776:
981:
563:
780:
1882:
1736:
2122:
771:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}
976:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}
1741:
1595:
378:
1999:
2666:
1967:
1515:
2532:
2787:
1397:
1590:
3455:
284:
2290:
1549:
2379:
1028:
1120:
528:
312:
1914:
403:
3043:
466:
1268:
1152:
1055:
3072:
2168:
1423:
2999:
2976:
2833:
2810:
1877:{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}
1731:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}
2953:
2933:
2913:
2893:
2873:
2853:
2405:
2334:
2314:
2211:
2188:
2142:
1990:
1452:
1300:
1239:
1219:
1195:
1175:
427:
2117:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}
317:
3342:.) The same is true of the set of non-left-zero-divisors and the set of non-right-zero-divisors in an arbitrary ring, commutative or not.
2540:
3705:
1919:
1467:
3636:
2413:
440:
3515:
2675:
3685:
1305:
3680:
1554:
3320:
rings by convention, but they then suffer from having to introduce exceptions in statements such as the following:
144:
3742:
3419:
254:
2224:
83:
1520:
3510:
3200:
194:
An element of a ring that is not a left zero divisor (respectively, not a right zero divisor) is called
42:
2347:
993:
210:). An element of a ring that is left and right cancellable, and is hence not a zero divisor, is called
1060:
3747:
3390:
2341:
1993:
1242:
554:
471:
290:
235:
3752:
3339:
1887:
1198:
546:
3675:
386:
3693:
3653:
3521:
3473:
3355:
3331:
3156:
3093:
3085:
251:
248:
2193:
Here is another example of a ring with an element that is a zero divisor on one side only. Let
3004:
3715:
3701:
2383:
2214:
445:
17:
3359:
1247:
987:
188:
38:
31:
1125:
1033:
3346:
3145:
3133:
3111:
3048:
3132:
matrices over a field, the left and right zero divisors coincide; they are precisely the
2147:
1402:
3501:
recovers the definitions of "regular" and "zero divisor" given earlier in this article.
2981:
2958:
2815:
2792:
2938:
2918:
2898:
2878:
2858:
2838:
2390:
2319:
2299:
2196:
2173:
2127:
1975:
1970:
1428:
1276:
1224:
1204:
1180:
1160:
412:
51:
3736:
3104:
373:{\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}
3097:
3089:
2293:
3696:; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004),
3718:
3598:
3149:
990:
of two or more nonzero rings always has nonzero zero divisors. For example, in
534:
1271:
3723:
3256:
2337:
433:
231:
111:
2218:
147:. An element that is a left or a right zero divisor is simply called a
406:
3110:
A non-zero commutative ring whose only zero divisor is 0 is called an
2789:. All three of these additive maps are not zero, and the composites
27:
Ring element that can be multiplied by a non-zero element to equal 0
3092:
has no nonzero zero divisors. Since every nonzero element is a
2661:{\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}
553:≥ 2. Examples of zero divisors in the ring of 2 × 2
1962:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}
1510:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}
436:
element of a nonzero ring is always a two-sided zero divisor.
3660:, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12
2527:{\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}
3263:
is a (two-sided) zero divisor, because any nonzero element
3338:. (This, in turn, is important for the definition of the
2875:
is a right zero divisor in the ring of additive maps from
157:
that is both a left and a right zero divisor is called a
3238:
There is no need for a separate convention for the case
2782:{\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}
2083:
2044:
2008:
1928:
1825:
1786:
1750:
1679:
1640:
1604:
1476:
939:
900:
864:
825:
789:
734:
695:
653:
608:
572:
191:, then the left and right zero divisors are the same.
