1382:
4762:
2832:
3009:
5467:
3204:
1620:
1086:
5831:
3304:
1807:
5695:
4893:
1205:
3537:
2617:
3308:
The Rudin–Shapiro word +1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 ..., which is created by concatenating the terms of the Rudin–Shapiro sequence, is a fixed point of the morphism or
4618:
2658:
2838:
286:
4607:
5011:
4281:
5272:
3879:
2263:
2075:
4136:
187:
4452:
5898:
5160:
3102:
5328:
3213:
3107:
1927:
3208:
3756:
934:
3435:
4509:
4189:
5320:
5208:
4097:
3991:
3924:
1501:
447:
4333:
2352:
4037:
3586:
2312:
1870:
1669:
1431:
1135:
942:
385:
5706:
1703:
5565:
2128:
5533:
1840:
5931:
4773:
2474:
2001:
6164:
3077:
2399:
1493:
1197:
761:
546:
5044:
3618:
1377:{\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|\geq \left|\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|\right|_{2}={\sqrt {N}}.}
827:
794:
725:
483:
5096:
5070:
1695:
6306:
6028:
3645:
3097:
2439:
2164:
1954:
1458:
1162:
867:
674:
603:
573:
510:
316:
3953:
629:
3665:
93:
5951:
5553:
5490:
4373:
4353:
3685:
3464:
2494:
2419:
336:
113:
70:
5990:
2505:
6582:
Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25–27, 1989, at the
University of Illinois, Urbana, IL (USA)
4757:{\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{k}(n)={\begin{cases}\epsilon _{k}(n)&{\text{if }}k\leq N-1,\\\epsilon _{0}(n)&{\text{if }}k=N.\end{cases}}}
3451:
687:
642:
2827:{\displaystyle u_{n}={\begin{cases}u_{(m-1)/4}&{\text{if }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\u_{(m-1)/2}+1&{\text{if }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
3366:
It can be seen from the morphism rules that the Rudin–Shapiro string contains at most four consecutive +1s and at most four consecutive −1s.
3004:{\displaystyle r_{n}={\begin{cases}r_{(m-1)/4}&{\text{if }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\-r_{(m-1)/2}&{\text{if }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
6325:
Allouche, J.-P.; Choi, S.; Denise, A.; Erdélyi, T.; Saffari, B. (2019). "Bounds on
Autocorrelation Coefficients of Rudin-Shapiro Polynomials".
837:
The Rudin–Shapiro sequence was introduced independently by Golay, Rudin, and
Shapiro. The following is a description of Rudin's motivation. In
198:
6484:
4517:
2496:
is the Rudin–Shapiro sequence. However, the Rudin–Shapiro sequence cannot be expressed as the fixed point of some uniform morphism alone.
4904:
3049:+ 2 = 2, which can be verified by observing that the binary representation of 108, which is 1101100, contains two sub-strings 11. And so
4197:
6589:
6554:
6519:
5213:
6275:
3767:
2175:
2006:
4105:
121:
5462:{\displaystyle H_{\eta }(\sigma )=-J\sum _{0\leq k<N}\eta _{k}\sigma _{k}\sigma _{k+1}-H\sum _{0\leq k<N}\sigma _{k}.}
4389:
6511:
5839:
5101:
6123:
Golay, M.J.E. (1951). "Static multislit spectrometry and its application to the panoramic display of infrared spectra".
