
3064:
3052:
3040:
3028:
695:
309:
2371:
1445:, the density function can be written with respect to the parameters
166:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
2118:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )}
2363:{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\theta _{2})}
254:{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}\in ^{n-2}\times [0,2\pi )}
1438:{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta ,\sin \theta )}
1220:
1217:
654:
601:
598:
421:
418:
367:
40:
37:
1985:
of the covariance, the distribution is symmetric and has a
118:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{n}}
3065:
Hernandez-Stumpfhauser, Breidt & van der Woerd 2017
3053:
Hernandez-Stumpfhauser, Breidt & van der Woerd 2017
3041:
Hernandez-Stumpfhauser, Breidt & van der Woerd 2017
3029:
Hernandez-Stumpfhauser, Breidt & van der Woerd 2017
2966:
2946:
2926:
2906:
2470:
2422:
2379:
2322:
2205:
2157:
2131:
2073:
2053:
2021:
1995:
1961:
1934:
1830:
1798:
1778:
1498:
1473:
1451:
1399:
1269:
1213:
1003:
966:
933:
858:
740:
707:
650:
641:
can be constructed from the density of its generator
594:
564:
538:
512:
467:
414:
363:
350:{\displaystyle {\boldsymbol {X}}\in \mathbb {R} ^{n}}
326:
193:
136:
94:
33:
953:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {v}}}
461:represents the distribution of the random variable
264:
182:
83:
24:
2972:
2952:
2932:
2912:
2889:
2461:angles respectively, the density function becomes
2453:
2413:
2362:
2308:
2175:
2143:
2117:
2059:
2039:
2007:
1969:
1940:
1920:
1804:
1784:
1761:
1481:
1459:
1437:
1369:
1252:
1196:
986:
952:
919:
844:
731:
686:
633:
572:
546:
520:
498:
453:
400:
349:
253:
165:
117:
72:
987:{\displaystyle \lVert {\boldsymbol {v}}\rVert =1}
698:and then integrating over the radial coordinate.
588:The density of the projected normal distribution
357:that follows a multivariate normal distribution
701:In spherical coordinates with radial component
8:
2980:have the same meaning as the circular case.
975:
967:
490:
482:
19:
3013:
300:that describes the radial projection of a
18:
2965:
2945:
2925:
2905:
2878:
2853:
2840:
2812:
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2759:
2744:
2736:
2711:
2688:
2663:
2648:
2629:
2619:
2610:
2605:
2598:
2593:
2573:
2568:
2563:
2561:
2553:
2544:
2539:
2532:
2527:
2516:
2512:
2506:
2495:
2487:
2482:
2477:
2469:
2427:
2421:
2384:
2378:
2351:
2338:
2323:
2321:
2297:
2278:
2262:
2243:
2227:
2206:
2204:
2156:
2130:
2074:
2072:
2052:
2020:
1994:
1962:
1960:
1955:In the circular case, if the mean vector
1933:
1910:
1901:
1896:
1889:
1884:
1876:
1867:
1862:
1855:
1850:
1846:
1829:
1797:
1777:
1729:
1670:
1639:
1630:
1625:
1618:
1613:
1605:
1600:
1595:
1593:
1579:
1570:
1565:
1558:
1553:
1542:
1538:
1532:
1521:
1513:
1508:
1497:
1474:
1472:
1452:
1450:
1400:
1398:
1350:
1342:
1337:
1332:
1314:
1309:
1294:
1286:
1281:
1276:
1268:
1242:
1234:
1225:
1216:
1215:
1212:
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1161:
1151:
1142:
1134:
1118:
1114:
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1076:
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1066:
1064:
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1021:
1016:
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906:
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739:
706:
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596:
593:
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563:
539:
537:
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511:
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476:
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435:
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417:
416:
413:
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389:
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372:
366:
365:
362:
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337:
336:
327:
325:
218:
194:
192:
151:
147:
146:
137:
135:
109:
105:
104:
95:
93:
62:
54:
45:
36:
35:
32:
2414:{\displaystyle \theta _{1}\in [0,2\pi )}
3006:
2785:
2760:
2737:
2712:
2689:
2664:
2620:
2594:
2554:
2528:
2488:
2478:
2324:
2207:
2075:
1963:
1911:
1885:
1877:
1851:
1640:
1614:
1580:
1554:
1514:
1482:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}
1453:
1401:
1343:
1333:
1287:
1277:
1235:
1185:
1177:
1143:
1135:
1027:
1017:
971:
946:
935:
860:
742:
669:
616:
573:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}
540:
514:
486:
478:
469:
436:
382:
328:
195:
96:
55:
1489:of the initial normal distribution as
7:
2176:{\displaystyle \theta =\alpha +\pi }
2040:{\displaystyle \theta =\alpha +\pi }
2015:and either a mode or an antimode at
1970:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
1460:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
547:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
408:, the projected normal distribution
696:n-dimensional spherical coordinates
2927:
2747:
2651:
2599:
2533:
2191:Parametrising the position on the
1890:
1856:
1799:
1673:
1619:
1559:
1385:Parametrising the position on the
1315:
1158:
1152:
723:
14:
580:, the distribution is symmetric.
