5630:
2115:
1886:
1305:
1628:
902:
2110:{\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<{\overline {\Lambda }}_{3}-{\frac {1}{6}}\cot {\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi }{64}}{\frac {1}{\sin ^{2}(3\pi /16)}}-{\frac {2}{\pi }}(\gamma -\log \pi )\approx 0.201.}
1063:
3764:
2242:
4017:
1077:
1422:
4185:
1820:
1482:
1492:
4612:
3078:
2476:
376:
4425:
2705:, either strictly increasing or strictly decreasing. Then this linear system has a unique solution. (As is well known, not every linear system has a solution.) Also, the solution can be obtained with only
1702:
5201:
4279:
755:
The
Chebyshev nodes are a common choice for the initial approximation because of their role in the theory of polynomial interpolation. For the initialization of the optimization problem for function
3563:
776:
5587:
5607:
Using the relative error to measure the difference between the approximation and the function, especially if the approximation will be used to compute the function on a computer which uses
4743:
943:
231:
2332:
5356:
2594:
491:
5509:
5462:
3575:
5304:
4836:
3291:
2699:
5097:
2151:
5409:
4478:
638:
5028:
4988:
4925:
3443:
3394:
2529:
429:
1878:
3831:
3811:
2641:
3479:
3194:
3155:
2927:
2891:
2818:
2775:
2739:
2144:
1731:
5238:
3351:
3231:
3119:
1849:
667:
5055:
4952:
4889:
4859:
4643:
3318:
694:
554:
527:
4772:
2847:
1300:{\displaystyle \lambda _{n}(T;x)=\sum _{j=1}^{n+1}\left|l_{j}(x)\right|,\quad l_{j}(x)=\prod _{\stackrel {i=1}{i\neq j}}^{n+1}{\frac {(x-t_{i})}{(t_{j}-t_{i})}}.}
160:
734:
714:
577:
134:
114:
1331:
4036:
6077:
1742:
1623:{\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}(T)={\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\log {\frac {8}{\pi }}\right)+\alpha _{n+1}}
1427:
5976:
4483:
2934:
2344:
244:
4294:
4431:
5723:"A Survey of Methods of Computing Minimax and Near-Minimax Polynomial Approximations for Functions of a Single Independent Variable"
31:
in 1934, is an iterative algorithm used to find simple approximations to functions, specifically, approximations by functions in a
5511:
as lower and upper bound for the best possible approximation error, one has a reliable stopping criterion: repeat the steps until
1649:
5117:
4197:
5795:
5604:
Replacing all of the sample points with in a single iteration with the locations of all, alternating sign, maximum differences.
741:
5701:"Sur un procédé convergent d'approximations successives pour déterminer les polynÎmes d'approximation, Compt. Rend. Acad. Sc.
1640:
897:{\displaystyle \lVert f-L_{n}(f)\rVert _{\infty }\leq (1+\lVert L_{n}\rVert _{\infty })\inf _{p\in P_{n}}\lVert f-p\rVert }
233:
in the approximation interval, usually the extrema of
Chebyshev polynomial linearly mapped to the interval. The steps are:
6127:
3487:
1486:
For
Chebyshev nodes, which provides a suboptimal, but analytically explicit choice, the asymptotic behavior is known as
6132:
5514:
5762:
Kilgore, T. A. (1978). "A characterization of the
Lagrange interpolating projection with minimal Tchebycheff norm".
1058:{\displaystyle \lVert L_{n}\rVert _{\infty }={\overline {\Lambda }}_{n}(T)=\max _{-1\leq x\leq 1}\lambda _{n}(T;x),}
80:. The polynomial of best approximation within a given subspace is defined to be the one that minimizes the maximum
4670:
5824:
Luttmann, F. W.; Rivlin, T. J. (1965). "Some numerical experiments in the theory of polynomial interpolation".