1875:
3693:
877:
6476:
3375:
680:+1, +1, +1, −1, +1, +1, −1, +1, +1, +1, +1, −1, −1, −1, +1, −1, ... (sequence
6616:
5492:
be a constant representing the temperature, which is allowed to be an arbitrary non-zero complex number, and set
4460:
4141:
2374:
accepting binary representations of non-negative integers as input. The sequence is therefore 2-automatic, so by
5277:
3199:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :a&\to ab\\b&\to ac\\c&\to db\\d&\to dc\end{aligned}}}
1615:{\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|=O({\sqrt {N\log N}}).}
5165:
5098:
representing the coupling constant and external field strength, respectively. Choose a sequence of weights
4049:
1081:{\displaystyle ||f||_{2}=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\right)^{1/2}.}
5826:{\displaystyle S(N,x)=\exp \left({\frac {\pi iNx}{2}}\right)Z_{N}\left(1,{\frac {1}{2}},-1,\pi ix\right)}
3958:
3891:
393:
6022:
4289:
3299:{\displaystyle {\begin{aligned}\tau :a&\to 1\\b&\to 1\\c&\to -1\\d&\to -1\end{aligned}}}
2317:
1802:{\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}r_{n}e^{inx}\right|\leq C{\sqrt {N}}.}
5690:{\displaystyle Z_{N}(\eta ,J,H,\beta )=\sum _{\sigma \in \{-1,1\}^{N}}\exp(-\beta H_{\eta }(\sigma )).}
3996:
3545:
2271:
1845:
1628:
1390:
1094:
344:
6538:
5986:
2371:
4888:{\displaystyle u(n,N)=\sum _{0\leq k<N}{\tilde {\epsilon }}_{k}(n){\tilde {\epsilon }}_{k+1}(n).}
4658:
2860:
2680:
2514:
2080:
5962:
5495:
3310:
2355:
1961:
1815:
872:
829:
because the binary representation of 7 is 111, which contains two (overlapping) occurrences of 11.
6427:
6409:
6400:
Müllner, C. (2018). "The Rudin–Shapiro sequence and similar sequences are normal along squares".
6352:
6334:
6233:
6010:
5903:
5556:
4040:
2375:
29:
2444:
1967:
6585:
6572:
Mendès France, Michel (1990). "The Rudin-Shapiro sequence, Ising chain, and paperfolding". In
6550:
6515:
6480:
6140:
6105:
6043:
3062:
2384:
1463:
1167:
730:
515:
37:
33:
5023:
3591:
799:
766:
697:
455:
6595:
6577:
6560:
6525:
6490:
6419:
6344:
6284:
6223:
6214:
6173:
6132:
6097:
6002:
5075:
5049:
4102:
The complete Rudin–Shapiro sequence satisfies the following uniform distribution result. If
1674:
838:
763:
because the binary representation of 6 is 110, which contains one occurrence of 11; whereas
6046:
3623:
3082:
2424:
2133:
1932:
1436:
1140:
845:
652:
581:
551:
488:
294:
6599:
6573:
6564:
6546:
6529:
6494:
6468:
6369:
3929:
3532:{\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{5}}n}}<s_{n}<{\sqrt {6n}}{\text{ for }}n\geq 1\,.}
2314:
is the Rudin–Shapiro sequence, have absolute value bounded on the complex unit circle by
608:
3650:
2612:{\displaystyle {\begin{cases}r_{2n}&=r_{n}\\r_{2n+1}&=(-1)^{n}r_{n}\end{cases}}}
75:
6507:
5936:
5538:
5475:
4358:
4338:
3670:
3362:+1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 ...
2479:
2404:
321:
98:
55:
6178:
6159:
2077:. More recently, bounds have also been given for the magnitude of the coefficients of
6610:
6431:
6356:
6237:
3885:
2359:
41:
2358:. Golay's motivation was similar, although he was concerned with applications to
5017:
2379:
17:
6584:. Progress in Mathematics. Vol. 85. Boston: Birkhäuser. pp. 367–390.
6502:
Everest, Graham; van der
Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003).
6304:
Saffari, B. (1986). "Une fonction extrémale liée à la suite de Rudin–Shapiro".
6348:
6289:
6270:
6193:
Shapiro, H.S. (1952). "Extremal problems for polynomials and power series".
