308:
It is still an open question whether an infinite number of Proth primes exist. It was shown in 2022 that the reciprocal sum of Proth primes converges to a real number near 0.747392479, substantially less than the value of 1.093322456 for the reciprocal sum of Proth numbers.
2128:
Small Proth primes (less than 10) have been used in constructing prime ladders, sequences of prime numbers such that each term is "close" (within about 10) to the previous one. Such ladders have been used to empirically verify prime-related
828:
674:
583:
294:
3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 (
1093:
1164:
948:
1002:
1457:
1319:
1274:
223:
1418:
1541:
1499:
1372:
1028:
454:
421:
360:
276:
887:
3573:
2805:
2337:
Konyagin, Sergei; Pomerance, Carl (2013), Graham, Ronald L.; Nešetřil, Jaroslav; Butler, Steve (eds.), "On Primes
Recognizable in Deterministic Polynomial Time",
1555:∈ {21181, 22699, 24737, 55459, 67607, 79309, 79817, 91549, 99739, 131179, 152267, 156511, 163187, 200749, 209611, 222113, 225931, 227723, 229673, 237019, 238411}
3176:
1199:
852:
714:
694:
606:
512:
492:
388:
4079:
296:
126:
3258:
3181:
3095:
2354:
2137:
was verified in 2008 up to 8.875 × 10 using prime ladders constructed from Proth primes. (The conjecture was later proved by
729:
725:
2798:
4074:
2187:
Borsos, Bertalan; Kovács, Attila; Tihanyi, Norbert (2022), "Tight upper and lower bounds for the reciprocal sum of Proth primes",
3432:
746:
3513:
2719:
611:
520:
2766:
2745:"CM55: special prime-field elliptic curves almost optimizing den Boer's reduction between Diffie–Hellman and discrete logs"
2791:
2134:
3635:
3293:
2163:
representations, they have also been used in fast modular reduction without the need for pre-computation, for example by
3660:
3126:
2677:
Helfgott, H. A.; Platt, David J. (2013). "Numerical
Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30".
2149:
3568:
1033:
1642:
1130:
896:
953:
3201:
740:
1170:
volunteer computing project which announced it on 6 November 2016. It is also the second largest known non-
3718:
2847:
4055:
3645:
3298:
3206:
2145:
1423:
1279:
1226:
312:
The primality of Proth numbers can be tested more easily than many other numbers of similar magnitude.
183:
1384:
588:
This theorem can be used as a probabilistic test of primality, by checking for many random choices of
3625:
1507:
1504:
Sierpinski problem (and their prime and extended generalizations) – searching for primes of the form
1465:
1338:
242:
1007:
3620:
3278:
721:
3728:
3665:
3655:
3640:
3273:
3131:
2699:
2678:
2239:
2216:
2153:
3052:
1106:
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323:
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3672:
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3630:
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3243:
3146:
2342:
2206:
2196:
1328:
is the leading computing project for searching for Proth primes. Its main projects include:
1119:
need to be checked to deterministically verify or falsify the primality of a Fermat number.
717:
2426:
3308:
3268:
3151:
3116:
3080:
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679:
591:
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477:
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174:
4068:
3723:
3488:
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2955:
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1221:
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3156:
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3829:
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3819:
3814:
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3804:
3799:
3794:
3789:
3784:
3779:
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3769:
3615:
3288:
3196:
3191:
3171:
3085:
2988:
2502:
2412:
2374:
2288:
2156:. The prime number 55 × 2 + 1 has been used in this way.
85:
2263:
2201:
3692:
3508:
3416:
3336:
3186:
3090:
2473:
2130:
2370:
1321:, it is customary to determine if a new Proth prime divides a Fermat number.
3733:
3682:
3563:
2538:
2408:
2393:
2321:
2164:
1325:
1167:
423:. A Proth prime is a Proth number that is prime. Without the condition that
17:
2570:
854:
is either fixed (e.g. 321 Prime Search or
Sierpinski Problem) or of order
2623:
2238:
Sze, Tsz-Wo (2008). "Deterministic
Primality Proving on Proth Numbers".
3235:
2783:
2744:
2698:
Helfgott, Harald A. (2013). "The ternary
Goldbach conjecture is true".