28:
6081:
5695:
E. Ya. Remez, "Sur la détermination des polynÎmes d'approximation de degré donnée", Comm. Soc. Math. Kharkov
165:
5955:
Egidi, Nadaniela; Fatone, Lorella; Misici, Luciano (2020), Sergeyev, Yaroslav D.; Kvasov, Dmitri E. (eds.),
2269:
85:
5791:"Proof of the conjectures of Bernstein and Erdös concerning the optimal nodes for polynomial interpolation"
5309:
3759:{\displaystyle p(x_{i})=p_{1}(x_{i})-p_{2}(x_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{i})-(-1)^{i}E,\ \ \ \ i=0,\ldots ,n.}
5675:
2537:
73:
2237:{\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<0.0196.}
437:
5467:
5420:
57:
5629:
5251:
4783:
3236:
2646:
5060:
6122:
5916:
5881:
5669:
5368:
4445:
582:
4997:
4957:
4894:
3399:
5654:
5643:
84:
between the polynomial and the function. In this case, the form of the solution is precised by the
81:
69:
6034:
5707:"Sur le calcul effectiv des polynĂŽmes d'approximation des Tschebyscheff", Compt. Rend. Acade. Sc.
4012:{\displaystyle p(x_{n+1})\ =\ p_{1}(x_{n+1})-p_{2}(x_{n+1})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{n+1})-(-1)^{n+1}E}
3356:
2481:
381:
5982:
5744:
5635:
3083:
To this end, use each time Newton's interpolation formula with the divided differences of order
1854:
5601:
Replacing more than one sample point with the locations of nearby maximum absolute differences.
3772:
2607:
2252:
This section provides more information on the steps outlined above. In this section, the index
6056:
6020:
5972:
3448:
3163:
3124:
2896:
2860:
2787:
2744:
2708:
2123:
1707:
908:
6007:
Temes, G.C.; Barcilon, V.; Marshall, F.C. (1973). "The optimization of bandlimited systems".
5206:
3323:
3203:
3086:
1828:
6046:
6016:
5964:
5924:
5889:
5833:
5804:
5771:
5734:
646:
5033:
4930:
4867:
4841:
4621:
3296:
672:
532:
505:
4748:
2823:
32:
139:
6087:
5920:
5885:
4657:
is a lower bound for the minimum error which can be achieved with polynomials of degree
5956:
5648:
5608:
719:
699:
562:
119:
99:
6051:
1417:{\displaystyle {\underline {\Lambda }}_{n}(T)=\min _{-1\leq x\leq 1}\lambda _{n}(T;x)}
1310:
Theodore A. Kilgore, Carl de Boor, and Allan Pinkus proved that there exists a unique
747:
A review of technicalities in implementing the Remez algorithm is given by W. Fraser.
6116:
5986:
5809:
5790:
5775:
5660:
5617:
The Fraser-Hart variant, used to determine the best rational
Chebyshev approximation.
6098:
4180:{\displaystyle E\ :=\ {\frac {p_{1}(x_{n+1})-f(x_{n+1})}{p_{2}(x_{n+1})+(-1)^{n}}}.}
6094:
5748:
65:
36:
5597:
Some modifications of the algorithm are present on the literature. These include:
5589:
is sufficiently small or no longer decreases. These bounds indicate the progress.
5968:
5657: â 'Best' approximation of a function by a rational function of given order
6035:"Convergence of the Fraser-Hart algorithm for rational Chebyshev approximation"
1071:
being the zeros of the
Chebyshev polynomials, and the Lebesgue functions being
5625:
5358:
as the new lower bound for the best error possible with polynomials of degree
1815:{\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}(T)\leq {\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+1}
6060:
5872:
Brutman, L. (1978). "On the
Lebesgue Function for Polynomial Interpolation".
1477:{\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}-{\underline {\Lambda }}_{n}\geq 0.}
6103:
5963:, vol. 11973, Cham: Springer International Publishing, pp. 56â69,
5672: â Theory of getting acceptably close inexact mathematical calculations
5739:
5722:
2741:
arithmetic operations while a standard solver from the library would take
5852:
Proceedings of the Int. Conf. on
Functional Analysis and Its Application
5837:
5411:
comes in handy as an obvious upper bound for that best possible error.
