2942:
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3118:
2518:
6072:
3536:
1181:
3615:
4883:
6727:
Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London
Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union
6179:
4770:
2055:
4473:
2421:
888:
3739:
2229:
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642:
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4532:
1500:
6432:
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6505:
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3866:
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1654:
1601:
400:
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6273:
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1106:
3552:
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6680:
6830:
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590:
6795:
6265:
519:
302:
4478:
1441:
378:
294:
196:
6370:
3301:
6437:
5786:. This allows one to define ramification groups in the upper numbering for infinite Galois extensions (such as the
990:
6640:
6221:
3898:
3824:
44:
3371:
1435:
are studied by employing the above filtration or, more specifically, the corresponding quotients. In particular,
722:
150:
1612:
1559:
2061:
1097:
64:
32:
24:
4247:
5922:
The upper numbering is compatible with the filtration of the norm residue group by the unit groups under the
951:
3751:
4319:
2732:
2277:
1320:
5357:
5794:
4937:
5787:
5724:
5561:
5462:
5308:
5225:
4077:
673:
1667:
895:
5626:
6722:
6628:
6209:
3547:
1604:
207:
5115:
5847:
5045:
4891:
2589:
259:
75:
68:
6622:
5190:
3988:
3945:
2990:
2937:{\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}
647:
4042:
4032:
2526:
1346:
6666:
5929:
5080:
6799:
6760:
6742:
6714:
6684:
6644:
6269:
6225:
5923:
5893:
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728:
584:
233:
153:
6308:
4601:
1854:
1720:
6809:
6778:
6752:
6730:
6718:
6702:
6654:
6632:
6279:
6235:
6213:
4685:
3620:
2520:. (The map actually does not depend on the choice of the uniformizer.) It follows from this
1265:
784:
509:
135:
132:
104:
6774:
6698:
5820:
5790:
of a local field) from the inverse system of ramification groups for finite subextensions.
5274:
5170:
5150:
4775:
4654:
4627:
4538:
4217:
3871:
3640:
2695:
2661:
1928:
1901:
1874:
1827:
1411:
1295:
1240:
1189:
1049:
757:
6813:
6782:
6770:
6756:
6734:
6706:
6694:
6658:
6283:
6239:
4996:
3288:{\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}
2727:
2237:
1657:
386:
82:
5676:
3126:
2771:
1531:
1505:
484:
5800:
5704:
5527:
5439:
5419:
5025:
4581:
3154:
2970:
2950:
2720:
2637:
2568:
2257:
1391:
1326:
1271:
1220:
1077:
814:
704:
566:
464:
374:
5416:. The upper numbering is defined so as to be compatible with passage to quotients: if
6824:
6257:
6253:
3665:
3443:
1214:
20:
5167:
is continuous and strictly increasing, and thus has the continuous inverse function
1664:
The study of ramification groups reduces to the totally ramified case since one has
6747:
215:
169:
124:
36:
3113:{\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}
2513:{\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}
3447:
513:
56:
40:
6067:{\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}
5793:
The upper numbering for an abelian extension is important because of the
269:
92:. It is a generalization of the ramification theory of Dedekind domains.
3531:{\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}
2686:
276:
consisting of all elements that fix the equivalence class ∈
4031:
A little computation shows that the quotient of any two of these is a
1660:(i.e., the ramification index is prime to the residue characteristic.)
1176:{\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}
6268:. Vol. 29. New York, Heidelberg: Springer-Verlag. Chapter VI.
5721:), and that the ramification groups in the upper numbering satisfy
5558:
states that the ramification groups in the lower numbering satisfy
5547:(whereas lower numbering is compatible with passage to subgroups.)
563:
for the valuation, the ring of integers and its maximal ideal for
3610:{\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}
4878:{\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}
3123:
Combining this with the above one obtains: for a subextension
6751:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 67. Translated by
2452:
964:
841:
680:
614:
597:
532:
95:
The structure of the set of extensions is known better when
6639:. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27.
6220:. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27.
