2514:
2055:
51:
2509:{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}
5715:
1935:
5725:
1663:
1367:
1578:
1930:{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}
1198:
2884:
1430:
3408:
2794:
3057:
1053:
566:
381:
777:
3573:
3257:
3166:
613:
3266:-Gaussian deviates that are not independent. In practice, only a single deviate will be generated from a pair of uniformly distributed variables. The following formula will generate deviates from a
1422:
650:
5759:
699:
3749:
3501:
2645:
1153:
2928:
912:
178:
2600:
3313:
2561:
433:
2001:
3676:
3440:
4373:
4216:
L. Borland, The pricing of stock options, in
Nonextensive Entropy – Interdisciplinary Applications, eds. M. Gell-Mann and C. Tsallis (Oxford University Press, New York, 2004)
1362:{\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}
210:
1655:
120:
275:
3778:
3808:
2050:
1607:
886:
301:
86:
1190:
490:
462:
2684:
was constrained to be a positive integer related to the sample size, but it is readily observed that Gosset's density function is valid for all real values of
1573:{\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}
4502:
2805:
4985:
4893:
2721:
3320:
5680:
5546:
4758:
4517:
4366:
3075:-Gaussians. The standard Box–Muller technique generates pairs of independent normally distributed variables from equations of the following form.
50:
2975:
5441:
5205:
4879:
973:
942:. A practitioner using one of these distributions can therefore parameterize the same distribution in two different ways. The choice of the
503:
5200:
5144:
4804:
4442:
804:
4950:
314:
5486:
5220:
5073:
4748:
4492:
2680:
introduced by W. Gosset in 1908 to describe small-sample statistics. In Gosset's original presentation the degrees of freedom parameter
5728:
4945:
5718:
5390:
5366:
4359:
4231:
5587:
5215:
712:
5754:
5464:
5425:
5397:
5371:
5289:
4638:
4386:
4290:
3878:
Tsallis, C. Nonadditive entropy and nonextensive statistical mechanics-an overview after 20 years. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356
3172:
3081:
5575:
5541:
5407:
5402:
5247:
5055:
4753:
4507:
571:
387:
5325:
5238:
5210:
5119:
5068:
5042:
4940:
4723:
4688:
2672:
While it can be justified by an interesting alternative form of entropy, statistically it is a scaled reparametrization of the
939:
5749:
5339:
5256:
5093:
4840:
4718:
4693:
4557:
4552:
4547:
3515:
1375:
900:-Gaussian distribution more suitable than Gaussian distribution to model the effect of external stochasticity. A generalized
5017:
4527:
4522:
5655:
5521:
5229:
5078:
5010:
4995:
4888:
4862:
4794:
4633:
4464:
4449:
5172:
618:
5551:
5491:
5481:
5098:
4799:
4658:
4232:"The Tsallis Distribution and Generalised Entropy: Prospects for Future Research into Decision-Making under Uncertainty"
3600:
808:
307:
4900:
4643:
4572:
5536:
5531:
5476:
5412:
5177:
4955:
4852:
4437:
5356:
5164:
3901:
2673:
927:
663:
4008:
5670:
5446:
5265:
5047:
5000:
4869:
4845:
4825:
4668:
4542:
4422:
4335:
3851:
803:-Gaussian is a generalization of the Gaussian in the same way that Tsallis entropy is a generalization of standard
5675:
4618:
4085:"Boundedness vs unboundedness of a noise linked to Tsallis q-statistics: The role of the overdamped approximation"
3681:
5459:
5420:
5294:
5131:
4975:
4920:
4818:
4782:
4653:
2605:
1064:
3603:
of the position of the unidimensional motion of a mass subject to two forces: a deterministic force of the type
3068:
2892:
138:
5361:
5149:
4915:
4874:
4789:
4743:
4683:
4648:
4537:
4432:
4382:
2566:
4474:
3818:
Financial return distributions in the New York Stock
Exchange, NASDAQ and elsewhere have been interpreted as
2945:-distribution extends trivially to all real degrees of freedom, where the support of the distribution is now
5660:
5602:
5060:
4970:
4925:
4910:
4830:
4728:
4678:
4673:
4454:
3452:
3277:
2020:
2004:
31:
2534:
404:
5526:
5514:
5503:
5385:
5281:
5088:
4532:
4512:
4417:
4340:
1943:
5650:
5607:
5451:
5126:
4980:
4960:
4857:
4427:
4283:
3606:
908:
827:
131:
58:
3416:
5700:
5695:
5690:
5685:
5622:
5592:
5471:
5114:
5005:
4905:
4608:
4567:
4562:
4459:
4325:
4167:
4106:
4049:
3975:
3846:
947:
796:
3588:
It has been shown that the momentum distribution of cold atoms in dissipative optical lattices is a
2079:
5634:
5159:
5139:
5109:
5083:
5037:
4965:
4777:
4713:
4310:
3831:
2528:
2524:
812:
4019:
W. Thistleton, J.A. Marsh, K. Nelson and C. Tsallis, Generalized Box–Muller method for generating
2941:-distribution to negative and or non-integer degrees of freedom. However, the theory of Student's
183:
5665:
5154:
4935:
4930:
4835:
4772:
4767:
4623:
4613:
4497:
4320:
4299:
4199:
4157:
4148:
Borland, Lisa (2002-08-07). "Option
Pricing Formulas Based on a Non-Gaussian Stock Price Model".
