3414:
5136:
3060:
3710:
4681:
4547:
641:
such that the first arrow is an admissible epi and the second admissible mono and two diagrams are isomorphic if they differ only at the middle and there is an isomorphism between them. The composition of morphisms is given by pullback.
4164:
2735:
3124:
4340:
4859:
1993:
4958:
2100:
576:
4032:
971:
4755:
2848:
410:
3502:
2346:
1910:
1269:
300:
4905:
1201:
882:
3767:
1767:
639:
2509:
718:
4224:
1078:
217:
117:
2807:
4950:
3112:
1464:
4379:
3853:
3810:
4411:
1704:
1541:
2840:
2264:
2222:
1587:
1493:
1355:
1316:
3939:
3897:
3444:
1659:
1627:
449:
4553:
4419:
2771:
1836:
1422:
1165:
1124:
738:
171:
2437:
2139:
818:
673:
71:
4250:
3471:
2464:
2407:
2376:
2171:
1794:
476:
1000:
768:
4778:
4191:
3494:
1389:
4051:
3409:{\displaystyle \pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{\text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))=GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).}
2521:
4259:
524:
be an exact category; i.e., an additive full subcategory of an abelian category that is closed under extension. If there is an exact sequence
5217:
5131:{\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(G,H_{q}({\widetilde {Ff}},\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).}
4787:
4862:
1915:
326:
2001:
1171:
be an exact category in which every exact sequence splits, e.g., the category of finitely generated projective modules, and put
4687:
3770:
771:
421:
3944:
3055:{\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n}(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.}
2174:
5256:
3813:
1134:
is a symmetric monoidal category in which every morphism is an isomorphism, one constructs (cf. Grayson) the category
887:
3705:{\displaystyle \pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}(Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).}
3856:
335:
501:
227:
in the classical sense. (The notation "+" is meant to suggest the construction adds more to the classifying space
2272:
1841:
1217:
4693:
4035:
237:
527:
4867:
1174:
4343:
823:
783:
3718:
1544:
1720:
612:
2469:
678:
4200:
1037:
786:). As it turns out, it is uniquely defined up to homotopy equivalence (so the notation is justified.)
176:
76:
2776:
1011:
485:
4910:
3068:
1427:
1318:
be the functor that sends a short exact sequence to the third term in the sequence. Note the fiber
497:
493:
4349:
3819:
3776:
4384:
1664:
1501:
741:
492:
generalizes the Q-construction in a stable sense; in fact, the former, which uses a more general
417:
120:
33:
4676:{\displaystyle {}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).}
4542:{\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),}
2812:
2227:
2180:
1550:
1469:
1321:
1286:
5213:
3912:
3866:
3422:
1632:
1596:
1590:
479:
427:
41:
2743:
1803:
1394:
1137:
1091:
723:
138:
5223:
2412:
2109:
1366:
797:
648:
46:
29:
5193:
4232:
3449:
2442:
2385:
2354:
2144:
1772:
454:
5227:
976:
505:
747:
4760:
4173:
3476:
1371:
5234:
5208:, Modern Birkhäuser Classics (Paperback reprint of the 1996 2nd ed.), Boston, MA:
1496:
1023:
779:
489:
25:
17:
5250:
5209:
4781:
2224:, amounting to the same thing.) The image actually lies in the identity component of
1006:. One can easily show this map (called transfer) agrees with one defined in Milnor's
509:
4159:{\displaystyle H_{1}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=H_{2}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=0.}
2730:{\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)=H_{p}(BS).}
5238:
504:
also gives a construction of algebraic K-theory for exact categories. See also
1207:
with the same class of objects but with morphisms that are isomorphisms in
5158:
1357:, which is a subcategory, consists of exact sequences whose third term is
1283:
and whose morphisms are isomorphism classes of diagrams between them. Let
4335:{\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0}
1543:, which can be shown to be a homotopy equivalence. On the other hand, by
1713:
to be the category of finitely generated projective modules over a ring
1167:
that generalizes the
Grothendieck group construction of a monoid. Let
1030:
is the category of finitely generated projective modules over a ring
131:
is the category of finitely generated projective modules over a ring
4784:. (Coincidentally, by reversing argument, one can say this implies
5141:
An inspection of this spectral sequence gives the desired result.
4854:{\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} );}
3715:
From homotopy theory, we know the second term is central; i.e.,
1988:{\displaystyle GL_{n}(R)=\operatorname {Aut} (R^{n})\to S^{-1}S}
416:
The construction is widely applicable and is used to define an
1002:
is the category of finitely generated projective modules over
1279:
be the category whose objects are short exact sequences in
2095:{\displaystyle BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{-1}S)}
3496:
for the homotopy fiber, we have the long exact sequence:
420:
in a non-classical context. For example, one can define
3941:
be a continuous map between connected CW-complexes. If
597:
be the category whose objects are the same as those of
4961:
4913:
4870:
4790:
4763:
4696:
4556:
4422:
4387:
4352:
4262:
4235:
4203:
4176:
4054:
3947:
3915:
3869:
3822:
3779:
3721:
3505:
3479:
3452:
3425:
3127:
3071:
2851:
2815:
2779:
2746:
2524:
2472:
2445:
2415:
2388:
2357:
2275:
2230:
2183:
2147:
2112:
2004:
1918:
1844:
1806:
1775:
1723:
1667:
1635:
1599:
1553:
1504:
1472:
1430:
1397:
1374:
1324:
1289:
1220:
1177:
1140:
1130:) relies on an intermediate homotopy equivalence. If
1094:
1040:
979:
890:
826:
800:
750:
726:
681:
651:
615:
530:
457:
430:
338:
240:
179:
141:
79:
49:
4027:{\displaystyle f_{*}:H_{*}(X,L)\to H_{*}(Y,f^{*}L)}
5130:
4944:
4899:
4853:
4772:
4749:
4675:
4541:
4405:
4373:
4334:
4252:. Thus, we can replace the hypothesis by one that
4244:
4218:
4185:
4158:
4026:
3933:
3891:
3847:
3804:
3761:
3704:
3488:
3465:
3438:
3408:
3106:
3054:
2834:
2801:
2765:
2729:
2503:
2458:
2431:
2401:
2370:
2340:
2258:
2216:
2165:
2133:
2094:
1987:
1904:
1830:
1788:
1761:
1698:
1653:
1621:
1581:
1535:
1487:
1458:
1416:
1383:
1349:
1310:
1263:
1211:. Then there is a "natural" homotopy equivalence:
1195:
1159:
1118:
1072:
994:
965:
876:
812:
762:
732:
712:
667:
633:
570:
470:
443:
404:
294:
211:
165:
111:
65:
5240:The K-book: An introduction to algebraic K-theory
2141:is either the classifying space of the category
1466:, there is an obvious (hence natural) inclusion
1018:Comparison with the classical K-theory of a ring
966:{\displaystyle K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_{i}(S)}
586:is called an admissible mono and the arrow from
1275:The equivalence is constructed as follows. Let
1010:. The construction is also compatible with the
4861:thus, the hypothesis of the lemma.) Next, the
405:{\displaystyle K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G)}
8:
3903:
3773:. It then follows from the next lemma that
2341:{\displaystyle f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.}
1905:{\displaystyle \pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)}
1264:{\displaystyle \Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)}
4750:{\displaystyle {}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}}
36:. More precisely, given an exact category
5118:
5117:
5096:
5082:
5081:
5057:
5040:
5039:
5020:
5019:
5010:
4991:
4975:
4965:
4963:
4960:
4924:
4912:
4872:
4871:
4869:
4841:
4840:
4825:
4811:
4810:
4795:
4789:
4762:
4735:
4725:
4723:
4710:
4700:
4698:
4695:
4688:comparison theorem for spectral sequences
4663:
4662:
4641:
4624:
4623:
4608:
4589:
4570:
4560:
4558:
4555:
4529:
4528:
4507:
4490:
4489:
4471:
4452:
4436:
4426:
4424:
4421:
4386:
4351:
4313:
4312:
4297:
4283:
4282:
4267:
4261:
4234:
4205:
4204:
4202:
4175:
4143:
4142:
4121:
4108:
4094:
4093:
4072:
4059:
4053:
4012:
3993:
3965:
3952:
3946:
3914:
3874:
3868:
3827:
3821:
3784:
3778:
3726:
3720:
3684:
3629:
3604:
3588:
3572:
3553:
3510:
3504:
3478:
3457:
3451:
3430:
3424:
3388:
3375:
3329:
3292:
3276:
3260:
3241:
3228:
3218:
3202:
3183:
3167:
3151:
3132:
3126:
3098:
3082:
3070:
3009:
2984:
2965:
2948:
2936:
2920:
2903:
2891:
2875:
2856:
2850:
2820:
2814:
2793:
2778:
2754:
2745:
2740:Thus, a class on the left is of the form
2712:
2687:
2668:
2649:
2624:
2599:
2580:
2564:
2548:
2529:
2523:
2483:
2471:
2450:
2444:
2423:
2414:
2393:
2387:
2362:
2356:
2329:
2313:
2274:
2241:
2229:
2182:
2146:
2111:
2077:
2049:
2026:
2003:
1973:
1957:
1926:
1917:
1887:
1865:
1849:
1843:
1805:
1780:
1774:
1744:
1728:
1722:
1681:
1666:
1634:
1607:
1598:
1564:
1552:
1518:
1503:
1471:
1435:
1429:
1402:
1396:
1373:
1329:
1323:
1288:
1246:
1219:
1176:
1145:
1139:
1093:
1058:
1045:
1039:
978:
948:
926:
895:
889:
856:
831:
825:
799:
749:
725:
686:
680:
656:
650:
614:
529:
462:
456:
435:
429:
384:
371:
343:
337:
295:{\displaystyle K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)}
280:
267:
245:
239:
197:
184:
178:
140:
97:
84:
78:
54:
48:
5169:
571:{\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}
5159:Algebraic K-theory via binary complexes
5150:
4900:{\displaystyle {\widetilde {Ff}}\to Ff}
1661:and thus is homotopy equivalent to the
1196:{\displaystyle S=\operatorname {iso} C}
5181:
2439:is the connected component containing
1127:
1126:. The usual proof of the theorem (cf.
877:{\displaystyle B^{+}P(R)\to B^{+}P(S)}
7:
3762:{\displaystyle \pi _{1}(Ff)\to E(R)}
2382:consisting of modules isomorphic to
609:are isomorphism classes of diagrams
4863:spectral sequence for the covering
1762:{\displaystyle \pi _{i}B(S^{-1}S)}
1473:
1221:
1008:Introduction to algebraic K-theory
727:
698:
634:{\displaystyle X\leftarrow Z\to Y}
14:
2515:. Then, by a theorem of Quillen,
2504:{\displaystyle e\in \pi _{0}(BS)}
713:{\displaystyle B^{+}C=\Omega BQC}
4226:along the universal covering of
4219:{\displaystyle {\widetilde {f}}}
1073:{\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}
327:homotopy group with coefficients
212:{\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}
112:{\displaystyle \pi _{0}(B^{+}C)}
3042:
2802:{\displaystyle x\mapsto xe^{m}}
1838:. First of all, by definition,
5122:
5108:
5086:
5069:
5050:
5047:
5044:
5016:
4997:
4945:{\displaystyle G=\pi _{1}(Ff)}
4939:
4930:
4888:
4845:
4831:
4815:
4801:
4667:
4653:
4634:
4631:
4628:
4614:
4595:
4533:
4519:
4500:
4497:
4494:
4477:
4458:
4397:
4391:
4365:
4359:
4317:
4303:
4287:
4273:
4236:
4193:does not change if we replace
4147:
4136:
4127:
4114:
4098:
4087:
4078:
4065:
4021:
3999:
3986:
3983:
3971:
3925:
3886:
3880:
3842:
3833:
3799:
3790:
3756:
3750:
3744:
3741:
3732:
3696:
3690:
3677:
3674:
3668:
3656:
3653:
3647:
3635:
3622:
3619:
3610:
3597:
3594:
3585:
3565:
3559:
3546:
3537:
3534:
3528:
3516:
3400:
3394:
3372:
3365:
3353:
3350:
3344:
3335:
3319:
3316:
3310:
3298:
3282:
3273:
3253:
3247:
3225:
3215:
3195:
3189:
3173:
3164:
3144:
3138:
3107:{\displaystyle B(S^{-1}S)^{0}}
3095:
3075:
3036:
3033:
3027:
3015:
2999:
2996:
2990:
2971:
2942:
2926:
2897:
2888:
2868:
2862:
2783:
2721:
2705:
2702:
2693:
2677:
2665:
2655:
2642:
2639:
2630:
2614:
2611:
2592:
2586:
2570:
2561:
2541:
2535:
2498:
2489:
2326:
2306:
2300:
2297:
2291:
2253:
2234:
2211:
2202:
2196:
2187:
2160:
2154:
2128:
2122:
2089:
2070:
2064:
2061:
2055:
2020:
2014:
1966:
1963:
1950:
1938:
1932:
1899:
1893:
1877:
1858:
1756:
1737:
1693:
1671:
1639:
1576:
1557:
1530:
1508:
1447:
1344:
1338:
1299:
1258:
1239:
1067:
1051:
989:
983:
960:
954:
941:
938:
932:
916:
913:
907:
901:
871:
865:
849:
846:
840:
804:
625:
619:
562:
551:
545:
534:
422:equivariant algebraic K-theory
399:
377:
361:
349:
289:
273:
257:
251:
206:
190:
106:
90:
1:
5194:Higher algebraic K-theory II
1459:{\displaystyle S^{-1}E\to QC}
590:is called an admissible epi.
