3516:
5299:
6122:
1665:
The rearrangement inequality can be regarded as intuitive in the following way. Imagine there is a heap of $ 10 bills, a heap of $ 20 bills and one more heap of $ 100 bills. You are allowed to take 7 bills from a heap of your choice and then the heap disappears. In the second round you are allowed to
6542:
358:
3337:
1601:
7097:
6912:
5138:
5991:
3310:
107:
3020:
1666:
take 5 bills from another heap and the heap disappears. In the last round you may take 3 bills from the last heap. In what order do you want to choose the heaps to maximize your profit? Obviously, the best you can do is to gain
767:
6350:
3979:
1428:
3143:
4198:
6917:
2387:
5930:
1116:
656:
175:
7164:
6186:
4068:
6296:
5824:
6773:
1903:
2236:
1848:
1714:
4710:
3845:
7259:
6607:
4950:
4661:
4500:
3511:{\displaystyle \tau (i):={\begin{cases}\sigma (i)&{\text{for }}i\in \{1,\ldots ,n\}\setminus \{j,k\},\\\sigma (k)&{\text{for }}i=j,\\\sigma (j)&{\text{for }}i=k,\end{cases}}}
1336:
5568:
4999:
3778:
1165:
951:
510:
2776:
2825:
30:
6778:
6677:
4613:
2875:
2724:
2625:
5095:
2497:
7213:
4859:
2924:
2674:
2113:
1998:
1049:
902:
589:
6345:
5634:
5045:
3692:
2569:
2064:
1949:
853:
461:
6232:
7311:
2142:
1784:
1212:
6721:
5740:
4387:
4344:
4289:
2445:
7372:
5697:
1423:
1253:
5133:
4810:
4558:
3169:
5450:
2277:
1656:
1382:
165:
5407:
4762:
3597:
1752:
3565:
5973:
5294:{\displaystyle \tau (i)={\begin{cases}\sigma (i)&{\text{for }}i\in \{1,\ldots ,n\}\setminus \{j,n\},\\k&{\text{for }}i=j,\\n&{\text{for }}i=n,\end{cases}}}
3727:
3620:
5950:
5654:
5470:
5319:
4885:
4730:
4520:
4448:
3865:
3536:
2523:
2297:
1621:
1000:
971:
787:
540:
130:
5519:
5588:
5496:
6117:{\displaystyle 0\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}\quad {\text{and}}\quad 0\leq y_{1}\leq \cdots \leq y_{n}\quad {\text{and}}\quad 0\leq z_{1}\leq \cdots \leq z_{n}}
4246:
3909:
4422:
5362:
7331:
5339:
3640:
2934:
2407:
2162:
2018:
807:
415:
395:
3914:
1278:
2308:
1054:
661:
594:
6552:), this statement requires the numbers to be nonnegative. A similar statement is true for any number of sequences with all numbers nonnegative.
3046:
7502:
5988:
A straightforward generalization takes into account more sequences. Assume we have finite ordered sequences of nonnegative real numbers
4094:
7475:
7442:
6537:{\displaystyle x_{1}y_{\sigma (1)}z_{\tau (1)}+\cdots +x_{n}y_{\sigma (n)}z_{\tau (n)}\leq x_{1}y_{1}z_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}z_{n}.}
5829:
2186:
353:{\displaystyle x_{1}y_{n}+\cdots +x_{n}y_{1}\leq x_{1}y_{\sigma (1)}+\cdots +x_{n}y_{\sigma (n)}\leq x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}}
1596:{\displaystyle x_{1}x_{n}+\cdots +x_{n}x_{1}\leq x_{1}x_{\sigma (1)}+\cdots +x_{n}x_{\sigma (n)}\leq x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
7389:
417:
values, and the smallest sum is achieved by pairing small values with large values. This can be formalised in the case that the
2389:
is maximal. In case there are several permutations with this property, let σ denote one with the highest number of integers
1282:
7105:
6127:
7394:
1286:
2170:) says that you optimize the total area of your selection by taking the rectangles on the diagonal or the antidiagonal.