6174:{\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))\ .}
4765:{\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}
2050:{\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}
4468:{\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11,}
2416:{\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}
1237:
by (iii). For the lowest indices, it is customary to call
461:
Ramification groups are a refinement of the Galois group
883:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}
373:
consists of the elements of the decomposition group that
16:
Filtration of the Galois group of a local field extension
3734:{\displaystyle G_{s}=\operatorname {Gal} (K_{n}/K_{e}),}
2224:{\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}
6440:
6373:
6340:
is canonically isomorphic to the decomposition group.
6311:
6086:
5979:
5932:
5896:
5850:
5823:
5803:
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5707:
5679:
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5360:
5311:
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5083:
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4999:
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4778:
4711:
4688:
4657:
4630:
4604:
4584:
4541:
4481:
4387:
4322:
4250:
4220:
4196:{\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}},}
4143:
4080:
4045:
3991:
3948:
3901:
3874:
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3754:
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3455:
3374:
3304:
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2993:
2973:
2953:
2805:
2774:
2735:
2698:
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2640:
2592:
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2529:
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2280:
2260:
2240:
2142:
2064:
1993:
1958:
1931:
1904:
1877:
1857:
1830:
1817:{\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}
1752:
1723:
1670:
1615:
1562:
1534:
1508:
1444:
1414:
1394:
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1329:
1298:
1274:
1243:
1223:
1192:
1109:
1080:
1052:
993:
954:
898:
837:
817:
787:
760:
731:
707:
676:
650:
637:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}}
593:
569:
522:
487:
467:
807:
that satisfies the following equivalent conditions.
556:{\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}
4527:{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}
2726:The ramification groups can be used to compute the
43:extension, which gives detailed information on the
6499:
6426:
6332:
6173:
6066:
5962:
5911:
5882:
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5448:
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5408:
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4670:
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4526:
4467:
4372:
4305:
4233:
4195:
4122:
4055:
4035:. Hence they all generate the same ideal; call it
4020:
3977:
3934:
3887:
3860:
3792:
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3656:
3629:
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1944:
1917:
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1816:
1735:
1709:
1648:
1595:
1546:
1520:
1495:{\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}
1494:
1427:
1400:
1377:
1335:
1311:
1280:
1256:
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1086:
1065:
1035:
977:
940:
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823:
799:
773:
746:
713:
693:
662:
636:
575:
555:
501:
473:
6427:{\displaystyle U_{L,0}/U_{L,1}\simeq l^{\times }}
2168:
6794:. Fields Institute monographs. Providence, RI:
3361:{\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}
6500:{\displaystyle U_{L,i}/U_{L,i+1}\approx l^{+}}
4210:Various methods show that the Galois group of
1036:{\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}
6676:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
5817:is abelian, then the jumps in the filtration
3935:{\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}
3861:{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
206:and is sent to the equivalence class of the
8:
6729:. London: Academic Press. pp. 128–161.
6674:
2215:
2171:
1167:
1161:
6717:(1967). "VI. Local class field theory". In
3435:{\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}
1871:and, moreover, the study of the filtration
1649:{\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}
1596:{\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}
6491:
6466:
6457:
6445:
6439:
6418:
6399:
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3719:
3710:
3704:
3682:
3676:
3648:
3642:
3622:
3601:
3596:
3590:
3575:
3570:
3560:
3554:
3516:
3507:
3501:
3485:
3469:
3454:
3414:
3398:
3385:
3373:
3334:
3315:
3303:
3267:
3251:
3235:
3231:
3222:
3206:
3202:
3196:
3195:
3185:
3179:
3156:
3133:
3128:
3095:
3079:
3063:
3059:
3050:
3028:
3024:
3018:
2992:
2972:
2952:
2917:
2911:
2902:
2893:
2882:
2860:
2844:
2824:
2820:
2814:
2813:
2804:
2778:
2773:
2748:
2744:
2738:
2737:
2734:
2703:
2697:
2669:
2663:
2639:
2612:
2603:
2597:
2591:
2570:
2549:
2540:
2534:
2528:
2504:
2498:
2497:
2475:
2462:
2457:
2451:
2450:
2434:
2428:
2383:
2374:
2362:
2343:
2334:
2328:
2322:
2299:
2279:
2259:
2239:
2200:
2178:
2147:
2141:
2128:{\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}
2107:
2088:
2069:
2063:
2038:
1998:
1992:
1957:
1936:
1930:
1909:
1903:
1882:
1876:
1856:
1835:
1829:
1757:
1751:
1722:
1701:
1691:
1675:
1669:
1638:
1620:
1614:
1585:
1567:
1561:
1533:
1507:
1478:
1457:
1448:
1443:
1419:
1413:
1393:
1369:
1360:
1354:
1348:
1328:
1303:
1297:
1273:
1248:
1242:
1222:
1197:
1191:
1149:
1136:
1114:
1108:
1079:
1057:
1051:
992:
969:
963:
962:
953:
897:
865:
859:
858:
852:
846:
840:
839:
836:
816:
786:
765:
759:
730:
706:
685:
679:
678:
675:
649:
619:
613:
612:
602:
596:
595:
592:
568:
547:
546:
537:
531:
530:
521:
491:
486:
466:
4306:{\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}.}
6201:
2634:is a product of cyclic groups of order
978:{\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}
228:; this is independent of the choice of
4574:Ramification groups in upper numbering
4570:+ 2, which has discriminant 2048 = 2.