4607:{\displaystyle p(x)-{\tilde {p}}(x)=(p(x)-f(x))-({\tilde {p}}(x)-f(x))}
1328:, although not known explicitly for (ordinary) polynomials. Similarly,
3073:{\displaystyle p_{1}(x_{i})=f(x_{i}),p_{2}(x_{i})=(-1)^{i},i=0,...,n.}
2471:{\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}
371:{\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}
5850:
T. Rivlin, "The
Lebesgue constants for polynomial interpolation", in
4420:{\displaystyle p(x_{i})-f(x_{i})\ =\ -(-1)^{i}E,\ \ i=0,...,n\!+\!1.}
4190:
As mentioned above, the two terms in the denominator have same sign:
5928:
5893:
5678: â Approximating an arbitrary function with a well-behaved one
770:), it can be shown that this initial approximation is bounded by
740:
The result is called the polynomial of best approximation or the
6084:
Math Tools documentation, with link to an implementation in C++
5957:"A New Remez-Type Algorithm for Best Polynomial Approximation"
1424:, and the optimality of a choice of nodes can be expressed as
6097:; Bond, Charles; Mendelsohn, Phil & Weisstein, Eric W.
1697:{\displaystyle 0<\alpha _{n}<{\frac {\pi }{72n^{2}}}}
5196:{\displaystyle z_{i}:=p({\bar {x}}_{i})-f({\bar {x}}_{i})}
4288:+2 ordered nodes is positive and negative in turn because
4274:{\displaystyle p(x)\equiv b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{n}x^{n}}
56:
A typical example of a
Chebyshev space is the subspace of
5907:
GĂŒnttner, R. (1980). "Evaluation of Lebesgue Constants".
4434:
states that under this condition no polynomial of degree
696:
is the minimax approximation polynomial. If not, replace
4649:+1 zeros which is impossible for a polynomial of degree
5665:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
1880:
being the zeros of the expanded Chebyshev polynomials:
4019:
and needs special reasoning: solved for the variable
2120:
RĂŒdiger GĂŒnttner obtained from a sharper estimate for
5517:
5470:
5423:
5371:
5312:
5254:
5209:
5120:
5063:
5036:
5000:
4960:
4933:
4897:
4870:
4844:
4786:
4751:
4673:
4624:
4486:
4448:
4297:
4200:
4039:
3834:
3775:
3578:
3490:
3451:
3402:
3359:
3326:
3299:
3239:
3206:
3166:
3127:
3089:
2937:
2899:
2863:
2826:
2790:
2747:
2711:
2649:
2610:
2540:
2484:
2347:
2272:
2154:
2126:
1889:
1857:
1831:
1745:
1710:
1652:
1495:
1430:
1334:
1080:
946:
779:
722:
702:
675:
649:
585:
565:
535:
508:
440:
384:
247:
168:
142:
122:
102:
5103:.) No high precision is required here, the standard
669:are of equal magnitude and alternate in sign, then
5581:
5503:
5456:
5403:
5350:
5298:
5232:
5195:
5091:
5049:
5022:
4982:
4946:
4919:
4883:
4853:
4830:
4766:
4737:
4637:
4606:
4472:
4419:
4273:
4179:
4011:
3805:
3758:
3558:{\displaystyle p(x):=p_{1}(x)-p_{2}(x)\!\cdot \!E}
3557:
3473:
3437:
3388:
3345:
3312:
3285:
3225:
3188:
3149:
3113:
3072:
2921:
2885:
2841:
2812:
2769:
2733:
2693:
2635:
2588:
2523:
2470:
2326:
2236:
2138:
2109:
1872:
1843:
1814:
1725:
1696:
1622:
1476:
1416:
1299:
1057:
896:
728:
708:
688:
661:
632:
571:
548:
521:
485:
423:
370:
225:
154:
128:
108:
4413:
4409:
3940:
3936:
3660:
3656:
3551:
3547:
5943:Introduction to Linear and Nonlinear Programming
5550:
5518:
5471:
5424:
5372:
5313:
4442:. Indeed, if such a polynomial existed, call it
1365:
1003:
857:
5582:{\displaystyle \max\{|z_{i}|\}-\min\{|z_{i}|\}}
4954:is replaced with the local minimizer. (Expect
2643:in this equation makes sense only if the nodes
6078:Minimax Approximations and the Remez Algorithm
5961:Numerical Computations: Theory and Algorithms
96:The Remez algorithm starts with the function
8:
5576:
5553:
5544:
5521:
5498:
5475:
5451:
5428:
5398:
5375:
5339:
5316:
961:
947:
891:
879:
844:
830:
809:
780:
4738:{\displaystyle b_{0}+b_{1}x+...+b_{n}x^{n}}
3769:This is the same as the equation above for
6050:
5945:, Addison-Wesley Publishing Company 1973.