3422:
3245:, because the definition applies also in this case:
3051:
3007:
2984:
2961:
2941:
2921:
2901:
2881:
2861:
2841:
2818:
2795:
2678:
2543:
2416:
2393:
2350:
2322:
2302:
2227:
2199:
2176:
2150:
2130:
2002:
1978:
1922:
1890:
1744:
1598:
1557:
1523:
1470:
1431:
1405:
1308:
1279:
1250:
1227:
1207:
1183:
1163:
1128:
1063:
1036:
996:
783:
566:
474:
448:
415:
389:
320:
293:
257:
3148:, the zero divisors are precisely the matrices with
1392:{\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}
468:
of a ring is always a two-sided zero divisor, since
2407:.) Three examples of elements of this ring are the
3449:
3066:
3037:
2993:
2970:
2947:
2927:
2907:
2887:
2867:
2847:
2827:
2804:
2781:
2660:
2526:
2399:
2373:
2328:
2308:
2284:
2205:
2182:
2162:
2136:
2116:
1984:
1961:
1908:
1876:
1730:
1584:
1543:
1509:
1446:
1417:
1391:
1294:
1262:
1233:
1213:
1189:
1169:
1146:
1114:
1049:
1022:
975:
770:
522:
460:
421:
397:
372:
306:
278:
234:ring with no nontrivial zero divisors is called a
3203:on the side on which it is regular. That is, if
2124:, and it is a right zero divisor if and only if
3648:
3646:
1585:{\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
2344:as the ring operations. (That is, our ring is
222:. A zero divisor that is nonzero is called a
8:
3450:{\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}
3296:is not a zero divisor, because there is no
2955:is not a left zero divisor: the composite
2144:is even for similar reasons. If either of
279:{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }
3620:, American Mathematical Soc., p. 342
3443:
3435:
3430:
3428:
3427:
3426:
3421:
3155:Left or right zero divisors can never be
3050:
3006:
2983:
2960:
2940:
2920:
2900:
2880:
2860:
2840:
2817:
2794:
2746:
2715:
2702:
2689:
2677:
2637:
2624:
2611:
2580:
2567:
2554:
2542:
2503:
2490:
2453:
2440:
2427:
2415:
2392:
2351:
2349:
2321:
2301:
2261:
2248:
2235:
2226:
2198:
2175:
2149:
2129:
2078:
2039:
2003:
2001:
1977:
1923:
1921:
1889:
1820:
1781:
1745:
1743:
1674:
1635:
1599:
1597:
1578:
1577:
1569:
1565:
1564:
1556:
1537:
1536:
1522:
1471:
1469:
1430:
1404:
1377:
1349:
1307:
1278:
1249:
1226:
1206:
1182:
1162:
1127:
1062:
1041:
1035:
1014:
1001:
995:
934:
895:
859:
820:
784:
782:
729:
690:
648:
603:
567:
565:
473:
447:
414:
391:
390:
388:
360:
347:
334:
321:
319:
294:
292:
272:
271:
263:
259:
258:
256:
3540:Since the map is not injective, we have
3590:
3533:
2285:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}
1464:Consider the ring of (formal) matrices
557:(over any nonzero ring) are shown here:
2190:, then it is a two-sided zero-divisor.
1399:, with neither factor being zero, so
7:
3330:, the set of non-zero-divisors is a
3312:Some references include or exclude
1544:{\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }
3354:, the set of zero divisors is the
3229:, and similarly for right regular.
3001:is a two-sided zero-divisor since
2358:
2355:
2352:
383:The only zero divisor of the ring
174:may be different from the nonzero
25:
3483:Specializing the definitions of "
2374:{\displaystyle \mathrm {End} (S)}
1023:{\displaystyle R_{1}\times R_{2}}
3658:Commutative algebra, 2nd edition
3300:element that when multiplied by
2935:is not a right zero divisor and
1115:{\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}
3637:Springer Science+Business Media
3516:Glossary of commutative algebra
3487:-regular" and "zero divisor on
523:{\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}
307:{\displaystyle {\overline {2}}}
3431:
2776:
2739:
2733:
2682:
2655:
2604:
2598:
2547:
2521:
2477:
2471:
2420:
2368:
2362:
2279:
2228:
1441:
1435:
1361:
1324:
1321:
1309:
1289:
1283:
1141:
1129:
1109:
1097:
1091:
1079:
1076:
1064:
514:
502:
490:
478:
1:
3605:, Springer-Verlag, p. 98
3107:has no nonzero zero divisors.