3793:{\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}
457:Ramification groups in lower numbering
199:of the equivalence class ∈
6623:Math 248A. Higher ramification groups
5701:is the subextension corresponding to
4373:{\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24).}
3446:, this can be understood to mean the
2761:{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}
2310:{\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }
1898:is essentially equivalent to that of
111:Decomposition group and inertia group
7:
5409:{\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}
5305:in upper numbering. In other words,
1528:are the (finite) residue fields of
4986:{\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}
4485:
4397:
3197:
2815:
2739:
2499:
860:
548:
6006:
6003:
5779:{\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}
5616:{\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}
5517:{\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}
5347:{\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}
5264:{\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}
5206:
4123:{\displaystyle x_{1}-x_{3}=2x_{1}}
2894:
694:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
14:
6533:Serre (1979) 4.2. Proposition 10.
6191:Finite extensions of local fields
3542:Example: the cyclotomic extension
1710:{\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}
941:{\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}
61:ramification theory of valuations
51:Ramification theory of valuations
5666:{\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}
3597:
3571:
3668:, can be described explicitly:
6524:Serre (1979) 4.1. Prop.3, p.63
6262:Commutative algebra, Volume II
6162:
6159:
6146:
6107:
6061:
6048:
6012:
5998:
5983:
5957:
5943:
5906:
5900:
5767:
5752:
5660:
5654:
5604:
5589:
5481:
5466:
5326:
5320:
5256:
5250:
5209:
5194:
5140:{\displaystyle -1\leq u\leq 0}
5093:
5087:
4971:
4941:
4921:
4895:
4869:
4843:
4811:
4805:
4747:
4741:
4728:
4423:
4391:
4364:
4358:
4355:
4349:
3725:
3697:
3587:
3581:
3546:The ramification groups for a
3475:
3462:
3279:
3273:
3216:
3191:
3107:
3101:
3083:
3044:
3038:
2928:
2918:
2903:
2899:
2872:
2866:
2834:
2809:
2355:
2296:
2290:
2284:
2212:
2206:
2190:
2184:
2162:
2153:
2119:
2113:
2097:
2075:
2025:
2010:
2004:
1799:
1790:
1784:
1778:
1769:
1763:
1746:One also defines the function
1698:
1684:
1632:
1579:
1486:
1472:
1018:
1009:
1003:
997:
923:
914:
908:
902:
631:
625:
232:in ). In fact, this action is
1:
6796:American Mathematical Society
6515:Serre (1979) 4.1 Prop.4, p.64
6266:Graduate Texts in Mathematics
5883:{\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}
5070:{\displaystyle -1<t\leq 0}
4927:{\displaystyle (G_{0}:G_{t})}
2627:{\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}
1952:satisfies the following: for
1385:is called the tame quotient.