5858:(Springer-Verlag, Berlin, 1974), p. 422;
5808:
5738:
5651: â Power series with negative powers
5571:
5565:
5556:
5539:
5533:
5524:
5516:
5493:
5487:
5478:
5474:
5469:
5446:
5440:
5431:
5427:
5422:
5393:
5387:
5378:
5370:
5334:
5328:
5319:
5311:
5284:
5259:
5253:
5225:
5219:
5210:
5208:
5184:
5173:
5172:
5153:
5142:
5141:
5125:
5119:
5077:
5066:
5065:
5062:
5041:
5035:
5014:
5003:
5002:
4999:
4974:
4963:
4962:
4959:
4938:
4932:
4911:
4900:
4899:
4896:
4875:
4869:
4843:
4816:
4791:
4785:
4750:
4729:
4719:
4691:
4678:
4672:
4629:
4623:
4566:
4565:
4503:
4502:
4485:
4450:
4449:
4447:
4364:
4330:
4308:
4296:
4265:
4255:
4233:
4220:
4199:
4165:
4134:
4121:
4100:
4072:
4059:
4052:
4038:
3994:
3963:
3921:
3908:
3886:
3873:
3845:
3833:
3774:
3708:
3683:
3647:
3634:
3618:
3605:
3589:
3577:
3532:
3510:
3489:
3465:
3450:
3420:
3407:
3401:
3377:
3364:
3358:
3331:
3325:
3304:
3298:
3244:
3238:
3211:
3205:
3171:
3165:
3138:
3126:
3088:
3031:
3006:
2993:
2977:
2955:
2942:
2936:
2913:
2898:
2868:
2862:
2825:
2795:
2789:
2758:
2746:
2722:
2710:
2679:
2654:
2648:
2624:
2609:
2580:
2558:
2545:
2539:
2483:
2459:
2437:
2415:
2410:
2400:
2375:
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2352:
2346:
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2290:
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2271:
2214:
2213:
2204:
2194:
2176:
2175:
2166:
2156:
2153:
2125:
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2053:
2035:
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2015:
2002:
1986:
1977:
1967:
1949:
1948:
1939:
1929:
1911:
1910:
1901:
1891:
1888:
1859:
1858:
1856:
1830:
1775:
1757:
1747:
1744:
1709:
1685:
1672:
1663:
1651:
1608:
1586:
1559:
1525:
1507:
1497:
1494:
1462:
1452:
1442:
1432:
1429:
1393:
1368:
1346:
1336:
1333:
1282:
1269:
1251:
1235:
1223:
1209:
1198:
1196:
1195:
1173:
1145:
1124:
1113:
1085:
1079:
1031:
1006:
984:
974:
964:
954:
945:
871:
860:
847:
837:
812:
793:
778:
721:
701:
680:
674:
648:
625:
595:
586:
584:
564:
540:
534:
513:
507:
477:
458:
445:
439:
383:
359:
337:
315:
310:
300:
275:
265:
252:
246:
211:
186:
173:
167:
141:
121:
101:
6003:
6001:
4614:would still be positive/negative at the
5688:
5663: â Discrete analog of a derivative
5614:Including zero-error point constraints.
2777:operations. Here is the simple proof:
911:of the Lagrange interpolation operator
226:{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n+2}}
2327:{\displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n+1}}
45:sense. It is sometimes referred to as
5862:(Wiley-Interscience, New York, 1974).
