1710:
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1547:
905:
885:
861:
777:
128:
1373:
The difference between pseudometrics and metrics is entirely topological. That is, a pseudometric is a metric if and only if the topology it generates is
3015:
1705:{\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}(,)&=d(x,y)\end{aligned}}}
623:
2256:
136:
2886:
1277:
2956:
2926:
2386:
975:
2918:
1370:
if the space can be given a pseudometric such that the pseudometric topology coincides with the given topology on the space.
2350:
1381:
2682:
1798:
933:
433:
1137:
1526:
1392:
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2222:
2984:
2376:
520:
1077:
35:
in which the distance between two distinct points can be zero. Pseudometric spaces were introduced by
1485:
1404:
1268:
1068:
131:
2215:
1960:
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917:
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870:
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36:
28:
3009:
2211:
928:
342:
2992:
66:
When a topology is generated using a family of pseudometrics, the space is called a
2250:
1412:
44:
40:
32:
910:
Conversely, a homogeneous, translation-invariant pseudometric induces a seminorm.
67:
20:
2277:
Kurepa, Đuro (1934). "Tableaux ramifiés d'ensembles, espaces pseudodistaciés".
2997:
2980:
2318:
2313:
2041:
The metric identification preserves the induced topologies. That is, a subset
1272:
2259: – A topological vector space whose topology can be defined by a metric
2247: – Number of positive, negative and zero eigenvalues of a metric tensor
513:
Any metric space is a pseudometric space. Pseudometrics arise naturally in
620:
This point then induces a pseudometric on the space of functions, given by
1374:
757:
56:
2915:
General
Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory
432:
Unlike a metric space, points in a pseudometric space need not be
179:{\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},}
2639:
onto the equivalence class that contains it. Define the metric
1395:
for metric spaces carry over to pseudometric spaces unchanged.
2979:
This article incorporates material from
Pseudometric space on
2432:
be a pseudo-metric space and define an equivalence relation
1049:
948:
730:
526:
2881:. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
1411:, that converts the pseudometric space into a full-fledged
972:
can be viewed as a complete pseudometric space by defining
51:
is a pseudometric space. Because of this analogy, the term
1362:
for the topology. A topological space is said to be a
2851:
2831:
2811:
2779:
2685:
2665:
2645:
2625:
2593:
2565:
2545:
2504:
2478:
2458:
2438:
2406:
2196:
2146:
2105:
2073:
2047:
2012:
1963:
1936:
1909:
1801:
1755:
1718:
1555:
1535:
1488:
1447:
1421:
1280:
1140:
1080:
1034:
978:
936:
893:
873:
849:
785:
765:
715:
702:{\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}
626:
590:
556:
523:
483:
442:
358:
289:
243:
200:
139:
116:
84:
2253: – Mathematical space with a notion of distance
2857:
2837:
2817:
2797:
2765:
2671:
2651:
2631:
2611:
2579:
2551:
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1704:
1541:
1517:
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331:
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227:
178:
122:
102:
2766:{\displaystyle \rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))}
2619:the canonical projection that maps each point of
1896:{\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}
2985:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
1351:{\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}
59:) is sometimes used as a synonym, especially in
2005:metric space induced by the pseudometric space
16:Generalization of metric spaces in mathematics
2296:Functional Analysis and Numerical Mathematics
1403:The vanishing of the pseudometric induces an
1021:{\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}
965:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
8:
1342:
1303:
1215:{\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}
2003:is a well-defined metric space, called the
2917:. Encyclopaedia of Mathematical Sciences.
913:Pseudometrics also arise in the theory of
2974:reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley
2850:
2830:
2810:
2778:
2742:
2717:
2684:
2664:
2644:
2624:
2592:
2569:
2564:
2544:
2503:
2477:
2457:
2437:
2405:
2344:"Chapter 7: Complete pseudometric spaces"
2195:
2169:
2156:
2145:
2104:
2072:
2046:
2011:
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1971:
1962:
1941:
1935:
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1754:
1717:
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1619:
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1564:
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1534:
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1285:
1279:
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1145:
1139:
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1079:
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242:
199:
164:
160:
159:
138:
115:
83:
2214:. The topological identification is the
2183:{\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}
1549:by this equivalence relation and define
747:{\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}
422:{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}
2269:
2221:An example of this construction is the
1009:
2381:. New York, NY: Springer. p. 27.