6051:
3647:
is the number, modulo 2, of occurrences (possibly overlapping) of the block
6423:
6144:
6136:
6109:
6101:
5991:"A Case Study in Mathematical Research: The Golay–Rudin–Shapiro Sequence"
842:
281:{\displaystyle u_{n}=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)\epsilon _{k+1}(n).}
6228:
6210:"Some properties of trigonometric series whose terms have random signs"
6209:
6014:
4602:{\displaystyle u(n)=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)\epsilon _{k+1}(n).}
3369:
The sequence of partial sums of the Rudin–Shapiro sequence, defined by
318:
is the number of times the block 11 appears in the binary expansion of
2640:
in the Rudin–Shapiro sequence can be found recursively as follows. If
6006:
6414:
6339:
5006:{\displaystyle S(N,x)=\sum _{0\leq n<2^{N}}\exp(2\pi ixu(n,N)).}
605:
is known as the complete Rudin–Shapiro sequence, and starting at
6541:; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.).
4511:. Recall that the complete Rudin–Shapiro sequence is defined by
4276:{\displaystyle \sum _{n<N}\exp(2\pi ixu_{n})=O(N^{\alpha })}
3444:
1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 5, 4, ... (sequence
635:
0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, ... (sequence
4750:
3446:
2997:
2820:
2605:
682:
637:
6473:
Automatic
Sequences: Theory, Applications, Generalizations
5267:{\displaystyle \sigma =(\sigma _{0},\dots ,\sigma _{N-1})}
2370:
The Rudin–Shapiro sequence can be generated by a 4-state
2169:
Shapiro arrived at the sequence because the polynomials
6545:. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1794. Berlin:
6543:
Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics
3874:{\displaystyle (1+X)^{5}S(X)^{2}+(1+X)^{4}S(X)+X^{3}=0,}
3099:
to generate the Rudin-Shapiro sequence is the following:
2258:{\displaystyle P_{n}(z)=\sum _{i=0}^{2^{n}-1}r_{i}z^{i}}
2070:{\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }|P_{n}(e^{ix})|}
4131:{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }
182:{\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)2^{k},}
6506:. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104.
4447:{\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)2^{k}}
5985:
John
Brillhart and Patrick Morton, winners of a 1997
5939:
5906:
5842:
5709:
5568:
5541:
5498:
5478:
5331:
5280:
5216:
5168:
5104:
5078:
5052:
5026:
4907:
4776:
4621:
4520:
4463:
4392:
4361:
4341:
4292:
4200:
4144:
4108:
4052:
3999:
3961:
3932:
3894:
3770:
3696:
3673:
3653:
3626:
3594:
3548:
3467:
3378:
3211:
3105:
3085:
3065:
2841:
2661:
2508:
2482:
2447:
2427:
2407:
2387:
2354:. This is discussed in more detail in the article on
2320:
2274:
2178:
2136:
2083:
2009:
1970:
1935:
1878:
1848:
1818:
1706:
1677:
1631:
1504:
1466:
1439:
1393:
1208:
1170:
1143:
1097:
945:
880:
848:
802:
769:
733:
700:
655:
611:
584:
554:
518:
491:
458:
396:
347:
324:
297:
201:
124:
101:
78:
58:
5893:{\displaystyle \eta =(\eta _{0},\dots ,\eta _{N-1})}
5155:{\displaystyle \eta =(\eta _{0},\dots ,\eta _{N-1})}
5046:
representing the number of sites, and fix constants
1671:satisfies a tighter bound: there exists a constant
6271:"Über Summen von Rudin–Shapiroschen Koeffizienten"
5945:
5925:
5892:
5825:
5689:
5547:
5527:
5484:
5461:
5314:
5266:
5202:
5154:
5090:
5064:
5038:
5005:
4887:
4756:
4601:
4503:
4446:
4367:
4347:
4327:
4275:
4183:
4130:
4091:
4031:
3985:
3947:
3918:
3873:
3750:
3679:
3659:
3639:
3612:
3580:
3531:
3429:
3298:
3198:
3091:
3071:
3003:
2826:
2611:
2488:
2468:
2433:
2413:
2393:
2346:
2306:
2257:
2158:
2122:
2069:
1995:
1948:
1922:{\displaystyle C\leq (2+{\sqrt {2}}){\sqrt {3/5}}}
1921:
1864:
1834:
1801:
1689:
1663:
1614:
1487:
1452:
1425:
1376:
1191:
1156:
1129:
1080:
928:
861:
821:
788:
755:
719:
668:
623:
597:
567:
540:
504:
477:
441:
379:
330:
310:
280:
181:
107:
87:
64:
52:Each term of the Rudin–Shapiro sequence is either
6088:Golay, M.J.E. (1949). "Multi-slit spectrometry".