5351:{\displaystyle \min\{|z_{i}|\}\geq E}
4891:is replaced with the local maximizer
3293:, and thus no further zeroes between
529:as coefficients to form a polynomial
7:
2589:{\displaystyle b_{0},b_{1},...b_{n}}
237:Solve the linear system of equations
4864:In each P-region, the current node
1825:Lev Brutman obtained the bound for
486:{\displaystyle b_{0},b_{1}...b_{n}}
5504:{\displaystyle \max \,\{|z_{i}|\}}
5457:{\displaystyle \min \,\{|z_{i}|\}}
2196:
2158:
1969:
1931:
1893:
1749:
1499:
1454:
1434:
1338:
976:
965:
848:
813:
16:Algorithm to approximate functions
14:
6052:10.1090/S0025-5718-1975-0388732-9
5299:{\displaystyle z_{0},...,z_{n+1}}
4831:{\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}
3286:{\displaystyle x_{i},\ i=1,...,n}
2694:{\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}
579:of points of local maximum error
5789:de Boor, C.; Pinkus, A. (1978).
5628:
5092:{\displaystyle {\bar {x}}_{n+1}}
5796:Journal of Approximation Theory
5404:{\displaystyle \max\{|z_{i}|\}}
4473:{\displaystyle {\tilde {p}}(x)}
3565:is also a polynomial of degree
2853:+1 nodes and also the standard
1168:
742:minimax approximation algorithm
633:{\displaystyle |P_{n}(x)-f(x)|}
5572:
5557:
5540:
5525:
5494:
5479:
5447:
5432:
5394:
5379:
5335:
5320:
5226:
5211:
5190:
5178:
5168:
5159:
5147:
5137:
5071:
5023:{\displaystyle {\bar {x}}_{i}}
5008:
4983:{\displaystyle {\bar {x}}_{0}}
4968:
4920:{\displaystyle {\bar {x}}_{i}}
4905:
4780:improves upon the input nodes
4761:
4755:
4601:
4598:
4592:
4583:
4577:
4571:
4562:
4556:
4553:
4547:
4538:
4532:
4526:
4520:
4514:
4508:
4496:
4490:
4467:
4461:
4455:
4361:
4351:
4336:
4323:
4314:
4301:
4210:
4204:
4162:
4152:
4146:
4127:
4112:
4093:
4084:
4065:
3991:
3981:
3975:
3956:
3933:
3914:
3898:
3879:
3857:
3838:
3705:
3695:
3689:
3676:
3653:
3640:
3624:
3611:
3595:
3582:
3544:
3538:
3522:
3516:
3500:
3494:
3462:
3452:
3438:{\displaystyle p_{2}(x_{n+1})}
3432:
3413:
3383:
3370:
3183:
3177:
3144:
3131:
3028:
3018:
3012:
2999:
2983:
2970:
2961:
2948:
2910:
2900:
2880:
2874:
2836:
2830:
2807:
2801:
2764:
2751:
2728:
2715:
2621:
2611:
2465:
2452:
2434:
2424:
2225:
2219:
2210:
2187:
2181:
2172:
2098:
2080:
2061:
2044:
1960:
1954:
1945:
1922:
1916:
1907:
1864:
1803:
1791:
1769:
1763:
1553:
1541:
1519:
1513:
1411:
1399:
1358:
1352:
1288:
1262:
1257:
1238:
1185:
1179:
1157:
1151:
1103:
1091:
1049:
1037:
996:
990:
853:
821:
805:
799:
626:
622:
616:
607:
601:
587:
365:
352:
334:
324:
1:
2334:, solve the linear system of
116:to be approximated and a set
6080:, background chapter in the
5810:10.1016/0021-9045(78)90014-X
5776:10.1016/0021-9045(78)90013-8
5248:and its proof also apply to
5240:is greater than or equal to
4645:and therefore have at least
4438:exists with error less than
3389:{\displaystyle p_{2}(x_{n})}
2524:{\displaystyle i=0,1,...n+1}
2161:
1972:
1896:
1752:
1502:
1437:
979:
759:by the Lagrange interpolant
424:{\displaystyle i=1,2,...n+2}
6033:Dunham, Charles B. (1975).