321:with coefficients in a group
40:, the construction creates a
4374:{\displaystyle Ff\to X\to Y}
4170:Proof: The homotopy type of
3848:{\displaystyle \pi _{1}(Ff)}
3805:{\displaystyle \pi _{1}(Ff)}
2809:is induced by the action of
2511:be the component containing
4406:{\displaystyle *\to Y\to Y}
3814:universal central extension
2378:be the full subcategory of
1800:in the classical sense for
1699:{\displaystyle F(BS^{-1}f)}
1536:{\displaystyle F(BS^{-1}f)}
1088:in the classical sense for
645:Define a topological space
5273:
4034:is an isomorphism for any
2835:{\displaystyle R^{m}\in S}
2259:{\displaystyle B(S^{-1}S)}
2217:{\displaystyle K(GL(R),1)}
1582:{\displaystyle B(S^{-1}S)}
1488:{\displaystyle \Omega BQC}
1350:{\displaystyle f^{-1}(X)}
1311:{\displaystyle f:E\to QC}
4344:Serre spectral sequences
4256:is simply connected and
4036:local coefficient system
3934:{\displaystyle f:X\to Y}
3892:{\displaystyle K_{2}(R)}
3439:{\displaystyle \pi _{2}}
1654:{\displaystyle *\to BQC}
1622:{\displaystyle BS^{-1}f}
794:Every ring homomorphism
506:module spectrum#K-theory
502:Grayson's binary complex
444:{\displaystyle \pi _{*}}
2766:{\displaystyle xe^{-n}}
2175:Eilenberg–MacLane space
1831:{\displaystyle i=0,1,2}
1417:{\displaystyle S^{-1}f}
1160:{\displaystyle S^{-1}S}
1119:{\displaystyle i=0,1,2}
733:{\displaystyle \Omega }
166:{\displaystyle i=0,1,2}
5132:
4946:
4901:
4855:
4774:
4751:
4677:
4543:
4407:
4375:
4336:
4246:
4220:
4187:
4160:
4028:
3935:
3893:
3849:
3806:
3763:
3706:
3490:
3467:
3440:
3410:
3108:
3056:
2836:
2803:
2767:
2731:
2505:
2460:
2433:
2432:{\displaystyle BS_{n}}
2403:
2372:
2342:
2260:
2218:
2167:
2135:
2134:{\displaystyle BGL(R)}
2096:
1989:
1906:
1832:
1790:
1763:
1700:
1655:
1623:
1583:
1537:
1489:
1460:
1418:
1385:
1351:
1312:
1265:
1197:
1161:
1120:
1074:
996:
967:
878:
814:
813:{\displaystyle R\to S}
764:
734:
714:
669:
668:{\displaystyle B^{+}C}
635:
582:, then the arrow from
572:
472:
445:
406:
296:
213:
167:
113:
67:
66:{\displaystyle B^{+}C}
5200:Srinivas, V. (2008),
5184:, Ch. IV. Theorem 7.1
5133:
4947:
4902:
4856:
4775:
4752:
4678:
4544:
4408:
4376:
4337:
4247:
4245:{\displaystyle \to Y}
4221:
4188:
4161:
4029:
3936:
3894:
3850:
3807:
3764:
3707:
3491:
3468:
3466:{\displaystyle K_{2}}
3441:
3411:
3109:
3057:
2837:
2804:
2768:
2732:
2506:
2461:
2459:{\displaystyle R^{n}}
2434:
2404:
2402:{\displaystyle R^{n}}
2373:
2371:{\displaystyle S_{n}}
2343:
2261:
2219:
2168:
2166:{\displaystyle GL(R)}
2136:
2097:
1990:
1907:
1833:
1791:
1789:{\displaystyle K_{i}}
1764:
1701:
1656:
1624:
1584:
1538:
1490:
1461:
1419:
1386:
1367:category fibered over
1352:
1313:
1266:
1203:, the subcategory of
1198:
1162:
1121:
1075:
997:
968:
879:
815:
780:geometric realization
765:
735:
715:
670:
636:
573:
473:
471:{\displaystyle B^{+}}
446:
407:
297:
214:
168:
114:
68:
4959:
4911:
4868:
4788:
4761:
4694:
4554:
4420:
4385:
4350:
4260:
4233:
4201:
4174:
4052:
3945:
3913:
3867:
3820:
3777:
3719:
3503:
3477:
3450:
3423:
3125:
3069:
2849:
2813:
2777:
2744:
2522:
2470:
2443:
2413:
2386:
2355:
2273:
2228:
2181:
2145:
2110:
2002:
1916:
1842:
1804:
1773:
1721:
1665:
1633:
1597:
1551:
1547:, one can show that
1502:
1470:
1428:
1395:
1372:
1322:
1287:
1218:
1175:
1138:
1092:
1038:
1012:suspension of a ring
995:{\displaystyle P(R)}
977:
888:
824:
798:
748:
724:
679:
649:
613:
528:
508:for a K-theory of a
500:instead of a space.
455:
428:
336:
238:
177:
139:
77:
47:
5172:, The end of Ch. 7.
5157:Daniel R. Grayson,
4746:
4581:
3907: —
1545:Quillen's Theorem B
763:{\displaystyle BQC}
601:and morphisms from
494:Waldhausen category
480:equivariant sheaves
478:of the category of
5257:Algebraic K-theory
5128:
4942:
4897:
4851:
4773:{\displaystyle Ff}
4770:
4747:
4731:
4690:, it follows that
4673:
4566:
4539:
4403:
4371:
4332:
4242:
4216:
4186:{\displaystyle Ff}
4183:
4156:
4024:
3931:
3905:
3889:
3863:and the kernel is
3845:
3802:
3759:
3702:
3489:{\displaystyle Ff}
3486:
3463:
3436:
3419:It remains to see
3406:
3104:
3052:
2956:
2911:
2832:
2799:
2763:
2727:
2501:
2456:
2429:
2399:
2368:
2338:
2256:
2214:
2163:
2131:
2092:
2034:
1985:
1902:
1828:
1786:
1759:
1696:
1651:
1619:
1579:
1533:
1485:
1456:
1414:
1384:{\displaystyle QC}
1381:
1347:
1308:
1261:
1193:
1157:
1116:
1070:
1026:states that, when
992:
963:
874:
810:
760:
742:loop space functor
730:
710:
665:
631:
568:
468:
441:
418:algebraic K-theory
402:
325:is defined as the
292:
209:
163:
121:Grothendieck group
109:
63:
34:algebraic K-theory
5219:978-0-8176-4736-0
5033:
4885:
4213:
3771:central extension
3378:
3231:
2949:
2904:
2027:
1591:homotopy pullback
772:classifying space
313:. Similarly, the
42:topological space
24:associates to an
5264:
5243:
5230:
5192:Daniel Grayson,
5185:
5179:
5173:
5167:
5161:
5155:
5137:
5135:
5134:
5129:
5121:
5107:
5106:
5085:
5068:
5067:
5043:
5035:
5034:
5029:
5021:
5015:
5014:
4996:
4995:
4983:
4982:
4970:
4969:
4964:
4951:
4949:
4948:
4943:
4929:
4928:
4906:
4904:
4903:
4898:
4887:
4886:
4881:
4873:
4860:
4858:
4857:
4852:
4844:
4830:
4829:
4814:
4800:
4799:
4779:
4777:
4776:
4771:
4756:
4754:
4753:
4748:
4742:
4730:
4729:
4724:
4718:
4717:
4705:
4704:
4699:
4682:
4680:
4679:
4674:
4666:
4652:
4651:
4627:
4613:
4612:
4594:
4593:
4577:
4565:
4564:
4559:
4548:
4546:
4545:
4540:
4532:
4518:
4517:
4493:
4476:
4475:
4457:
4456:
4444:
4443:
4431:
4430:
4425:
4412:
4410:
4409:
4404:
4380:
4378:
4377:
4372:
4341:
4339:
4338:
4333:
4316:
4302:
4301:
4286:
4272:
4271:
4251:
4249:
4248:
4243:
4225:
4223:
4222:
4217:
4215:
4214:
4206:
4197:by the pullback
4192:
4190:
4189:
4184:
4165:
4163:
4162:
4157:
4146:
4126:
4125:
4113:
4112:
4097:
4077:
4076:
4064:
4063:
4033:
4031:
4030:
4025:
4017:
4016:
3998:
3997:
3970:
3969:
3957:
3956:
3940:
3938:
3937:
3932:
3908:
3898:
3896:
3895:
3890:
3879:
3878:
3854:
3852:
3851:
3846:
3832:
3831:
3811:
3809:
3808:
3803:
3789:
3788:
3768:
3766:
3765:
3760:
3731:
3730:
3711:
3709:
3708:
3703:
3689:
3688:
3634:
3633:
3609:
3608:
3593:
3592:
3580:
3579:
3558:
3557:
3515:
3514:
3495:
3493:
3492:
3487:
3472:
3470:
3469:
3464:
3462:
3461:
3445:
3443:
3442:
3437:
3435:
3434:
3415:
3413:
3412:
3407:
3393:
3392:
3380:
3379:
3376:
3334:
3333:
3297:
3296:
3281:
3280:
3268:
3267:
3246:
3245:
3233:
3232:
3229:
3223:
3222:
3210:
3209:
3188:
3187:
3172:
3171:
3159:
3158:
3137:
3136:
3113:
3111:
3110:
3105:
3103:
3102:
3090:
3089:
3061:
3059:
3058:
3053:
3014:
3013:
2989:
2988:
2970:
2969:
2957:
2941:
2940:
2925:
2924:
2912:
2896:
2895:
2883:
2882:
2861:
2860:
2841:
2839:
2838:
2833:
2825:
2824:
2808:
2806:
2805:
2800:
2798:
2797:
2772:
2770:
2769:
2764:
2762:
2761:
2736:
2734:
2733:
2728:
2720:
2719:
2692:
2691:
2676:
2675:
2654:
2653:
2629:
2628:
2607:
2606:
2585:
2584:
2569:
2568:
2556:
2555:
2534:
2533:
2510:
2508:
2507:
2502:
2488:
2487:
2465:
2463:
2462:
2457:
2455:
2454:
2438:
2436:
2435:
2430:
2428:
2427:
2408:
2406:
2405:
2400:
2398:
2397:
2377:
2375:
2374:
2369:
2367:
2366:
2347:
2345:
2344:
2339:
2334:
2333:
2321:
2320:
2265:
2263:
2262:
2257:
2249:
2248:
2223:
2221:
2220:
2215:
2172:
2170:
2169:
2164:
2140:
2138:
2137:
2132:
2101:
2099:
2098:
2093:
2085:
2084:
2054:
2053:
2035:
1994:
1992:
1991:
1986:
1981:
1980:
1962:
1961:
1931:
1930:
1911:
1909:
1908:
1903:
1892:
1891:
1873:
1872:
1854:
1853:
1837:
1835:
1834:
1829:
1795:
1793:
1792:
1787:
1785:
1784:
1768:
1766:
1765:
1760:
1752:
1751:
1733:
1732:
1705:
1703:
1702:
1697:
1689:
1688:
1660:
1658:
1657:
1652:
1628:
1626:
1625:
1620:
1615:
1614:
1588:
1586:
1585:
1580:
1572:
1571:
1542:
1540:
1539:
1534:
1526:
1525:
1494:
1492:
1491:
1486:
1465:
1463:
1462:
1457:
1443:
1442:
1423:
1421:
1420:
1415:
1410:
1409:
1390:
1388:
1387:
1382:
1356:
1354:
1353:
1348:
1337:
1336:
1317:
1315:
1314:
1309:
1270:
1268:
1267:
1262:
1254:
1253:
1202:
1200:
1199:
1194:
1166:
1164:
1163:
1158:
1153:
1152:
1125:
1123:
1122:
1117:
1079:
1077:
1076:
1071:
1063:
1062:
1050:
1049:
1001:
999:
998:
993:
972:
970:
969:
964:
953:
952:
931:
930:
900:
899:
883:
881:
880:
875:
861:
860:
836:
835:
819:
817:
816:
811:
774:of the category
769:
767:
766:
761:
739:
737:
736:
731:
719:
717:
716:
711:
691:
690:
674:
672:
671:
666:
661:
660:
640:
638:
637:
632:
577:
575:
574:
569:
561:
544:
516:The construction
477:
475:
474:
469:
467:
466:
450:
448:
447:
442:
440:
439:
411:
409:
408:
403:
389:
388:
376:
375:
348:
347:
305:and call it the
301:
299:
298:
293:
285:
284:
272:
271:
250:
249:
218:
216:
215:
210:
202:
201:
189:
188:
172:
170:
169:
164:
118:
116:
115:
110:
102:
101:
89:
88:
72:
70:
69:
64:
59:
58:
30:abelian category
5272:
5271:
5267:
5266:
5265:
5263:
5262:
5261:
5247:
5246:
5235:Weibel, Charles
5233:
5220:
5199:
5189:
5188:
5180:
5176:
5168:
5164:
5156:
5152:
5147:
5092:
5053:
5022:
5006:
4987:
4971:
4962:
4957:
4956:
4920:
4909:
4908:
4874:
4866:
4865:
4821:
4791:
4786:
4785:
4759:
4758:
4722:
4706:
4697:
4692:
4691:
4637:
4604:
4585:
4557:
4552:
4551:
4503:
4467:
4448:
4432:
4423:
4418:
4417:
4383:
4382:
4348:
4347:
4293:
4263:
4258:
4257:
4231:
4230:
4199:
4198:
4172:
4171:
4168:
4117:
4104:
4068:
4055:
4050:
4049:
4008:
3989:
3961:
3948:
3943:
3942:
3911:
3910:
3906:
3870:
3865:
3864:
3857:Steinberg group
3823:
3818:
3817:
3780:
3775:
3774:
3722:
3717:
3716:
3680:
3625:
3600:
3584:
3568:
3549:
3506:
3501:
3500:
3475:
3474:
3453:
3448:
3447:
3426:
3421:
3420:
3384:
3371:
3325:
3288:
3272:
3256:
3237:
3224:
3214:
3198:
3179:
3163:
3147:
3128:
3123:
3122:
3094:
3078:
3067:
3066:
3005:
2980:
2961:
2932:
2916:
2887:
2871:
2852:
2847:
2846:
2816:
2811:
2810:
2789:
2775:
2774:
2750:
2742:
2741:
2708:
2683:
2664:
2645:
2620:
2595:
2576:
2560:
2544:
2525:
2520:
2519:
2479:
2468:
2467:
2446:
2441:
2440:
2419:
2411:
2410:
2389:
2384:
2383:
2358:
2353:
2352:
2325:
2309:
2271:
2270:
2266:and so we get:
2237:
2226:
2225:
2179:
2178:
2143:
2142:
2108:
2107:
2073:
2045:
2000:
1999:
1969:
1953:
1922:
1914:
1913:
1883:
1861:
1845:
1840:
1839:
1802:
1801:
1776:
1771:
1770:
1740:
1724:
1719:
1718:
1717:and shows that
1677:
1663:
1662:
1631:
1630:
1603:
1595:
1594:
1560:
1549:
1548:
1514:
1500:
1499:
1468:
1467:
1431:
1426:
1425:
1398:
1393:
1392:
1370:
1369:
1325:
1320:
1319:
1285:
1284:
1242:
1216:
1215:
1173:
1172:
1141:
1136:
1135:
1090:
1089:
1084:-th K-group of
1054:
1041:
1036:
1035:
1020:
1014:(cf. Grayson).
