1153:
2020:
3346:
889:
1758:
1148:{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi }\mathrm {d} x=-\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}
2015:{\displaystyle \limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(\xi )|\leq \limsup _{\xi \to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|+\limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon .}
467:
1333:
2525:
However, the
Riemann–Lebesgue lemma does not hold for arbitrary distributions. For example, the Dirac delta function distribution formally has a finite integral over the real line, but its Fourier transform is a constant and does not vanish at
340:
280:
2301:
1430:
1203:
172:
881:
1750:
129:
2103:
756:
711:
666:
553:
2381:
2199:
1562:
2139:
2049:
1678:
1598:
1514:
1486:
589:
2498:
1195:
2449:
2341:
3009:
3026:
2802:
840:
621:
499:
462:{\displaystyle {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\ \xi \mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\cdot \xi }\mathrm {d} x.}
312:
1652:
790:
3306:
668:
denotes the vector space of continuous functions vanishing at infinity, the
Riemann–Lebesgue lemma may be formulated as follows: The Fourier transformation maps
2518:
2469:
2410:
2219:
1698:
1625:
1450:
1357:
810:
332:
184:
3161:
3126:
3166:
2826:
2230:
3392:
1362:
1328:{\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x}
2958:
2609:
3281:
3021:
3271:
3256:
3176:
2884:
134:
3316:
2535:
The
Riemann–Lebesgue lemma can be used to prove the validity of asymptotic approximations for integrals. Rigorous treatments of the
3331:
2940:
3326:
3321:
3296:
2920:
2900:
3151:
3119:
3016:
2737:
845:
3387:
2950:
2854:
1601:
3146:
3372:
3261:
3286:
3004:
3382:
2874:
1703:
3311:
3377:
2910:
2767:
2540:
2536:
2973:
2520:
by zero outside the interval, and then applying the version of the
Riemann–Lebesgue lemma on the entire real line.
83:
3397:
3350:
3112:
2905:
3301:
2978:
2925:
3191:
3156:
2999:
2915:
2054:
716:
671:
626:
504:
3211:
2602:
2346:
2156:
3226:
2930:
2859:
2752:
2732:
3251:
2757:
2649:
2557:
1519:
2108:
2028:
1657:
1567:
1491:
1455:
558:
2474:
1162:
2935:
2821:
2706:
2418:
2310:
3276:
3186:
3171:
3091:
2879:
2762:
2701:
2670:
2413:
813:
175:
69:
3196:
3061:
2963:
2869:
2816:
2780:
2742:
2675:
2595:
61:
819:
597:
475:
288:
3266:
3206:
2849:
2570:
65:
51:
47:
594:
Because the
Fourier transform of an integrable function is continuous, the Fourier transform
3201:
3181:
3135:
3051:
2990:
2811:
2711:
2666:
2654:
39:
2573:
1630:
3246:
3221:
2553:
769:
3236:
3231:
2864:
2680:
2503:
2454:
2395:
2389:
2204:
1683:
1610:
1435:
1342:
795:
317:
43:
17:
3366:
3076:
3071:
3056:
3046:
2747:
2661:
2636:
275:{\displaystyle \|f\|_{L^{1}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} x<\infty ,}
3216:
2833:
2632:
3241:
31:
3086:
2777:
3081:
3066:
2578:
2296:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-tz}\mathrm {d} t\to 0}
2201:, then the Riemann–Lebesgue lemma also holds for the Laplace transform of
2721:
2690:
2641:
2618:
1197:. Taking the mean of both formulas, we arrive at the following estimate:
55:
1425:{\displaystyle \left|f(x)-f\left(x+{\tfrac {\pi }{\xi }}\right)\right|}
3104:
2149:
The
Riemann–Lebesgue lemma holds in a variety of other situations.
1627:
is an arbitrary integrable function, it may be approximated in the
792:, the proof in higher dimensions is similar. First, suppose that
167:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }
3108:
2591:
2587:
2543:, amongst others, are based on the Riemann–Lebesgue lemma.