1060:{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}
1712:This is well defined because for any
7:
2356:from the original on 7 October 2020
2298:. New York, San Francisco, London:
2257:Metrizable topological vector space
577:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
2879:A comprehensive course in analysis
940:
55:(which has a different meaning in
39:in 1934. In the same way as every
14:
2845:defines the quotient topology on
543:{\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}
3016:Properties of topological spaces
1113:{\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}
2993:"Example of pseudometric space"
1518:{\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}
2983:, which is licensed under the
2760:
2757:
2751:
2732:
2726:
2710:
2701:
2689:
2603:
2520:
2508:
2419:
2407:
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2121:
2115:
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2074:
2025:
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1964:
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1611:
1597:
1587:
1573:
1463:
1451:
1380:(that is, distinct points are
1333:
1321:
1297:
1291:
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1206:
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735:
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678:
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656:
642:
630:
584:together with a special point
566:
537:
531:
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416:
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259:
247:
155:
97:
85:
1:
1996:{\displaystyle (X^{*},d^{*})}
1382:topologically distinguishable
828:{\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}
332:{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
130:together with a non-negative
2378:Modern Analysis and Topology
2342:Cain, George (Summer 2000).
2223:completion of a metric space
2060:{\displaystyle A\subseteq X}
1415:. This is done by defining
2945:Counterexamples in Topology
1067:where the triangle denotes
867:), and therefore convex in
613:{\displaystyle x_{0}\in X.}
228:{\displaystyle x,y,z\in X,}
3037:
2966:Willard, Stephen (2004) ,
2805:. It is easily shown that
2375:Howes, Norman R. (1995).
1788:{\displaystyle d(x,x')=0}
779:induces the pseudometric
550:of real-valued functions
271:{\displaystyle d(x,x)=0.}
2798:{\displaystyle a,b\in Y}
2612:{\displaystyle p:X\to Y}
2532:{\displaystyle d(x,y)=0}
2294:Collatz, Lothar (1966).
2283:. 198 (1934): 1563–1565.
2133:{\displaystyle \pi (A)=}
1475:{\displaystyle d(x,y)=0}
1222:gives a pseudometric on
499:{\displaystyle x\neq y.}
470:{\displaystyle d(x,y)=0}
436:; that is, one may have
2825:is indeed a metric and
2580:{\displaystyle X/\sim }
2491:{\displaystyle x\sim y}
2314:"Pseudometric topology"
2241: – Metric geometry
2140:is open (or closed) in
2067:is open (or closed) in
1434:{\displaystyle x\sim y}
2859:
2839:
2819:
2799:
2767:
2673:
2653:
2633:
2613:
2581:
2559:be the quotient space
2553:
2533:
2492:
2466:
2446:
2426:
2280:C. R. Acad. Sci. Paris
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2184:
2134:
2093:
2061:
2032:
1997:
1951:
1924:
1897:
1789:
1743:
1742:{\displaystyle x'\in }
1706:
1543:
1519:
1476:
1435:
1366:pseudometrizable space
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471:
423:
333:
272:
229:
194:, such that for every
180:
124:
104:
2877:Simon, Barry (2015).
2860:
2840:
2838:{\displaystyle \rho }
2820:
2818:{\displaystyle \rho }
2800:
2768:
2674:
2654:
2652:{\displaystyle \rho }
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2554:
2534:
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2445:{\displaystyle \sim }
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2425:{\displaystyle (X,d)}
2205:
2185:
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2092:{\displaystyle (X,d)}
2062:
2033:
2031:{\displaystyle (X,d)}
1998:
1952:
1950:{\displaystyle X^{*}}
1925:
1923:{\displaystyle d^{*}}
1903:and vice versa. Then
1898:
1790:
1744:
1707:
1544:
1520:
1477:
1436:
1409:metric identification
1399:Metric identification
1353:
1263:pseudometric topology
1217:
1127:is a pseudometric on
1115:
1062:
1023:
967:
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858:
830:
774:
749:
704:
615:
579:
545:
517:. Consider the space
501:
472:
424:
334:
273:
230:
181:
125:
105:
103:{\displaystyle (X,d)}
78:A pseudometric space
2907:Arkhangel'skii, A.V.
2849:
2829:
2809:
2777:
2683:
2663:
2643:
2623:
2591:
2563:
2543:
2502:
2476:
2456:
2436:
2404:
2194:
2144:
2103:
2071:
2045:
2010:
1961:
1934:
1907:
1799:
1753:
1716:
1553:
1533:
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1445:
1419:
1405:equivalence relation
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1138:
1078:
1069:symmetric difference
1032:
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588:
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477:for distinct values
440:
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287:
241:
198:
137:
132:real-valued function
114:
82:
2216:Kolmogorov quotient
1387:The definitions of
515:functional analysis
349:Triangle inequality
61:functional analysis
2949:Dover Publications
2937:Steen, Lynn Arthur
2855:
2835:
2815:
2795:
2763:
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2649:
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2239:Generalised metric
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1120:is a function and
1110:
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863:(in particular, a
853:
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