7092:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f_{n-i+1}(x_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}f_{\sigma (i)}(x_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}f_{i}(x_{i})}
3989:
6237:
5745:
1853:
1801:
1669:
7434:
2183:
The lower bound and the corresponding discussion of equality follow by applying the results for the upper bound to
4666:
3801:
7218:
6566:
4890:
4620:
4453:
1295:
5524:
4955:
3734:
1121:
907:
466:
2729:
2781:
7418:
6615:
6610:
4563:
2830:
2679:
2580:
6726:
5050:
2450:
7169:
4815:
3882:
2880:
2630:
2069:
1954:
1005:
858:
545:
6301:
5593:
5006:
3645:
2528:
2023:
1908:
812:
420:
7507:
6191:
7264:
3305:{\displaystyle x_{j}y_{\sigma (j)}+x_{k}y_{\sigma (k)}\leq x_{j}y_{\sigma (k)}+x_{k}y_{\sigma (j)}\,,}
2118:
1757:
1170:
6682:
5702:
4349:
4306:
4251:
2502:
2412:
7336:
5662:
5162:
3361:
1387:
1217:
5100:
4777:
4525:
5412:
2247:
1626:
1347:
135:
5372:
4735:
3570:
1725:
377:
Informally, this means that in these types of sums, the largest sum is achieved by pairing large
3541:
102:{\displaystyle x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}\quad {\text{ and }}\quad y_{1}\leq \cdots \leq y_{n}}
6907:{\displaystyle f'_{1}(x)\leq f'_{2}(x)\leq \cdots \leq f'_{n}(x)\quad {\text{ for all }}x\in ,}
7438:
5955:
3709:
3602:
5935:
5639:
5455:
5304:
4870:
4715:
4505:
4427:
3850:
3521:
2508:
2282:
1606:
985:
956:
772:
525:
115:
7456:
5501:
1787:
1266:
7452:
5573:
5481:
7460:
7448:
4225:
3888:
3015:{\displaystyle x_{j}\leq x_{k}\qquad {\text{and}}\qquad y_{\sigma (k)}<y_{\sigma (j)},}
7422:
4401:
1265:) makes no assumptions on the signs of the real numbers, unlike inequalities such as the
5344:
4392:
As an induction hypothesis assume that the upper bound in the rearrangement inequality (
7316:
5324:
3625:
2392:
2244:) and discuss when equality holds. Since there are only finitely many permutations of
2147:
2003:
1277:
Many important inequalities can be proved by the rearrangement inequality, such as the
792:
400:
380:
7496:
2164:
of these, one from each column and one from each row. The rearrangement inequality (
4346:
Hence only the identity, which is the only permutation here keeping the order of
7414:
7100:
6561:
110:
25:
17:
3798:), hence the maximum can only be attained by permutations keeping the order of
1716:
dollars. This is exactly what the upper bound of the rearrangement inequality (
762:{\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (n)}).}
7430:
6560:
Another generalization of the rearrangement inequality states that for all
3974:{\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\quad {\text{ and }}\quad y_{1}\leq y_{2}}
2577:), because the identity has that property). Assume that there exists a
5498:
gives the same sum, and we can proceed by applying the first case to
3599:
has at least one additional point which keeps the order compared to
5952:
is not optimal, hence this case cannot happen due to the choice of
3138:{\displaystyle 0\leq (x_{k}-x_{j})(y_{\sigma (j)}-y_{\sigma (k)}).}
4193:{\displaystyle x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\leq x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2},}
2382:{\displaystyle x_{1}y_{\sigma (1)}+\cdots +x_{n}y_{\sigma (n)}}
5925:{\displaystyle x_{k}y_{n}+x_{n}y_{k}<x_{k}y_{k}+x_{n}y_{n}}
1111:{\displaystyle y_{\sigma (1)}\geq \cdots \geq y_{\sigma (n)}.}
651:{\displaystyle y_{\sigma (1)}\leq \cdots \leq y_{\sigma (n)},}
5287:
3504:
6546:
Note that, unlike the standard rearrangement inequality (
4861:
and, using the induction hypothesis, the upper bound in (
1786:
In this sense, it can be considered as an example of a
2122:
7339:
7319:
7267:
7221:
7172:
7159:{\displaystyle f_{\sigma (1)},\ldots ,f_{\sigma (n)}}
7108:
6920:
6781:
6729:
6685:
6618:
6569:
6353:
6304:
6240:
6194:
6181:{\displaystyle y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (n)}}
6130:
5994:
5958:
5938:
5832:
5748:
5705:
5665:
5642:
5596:
5576:
5527:
5504:
5484:
5458:
5415:
5375:
5347:
5327:
5307:
5141:
5103:
5053:
5009:
4958:
4893:
4873:
4818:
4780:
4738:
4718:
4669:
4623:
4566:
4528:
4508:
4456:
4430:
4404:
4352:
4309:
4254:
4228:
4097:
3992:
3917:
3891:
3853:
3804:
3737:
3712:
3648:
3628:
3605:
3573:
3544:
3524:
3340:
3172:
3049:
2937:
2883:
2833:
2784:
2732:
2682:
2633:
2583:
2531:
2511:
2453:
2415:
2395:
2311:
2285:
2250:
2189:
2150:
2121:
2072:
2026:
2006:
1957:
1911:
1856:
1804:
1760:
1728:
1672:
1629:
1609:
1431:
1390:
1350:
1298:
1220:
1173:
1124:
1057:
1008:
988:
959:
910:
861:
815:
795:
775:
664:
597:
548:
528:
469:
423:
403:
383:
178:
138:
118:
33:
2238:
Therefore, it suffices to prove the upper bound in (
3875:
As above, it suffices to treat the upper bound in (
7476:"A Generalization of the Rearrangement Inequality"
7366:
7325:
7305:
7253:
7207:
7158:
7091:
6906:
6767:
6715:
6671:
6601:
6536:
6339:
6290:
6226:
6180:
6116:
5967:
5944:
5924:
5818:
5734:
5691:
5648:
5628:
5582:
5562:
5513:
5490:
5464:
5444:
5401:
5356:
5333:
5313:
5293:
5127:
5089:
5039:
4993:
4944:
4879:
4853:
4804:
4756:
4724:
4704:
4655:
4607:
4552:
4514:
4494:
4442:
4416:
4381:
4338:
4283:
4240:
4192:
4062:
3973:
3903:
3859:
3839:
3772:
3721:
3686:
3634:
3614:
3591:
3559:
3530:
3510:
3304:
3137:
3014:
2918:
2869:
2819:
2770:
2718:
2668:
2619:
2563:
2517:
2491:
2439:
2401:
2381:
2291:
2271:
2230:
2156:
2136:
2107:
2058:
2012:
1992:
1943:
1897:
1842:
1778:
1746:
1708:
1650:
1615:
1595:
1417:
1376:
1330:
1247:
1206:
1159:
1110:
1043:
994:
965:
945:
896:
847:
801:
781:
761:
650:
583:
534:
504:
455:
409:
389:
352:
159:
124:
101:
4770:) gives the maximal result. There are two cases:
4063:{\displaystyle 0\leq (x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1}),}
7429:, Cambridge Mathematical Library (2. ed.),
6291:{\displaystyle z_{\tau (1)},\dots ,z_{\tau (n)}}
5819:{\displaystyle 0<(x_{n}-x_{k})(y_{n}-y_{k}),}