1909:{\displaystyle x\neq 0\neq z}
1425:is a nonzero zero divisor in
549:has nonzero zero divisors if
143:. This is a partial case of
18:Regular element (ring theory)
3618:Concepts in Abstract Algebra
398:{\displaystyle \mathbb {Z} }
365:
352:
339:
326:
299:
3698:Algebras, rings and modules
3681:Encyclopedia of Mathematics
3381:be a commutative ring, let
3288:is the zero ring, in which
2855:is a left zero divisor and
3769:
3412:if the "multiplication by
124:if there exists a nonzero
63:if there exists a nonzero
29:
3700:, vol. 1, Springer,
3631:Nicolas Bourbaki (1998).
3255:is a ring other than the
3038:{\displaystyle RLP=0=PRL}
2292:. Take for the ring all
114:. Similarly, an element
82:, or equivalently if the
3373:Zero divisor on a module
3074:is not in any direction.
314:is a zero divisor since
30:Not to be confused with
3616:Charles Lanski (2005),
3603:Algebra I, Chapters 1–3
3472:-regular elements is a
3468:otherwise. The set of
3457:is injective, and that
3360:associated prime ideals
1969:is a left zero divisor
461:{\displaystyle e\neq 1}
228:nontrivial zero divisor
3451:
3324:In a commutative ring
3234:Zero as a zero divisor
3068:
3039:
2995:
2972:
2949:
2929:
2909:
2889:
2869:
2849:
2829:
2806:
2783:
2672:onto the first factor
2662:
2528:
2401:
2387:of the additive group
2375:
2330:
2310:
2286:
2207:
2184:
2164:
2138:
2118:
1986:
1963:
1910:
1878:
1732:
1586:
1545:
1511:
1459:One-sided zero-divisor
1448:
1419:
1393:
1296:
1264:
1263:{\displaystyle n>1}
1235:
1215:
1191:
1171:
1148:
1116:
1051:
1024:
977:
772:
524:
462:
423:
399:
374:
308:
280:
159:two-sided zero divisor
120:of a ring is called a
3511:Zero-product property
3452:
3316:as a zero divisor in
3084:The ring of integers
3069:
3040:
2996:
2973:
2950:
2930:
2910:
2890:
2870:
2850:
2830:
2807:
2784:
2663:
2529:
2402:
2376:
2331:
2311:
2287:
2208:
2185:
2165:
2139:
2119:
1987:
1964:
1911:
1879:
1733:
1587:
1546:
1512:
1449:
1420:
1394:
1297:
1265:
1236:
1216:
1192:
1172:
1149:
1147:{\displaystyle (1,0)}
1117:
1052:
1050:{\displaystyle R_{i}}
1025:
978:
773:
525:
463:
424:
400:
375:
309:
281:
145:divisibility in rings
3518:(Exact zero divisor)
3420:
3067:{\displaystyle LR=1}
3049:
3005:
2982:
2959:
2939:
2919:
2899:
2879:
2859:
2839:
2816:
2793:
2676:
2541:
2414:
2391:
2348:
2320:
2300:
2225:
2197:
2174:
2148:
2128:
2000:
1976:
1920:
1888:
1742:
1596:
1555:
1521:
1468:
1429:
1403:
1306:
1277:
1248:
1225:
1205:
1181:
1161:
1126:
1061:
1034:
994:
781:
564:
472:
446:
413:
387:
318:
291:
287:, the residue class
255:
224:nonzero zero divisor
3340:total quotient ring
3209:is a left regular,
2163:{\displaystyle x,z}
1418:{\displaystyle 1-g}
3716:Weisstein, Eric W.
3694:Michiel Hazewinkel
3654:Hideyuki Matsumura
3522:Zero-divisor graph
3474:multiplicative set
3447:
3332:multiplicative set
3196:, a contradiction.
3165:is invertible and
3103:More generally, a
3064:
3035:
2994:{\displaystyle RL}
2991:
2971:{\displaystyle LR}
2968:
2945:
2925:
2905:
2885:
2865:
2845:
2835:are both zero, so
2828:{\displaystyle PR}
2825:
2805:{\displaystyle LP}
2802:
2779:
2658:
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