4130:
4096:
3991:
3965:
3928:
3859:
3836:
3784:. Note that in the overdamped/small mass approximation the above-mentioned convergence fails for
3443:
1628:
1159:
99:
215:
4264:
Tsallis
Statistics, Statistical Mechanics for Non-extensive Systems and Long-Range Interactions
5563:
4990:
4733:
4663:
4628:
4577:
4191:
4183:
4122:
4065:
468:
3754:
4738:
4412:
4276:
4175:
4114:
4057:
3983:
3920:
3787:
2029:
1586:
865:
851:
280:
65:
4238:
3987:
1168:
4315:
3887:
d'Onofrio A. (ed.) Bounded Noises in
Physics, Biology, and Engineering. Birkhauser (2013)
3841:
2652:
1614:
893:
792:
705:
88:
4171:
4110:
4053:
3979:
4811:
475:
447:
397:
2879:{\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}
5743:
5434:
5182:
4469:
3995:
2946:
4134:
3932:
4351:
4203:
4179:
4061:
4023:-Gaussian random deviates, IEEE Transactions on Information Theory 53, 4805 (2007)
4034:
4009:
https://reference.wolframcloud.com/language/ref/TsallisQGaussianDistribution.html
3781:
2789:{\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}
855:
123:
92:
3403:{\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}
4253:, Centre of Full Employment and Equity, The University of Newcastle, Australia
3924:
2937:
It is sometimes argued that the distribution is a generalization of
Student's
4187:
4126:
3678:(determining an infinite potential well) and a stochastic white noise force
843:
839:
30:
This article is about the
Tsallis q-Gaussian. For a different q-analog, see
4263:
4195:
4069:
3052:{\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}
3906:-Central Limit Theorem Consistent with Nonextensive Statistical Mechanics"
17:
4162:
3505:
These deviates can be transformed to generate deviates from an arbitrary
901:
656:
496:
847:
835:
831:
4118:
1048:{\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}
561:{\displaystyle {1 \over {\beta (5-3q)}}{\text{ for }}q<{5 \over 3}}
4268:
2688:. The scaled reparametrization introduces the alternative parameters
923: → 1. However, a proof of such a theorem is still lacking.
440:
2965:-Gaussian can be trivially extended to include a location parameter
4101:
4084:
911:
was proposed in 2008, in which the independence constraint for the
791:
is a probability distribution arising from the maximization of the
376:{\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta x^{2}})}
3970:
926:
In the heavy tail regions, the distribution is equivalent to the
4355:
4272:
4035:"Tunable Tsallis Distributions in Dissipative Optical Lattices"
3900:
Umarov, Sabir; Tsallis, Constantino; Steinberg, Stanly (2008).
772:{\displaystyle 6{q-1 \over 7-5q}{\text{ for }}q<{7 \over 5}}
950:, or if there is lack of a connection to small samples sizes.
4083:
Domingo, Dario; d’Onofrio, Alberto; Flandoli, Franco (2017).
3262:
The generalized Box–Muller technique can generates pairs of
3252:{\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}
3161:{\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}
2502:
608:{\displaystyle \infty {\text{ for }}{5 \over 3}\leq q<2}
3599:-Gaussian distribution is also obtained as the asymptotic
826:-Gaussian has been applied to problems in the fields of
3958:
Journal of
Statistical Mechanics: Theory and Experiment
3568:{\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}
2930:, the function is simply a scaled version of Student's
1417:{\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}
795:
under appropriate constraints. It is one example of a
3684:
3609:
2655:
distribution for fixed values of these three moments.