975:
974:
944:
922:
891:
886:
885:
852:
827:
822:
821:
796:
795:
792:
746:
745:
722:
721:
682:
677:
676:
652:
647:
646:
611:
610:
554:
537:
526:
525:
518:
458:
453:
452:
431:
426:
425:
380:
367:
339:
334:
333:
317:-th K-group of
309:-th K-group of
276:
263:
241:
236:
235:
223:-th K-group of
193:
180:
175:
174:
137:
136:
93:
80:
75:
74:
50:
45:
44:
12:
11:
5:
5270:
5268:
5260:
5259:
5249:
5248:
5245:
5244:
5231:
5218:
5197:
5187:
5186:
5174:
5162:
5149:
5148:
5146:
5143:
5139:
5138:
5127:
5124:
5120:
5116:
5113:
5110:
5105:
5102:
5099:
5095:
5091:
5088:
5084:
5080:
5077:
5074:
5071:
5066:
5063:
5060:
5056:
5052:
5049:
5046:
5042:
5038:
5032:
5028:
5025:
5018:
5013:
5009:
5005:
5002:
4999:
4994:
4990:
4986:
4981:
4978:
4974:
4968:
4941:
4938:
4935:
4932:
4927:
4923:
4919:
4916:
4896:
4893:
4890:
4884:
4880:
4877:
4850:
4847:
4843:
4839:
4836:
4833:
4828:
4824:
4820:
4817:
4813:
4809:
4806:
4803:
4798:
4794:
4769:
4766:
4745:
4741:
4738:
4734:
4728:
4721:
4716:
4713:
4709:
4703:
4684:
4683:
4672:
4669:
4665:
4661:
4658:
4655:
4650:
4647:
4644:
4640:
4636:
4633:
4630:
4626:
4622:
4619:
4616:
4611:
4607:
4603:
4600:
4597:
4592:
4588:
4584:
4580:
4576:
4573:
4569:
4563:
4549:
4538:
4535:
4531:
4527:
4524:
4521:
4516:
4513:
4510:
4506:
4502:
4499:
4496:
4492:
4488:
4485:
4482:
4479:
4474:
4470:
4466:
4463:
4460:
4455:
4451:
4447:
4442:
4439:
4435:
4429:
4402:
4399:
4396:
4393:
4390:
4370:
4367:
4364:
4361:
4358:
4355:
4331:
4328:
4325:
4322:
4319:
4315:
4311:
4308:
4305:
4300:
4296:
4292:
4289:
4285:
4281:
4278:
4275:
4270:
4266:
4241:
4238:
4212:
4209:
4182:
4179:
4167:
4166:
4155:
4152:
4149:
4145:
4141:
4138:
4135:
4132:
4129:
4124:
4120:
4116:
4111:
4107:
4103:
4100:
4096:
4092:
4089:
4086:
4083:
4080:
4075:
4071:
4067:
4062:
4058:
4023:
4020:
4015:
4011:
4007:
4004:
4001:
3996:
3992:
3988:
3985:
3982:
3979:
3976:
3973:
3968:
3964:
3960:
3955:
3951:
3930:
3927:
3924:
3921:
3918:
3901:
3888:
3885:
3882:
3877:
3873:
3844:
3841:
3838:
3835:
3830:
3826:
3801:
3798:
3795:
3792:
3787:
3783:
3758:
3755:
3752:
3749:
3746:
3743:
3740:
3737:
3734:
3729:
3725:
3713:
3712:
3701:
3698:
3695:
3692:
3687:
3683:
3679:
3676:
3673:
3670:
3667:
3664:
3661:
3658:
3655:
3652:
3649:
3646:
3643:
3640:
3637:
3632:
3628:
3624:
3621:
3618:
3615:
3612:
3607:
3603:
3599:
3596:
3591:
3587:
3583:
3578:
3575:
3571:
3567:
3564:
3561:
3556:
3552:
3548:
3545:
3542:
3539:
3536:
3533:
3530:
3527:
3524:
3521:
3518:
3513:
3509:
3485:
3482:
3460:
3456:
3433:
3429:
3417:
3416:
3405:
3402:
3399:
3396:
3391:
3387:
3383:
3374:
3370:
3367:
3364:
3361:
3358:
3355:
3352:
3349:
3346:
3343:
3340:
3337:
3332:
3328:
3324:
3321:
3318:
3315:
3312:
3309:
3306:
3303:
3300:
3295:
3291:
3287:
3284:
3279:
3275:
3271:
3266:
3263:
3259:
3255:
3252:
3249:
3244:
3240:
3236:
3227:
3221:
3217:
3213:
3208:
3205:
3201:
3197:
3194:
3191:
3186:
3182:
3178:
3175:
3170:
3166:
3162:
3157:
3154:
3150:
3146:
3143:
3140:
3135:
3131:
3101:
3097:
3093:
3088:
3085:
3081:
3077:
3074:
3063:
3062:
3051:
3048:
3045:
3041:
3038:
3035:
3032:
3029:
3026:
3023:
3020:
3017:
3012:
3008:
3004:
3001:
2998:
2995:
2992:
2987:
2983:
2979:
2976:
2973:
2968:
2964:
2960:
2955:
2952:
2947:
2944:
2939:
2935:
2931:
2928:
2923:
2919:
2915:
2910:
2907:
2902:
2899:
2894:
2890:
2886:
2881:
2878:
2874:
2870:
2867:
2864:
2859:
2855:
2831:
2828:
2823:
2819:
2796:
2792:
2788:
2785:
2782:
2760:
2757:
2753:
2749:
2738:
2737:
2726:
2723:
2718:
2715:
2711:
2707:
2704:
2701:
2698:
2695:
2690:
2686:
2682:
2679:
2674:
2671:
2667:
2663:
2660:
2657:
2652:
2648:
2644:
2641:
2638:
2635:
2632:
2627:
2623:
2619:
2616:
2613:
2610:
2605:
2602:
2598:
2594:
2591:
2588:
2583:
2579:
2575:
2572:
2567:
2563:
2559:
2554:
2551:
2547:
2543:
2540:
2537:
2532:
2528:
2500:
2497:
2494:
2491:
2486:
2482:
2478:
2475:
2453:
2449:
2426:
2422:
2418:
2396:
2392:
2365:
2361:
2349:
2348:
2337:
2332:
2328:
2324:
2319:
2316:
2312:
2308:
2305:
2302:
2299:
2296:
2293:
2290:
2287:
2284:
2281:
2278:
2255:
2252:
2247:
2244:
2240:
2236:
2233:
2213:
2210:
2207:
2204:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2186:
2162:
2159:
2156:
2153:
2150:
2130:
2127:
2124:
2121:
2118:
2115:
2104:
2103:
2091:
2088:
2083:
2080:
2076:
2072:
2069:
2066:
2063:
2060:
2057:
2052:
2048:
2044:
2041:
2038:
2033:
2030:
2025:
2022:
2019:
2016:
2013:
2010:
2007:
1984:
1979:
1976:
1972:
1968:
1965:
1960:
1956:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1934:
1929:
1925:
1921:
1901:
1898:
1895:
1890:
1886:
1882:
1879:
1876:
1871:
1868:
1864:
1860:
1857:
1852:
1848:
1827:
1824:
1821:
1818:
1815:
1812:
1809:
1783:
1779:
1758:
1755:
1750:
1747:
1743:
1739:
1736:
1731:
1727:
1695:
1692:
1687:
1684:
1680:
1676:
1673:
1670:
1650:
1647:
1644:
1641:
1638:
1618:
1613:
1610:
1606:
1602:
1578:
1575:
1570:
1567:
1563:
1559:
1556:
1532:
1529:
1524:
1521:
1517:
1513:
1510:
1507:
1497:homotopy fiber
1484:
1481:
1478:
1475:
1455:
1452:
1449:
1446:
1441:
1438:
1434:
1413:
1408:
1405:
1401:
1380:
1377:
1346:
1343:
1340:
1335:
1332:
1328:
1307:
1304:
1301:
1298:
1295:
1292:
1273:
1272:
1260:
1257:
1252:
1249:
1245:
1241:
1238:
1235:
1232:
1229:
1226:
1223:
1192:
1189:
1186:
1183:
1180:
1156:
1151:
1148:
1144:
1115:
1112:
1109:
1106:
1103:
1100:
1097:
1069:
1066:
1061:
1057:
1053:
1048:
1044:
1024:Daniel Quillen
1019:
1016:
991:
988:
985:
982:
962:
959:
956:
951:
947:
943:
940:
937:
934:
929:
925:
921:
918:
915:
912:
909:
906:
903:
898:
894:
873:
870:
867:
864:
859:
855:
851:
848:
845:
842:
839:
834:
830:
809:
806:
803:
791:
788:
759:
756:
753:
729:
709:
706:
703:
700:
697:
694:
689:
685:
664:
659:
655:
630:
627:
624:
621:
618:
567:
564:
560:
557:
553:
550:
547:
543:
540:
536:
533:
517:
514:
490:S-construction
465:
461:
438:
434:
414:
413:
401:
398:
395:
392:
387:
383:
379:
374:
370:
366:
363:
360:
357:
354:
351:
346:
342:
303:
302:
291:
288:
283:
279:
275:
270:
266:
262:
259:
256:
253:
248:
244:
208:
205:
200:
196:
192:
187:
183:
162:
159:
156:
153:
150:
147:
144:
108:
105:
100:
96:
92:
87:
83:
62:
57:
53:
26:exact category
22:Q-construction
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5269:
5258:
5255:
5254:
5252:
5242:
5241:
5236:
5232:
5229:
5225:
5221:
5215:
5211:
5207:
5203:
5198:
5195:
5191:
5190:
5183:
5178:
5175:
5171:
5170:Srinivas 2008
5166:
5163:
5160:
5154:
5151:
5144:
5142:
5125:
5114:
5111:
5103:
5100:
5097:
5093:
5089:
5078:
5075:
5072:
5064:
5061:
5058:
5054:
5036:
5030:
5026:
5023:
5011:
5007:
5003:
5000:
4992:
4988:
4984:
4979:
4976:
4972:
4966:
4955:
4954:
4953:
4936:
4933:
4925:
4921:
4917:
4914:
4894:
4891:
4882:
4878:
4875:
4864:
4848:
4837:
4834:
4826:
4822:
4818:
4807:
4804:
4796:
4792:
4783:
4767:
4764:
4743:
4739:
4736:
4732:
4726:
4719:
4714:
4711:
4707:
4701:
4689:
4670:
4659:
4656:
4648:
4645:
4642:
4638:
4620:
4617:
4609:
4605:
4601:
4598:
4590:
4586:
4582:
4578:
4574:
4571:
4567:
4561:
4550:
4536:
4525:
4522:
4514:
4511:
4508:
4504:
4486:
4483:
4480:
4472:
4468:
4464:
4461:
4453:
4449:
4445:
4440:
4437:
4433:
4427:
4416:
4415:
4414:
4400:
4394:
4388:
4368:
4362:
4356:
4353:
4345:
4329:
4326:
4323:
4320:
4309:
4306:
4298:
4294:
4290:
4279:
4276:
4268:
4264:
4255:
4239:
4229:
4210:
4207:
4196:
4180:
4177:
4153:
4150:
4139:
4133:
4130:
4122:
4118:
4109:
4105:
4101:
4090:
4084:
4081:
4073:
4069:
4060:
4056:
4048:
4047:
4046:
4044:
4040:
4037:
4018:
4013:
4009:
4005:
4002:
3994:
3990:
3980:
3977:
3974:
3966:
3962:
3958:
3953:
3949:
3928:
3922:
3919:
3916:
3900:
3883:
3875:
3871:
3862:
3858:
3839:
3836:
3828:
3824:
3815:
3796:
3793:
3785:
3781:
3772:
3753:
3747:
3738:
3735:
3727:
3723:
3699:
3693:
3685:
3681:
3671:
3665:
3662:
3659:
3650:
3644:
3641:
3638:
3630:
3626:
3616:
3613:
3605:
3601:
3589:
3581:
3576:
3573:
3569:
3562:
3554:
3550:
3543:
3540:
3531:
3525:
3522:
3519:
3511:
3507:
3499:
3498:
3497:
3483:
3480:
3458:
3454:
3431:
3427:
3403:
3397:
3389:
3385:
3381:
3368:
3362:
3359:
3356:
3347:
3341:
3338:
3330:
3326:
3322:
3313:
3307:
3304:
3301:
3293:
3289:
3285:
3277:
3269:
3264:
3261:
3257:
3250:
3242:
3238:
3234:
3219:
3211:
3206:
3203:
3199:
3192:
3184:
3180:
3176:
3168:
3160:
3155:
3152:
3148:
3141:
3133:
3129:
3121:
3120:
3119:
3117:
3099:
3091:
3086:
3083:
3079:
3072:
3049:
3046:
3043:
3039:
3030:
3024:
3021:
3018:
3010:
3006:
3002:
2993:
2985:
2981:
2977:
2974:
2966:
2962:
2958:
2953:
2950:
2945:
2937:
2933:
2929:
2921:
2917:
2913:
2908:
2905:
2900:
2892:
2884:
2879:
2876:
2872:
2865:
2857:
2853:
2845:
2844:
2843:
2829:
2826:
2821:
2817:
2794:
2790:
2786:
2780:
2758:
2755:
2751:
2747:
2724:
2716:
2713:
2709:
2699:
2696:
2688:
2684:
2680:
2672:
2669:
2661:
2658:
2650:
2646:
2636:
2633:
2625:
2621:
2617:
2608:
2603:
2600:
2596:
2589:
2581:
2577:
2573:
2565:
2557:
2552:
2549:
2545:
2538:
2530:
2526:
2518:
2517:
2516:
2514:
2495:
2492:
2484:
2480:
2476:
2473:
2451:
2447:
2424:
2420:
2416:
2394:
2390:
2381:
2363:
2359:
2335:
2330:
2322:
2317:
2314:
2310:
2303:
2294:
2288:
2285:
2282:
2279:
2276:
2269:
2268:
2267:
2250:
2245:
2242:
2238:
2231:
2208:
2205:
2199:
2193:
2190:
2184:
2176:
2157:
2151:
2148:
2125:
2119:
2116:
2113:
2086:
2081:
2078:
2074:
2067:
2058:
2050:
2046:
2042:
2039:
2036:
2031:
2028:
2023:
2017:
2011:
2008:
2005:
1998:
1997:
1996:
1982:
1977:
1974:
1970:
1958:
1954:
1947:
1944:
1941:
1935:
1927:
1923:
1919:
1896:
1888:
1884:
1880:
1874:
1869:
1866:
1862:
1855:
1850:
1846:
1825:
1822:
1819:
1816:
1813:
1810:
1807:
1799:
1781:
1777:
1753:
1748:
1745:
1741:
1734:
1729:
1725:
1716:
1712:
1707:
1690:
1685:
1682:
1678:
1674:
1668:
1648:
1645:
1642:
1636:
1616:
1611:
1608:
1604:
1600:
1592:
1573:
1568:
1565:
1561:
1554:
1546:
1527:
1522:
1519:
1515:
1511:
1505:
1498:
1482:
1479:
1476:
1453:
1450:
1444:
1439:
1436:
1432:
1411:
1406:
1403:
1399:
1378:
1375:
1368:
1364:
1361:. This makes
1360:
1341:
1333:
1330:
1326:
1305:
1302:
1296:
1293:
1290:
1282:
1278:
1255:
1250:
1247:
1243:
1236:
1233:
1230:
1227:
1224:
1214:
1213:
1212:
1210:
1206:
1190:
1187:
1184:
1181:
1178:
1170:
1154:
1149:
1146:
1142:
1133:
1129:
1113:
1110:
1107:
1104:
1101:
1098:
1095:
1087:
1083:
1064:
1059:
1055:
1046:
1042:
1033:
1029:
1025:
1022:A theorem of
1017:
1015:
1013:
1009:
1005:
986:
980:
957:
949:
945:
935:
927:
923:
919:
910:
904:
896:
892:
868:
862:
857:
853:
843:
837:
832:
828:
807:
801:
789:
787:
785:
781:
777:
773:
757:
754:
751:
743:
707:
704:
701:
695:
692:
687:
683:
662:
657:
653:
643:
628:
622:
616:
608:
604:
600:
596:
591:
589:
585:
581:
565:
558:
555:
548:
541:
538:
531:
523:
515:
513:
511:
510:ring spectrum
507:
503:
499:
496:, produces a
495:
491:
487:
483:
482:on a scheme.