6165:Proceedings of the American Mathematical Society
2011:
1708:
1506:
1210:
3751:{\displaystyle S(X)=\sum _{n\geq 0}s_{n}X^{n}}
1872:, the best published upper bound is currently
929:{\displaystyle f\colon [0,2\pi )\to [0,2\pi )}
4379:Relationship with one-dimensional Ising model
3430:{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}r_{k}\,,}
8:
5636:
5620:
5309:
5294:
5197:
5182:
4498:
4486:
3607:
3595:
1482:
1467:
1186:
1171:
6027:: CS1 maint: numeric names: authors list (
4504:{\displaystyle \epsilon _{k}(n)\in \{0,1\}}
4184:{\displaystyle \alpha =\alpha (x)\in (0,1)}
5016:Recall that the partition function of the
4383:Let the binary expansion of n be given by
6413:
6338:
6288:
6227:
6177:
6125:Journal of the Optical Society of America
6090:Journal of the Optical Society of America
5938:
5911:
5905:
5875:
5856:
5841:
5787:
5770:
5741:
5708:
5666:
5639:
5613:
5573:
5567:
5540:
5508:
5497:
5477:
5450:
5428:
5406:
5396:
5386:
5364:
5336:
5330:
5285:
5279:
5249:
5230:
5215:
5173:
5167:
5137:
5118:
5103:
5077:
5051:
5025:
4950:
4933:
4906:
4861:
4850:
4849:
4833:
4822:
4821:
4802:
4775:
4730:
4713:
4682:
4665:
4653:
4635:
4624:
4623:
4620:
4575:
4556:
4540:
4519:
4468:
4462:
4438:
4419:
4403:
4391:
4360:
4340:
4313:
4303:
4291:
4264:
4242:
4205:
4199:
4143:
4124:
4123:
4116:
4115:
4107:
4077:
4065:
4060:
4051:
4046:The Rudin–Shapiro sequence along squares
4017:
4007:
3998:
3968:
3964:
3963:
3960:
3931:
3901:
3897:
3896:
3893:
3856:
3831:
3806:
3787:
3769:
3742:
3732:
3716:
3695:
3672:
3652:
3631:
3625:
3593:
3566:
3556:
3547:
3525:
3511:
3501:
3492:
3470:
3468:
3466:
3423:
3417:
3407:
3396:
3383:
3377:
3212:
3210:
3106:
3104:
3084:
3064:
2978:
2964:
2952:
2936:
2909:
2895:
2883:
2867:
2855:
2846:
2840:
2801:
2787:
2769:
2753:
2729:
2715:
2703:
2687:
2675:
2666:
2660:
2596:
2586:
2553:
2539:
2521:
2509:
2507:
2481:
2446:
2426:
2406:
2386:
2325:
2319:
2292:
2282:
2273:
2249:
2239:
2221:
2216:
2205:
2183:
2177:
2145:
2137:
2135:
2114:
2109:
2093:
2084:
2082:
2062:
2050:
2037:
2028:
2022:
2021:
2014:
2008:
1981:
1969:
1940:
1934:
1909:
1904:
1894:
1877:
1855:
1847:
1825:
1817:
1789:
1766:
1756:
1734:
1719:
1718:
1711:
1705:
1676:
1649:
1639:
1630:
1590:
1564:
1554:
1532:
1517:
1516:
1509:
1503:
1465:
1444:
1438:
1411:
1401:
1392:
1364:
1355:
1334:
1324:
1302:
1268:
1258:
1236:
1221:
1220:
1213:
1207:
1169:
1148:
1142:
1115:
1105:
1096:
1065:
1061:
1048:
1047:
1041:
1036:
1018:
1009:
1004:
985:
970:
965:
959:
951:
946:
944:
879:
853:
847:
807:
801:
774:
768:
738:
732:
705:
699:
660:
654:
610:
589:
583:
559:
553:
523:
517:
496:
490:
463:
457:
428:
423:
401:
395:
365:
355:
346:
323:
302:
296:
254:
235:
219:
206:
200:
170:
151:
135:
123:
100:
77:
57:
2003:, the above inequality gives a bound on
6160:"Some theorems on Fourier coefficients"
5974:
5559:. The partition function is defined by
5315:{\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}
4120:
3458:can be shown to satisfy the inequality
6453:Allouche and Shallit (2003) p. 457–461
6065:
6063:
6020:
5203:{\displaystyle \eta _{i}\in \{-1,1\}}
4092:{\displaystyle (r_{n^{2}})_{n\geq 0}}
3588:denote the Rudin–Shapiro sequence on
7:
6250:Allouche and Shallit (2003) p. 78–79
5980:
5978:
3358:+1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1
2362:and published in an optics journal.
1812:It is conjectured that one can take
1625:However, the Rudin–Shapiro sequence
1387:Moreover, for almost every sequence
1091:One can prove that for any sequence
3993:follows from the 2-automaticity of
3986:{\displaystyle \mathbb {F} _{2}(X)}
3919:{\displaystyle \mathbb {F} _{2}(X)}
2986:
2979:
2917:
2910:
2809:
2802:
2737:
2730:
676:of the Rudin–Shapiro sequence are:
442:{\displaystyle r_{n}=(-1)^{u_{n}}.}
6390:Allouche and Shallit (2003) p. 352
6381:Allouche and Shallit (2003) p. 192
6269:Brillhart, J.; Morton, P. (1978).
6259:Allouche and Shallit (2003) p. 122
4328:{\displaystyle (xu_{n})_{n\geq 0}}
2347:{\displaystyle 2^{\frac {n+1}{2}}}
1049:
841:, one is often concerned with the
14:
6179:10.1090/S0002-9939-1959-0116184-5
4032:{\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}}
3581:{\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}}
2307:{\displaystyle (r_{i})_{i\geq 0}}
1865:{\displaystyle C\geq {\sqrt {6}}}
1664:{\displaystyle (r_{n})_{n\geq 0}}
1426:{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}
1130:{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}
380:{\displaystyle (r_{n})_{n\geq 0}}
44:who investigated its properties.
4335:is uniformly distributed modulo
3884:making it algebraic as a formal
2499:There is a recursive definition
6444:Allouche and Shallit p. 462–464
6402:Canadian Journal of Mathematics
6276:Illinois Journal of Mathematics
6208:Salem, R.; Zygmund, A. (1954).