2283:
2260:
2245:
1815:
1792:
1777:
3790:
3757:
3518:
3455:
3419:
3323:
3280:
3175:
3084:
2978:
2895:
2808:
2724:
2608:
2569:
2537:
2058:
2032:
1946:
1666:
1631:
1589:
1433:
1378:
1201:
1171:
1067:
976:
868:
715:
666:
621:
574:
506:
478:
450:
407:
317:
283:
218:
186:
141:
102:
68:
5643:
5601:
5502:
5338:
5316:
5307:
5191:
5026:
4702:
4599:
4590:
4483:
4403:
4394:
3071:has been generalized to allow random sampling from
2647:corresponding to the normalization condition), the
704:
655:
645:{\displaystyle {\text{Undefined for }}2\leq q<3}
495:
467:
439:
396:
386:
306:
130:
57:
5760:Probability distributions with non-finite variance
3802:
3772:
3743:
3670:
3567:
3495:
3434:
3402:
3307:
3251:
3160:
3051:
2961:As with many distributions centered on zero, the
2922:
2878:
2788:
2639:
2594:
2555:
2531:distribution for fixed values of the first moment
2508:
2044:
1995:
1929:
1649:
1601:
1572:
1416:
1361:
1184:
1147:
1047:
880:
771:
693:
644:
607:
560:
484:
456:
427:
375:
295:
269:
204:
172:
114:
80:
967:-Gaussian has the probability density function
169:
4033:Douglas, P.; Bergamini, S.; Renzoni, F. (2006).
2007:. As the hypergeometric function is defined for
919:parameter, with independence being recovered as
1613:-Gaussian distribution is the PDF of a bounded
892:-Gaussian distribution is the PDF of a bounded
694:{\displaystyle 0{\text{ for }}q<{3 \over 2}}
4156:(9). American Physical Society (APS): 098701.
896:. This makes in biology and other domains the
4367:
4284:
3744:{\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}
8:
3895:
3893:
854:. The distribution is often favored for its
37:
2640:{\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}
1148:{\displaystyle e_{q}(x)=_{+}^{1 \over 1-q}}
5313:
4596:
4400:
4374:
4360:
4352:
4291:
4277:
4269:
2923:{\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}
946:-Gaussian form may arise if the system is
173:{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}
36:
4161:
4100:
3969:
3789:
3756:
3707:
3689:
3683:
3659:
3641:
3614:
3608:
3541:
3536:
3517:
3480:
3469:
3467:
3454:
3426:
3421:
3418:
3391:
3373:
3362:
3344:
3339:
3330:
3322:
3292:
3287:
3279:
3240:
3210:
3189:
3180:
3174:
3149:
3119:
3098:
3089:
3083:
3036:
3013:
3004:
2992:
2981:
2979:
2977:
2907:
2902:
2894:
2855:
2844:
2815:
2807:
2768:
2757:
2731:
2723:
2622:
2607:
2595:{\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}
2583:
2568:
2536:
2469:
2424:
2388:
2350:
2342:
2335:
2322:
2282:
2259:
2244:
2233:
2223:
2221:
2219:
2212:
2167:
2159:
2146:
2143:
2130:
2096:
2074:
2057:
2031:
1960:
1950:
1948:
1945:
1882:
1874:
1867:
1854:
1814:
1791:
1776:
1765:
1755:
1753:
1751:
1744:
1719:
1711:
1698:
1695:
1682:
1665:
1630:
1588:
1550:
1525:
1505:
1504:
1464:
1450:
1449:
1447:
1438:
1432:
1413:
1399:
1392:
1383:
1377:
1336:
1294:
1274:
1258:
1235:
1221:
1217:
1215:
1206:
1200:
1176:
1170:
1126:
1121:
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2969:. The density then becomes defined by
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7:
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2711:degrees of freedom, the equivalent
3956:-modified central limit theorem",
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3435:{\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}
1657:cumulative density function is
49:
4089:Journal of Mathematical Physics
3919:. Birkhauser Verlag: 307–328.
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4095:(3). AIP Publishing: 033301.
4062:10.1103/PhysRevLett.96.110601
1165:and the normalization factor
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959:Probability density function
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