2412:
is an integrable function on a bounded interval, then the
1654:
norm by a compactly supported continuous function. For
1401:
876:{\displaystyle \textstyle x\to x+{\frac {\pi }{\xi }}}
849:
2783:
2506:
2477:
2457:
2421:
2398:
2349:
2313:
2233:
2207:
2159:
2111:
2057:
2031:
1761:
1706:
1686:
1660:
1633:
1613:
1570:
1522:
1494:
1458:
1438:
1365:
1345:
1206:
1165:
892:
848:
822:
798:
772:
719:
674:
629:
600:
561:
507:
478:
343:
320:
291:
187:
137:
86:
3039:
2987:
2949:
2893:
2842:
2776:
2720:
2689:
2625:
623:is a continuous function vanishing at infinity. If
2796:
2512:
2492:
2463:
2443:
2404:
2375:
2335:
2295:
2213:
2193:
2133:
2097:
2043:
2014:
1744:
1692:
1672:
1646:
1619:
1592:
1556:
1508:
1480:
1444:
1424:
1351:
1327:
1189:
1147:
875:
834:
804:
784:
750:
705:
660:
615:
583:
547:
493:
461:
326:
306:
274:
166:
123:
1680:, pick a compactly supported continuous function
1916:
1816:
1763:
1745:{\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}\leq \varepsilon }
3120:
2603:
8:
3162:Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
1720:
1707:
195:
188:
124:{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
3127:
3113:
3105:
3027:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
2984:
2610:
2596:
2588:
766:We will focus on the one-dimensional case
3307:Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
2788:
2782:
2505:
2476:
2456:
2435:
2424:
2423:
2420:
2397:
2350:
2348:
2322:
2314:
2312:
2279:
2267:
2262:
2243:
2238:
2232:
2206:
2170:
2158:
2120:
2112:
2110:
2084:
2064:
2063:
2058:
2056:
2030:
1978:
1977:
1964:
1960:
1955:
1919:
1899:
1898:
1885:
1881:
1876:
1819:
1807:
1787:
1786:
1781:
1766:
1760:
1728:
1723:
1705:
1685:
1659:
1638:
1632:
1612:
1579:
1571:
1569:
1549:
1529:
1528:
1523:
1521:
1502:
1501:
1493:
1467:
1459:
1457:
1437:
1400:
1364:
1344:
1317:
1297:
1257:
1256:
1255:
1241:
1233:
1213:
1212:
1207:
1205:
1167:
1166:
1164:
1137:
1124:
1120:
1115:
1099:
1079:
1078:
1077:
1059:
1049:
1045:
1040:
1026:
1022:
1017:
1001:
981:
980:
979:
964:
951:
947:
942:
923:
922:
921:
894:
893:
891:
862:
847:
821:
797:
771:
739:
735:
734:
724:
718:
694:
690:
689:
679:
673:
649:
645:
644:
634:
628:
602:
601:
599:
570:
562:
560:
534:
514:
513:
508:
506:
480:
479:
477:
448:
432:
428:
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402:
398:
397:
395:
375:
374:
365:
361:
360:
345:
344:
342:
319:
293:
292:
290:
255:
250:
233:
225:
221:
220:
218:
203:
198:
186:
160:
159:
150:
146:
145:
136:
112:
108:
107:
97:
85:
2098:{\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}
751:{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}
706:{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
661:{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}
548:{\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}
2376:{\displaystyle \mathrm {Re} (z)\geq 0}
2194:{\displaystyle f\in L^{1}[0,\infty )}
7:
3040:Applications & related
2959:Marcinkiewicz interpolation theorem
3272:Riemannian connection on a surface
3177:Measurable Riemann mapping theorem
2885:Symmetric decreasing rearrangement
2789:
2487:
2354:
2351:
2330:
2280:
2263:
2244:
2185:
2128:
1979:
1965:
1956:
1929:
1900:
1886:
1877:
1829:
1776:
1587:
1557:{\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|}
1475:
1318:
1138:
1125:
1116:
1060:
1050:
1041:
1027:
1018:
965:
952:
943:
578:
449:
433:
424:
266:
256:
25:
2134:{\displaystyle |\xi |\to \infty }
2044:{\displaystyle \varepsilon >0}
1673:{\displaystyle \varepsilon >0}
1593:{\displaystyle |\xi |\to \infty }
1509:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
1481:{\displaystyle |\xi |\to \infty }
584:{\displaystyle |\xi |\to \infty }
3345:
3344:
2493:{\displaystyle k\to \pm \infty }
1190:{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
1159:This gives a second formula for
131:be an integrable function, i.e.