481:
463:
459:
436:
432:
423:
419:
396:
393:
390:
385:
381:
372:
368:
364:
358:
355:
352:
344:
340:
332:
331:
330:
328:
324:
320:
316:
312:
308:
286:
281:
277:
268:
264:
260:
254:
246:
242:
234:
233:
232:
230:
226:
222:
203:
198:
194:
185:
181:
160:
157:
154:
151:
148:
145:
142:
134:
130:
126:
122:
103:
98:
94:
85:
81:
60:
55:
51:
43:
39:
35:
31:
27:
23:
19:
5239:
5205:
5201:
5177:
5165:
5153:
5140:
4685:
4253:
4227:
4194:
4169:
4042:
4038:
3902:
3860:
3714:
3418:
3115:
3064:
2739:
2512:
2379:
2350:
2177:of the type
2105:
1797:
1714:
1710:
1709:We now take
1708:
1362:
1358:
1280:
1276:
1274:
1208:
1204:
1168:
1131:
1085:
1081:
1031:
1027:
1021:
1007:
1003:
793:
775:
644:
606:
602:
598:
594:
592:
587:
583:
579:
521:
519:
484:
415:
322:
318:
314:
310:
306:
304:
231:.) One puts
228:
224:
220:
132:
128:
124:
37:
21:
16:In algebra,
15:
5182:Weibel 2013
4907:with group
4342:. Now, the
1128:Weibel 2013
5228:1125.19300
5210:Birkhäuser
5202:Algebraic
5145:References
3473:. Writing
1995:gives us:
1391:. Writing
790:Operations
486:Waldhausen
127:and, when
28:(e.g., an
5112:∗
5051:⇒
5031:~
4922:π
4889:→
4883:~
4819:≃
4635:⇒
4618:∗
4501:⇒
4398:→
4392:→
4389:∗
4366:→
4360:→
4327:≥
4291:≃
4237:→
4211:~
4119:π
4070:π
4014:∗
3995:∗
3987:→
3967:∗
3954:∗
3926:→
3825:π
3782:π
3745:→
3724:π
3678:→
3627:π
3623:→
3602:π
3598:→
3574:−
3551:π
3547:→
3508:π
3428:π
3262:−
3204:−
3181:π
3153:−
3130:π
3084:−
3047:≥
2959:
2954:→
2914:
2909:→
2877:−
2842:. Hence,
2827:∈
2784:↦
2756:−
2714:−
2670:−
2647:π
2601:−
2574:⊂
2550:−
2481:π
2477:∈
2315:−
2301:→
2243:−
2079:−
2065:→
2037:
2032:→
1975:−
1967:→
1948:
1867:−
1847:π
1746:−
1726:π
1683:−
1640:→
1637:∗
1609:−
1566:−
1520:−
1495:into the
1474:Ω
1448:→
1437:−
1404:−
1331:−
1300:→
1248:−
1234:≃
1222:Ω
1188:
1147:−
1043:π
942:→
884:and thus
850:→
805:→
728:Ω
699:Ω
626:→
620:←
563:→
552:→
546:→
535:→
437:∗
433:π
369:π
265:π
182:π
82:π
5251:Category
5237:(2013),
4757:; i.e.,
4744:′
4579:′
3118:-group,
1912:. Next,
1769:are the
820:induces
559:″
542:′
498:spectrum
73:so that
5206:-theory
4782:acyclic
4686:By the
4045:, then
3855:is the
3816:(i.e.,
3812:is the
2466:). Let
2409:(thus,
2173:or the
2106:(Here,
1589:is the
1080:is the
782:of the
770:is the
219:is the
119:is the
18:Quillen
5226:
5216:
5196:, 1976
4952:says:
3114:is an
3065:Since
2773:. But
1629:along
973:where
720:where
135:, for
4413:say:
3904:Lemma
3769:is a
784:nerve
740:is a
32:) an
5214:ISBN
4381:and
4346:for
3909:Let
2351:Let
1424:for
744:and
593:Let
520:Let
5224:Zbl
4780:is
4041:on
3899:.)
3859:of
3446:is
2951:lim
2906:lim
2029:lim
1945:Aut
1796:of
1593:of
1185:iso
675:by
605:to
578:in
488:'s
451:of
424:as
123:of
20:'s
5253::
5222:,
5212:,
4154:0.
3377:ab
3230:ab
3050:0.
1706:.
1365:a
1034:,
776:QC
595:QC
584:M′
512:.
329::
229:BC
173:,
5204:K
5126:.
5123:)
5119:Z
5115:,
5109:(
5104:q
5101:+
5098:p
5094:H
5090:=
5087:)
5083:Z
5079:,
5076:f
5073:F
5070:(
5065:q
5062:+
5059:p
5055:H
5048:)
5045:)
5041:Z
5037:,
5027:f
5024:F
5017:(
5012:q
5008:H
5004:,
5001:G
4998:(
4993:p
4989:H
4985:=
4980:q
4977:p
4973:E
4967:2
4940:)
4937:f
4934:F
4931:(
4926:1
4918:=
4915:G
4895:f
4892:F
4879:f
4876:F
4849:;
4846:)
4842:Z
4838:,
4835:Y
4832:(
4827:p
4823:H
4816:)
4812:Z
4808:,
4805:X
4802:(
4797:p
4793:H
4768:f
4765:F
4740:q
4737:0
4733:E
4727:2
4720:=
4715:q
4712:0
4708:E
4702:2
4671:.
4668:)
4664:Z
4660:,
4657:Y
4654:(
4649:q
4646:+
4643:p
4639:H
4632:)
4629:)
4625:Z
4621:,
4615:(
4610:q
4606:H
4602:,
4599:Y
4596:(
4591:p
4587:H
4583:=
4575:q
4572:p
4568:E
4562:2
4537:,
4534:)
4530:Z
4526:,
4523:X
4520:(
4515:q
4512:+
4509:p
4505:H
4498:)
4495:)
4491:Z
4487:,
4484:f
4481:F
4478:(
4473:q
4469:H
4465:,
4462:Y
4459:(
4454:p
4450:H
4446:=
4441:q
4438:p
4434:E
4428:2
4401:Y
4395:Y
4369:Y
4363:X
4357:f
4354:F
4330:0
4324:p
4321:,
4318:)
4314:Z
4310:,
4307:Y
4304:(
4299:p
4295:H
4288:)
4284:Z
4280:,
4277:X
4274:(
4269:p
4265:H
4254:Y
4240:Y
4228:Y
4208:f
4195:f
4181:f
4178:F
4151:=
4148:)
4144:Z
4140:,
4137:)
4134:f
4131:F
4128:(
4123:1
4115:(
4110:2
4106:H
4102:=
4099:)
4095:Z
4091:,
4088:)
4085:f
4082:F
4079:(
4074:1
4066:(
4061:1
4057:H
4043:X
4039:L
4022:)
4019:L
4010:f
4006:,
4003:Y
4000:(
3991:H
3984:)
3981:L
3978:,
3975:X
3972:(
3963:H
3959::
3950:f
3929:Y
3923:X
3920::
3917:f
3887:)
3884:R
3881:(
3876:2
3872:K
3861:R
3843:)
3840:f
3837:F
3834:(
3829:1
3800:)
3797:f
3794:F
3791:(
3786:1
3757:)
3754:R
3751:(
3748:E
3742:)
3739:f
3736:F
3733:(
3728:1
3700:.