721:. (This is stronger than the
6546:. Ch. IV, §4, Proposition 18
5215:{\displaystyle [-1,\infty )}
4021:{\displaystyle x_{4}=-x_{2}}
3978:{\displaystyle x_{3}=-x_{1}}
3804:Example: a quartic extension
3006:{\displaystyle \sigma \in G}
2565:is cyclic of order prime to
1851:is independent of choice of
663:{\displaystyle \alpha \in L}
47:phenomena of the extension.
4241:, cyclic of order 4. Also:
4056:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2796:and that of subextensions:
2558:{\displaystyle G_{0}/G_{1}}
1378:{\displaystyle G_{0}/G_{1}}
1288:because of its relation to
701:is the ring of integers of
6847:
6790:Snaith, Victor P. (1994).
6671:Algebraische Zahlentheorie
6641:Cambridge University Press
6222:Cambridge University Press
5963:{\displaystyle G^{n}(L/K)}
5105:{\displaystyle \phi (u)=u}
1824:. (ii) in the above shows
725:.) Then, for each integer
401:reduced ramification index
6679:. Vol. 322. Berlin:
1290:splitting of prime ideals
1096:. They form a decreasing
723:primitive element theorem
441:) is also independent of
5912:{\displaystyle \phi (i)}
3442:. In the terminology of
2967:is a normal subgroup of
1977:{\displaystyle s,t\in G}
747:{\displaystyle i\geq -1}
239:Given a fixed extension
191:by σ = (i.e.
25:local class field theory
6831:Algebraic number theory
6792:Galois module structure
6637:Algebraic number theory
6333:{\displaystyle G/G_{0}}
6218:Algebraic number theory
5550:
5147:. It is immediate that
4617:{\displaystyle \geq -1}
1864:{\displaystyle \alpha }
1736:{\displaystyle i\geq 0}
1217:for sufficiently large
336:consisting of elements
253:decomposition group of
23:, more specifically in
6675:
6609:Snaith (1994) pp.30-31
6501:
6428:
6334:
6175:
6068:
5970:under the isomorphism
5964:
5913:
5884:
5838:
5811:
5780:
5715:
5695:
5667:
5617:
5538:
5518:
5450:
5430:
5410:
5348:
5303:-th ramification group
5292:
5265:
5216:
5181:
5161:
5141:
5106:
5071:
5036:
5016:
4987:
4928:
4888:where, by convention,
4879:
4786:
4766:
4699:
4698:{\displaystyle \geq u}
4672:
4645:
4618:
4592:
4556:
4528:
4475:so that the different
4469:
4374:
4307:
4235:
4197:
4124:
4057:
4022:
3979:
3936:
3889:
3862:
3794:
3735:
3658:
3631:
3630:{\displaystyle \zeta }
3611:
3532:
3436:
3362:
3289:
3165:
3145:
3114:
3007:
2981:
2961:
2938:
2898:
2790:
2762:
2713:
2679:
2648:
2628:
2579:
2559:
2514:
2417:
2317:induces the injection
2311:
2268:
2248:
2225:
2129:
2051:
1978:
1946:
1919:
1892:
1865:
1845:
1818:
1737:
1711:
1650:
1597:
1548:
1522:
1496:
1429:
1402:
1379:
1337:
1313:
1282:
1258:
1231:
1213:are normal by (i) and
1207:
1177:
1094:-th ramification group
1088:
1067:
1037:
979:
942:
884:
831:operates trivially on
825:
801:
800:{\displaystyle s\in G}
775:
748:
715:
695:
664:
638:
583:. As a consequence of
577:
557:
503:
475:
6753:Greenberg, Marvin Jay
6600:Neukirch (1999) p.355
6582:Neukirch (1999) p.180
6564:Neukirch (1999) p.179
6502:
6429:
6335:
6296:Neukirch (1999) p.178
6176:
6069:
5965:
5914:
5885:
5839:
5837:{\displaystyle G^{v}}
5812:
5788:absolute Galois group
5781:
5716:
5696:
5668:
5618:
5539:
5519:
5451:
5431:
5411:
5349:
5293:
5291:{\displaystyle G^{v}}