3257:Riemann's differential equation
3167:Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
3282:Riemann–Hilbert correspondence
3152:Generalized Riemann hypothesis
2481:
2444:{\displaystyle {\hat {f}}_{k}}
2429:
2364:
2358:
2336:{\displaystyle |z|\to \infty }
2327:
2323:
2315:
2287:
2258:
2252:
2188:
2176:
2125:
2121:
2113:
2089:
2085:
2081:
2075:
2069:
2059:
1951:
1945:
1923:
1872:
1869:
1863:
1854:
1848:
1842:
1823:
1808:
1804:
1798:
1792:
1782:
1770:
1584:
1580:
1572:
1550:
1546:
1540:
1534:
1524:
1472:
1468:
1460:
1380:
1374:
1277:
1271:
1234:
1230:
1224:
1218:
1208:
1184:
1178:
1172:
938:
932:
911:
905:
899:
853:
745:
730:
700:
685:
655:
640:
607:
575:
571:
563:
539:
535:
531:
525:
519:
509:
485:
419:
413:
388:
371:
350:
298:
251:
247:
241:
234:
156:
118:
103:
1:
3393:Theorems in harmonic analysis
3317:Riemann–Siegel theta function
2855:Convergence almost everywhere
2564:. Princeton University Press.
1602:dominated convergence theorem
3332:Riemann–von Mangoldt formula
2500:. This follows by extending
314:be the Fourier transform of
27:Theorem in harmonic analysis
3022:Prékopa–Leindler inequality
2875:Locally integrable function
2797:{\displaystyle L^{\infty }}
2025:Because this holds for any
3414:
3327:Riemann–Stieltjes integral
3322:Riemann–Silberstein vector
3297:Riemann–Liouville integral
2768:Square-integrable function
2541:method of stationary phase
2537:method of steepest descent
835:{\displaystyle \xi \neq 0}
616:{\displaystyle {\hat {f}}}
494:{\displaystyle {\hat {f}}}
307:{\displaystyle {\hat {f}}}
3340:
3262:Riemann's minimal surface
3142:
3017:Minkowski–Steiner formula
64:. It is of importance in
3287:Riemann–Hilbert problems
3192:Riemann curvature tensor
3157:Grand Riemann hypothesis
3147:Cauchy–Riemann equations
3000:Isoperimetric inequality
2574:"Riemann–Lebesgue Lemma"
3212:Riemann mapping theorem
3005:Brunn–Minkowski theorem
3312:Riemann–Siegel formula
3292:Riemann–Lebesgue lemma
3227:Riemann series theorem
2860:Convergence in measure
2798:
2514:
2494:
2465:
2445:
2406:
2377:
2343:within the half-plane
2337:
2297:
2215:
2195:
2135:
2099:
2045:
2016:
1746:
1694:
1674:
1648:
1621:
1594:
1558:
1510:
1482:
1446:
1426:
1353:
1329:
1191:
1149:
877:
836:
806:
786:
752:
707:
662:
617:
585:
549:
501:vanishes at infinity:
495:
463:
328:
308:
276:
168:
125:
36:Riemann–Lebesgue lemma
18:Riemann-Lebesgue lemma
3252:Riemann zeta function
2974:Riesz–Fischer theorem
2799:
2758:Polarization identity
2515:
2495:
2466:
2446:
2407:
2378:
2338:
2298:
2216:
2196:
2136:
2100:
2046:
2017:
1747:
1695:
1675:
1649:
1647:{\displaystyle L^{1}}
1622:
1595:
1559:
1511:
1483:
1447:
1427:
1354:
1330:
1192:
1150:
878:
837:
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