2211:
1209:), has found 11 large Proth primes by 2007. Similar resolutions to the
234:
1166:. It is 9,383,761 digits long. It was found by Szabolcs Peter in the
831:
3230:
3216:
2704:
2683:
2244:
2787:
2767:"Modular Reduction without Pre-Computation for Special Moduli"
1098:
Fermat numbers are a special case of Proth numbers, wherein
300:
1559:
As of June 2023, the largest Proth primes discovered are:
823:{\displaystyle {\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})}
732:; in other words, it never reports a composite number as "
3764:
3759:
3754:
3749:
834:
notation. For typical searches for Proth primes, usually
736:" but can report a prime number as "possibly composite".
456:, all odd integers larger than 1 would be Proth numbers.
669:{\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}.}
578:{\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}.}
2528:"PrimeGrid's Extended Sierpinski Problem Prime Search"
1462:
Cullen prime search (searching for primes of the form
1510:
1468:
1426:
1387:
1381:
27121 Prime Search (searching for primes of the form
1341:
1282:
1229:
1187:
1133:
1036:
1010:
956:
899:
860:
840:
749:
702:
682:
614:
594:
523:
500:
480:
429:
396:
376:
326:
251:
186:
135:
3742:
3706:
3606:
3583:
3557:
3324:
3317:
3215:
3109:
3073:
2822:
2596:"Official discovery of the prime number 168451×2+1"
1335:321 Prime Search (searching for primes of the form
470:The primality of a Proth number can be tested with
125:
117:
109:
98:
84:
72:
61:
53:
45:
35:
2752:International Association for Cryptologic Research
2649:"Official discovery of the prime number 99739×2+1"
1535:
1493:
1451:
1412:
1366:
1313:
1268:
1193:
1158:
1087:
1022:
996:
942:
893:search). In these cases algorithm runs in at most
881:
846:
822:
708:
688:
668:
600:
577:
506:
486:
448:
415:
382:
354:
270:
217:
3446: = 0, 1, 2, 3, ...
494:is prime if and only if there exists an integer
286:. They are named after the French mathematician
121:10223 × 2 + 1 (as of December 2019)
2799:
1945:Brian Niegocki (Extended Sierpinski Problem)
1623:Pavel Atnashev (Extended Sierpinski Problem)
1127:As of 2022, the largest known Proth prime is
1088:{\displaystyle {\tilde {O}}((\log N)^{24/7})}
8:
1181:, searching for Proth primes with a certain
30:
3321:
2806:
2792:
2784:
2565:
2563:
2561:
2559:
2557:
2555:
1159:{\displaystyle 10223\times 2^{31172165}+1}
1030:. There is also an algorithm that runs in
943:{\displaystyle {\tilde {O}}((\log N)^{3})}
29:
2703:
2682:
2467:
2390:"World Record Colbert Number discovered!"
2243:
2210:
2200:
1521:
1509:
1479:
1467:
1437:
1425:
1398:
1386:
1352:
1340:
1293:
1281:
1252:
1247:
1234:
1228:
1186:
1144:
1132:
1072:
1068:
1038:
1037:
1035:
1009:
997:{\displaystyle O((\log N)^{3+\epsilon })}
979:
955:
931:
901:
900:
898:
859:
839:
811:
751:
750:
748:
701:
696:, then it is very likely that the number
681:
676:If this fails to hold for several random
647:
619:
613:
593:
556:
528:
522:
499:
479:
434:
428:
401:
395:
375:
340:
325:
256:
250:
203:
185:
2465:
2463:
2461:
2459:
2457:
2455:
2453:
2451:
2449:
2447:
2182:
2180:
2115:Konstantin Agafonov (Seventeen or Bust)
1561:
2341:, Springer New York, pp. 159–186,
2176:
1704:Ben Maloney (Prime Sierpinski Problem)
2409:"The Top Twenty: Largest Known Primes"
2496:
2494:
7:
2427:"The Prime Glossary: Fermat divisor"
2257:
2255:
2233:
2231:
2229:
1964:Generalized Cullen with base 131072
1602:Szabolcs Péter (Sierpinski Problem)
1201:to prove that 78557 is the smallest
2743:Brown, Daniel R. L. (24 Feb 2015).
2501:Goetz, Michael (27 February 2018).