1898:{\displaystyle 0<y_{1}<\cdots <y_{n}.}
4764:such that the rearrangement in the middle of (
2231:{\displaystyle -y_{n}\leq \cdots \leq -y_{1}.}
1843:{\displaystyle 0<x_{1}<\cdots <x_{n}}
1709:{\displaystyle 7\cdot 100+5\cdot 20+3\cdot 10}
3161:Expanding this product and rearranging gives
8:
5226:
5214:
5208:
5190:
5084:
5060:
4705:{\displaystyle y_{1}\leq \cdots \leq y_{n}.}
4502:there is equality only when the permutation
3840:{\displaystyle y_{1}\leq \cdots \leq y_{n},}
3425:
3413:
3407:
3389:
2864:
2840:
2713:
2689:
2614:
2590:
2434:
2416:
7254:{\displaystyle y_{1}\leq \cdots \leq y_{n}}
6602:{\displaystyle x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}}
4945:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n-1},y_{n}}
4656:{\displaystyle x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}}
4495:{\displaystyle x_{1}<\cdots <x_{n-1}}
2571:(then we are done with the upper bound in (
2144:small rectangles. You are supposed to take
1331:{\displaystyle x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}}
1292:As a simple example, consider real numbers
1279:arithmetic mean – geometric mean inequality
5563:{\displaystyle x_{1}<\cdots <x_{n},}
4994:{\displaystyle x_{1}<\cdots <x_{n}.}
4732:from the finite number of permutations of
3773:{\displaystyle x_{1}<\cdots <x_{n},}
1160:{\displaystyle y_{1}<\cdots <y_{n},}
946:{\displaystyle y_{1}<\cdots <y_{n},}
505:{\displaystyle x_{1}<\cdots <x_{n},}
7338:
7318:
7297:
7272:
7266:
7245:
7226:
7220:
7196:
7177:
7171:
7141:
7113:
7107:
7080:
7067:
7057:
7046:
7030:
7008:
6998:
6987:
6971:
6946:
6936:
6925:
6919:
6892:
6879:
6861:
6842:
6811:
6786:
6780:
6756:
6734:
6728:
6684:
6665:
6664:
6652:
6639:
6623:
6617:
6593:
6574:
6568:
6525:
6515:
6505:
6486:
6476:
6466:
6444:
6425:
6415:
6387:
6368:
6358:
6352:
6328:
6309:
6303:
6273:
6245:
6239:
6218:
6199:
6193:
6163:
6135:
6129:
6108:
6089:
6073:
6066:
6047:
6031:
6024:
6005:
5993:
5957:
5937:
5916:
5906:
5893:
5883:
5870:
5860:
5847:
5837:
5831:
5804:
5791:
5775:
5762:
5747:
5723:
5710:
5704:
5683:
5670:
5664:
5641:
5620:
5601:
5595:
5575:
5551:
5532:
5526:
5503:
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5457:
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5306:
5267:
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5179:
5157:
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5102:
5052:
5008:
4982:
4963:
4957:
4936:
4917:
4898:
4892:
4872:
4836:
4823:
4817:
4779:
4737:
4717:
4693:
4674:
4668:
4647:
4628:
4622:
4590:
4571:
4565:
4527:
4507:
4480:
4461:
4455:
4429:
4403:
4370:
4357:
4351:
4327:
4314:
4308:
4272:
4259:
4253:
4227:
4181:
4171:
4158:
4148:
4135:
4125:
4112:
4102:
4096:
4048:
4035:
4019:
4006:
3991:
3965:
3952:
3942:
3935:
3922:
3916:
3890:
3852:
3828:
3809:
3803:
3761:
3742:
3736:
3711:
3666:
3653:
3647:
3627:
3604:
3572:
3543:
3523:
3484:
3449:
3378:
3356:
3339:
3298:
3283:
3273:
3251:
3241:
3219:
3209:
3187:
3177:
3171:
3114:
3092:
3076:
3063:
3048:
2994:
2972:
2962:
2955:
2942:
2936:
2901:
2888:
2882:
2832:
2802:
2789:
2783:
2771:{\displaystyle y_{j}\neq y_{\sigma (j)}.}
2750:
2737:
2731:
2681:
2651:
2638:
2632:
2582:
2555:
2536:
2530:
2510:
2471:
2458:
2452:
2414:
2394:
2364:
2354:
2326:
2316:
2310:
2284:
2249:
2219:
2197:
2188:
2149:
2127:
2120:
2096:
2077:
2071:
2050:
2031:
2025:
2005:
1981:
1962:
1956:
1935:
1916:
1910:
1886:
1867:
1855:
1834:
1815:
1803:
1759:
1727:
1671:
1628:
1608:
1587:
1582:
1563:
1558:
1536:
1526:
1498:
1488:
1475:
1465:
1446:
1436:
1430:
1389:
1368:
1355:
1349:
1322:
1303:
1297:
1219:
1172:
1148:
1129:
1123:
1090:
1062:
1056:
1032:
1013:
1007:
987:
958:
934:
915:
909:
885:
866:
860:
839:
820:
814:
794:
774:
738:
710:
691:
672:
663:
630:
602:
596:
572:
553:
547:
527:
493:
474:
468:
447:
428:
422:
402:
382:
344:
334:
315:
305:
283:
273:
245:
235:
222:
212:
193:
183:
177:
137:
117:
93:
74:
64:
57:
38:
32:
1259:Note that the rearrangement inequality (
7406:
7374:the standard rearrangement inequality (
5211:
3410:
2820:{\displaystyle y_{j}<y_{\sigma (j)}}
2066:and the same number of rows of heights
6672:{\displaystyle f_{i}:\to \mathbb {R} }
4608:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n-1}.}
2870:{\displaystyle k\in \{j+1,\ldots ,n\}}
2719:{\displaystyle i\in \{1,\ldots ,j-1\}}
2620:{\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n-1\}}
7464:, Section 10.2, Theorem 368
6768:{\displaystyle f'_{1},\ldots ,f'_{n}}
5472:has no effect on the middle term in (
5090:{\displaystyle j\in \{1,\dots ,n-1\}}
3780:then we have strict inequalities in (
2492:{\displaystyle y_{i}=y_{\sigma (i)}.}
976:Correspondingly, the lower bound in (
855:every permutation keeps the order of
7:
7208:{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}.}
4854:{\displaystyle y_{n}=y_{\sigma (n)}}
4088:
3983:
3163:
3040:
2928:
2919:{\displaystyle y_{j}=y_{\sigma (k)}}
2669:{\displaystyle y_{i}=y_{\sigma (i)}}
2108:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n},}
1993:{\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n},}
1267:arithmetic-geometric mean inequality
1044:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n},}
982:) is attained only for permutations
897:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}.}
809:-values that are equal; in the case
584:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n},}
522:) is attained only for permutations
169:
6340:{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}.}
5629:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}
5040:{\displaystyle k:=\sigma (n)<n,}
3687:{\displaystyle y_{j}=y_{\tau (j)},}
2564:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}
2059:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
1944:{\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}}
1255:is the only permutation to do this.