521:{\displaystyle {\boldsymbol {X}}}
2995:Multivariate normal distribution
2606:
2569:
2540:
2496:
1897:
1863:
1626:
1601:
1566:
1522:
1475:
1351:
1295:
1243:
1072:
1035:
732:{\displaystyle r\in [0,\infty )}
677:
624:
566:
444:
391:
138:
63:
3055:, Supplementary material, p. 1.
2454:{\displaystyle \theta _{2}\in }
2144:{\displaystyle \theta =\alpha }
2008:{\displaystyle \theta =\alpha }
2884:
2871:
2866:
2854:
2846:
2833:
2828:
2813:
2792:
2789:
2781:
2775:
2767:
2764:
2756:
2750:
2741:
2733:
2716:
2708:
2696:
2693:
2685:
2679:
2671:
2668:
2660:
2654:
2574:
2564:
2500:
2483:
2474:
2448:
2436:
2408:
2393:
2357:
2331:
2303:
2214:
2112:
2082:
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1834:
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1750:
1745:
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1714:
1711:
1705:
1699:
1691:
1688:
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1676:
1667:
1661:
1606:
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1509:
1502:
1432:
1408:
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1338:
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1282:
1273:
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1170:
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1128:
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1083:
1077:
1067:
1039:
1022:
1007:
899:
867:
839:
824:
806:
793:
787:
749:
726:
714:
681:
665:
628:
612:
448:
432:
395:
378:
248:
233:
215:
202:
67:
51:
1:
643:n-variate normal distribution
306:n-variate normal distribution
282:projected normal distribution
20:Projected normal distribution
1822:standard normal distribution
994:. The joint density becomes
290:angular normal distribution
3143:
1981:associated to the largest
316:Definition and properties
286:offset normal distribution
269:
187:
88:
27:
3122:Continuous distributions
1260:can then be obtained as
320:Given a random variable
294:probability distribution
16:Probability distribution
3102:(1). Elsevier: 113–127.
3096:Statistical methodology
3014:Wang & Gelfand 2013
2060:{\displaystyle \alpha }
1818:cumulative distribution
694:by re-parametrising to
3127:Directional statistics
2990:Directional statistics
2974:
2954:
2934:
2914:
2891:
2455:
2415:
2364:
2310:
2187:Spherical distribution
2177:
2145:
2119:
2067:is the polar angle of
2061:
2041:
2009:
1971:
1942:
1922:
1806:
1786:
1763:
1483:
1461:
1439:
1371:
1254:
1198:
988:
954:
921:
846:
733:
688:
635:
574:
548:
522:
500:
455:
402:
351:
278:directional statistics
255:
167:
119:
74:
2975:
2955:
2935:
2933:{\displaystyle \Phi }
2915:
2913:{\displaystyle \phi }
2892:
2456:
2416:
2365:
2311:
2197:spherical coordinates
2178:
2146:
2120:
2062:
2042:
2010:
1972:
1943:
1923:
1807:
1805:{\displaystyle \Phi }
1787:
1785:{\displaystyle \phi }
1764:
1484:
1462:
1440:
1381:Circular distribution
1372:
1255:
1199:
989:
955:
922:
847:
734:
689:
636:
575:
549:
523:
501:
456:
403:
352:
270:complicated, see text
256:
168:
120:
75:
2964:
2944:
2924:
2904:
2468:
2420:
2377:
2320:
2203:
2155:
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2071:
2051:
2019:
1993:
1959:
1932:
1828:
1796:
1776:
1496:
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