1217:have yielded several more numbers.
655:
564:
474:, which states that a Proth number
290:. The first few Proth primes are
27:Prime number of the form k*(2^n)+1
25:
2765:Acar, Tolga; Shumow, Dan (2010).
1452:{\displaystyle 121\times 2^{n}+1}
1314:{\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}
1269:{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}
218:{\displaystyle N=k\times 2^{n}+1}
140:Proth primes: primes of the form
4080:Eponymous numbers in mathematics
3182:Supersingular (moonshine theory)
2724:Alexander von Humboldt-Professur
2144:Also, Proth primes can optimize
1413:{\displaystyle 27\times 2^{n}+1}
1376:Thabit primes of the second kind
2339:The Mathematics of Paul Erdős I
1967:Ryan Propper and Serge Batalov
1882:Ryan Propper and Serge Batalov
1536:{\displaystyle k\times 2^{n}+1}
1494:{\displaystyle n\times 2^{n}+1}
1367:{\displaystyle 3\times 2^{n}+1}
648:
557:
3177:Supersingular (elliptic curve)
2388:Van Zimmerman (30 Nov 2016) .
1082:
1065:
1052:
1049:
1043:
1023:{\displaystyle \epsilon >0}
991:
976:
963:
960:
937:
928:
915:
912:
906:
876:
864:
817:
808:
795:
792:
765:
762:
756:
659:
649:
568:
558:
320:A Proth number takes the form
74:
62:
1:
2958:2 ± 2 ± 1
2347:10.1007/978-1-4614-7258-2_12
2159:As Proth primes have simple
1215:extended Sierpiński problem
4096:
2202:10.1007/s11139-021-00536-2
2154:Discrete logarithm problem
2135:Goldbach's weak conjecture
1332:general Proth prime search
463:
449:{\displaystyle 2^{n}>k}
416:{\displaystyle 2^{n}>k}
355:{\displaystyle N=k2^{n}+1}
282:is a Proth number that is
271:{\displaystyle 2^{n}>k}
4053:
2624:"Fermat factoring status"
882:{\displaystyle O(\log N)}
113:3, 5, 13, 17, 41, 97, 113
4075:Classes of prime numbers
3564:Mega (1,000,000+ digits)
3433:Arithmetic progression (
2720:"Harald Andrés Helfgott"
1807:James Brown (PrimeGrid)
1211:prime Sierpiński problem
2474:"The top twenty: Proth"
2371:"The Top Twenty: Proth"
1276:are always of the form
741:deterministic algorithm
739:In 2008, Sze created a
370:are positive integers,
3719:Industrial-grade prime
3096:Newman–Shanks–Williams
2150:Diffie–Hellman problem
1557:
1537:
1495:
1453:
1414:
1368:
1315:
1270:
1195:
1160:
1109:proves that only base
1089:
1024:
998:
944:
883:
848:
824:
710:
690:
670:
602:
579:
508:
488:
450:
417:
384:
356:
272:
219:
4056:List of prime numbers
3514:Sophie Germain/Safe (
2293:mathworld.wolfram.com
2268:mathworld.wolfram.com
2195:, Springer: 181–198,
1955:404849 × 2 + 1
1693:168451 × 2 + 1
1612:202705 × 2 + 1
1580:Discoverer (Project)
1550:
1538:
1496:
1454:
1415:
1369:
1316:
1271:
1196:
1161:
1105:. In such a scenario
1090:
1025:
999:
945:
884:
849:
830:time, where Õ is the
825:
743:that runs in at most
724:: it never returns a
711:
691:
671:
603:
580:
509:
489:
451:
418:
385:
357:
273:
220:
54:Author of publication
3238:(10 − 1)/9
2104:19249 × 2 + 1
1934:99739 × 2 + 1
1591:10223 × 2 + 1
1508:
1466:
1424:
1385:
1339:
1280:
1227:
1185:
1131:
1034:
1008:
954:
897:
858:
838:
747:
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592:
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498:
478:
427:
394:
374:
324:
249:
184:
105: × 2 + 1
3547: ± 7, ...
3074:By integer sequence
2859:(2 + 1)/3
2628:www.prothsearch.com
2575:www.prothsearch.com
2503:"Seventeen or Bust"
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