848:{\displaystyle y_{1}=\cdots =y_{n}}
456:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
6227:{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}
4291:then we get strict inequality in (
3706:). This contradicts the choice of
14:
6609:and every choice of continuously
3694:and also attains the maximum in (
7306:{\displaystyle f_{i}(x):=xy_{i}}
5452:then this exchange of values of
2137:{\displaystyle \textstyle n^{2}}
1779:{\displaystyle 10<20<100.}
1207:{\displaystyle \sigma (i)=n-i+1}
24:states that for every choice of
6860:
6716:{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}
6078:
6072:
6036:
6030:
5735:{\displaystyle y_{k}<y_{n},}
4382:{\displaystyle y_{1}<y_{2},}
4339:{\displaystyle y_{1}<y_{2}.}
4284:{\displaystyle x_{1}<x_{2},}
3947:
3941:
2967:
2961:
2440:{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}
69:
63:
7367:{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}
7284:
7278:
7151:
7145:
7123:
7117:
7086:
7073:
7036:
7023:
7018:
7012:
6977:
6964:
6898:
6872:
6857:
6851:
6826:
6820:
6801:
6795:
6661:
6658:
6632:
6454:
6448:
6435:
6429:
6397:
6391:
6378:
6372:
6283:
6277:
6255:
6249:
6173:
6167:
6145:
6139:
5810:
5784:
5781:
5755:
5692:{\displaystyle x_{k}<x_{n}}
5174:
5168:
5151:
5145:
5113:
5107:
5025:
5019:
4846:
4840:
4790:
4784:
4054:
4028:
4025:
3999:
3676:
3670:
3583:
3577:
3554:
3548:
3479:
3473:
3444:
3438:
3373:
3367:
3350:
3344:
3293:
3287:
3261:
3255:
3229:
3223:
3197:
3191:
3129:
3124:
3118:
3102:
3096:
3085:
3082:
3056:
3004:
2998:
2982:
2976:
2911:
2905:
2812:
2806:
2760:
2754:
2661:
2655:
2481:
2475:
2374:
2368:
2336:
2330:
2299:for which the middle term in (
1905:Consider a rectangle of width
1546:
1540:
1508:
1502:
1418:{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}
1248:{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}
1183:
1177:
1100:
1094:
1072:
1066:
753:
748:
742:
720:
714:
703:
697:
665:
640:
634:
612:
606:
293:
287:
255:
249:
1:
5128:{\displaystyle \sigma (j)=n.}
4805:{\displaystyle \sigma (n)=n,}
4553:{\displaystyle 1,\ldots ,n-1}
6723:such that their derivatives
6556:Functions instead of factors
5445:{\displaystyle y_{k}=y_{n},}
5321:by exchanging the values of
4867:) is true with equality and
3847:and every other permutation
2926:to fill the gap. Therefore,
2272:{\displaystyle 1,\ldots ,n,}
1651:{\displaystyle 1,\ldots ,n.}
1377:{\displaystyle y_{i}:=x_{i}}
160:{\displaystyle 1,2,\ldots n}
7390:Hardy–Littlewood inequality
7376:
6548:
5474:
5402:{\displaystyle x_{k}=x_{n}}
5364:There are now two subcases:
4863:
4766:
4757:{\displaystyle 1,\ldots ,n}
4394:
4299:
4293:
4218:
3877:
3794:
3788:
3782:
3702:
3696:
3592:{\displaystyle \sigma (k),}
3330:
2573:
2301:
2240:
2166:
1747:{\displaystyle 3<5<7}
1718:
1340:
1261:
978:
789:can permute the indices of
518:
463:are distinct, meaning that
7524:
7503:Rearrangement inequalities
7435:Cambridge University Press
7395:Chebyshev's sum inequality
4216:hence the upper bound in (
3560:{\displaystyle \sigma (j)}
2279:there exists at least one
1287:Chebyshev's sum inequality
1002:that reverse the order of
7474:Holstermann, Jan (2017),
7261:and the linear functions
3538:by exchanging the values
3334:). Hence the permutation
2827:and there has to exist a