3697:)
3694:R
3691:(
3686:1
3682:K
3675:)
3672:R
3669:(
3666:L
3663:G
3660:=
3657:)
3654:)
3651:R
3648:(
3645:L
3642:G
3639:B
3636:(
3631:1
3620:)
3617:f
3614:F
3611:(
3606:1
3595:)
3590:0
3586:)
3582:S
3577:1
3570:S
3566:(
3563:B
3560:(
3555:2
3544:0
3541:=
3538:)
3535:)
3532:R
3529:(
3526:L
3523:G
3520:B
3517:(
3512:2
3484:f
3481:F
3459:2
3455:K
3432:2
3404:.
3401:)
3398:R
3395:(
3390:1
3386:K
3382:=
3373:)
3369:R
3366:(
3363:L
3360:G
3357:=
3354:)
3351:)
3348:R
3345:(
3342:L
3339:G
3336:(
3331:1
3327:H
3323:=
3320:)
3317:)
3314:R
3311:(
3308:L
3305:G
3302:B
3299:(
3294:1
3290:H
3286:=
3283:)
3278:0
3274:)
3270:S
3265:1
3258:S
3254:(
3251:B
3248:(
3243:1
3239:H
3235:=
3226:)
3220:0
3216:)
3212:S
3207:1
3200:S
3196:(
3193:B
3190:(
3185:1
3177:=
3174:)
3169:0
3165:)
3161:S
3156:1
3149:S
3145:(
3142:B
3139:(
3134:1
3116:H
3100:0
3096:)
3092:S
3087:1
3080:S
3076:(
3073:B
3044:p
3040:,
3037:)
3034:)
3031:R
3028:(
3025:L
3022:G
3019:B
3016:(
3011:p
3007:H
3003:=
3000:)
2997:)
2994:R
2991:(
2986:n
2982:L
2978:G
2975:B
2972:(
2967:p
2963:H
2946:=
2943:)
2938:n
2934:S
2930:B
2927:(
2922:p
2918:H
2901:=
2898:)
2893:0
2889:)
2885:S
2880:1
2873:S
2869:(
2866:B
2863:(
2858:p
2854:H
2830:S
2822:m
2818:R
2795:m
2791:e
2787:x
2781:x
2759:n
2752:e
2748:x
2725:.
2722:]
2717:1
2710:e
2706:[
2703:)
2700:S
2697:B
2694:(
2689:p
2685:H
2681:=
2678:]
2673:1
2666:)
2662:S
2659:B
2656:(
2651:0
2643:[
2640:)
2637:S
2634:B
2631:(
2626:p
2622:H
2618:=
2615:)
2612:)
2609:S
2604:1
2597:S
2593:(
2590:B
2587:(
2582:p
2578:H
2571:)
2566:0
2562:)
2558:S
2553:1
2546:S
2542:(
2539:B
2536:(
2531:p
2527:H
2513:R
2499:)
2496:S
2493:B
2490:(
2485:0
2474:e
2452:n
2448:R
2425:n
2421:S
2417:B
2395:n
2391:R
2380:S
2364:n
2360:S
2336:.
2331:0
2327:)
2323:S
2318:1
2311:S
2307:(
2304:B
2298:)
2295:R
2292:(
2289:L
2286:G
2283:B
2280::
2277:f
2254:)
2251:S
2246:1
2239:S
2235:(
2232:B
2212:)
2209:1
2206:,
2203:)
2200:R
2197:(
2194:L
2191:G
2188:(
2185:K
2161:)
2158:R
2155:(
2152:L
2149:G
2129:)
2126:R
2123:(
2120:L
2117:G
2114:B
2102:.
2090:)
2087:S
2082:1
2075:S
2071:(
2068:B
2062:)
2059:R
2056:(
2051:n
2047:L
2043:G
2040:B
2024:=
2021:)
2018:R
2015:(
2012:L
2009:G
2006:B
1983:S
1978:1
1971:S
1964:)
1959:n
1955:R
1951:(
1942:=
1939:)
1936:R
1933:(
1928:n
1924:L
1920:G
1900:)
1897:R
1894:(
1889:0
1885:K
1881:=
1878:)
1875:S
1870:1
1863:S
1859:(
1856:B
1851:0
1826:2
1823:,
1820:1
1817:,
1814:0
1811:=
1808:i
1798:R
1782:i
1778:K
1757:)
1754:S
1749:1
1742:S
1738:(
1735:B
1730:i
1715:R
1711:C
1694:)
1691:f
1686:1
1679:S
1675:B
1672:(
1669:F
1649:C
1646:Q
1643:B
1617:f
1612:1
1605:S
1601:B
1577:)
1574:S
1569:1
1562:S
1558:(
1555:B
1531:)
1528:f
1523:1
1516:S
1512:B
1509:(
1506:F
1483:C
1480:Q
1477:B
1454:C
1451:Q
1445:E
1440:1
1433:S
1412:f
1407:1
1400:S
1379:C
1376:Q
1363:E
1359:X
1345:)
1342:X
1339:(
1334:1
1327:f
1306:C
1303:Q
1297:E
1294::
1291:f
1281:C
1277:E
1271:.
1259:)
1256:S
1251:1
1244:S
1240:(
1237:B
1231:C
1228:Q
1225:B
1209:C
1205:C
1191:C
1182:=
1179:S
1169:C
1155:S
1150:1
1143:S
1132:S
1114:2
1111:,
1108:1
1105:,
1102:0
1099:=
1096:i
1086:R
1082:i
1068:)
1065:C
1060:+
1056:B
1052:(
1047:i
1032:R
1028:C
1004:R
990:)
987:R
984:(
981:P
961:)
958:S
955:(
950:i
946:K
939:)
936:R
933:(
928:i
924:K
920:=
917:)
914:)
911:R
908:(
905:P
902:(
897:i
893:K
872:)
869:S
866:(
863:P
858:+
854:B
847:)
844:R
841:(
838:P
833:+
829:B
808:S
802:R
778:(
758:C
755:Q
752:B
708:C
705:Q
702:B
696:=
693:C
688:+
684:B
663:C
658:+
654:B
629:Y
623:Z
617:X
607:Y
603:X
599:C
588:M
580:C
566:0
556:M
549:M
539:M
532:0
522:C
464:+
460:B
412:.
400:)
397:G
394:;
391:C
386:+
382:B
378:(
373:i
365:=
362:)
359:G
356:;
353:C
350:(
345:i
341:K
323:G
319:C
315:i
311:C
307:i
290:)
287:C
282:+
278:B
274:(
269:i
261:=
258:)
255:C
252:(
247:i
243:K
225:R
221:i
207:)
204:C
199:+
195:B
191:(
186:i
161:2
158:,
155:1
152:,
149:0
146:=
143:i
133:R
129:C
125:C
107:)
104:C
99:+
95:B
91:(
86:0
61:C
56:+
52:B
38:C
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.