5969:10.1007/978-3-030-39081-5_7
736:and repeat the steps above.
6149:
6039:Mathematics of Computation
5854:, edited by H. G. Garnier
4667:changes the notation from
1873:{\displaystyle {\hat {T}}}
6019::10.1109/PROC.1973.9004.
5860:The Chebyshev polynomials
4281:are always well-defined.
3806:{\displaystyle i=0,...,n}
2636:{\displaystyle (-1)^{i}E}
1641:EulerâMascheroni constant
35:that are the best in the
3817:. The same equation for
3474:{\displaystyle (-1)^{n}}
3189:{\displaystyle p_{2}(x)}
3150:{\displaystyle O(n^{2})}
2922:{\displaystyle (-1)^{i}}
2886:{\displaystyle p_{2}(x)}
2813:{\displaystyle p_{1}(x)}
2770:{\displaystyle O(n^{3})}
2734:{\displaystyle O(n^{2})}
2604:It should be clear that
2139:{\displaystyle n\geq 40}
1726:{\displaystyle n\geq 1,}
751:Choice of initialization
29:Evgeny Yakovlevich Remez
25:Remez exchange algorithm
6009:Proceedings of the IEEE
5233:{\displaystyle |z_{i}|}
5111:should suffice. (See )
4284:The error at the given
3484:The linear combination
3346:{\displaystyle x_{n+1}}
3226:{\displaystyle x_{i-1}}
3157:arithmetic operations.
3114:{\displaystyle 0,...,n}
2857:-th degree interpolant
2784:-th degree interpolant
1844:{\displaystyle n\geq 3}
643:If the errors at every
86:equioscillation theorem
5676:Function approximation
5583:
5505:
5458:
5405:
5352:
5300:
5234:
5197:
5093:
5051:
5024:
4984:
4948:
4921:
4885:
4855:
4832:
4768:
4739:
4639:
4608:
4480:, then the difference
4474:
4421:
4275:
4181:
4013:
3813:and for any choice of
3807:
3760:
3559:
3475:
3439:
3390:
3347:
3314:
3287:
3227:
3190:
3151:
3115:
3074:
2923:
2887:
2843:
2814:
2771:
2735:
2695:
2637:
2590:
2525:
2472:
2328:
2238:
2140:
2111:
1874:
1845:
1816:
1727:
1698:
1624:
1478:
1418:
1301:
1234:
1135:
1059:
898:
730:
710:
690:
663:
662:{\displaystyle m\in M}
634:
573:
550:
523:
487:
425:
372:
227:
156:
130:
110:
5941:David G. Luenberger:
5740:10.1145/321281.321282
5584:
5506:
5459:
5406:
5353:
5301:
5235:
5198:
5094:
5052:
5050:{\displaystyle x_{i}}
5025:
4985:
4949:
4947:{\displaystyle x_{i}}
4927:and in each N-region
4922:
4886:
4884:{\displaystyle x_{i}}
4856:
4854:{\displaystyle \pm E}
4833:
4769:
4740:
4640:
4638:{\displaystyle x_{i}}
4609:
4475:
4422:
4276:
4182:
4014:
3808:
3761:
3560:
3476:
3440:
3391:
3348:
3315:
3313:{\displaystyle x_{n}}
3288:
3228:
3191:
3152:
3116:
3075:
2924:
2888:
2844:
2815:
2780:Compute the standard
2772:
2736:
2696:
2638:
2591:
2526:
2473:
2329:
2239:
2141:
2112:
1875:
1846:
1817:
1728:
1699:
1625:
1479:
1419:
1302:
1191:
1109:
1060:
899:
731:
711:
691:
689:{\displaystyle P_{n}}
664:
635:
574:
551:
549:{\displaystyle P_{n}}
524:
522:{\displaystyle b_{i}}
488:
426:
373:
228:
157:
131:
111:
58:Chebyshev polynomials
6128:Approximation theory
5670:Approximation theory
5515:
5468:
5421:
5369:
5310:
5252:
5246:de La Vallée Poussin
5207:
5118:
5061:
5034:
4998:
4958:
4931:
4895:
4868:
4842:
4784:
4767:{\displaystyle p(x)}
4749:
4671:
4622:
4484:
4446:
4432:de La Vallée Poussin
4295:
4198:
4037:
3832:
3773:
3576:
3488:
3449:
3400:
3357:
3324:
3297:
3237:
3204:
3164:
3125:
3087:
2935:
2897:
2861:
2842:{\displaystyle f(x)}
2824:
2788:
2745:
2709:
2647:
2608:
2538:
2482:
2345:
2270:
2152:
2124:
1887:
1855:
1829:
1743:
1708:
1650:
1493:
1428:
1332:
1078:
944:
777:
720:
700:
673:
647:
583:
563:
533:
506:
438:
382:
245:
166:
140:
120:
100:
70:continuous functions
5921:1980SJNA...17..512G
5909:SIAM J. Numer. Anal
5886:1978SJNA...15..694B
5874:SIAM J. Numer. Anal
5721:Fraser, W. (1965).