5020:can be defined as follows. Fix
3687:. Then the generating function
6370:Finite automata and arithmetic
5887:
5849:
5725:
5713:
5681:
5678:
5672:
5653:
5603:
5579:
5522:
5513:
5348:
5342:
5261:
5223:
5149:
5111:
4997:
4994:
4982:
4964:
4923:
4911:
4879:
4873:
4855:
4845:
4839:
4827:
4792:
4780:
4725:
4719:
4677:
4671:
4647:
4641:
4629:
4593:
4587:
4568:
4562:
4530:
4524:
4480:
4474:
4431:
4425:
4310:
4293:
4270:
4257:
4248:
4223:
4178:
4166:
4160:
4154:
4074:
4053:
4014:
4000:
3980:
3974:
3942:
3936:
3913:
3907:
3846:
3840:
3828:
3815:
3803:
3796:
3784:
3771:
3706:
3700:
3563:
3549:
3283:
3263:
3246:
3229:
3183:
3163:
3143:
3123:
2990:
2980:
2949:
2937:
2921:
2911:
2880:
2868:
2813:
2803:
2766:
2754:
2741:
2731:
2700:
2688:
2583:
2573:
2463:
2457:
2289:
2275:
2195:
2189:
2146:
2138:
2123:{\displaystyle |P_{n}(z)|^{2}}
2110:
2105:
2099:
2085:
2063:
2059:
2043:
2029:
1901:
1885:
1646:
1632:
1606:
1587:
1408:
1394:
1112:
1098:
1037:
1032:
1026:
1019:
966:
960:
952:
947:
923:
908:
905:
902:
887:
420:
410:
362:
348:
272:
266:
247:
241:
163:
157:
1:
6512:American Mathematical Society
5528:{\displaystyle \beta =1/(kT)}
3342:−1 −1 −1 +1
3335:−1 −1 +1 −1
1842:, but while it is known that
1835:{\displaystyle C={\sqrt {6}}}
95:. If the binary expansion of
5322:, define its Hamiltonian by
5210:. For any sequence of spins
649:and the corresponding terms
26:Golay–Rudin–Shapiro sequence
5926:{\displaystyle \eta _{i}=1}
5018:one-dimensional Ising model
3667:in the base-2 expansion of
631:, its first few terms are:
341:The Rudin–Shapiro sequence
6633:
6477:Cambridge University Press
6078:Everest et al (2003) p.234
5836:where the weight sequence
2469:{\displaystyle r=\tau (w)}
936:. This norm is defined by
6537:Pytheas Fogg, N. (2002).
6349:10.1007/s10476-019-0003-4
1996:{\displaystyle N=2^{n}-1}
6069:Pytheas Fogg (2002) p.42
6047:"Rudin–Shapiro Sequence"
3072:{\displaystyle \varphi }
2622:The values of the terms
2394:{\displaystyle \varphi }
1488:{\displaystyle \{-1,1\}}
1192:{\displaystyle \{1,-1\}}
756:{\displaystyle r_{6}=-1}
541:{\displaystyle r_{n}=-1}
5039:{\displaystyle N\geq 1}
3613:{\displaystyle \{0,1\}}
3079:that requires a coding
2376:Cobham's little theorem
822:{\displaystyle r_{7}=1}
789:{\displaystyle u_{7}=2}
720:{\displaystyle u_{6}=1}
478:{\displaystyle r_{n}=1}
6580:; et al. (eds.).
6576:; Diamond, Harold G.;
6424:10.4153/CJM-2017-053-1
6307:C. R. Acad. Sci. Paris
6290:10.1215/ijm/1256048841
6137:10.1364/JOSA.41.000468
6102:10.1364/JOSA.39.000437
5947:
5927:
5894:
5827:
5691:
5549:
5529:
5486:
5463:
5316:
5268:
5204:
5156:
5092:
5091:{\displaystyle H>0}
5066:
5065:{\displaystyle J>0}
5040:
5007:
4889:
4758:
4603:
4505:
4448:
4369:
4349:
4329:
4277:
4185:
4132:
4093:
4033:
3987:
3949:
3926:. The algebraicity of
3920:
3875:
3752:
3681:
3661:
3641:
3614:
3582:
3533:
3431:
3412:
3300:
3200:
3093:
3073:
3005:
2828:
2613:
2490:
2470:
2435:
2415:
2395:
2348:
2308:
2259:
2234:
2160:
2124:
2071:
1997:
1950:
1923:
1866:
1836:
1803:
1691:
1690:{\displaystyle C>0}
1665:
1616:
1489:
1454:
1427:
1378:
1193:
1158:
1131:
1082:
930:
863:
823:
790:
757:
721:
670:
625:
599:
569:
542:
506:
479:
443:
381:
332:
312:
282:
183:
109:
89:
66:
22:Rudin–Shapiro sequence
6467:Allouche, Jean-Paul;
5948:
5928:
5895:
5828:
5692:
5550:
5530:
5487:
5464:
5317:
5269:
5205:
5157:
5093:
5067:
5041:
5008:
4890:
4759:
4604:
4506:
4449:
4370:
4350:
4330:
4278:
4186:
4133:
4094:
4034:
3988:
3950:
3921:
3876:
3753:
3682:
3662:
3642:
3640:{\displaystyle s_{n}}
3615:
3583:
3534:
3432:
3392:
3301:
3201:
3094:
3092:{\displaystyle \tau }
3074:
3059:A 2-uniform morphism
3006:
2829:
2614:
2491:
2471:
2436:
2434:{\displaystyle \tau }
2416:
2396:
2349:
2309:
2260:
2201:
2161:
2159:{\displaystyle |z|=1}
2125:
2072:
1998:
1951:
1949:{\displaystyle P_{n}}
1924:
1867:
1837:
1804:
1692:
1666:
1617:
1490:
1455:
1453:{\displaystyle a_{n}}
1428:
1379:
1194:
1159:
1157:{\displaystyle a_{n}}
1132:
1083:
931:
864:
862:{\displaystyle L^{2}}
833:Historical motivation
824:
791:
758:
722:
671:
669:{\displaystyle r_{n}}
626:
600:
598:{\displaystyle u_{n}}
570:
568:{\displaystyle u_{n}}
543:
507:
505:{\displaystyle u_{n}}
480:
444:
382:
333:
313:
311:{\displaystyle u_{n}}
283:
184:
110:
90:
67:
6504:Recurrence sequences
6372:, Jean-Paul Allouche
6327:Analysis Mathematica
6195:Master's Thesis, MIT
6096:(437–444): 437–444.
5987:Lester R. Ford Award
5937:
5904:
5840:
5707:
5566:
5539:
5496:
5476:
5329:
5278:
5214:
5166:
5102:
5076:
5050:
5024:
4905:
4774:
4619:
4518:
4461:
4390:
4359:
4355:for all irrationals
4339:
4290:
4198:
4142:
4138:, then there exists
4106:
4050:
3997:
3959:
3948:{\displaystyle S(X)}
3930:
3892:
3768:
3694:
3671:
3651:
3624:
3592:
3546:
3465:
3376:
3209:
3103:
3083:
3063:
2839:
2659:
2506:
2480:
2445:
2425:
2405:
2385:
2318:
2272:
2176:
2134:
2081:
2007:
1968:
1933:
1876:
1846:
1816:
1704:
1675:
1629:
1502:
1464:
1437:
1391:
1206:
1168:
1141:
1095:
943:
878:
846:
800:
767:
731:
698:
653:
609:
582:
552:
516:
489:
456:
394:
345:
322:
295:
199:
122:
99:
76:
56:
24:, also known as the
5995:Amer. Math. Monthly
5963:Shapiro polynomials
4286:which implies that
3338:−1 −1
3311:string substitution
3056:= (−1) = +1.
2356:Shapiro polynomials
1017:
873:measurable function
624:{\displaystyle n=0}
387:is then defined by
28:, is an infinite 2-
6229:10.1007/BF02393433
6158:Rudin, W. (1959).
6044:Weisstein, Eric W.
5943:
5923:
5890:
5823:
5687:
5646:
5557:Boltzmann constant
5545:
5525:
5482:
5459:
5445:
5381:
5312:
5264:
5200:
5152:
5088:
5062:
5036:
5003:
4957:
4885:
4819:
4754:
4749:
4599:
4551:
4501:
4444:
4414:
4365:
4345:
4325:
4273:
4216:
4181:
4128:
4089:
4041:Christol's theorem
4029:
3983:
3945:
3916:
3871:
3748:
3727:
3677:
3660:{\displaystyle 11}
3657:
3637:
3610:
3578:
3529:
3427:
3354:+1 +1 +1 −1
3296:
3294:
3196:
3194:
3089:
3069:
3001:
2996:
2824:
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