5266:
5217:
5182:
5180:{\displaystyle \psi }
5162:
5160:{\displaystyle \phi }
5142:
5107:
5072:
5037:
5017:
4988:
4929:
4880:
4787:
4785:{\displaystyle \phi }
4767:
4700:
4673:
4671:{\displaystyle G_{i}}
4646:
4644:{\displaystyle G_{u}}
4619:
4593:
4557:
4555:{\displaystyle x_{1}}
4529:
4470:
4375:
4308:
4236:
4234:{\displaystyle C_{4}}
4198:
4125:
4058:
4023:
3980:
3937:
3890:
3888:{\displaystyle x_{1}}
3863:
3795:
3736:
3659:
3657:{\displaystyle p^{n}}
3632:
3612:
3533:
3437:
3363:
3290:
3166:
3146:
3115:
3008:
2982:
2962:
2939:
2878:
2791:
2763:
2714:
2712:{\displaystyle G_{0}}
2680:
2678:{\displaystyle G_{1}}
2649:
2629:
2580:
2560:
2515:
2418:
2312:
2269:
2249:
2226:
2130:
2052:
1979:
1947:
1945:{\displaystyle i_{G}}
1920:
1918:{\displaystyle i_{G}}
1893:
1891:{\displaystyle G_{i}}
1866:
1846:
1844:{\displaystyle i_{G}}
1819:
1738:
1712:
1651:
1598:
1549:
1523:
1497:
1430:
1428:{\displaystyle G_{i}}
1403:
1380:
1338:
1321:wild inertia subgroup
1314:
1312:{\displaystyle G_{1}}
1283:
1259:
1257:{\displaystyle G_{0}}
1232:
1208:
1206:{\displaystyle G_{i}}
1178:
1089:
1068:
1066:{\displaystyle G_{i}}
1038:
980:
943:
885:
826:
802:
781:to be the set of all
776:
774:{\displaystyle G_{i}}
749:
716:
696:
665:
639:
578:
558:
504:
476:
6755:. Berlin, New York:
6438:
6371:
6309:
6084:
5977:
5930:
5894:
5848:
5844:are integers; i.e.,
5821:
5801:
5797:. It states that if
5725:
5705:
5677:
5627:
5562:
5528:
5463:
5440:
5420:
5358:
5309:
5275:
5226:
5191:
5171:
5151:
5116:
5081:
5046:
5026:
5015:{\displaystyle t=-1}
4997:
4938:
4892:
4799:
4776:
4709:
4686:
4655:
4628:
4602:
4582:
4539:
4479:
4385:
4320:
4248:
4218:
4141:
4078:
4043:
3989:
3946:
3899:
3872:
3868:. The conjugates of
3825:
3812:be the extension of
3752:
3748:is chosen such that
3675:
3641:
3621:
3553:
3548:cyclotomic extension
3453:
3372:
3302:
3178:
3155:
3127:
3017:
2991:
2971:
2951:
2803:
2772:
2733:
2696:
2662:
2638:
2590:
2569:
2527:
2427:
2321:
2278:
2258:
2247:{\displaystyle \pi }
2238:
2140:
2062:
1991:
1956:
1929:
1902:
1875:
1855:
1828:
1750:
1721:
1668:
1613:
1560:
1532:
1506:
1442:
1412:
1392:
1347:
1327:
1296:
1272:
1241:
1221:
1190:
1107:
1078:
1050:
991:
952:
896:
835:
815:
785:
758:
729:
705:
674:
648:
591:
567:
520:
485:
465:
414:) is independent of
268:of , i.e. it is the
6124:
6101:
5919:is not an integer.
5694:{\displaystyle L/F}
5298:is then called the
4831:
3144:{\displaystyle F/K}
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1521:{\displaystyle l,k}
502:{\displaystyle L/K}
260:stabilizer subgroup
63:studies the set of
29:ramification groups
6743:Serre, Jean-Pierre
6715:Serre, Jean-Pierre
6573:Serre (1967) p.155
6555:Serre (1967) p.156
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426:). Similarly, the
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1388:The Galois group
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1087:{\displaystyle i}
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576:{\displaystyle L}
516:. We shall write
474:{\displaystyle G}
317:inertia group of
156:of extensions of
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