2525:has to keep the order of
1722:) says for the sequences
1283:Cauchy–Schwarz inequality
7483:Mathematical Reflections
6611:differentiable functions
6234:and another permutation
5968:{\displaystyle \sigma .}
3722:{\displaystyle \sigma .}
3615:{\displaystyle \sigma ,}
3328:which is equivalent to (
1794:Geometric interpretation
22:rearrangement inequality
5984:Three or more sequences
5945:{\displaystyle \sigma }
5826:which is equivalent to
5649:{\displaystyle \sigma }
5465:{\displaystyle \sigma }
5314:{\displaystyle \sigma }
5135:Define the permutation
4880:{\displaystyle \sigma }
4725:{\displaystyle \sigma }
4515:{\displaystyle \sigma }
4443:{\displaystyle n\geq 3}
4086:which is equivalent to
3860:{\displaystyle \sigma }
3531:{\displaystyle \sigma }
2518:{\displaystyle \sigma }
2292:{\displaystyle \sigma }
1616:{\displaystyle \sigma }
995:{\displaystyle \sigma }
966:{\displaystyle \sigma }
782:{\displaystyle \sigma }
542:that keep the order of
535:{\displaystyle \sigma }
125:{\displaystyle \sigma }
7368:
7327:
7307:
7255:
7209:
7160:
7093:
7062:
7003:
6941:
6908:
6769:
6717:
6673:
6603:
6538:
6341:
6292:
6228:
6182:
6118:
5969:
5946:
5926:
5820:
5736:
5693:
5650:
5630:
5584:
5564:
5521:Note that in the case
5515:
5514:{\displaystyle \tau .}
5492:
5466:
5446:
5403:
5358:
5335:
5315:
5295:
5129:
5091:
5041:
4995:
4946:
4881:
4855:
4806:
4758:
4726:
4706:
4657:
4609:
4554:
4516:
4496:
4444:
4418:
4383:
4340:
4285:
4242:
4194:
4064:
3975:
3905:
3883:mathematical induction
3861:
3841:
3774:
3723:
3688:
3636:
3616:
3593:
3561:
3532:
3512:
3306:
3139:
3016:
2920:
2871:
2821:
2772:
2720:
2670:
2621:
2565:
2519:
2503:prove by contradiction
2493:
2441:
2403:
2383:
2293:
2273:
2232:
2179:Proof by contradiction
2158:
2138:
2109:
2060:
2014:
1994:
1945:
1899:
1844:
1780:
1748:
1710:
1652:
1617:
1603:for every permutation
1597:
1419:
1378:
1332:
1249:
1208:
1161:
1112:
1045:
996:
967:
947:
898:
849:
803:
783:
763:
652:
585:
536:
506:
457:
411:
391:
354:
161:
126:
103:
7369:
7328:
7308:
7256:
7210:
7161:
7094:
7042:
6983:
6921:
6909:
6770:
6718:
6674:
6604:
6539:
6342:
6293:
6229:
6183:
6119:
5970:
5947:
5927:
5821:
5737:
5694:
5651:
5631:
5585:
5583:{\displaystyle \tau }
5565:
5516:
5493:
5491:{\displaystyle \tau }
5467:
5447:
5404:
5359:
5336:
5316:
5296:
5130:
5092:
5042:
4996:
4947:
4882:
4856:
4807:
4759:
4727:
4707:
4658:
4610:
4555:
4517:
4497:
4450:and that in the case
4445:
4419:
4384:
4341:
4286:
4243:
4195:
4065:
3976:
3906:
3862:
3842:
3775:
3724:
3689:
3637:
3617:
3594:
3562:
3533:
3513:
3307:
3140:
3017:
2921:
2872:
2822:
2773:
2721:
2671:
2622:
2566:
2520:
2494:
2442:
2404:
2384:
2294:
2274:
2233:
2159:
2139:
2110:
2061:
2015:
1995:
1946:
1900:
1845:
1781:
1749:
1711:
1653:
1618:
1598:
1420:
1379:
1333:
1250:
1209:
1162:
1113:
1046:
997:
968:
948:
899:
850:
804:
784:
764:
653:
586:
537:
507:
458:
412:
392:
355:
162:
127:
104:
7337:
7317:
7265:
7219:
7215:Taking real numbers
7170:
7106:
6918:
6779:
6727:
6683:
6616:
6567:
6351:
6302:
6238:
6192:
6128:
5992:
5956:
5936:
5830:
5746:
5703:
5663:
5640:
5594:
5574:
5525:
5502:
5482:
5456:
5413:
5373:
5345:
5325:
5305:
5139:
5101:
5051:
5007:
4956:
4891:
4871:
4816:
4778:
4736:
4716:
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