3445:have the same sign
2420:
2248:Detailed discussion
320:
155:{\displaystyle n+2}
82:absolute difference
6133:Numerical analysis
6045:(132): 1078â1082.
5838:10.1147/rd.93.0187
5636:Mathematics portal
5579:
5501:
5454:
5401:
5348:
5296:
5230:
5193:
5089:
5047:
5020:
4980:
4944:
4917:
4881:
4851:
4828:
4764:
4735:
4635:
4604:
4470:
4417:
4271:
4177:
4009:
3803:
3756:
3555:
3471:
3435:
3386:
3343:
3310:
3283:
3223:
3186:
3147:
3111:
3070:
2919:
2883:
2839:
2810:
2767:
2731:
2691:
2633:
2586:
2521:
2468:
2406:
2324:
2234:
2202:
2136:
2107:
1937:
1870:
1841:
1812:
1723:
1694:
1620:
1474:
1460:
1414:
1388:
1344:
1297:
1055:
1026:
894:
878:
726:
706:
686:
659:
630:
569:
546:
519:
483:
421:
368:
306:
223:
152:
126:
106:
6099:"Remez Algorithm"
5978:978-3-030-39080-8
5764:J. Approx. Theory
5244:. The Theorem of
5203:. Each amplitude
5181:
5150:
5107:with a couple of
5074:
5011:
4971:
4908:
4838:and their errors
4574:
4511:
4458:
4381:
4378:
4347:
4341:
4172:
4051:
4045:
3952:
3946:
3868:
3862:
3731:
3728:
3725:
3722:
3672:
3666:
3255:
3200:-th zero between
2893:to the ordinates
2534:for the unknowns
2222:
2195:
2184:
2164:
2078:
2065:
2023:
2010:
1994:
1975:
1957:
1930:
1919:
1899:
1867:
1783:
1755:
1692:
1594:
1567:
1533:
1505:
1453:
1440:
1364:
1337:
1292:
1220:
1002:
982:
909:Lebesgue constant
907:with the norm or
856:
729:{\displaystyle M}
709:{\displaystyle X}
572:{\displaystyle M}
434:for the unknowns
129:{\displaystyle X}
109:{\displaystyle f}
6140:
6109:
6108:
6095:Aarts, Ronald M.
6065:
6064:
6054:
6030:
6024:
6023: 0018-9219.
6005:
5996:
5995:
5994:
5993:
5952:
5946:
5939:
5933:
5932:
5904:
5898:
5897:
5869:
5863:
5848:
5842:
5841:
5821:
5815:
5814:
5812:
5786:
5780:
5779:
5759:
5753:
5752:
5742:
5718:
5712:
5693:
5666:
5655:Padé approximant
5644:Hadamard's lemma
5638:
5633:
5632:
5588:
5586:
5585:
5580:
5575:
5570:
5569:
5560:
5543:
5538:
5537:
5528:
5510:
5508:
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