25:
5463:
Sometimes the presence of poles on the imaginary axis creates a situation of marginal stability. In that case the coefficients of the "Routh array" in a whole row become zero and thus further solution of the polynomial for finding changes in sign is not possible. Then another approach comes into
5775:. The coefficients of the row containing zero now become "8" and "24". The process of Routh array is proceeded using these values which yield two points on the imaginary axis. These two points on the imaginary axis are the prime cause of marginal stability.
173:, and showed that the polynomial is stable if and only if the sequence of determinants of its principal submatrices are all positive. The two procedures are equivalent, with the Routh test providing a more efficient way to compute the Hurwitz determinants (
5108:
4041:
4177:
4853:
1305:
149:. A stable system is one whose output signal is bounded; the position, velocity or energy do not increase to infinity as time goes on. The Routh test is an efficient recursive algorithm that English mathematician
5459:
there are two sign changes. The system is unstable, since it has two right-half-plane poles and two left-half-plane poles. The system cannot have jω poles since a row of zeros did not appear in the Routh table.
2606:
3282:
2870:
5222:
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1935:
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4913:
869:
626:
2925:
In general the Routh stability criterion states a polynomial has all roots in the open left half-plane if and only if all first-column elements of the Routh array have the same sign.
243:. With the advent of computers, the criterion has become less widely used, as an alternative is to solve the polynomial numerically, obtaining approximations to the roots directly.
42:
5773:
3003:
2920:
4908:
for stability, all the elements in the first column of the Routh array must be positive. So the conditions that must be satisfied for stability of the given system as follows:
1039:
2695:
2019:
1981:
1852:
1455:
2404:
198:
3144:
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2164:
1805:
1763:
1588:
235:
have only stable solutions, without solving the system directly. For discrete systems, the corresponding stability test can be handled by the Schur–Cohn criterion, the
2208:
1137:
1101:
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3321:
2953:
3902:
437:
386:
4245:
In the first column, there are two sign changes (0.75 → −3, and −3 → 3), thus there are two non-negative roots where the system is unstable.
4047:
457:
408:
357:
5964:
4707:
89:
61:
3155:
A tabular method can be used to determine the stability when the roots of a higher order characteristic polynomial are difficult to obtain. For an
68:
6063:
1148:
75:
2478:
3165:
2928:
All coefficients being positive (or all negative) is necessary for all roots to be located in the open left half-plane. That is why here
2766:
5117:
3005:
from fourth-order polynomial, and conditions for fifth- and sixth-order can be simplified. For fifth-order we only need to check that
57:
5470:
4254:
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6038:
6010:
108:
1607:
5815:
3110:
2216:
6213:
5899:(English translation “On the conditions under which an equation has only roots with negative real parts” by H. G. Bergmann in
6243:
5924:
5872:
Hurwitz, A. (1895). "Ueber die
Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt".
637:
46:
5790:
4603:
1067:(to avoid a root in zero so that we can use the Routh–Hurwitz theorem). First, we have to calculate the real polynomials
247:
6238:
5914:
5833:
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5464:
play. The row of polynomial which is just above the row containing the zeroes is called the "auxiliary polynomial".
2049:
6248:
5302:
1316:
5971:
5800:
271:
6233:
5103:{\displaystyle b_{1}>0,b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0,(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}>0,b_{4}>0}
1461:
277:
158:
5231:
2700:
2409:
5827:
5714:
which is again equal to zero. The next step is to differentiate the above equation which yields the polynomial
1884:
696:
by a condition on the generalized Sturm chain, which will give in turn a condition on the coefficients of
236:
130:
5649:
795:
552:
169:
independently proposed in 1895 to arrange the coefficients of the polynomial into a square matrix, called the
957:
Rearrange each row in such a way that an odd row and the following one have the same number of leading zeros.
6161:
5821:
35:
961:
5717:
4182:
When completed, the number of sign changes in the first column will be the number of non-negative roots.
3113:. Indeed, some coefficients being positive is not independent with principal minors being positive, like
2958:
2875:
5874:
1591:
546:
251:
984:
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1986:
1948:
228:
1822:
1412:
5890:
2359:
201:
200:) than computing them directly. A polynomial satisfying the Routh–Hurwitz criterion is called a
176:
154:
3116:
2611:
2326:
2136:
1768:
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5810:
2034:
1106:
1070:
921:
885:
759:
723:
669:
512:
476:
150:
134:
4036:{\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.}
3820:
3799:
3778:
3757:
3486:
3452:
3418:
3361:
3327:
1044:
6175:
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5882:
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879:
142:
4870:
4671:
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3845:
3706:
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3571:
3543:
3299:
2931:
6179:
6134:
4172:{\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.}
413:
362:
6188:
6218:
6107:
5856:
1604:
different from zero in the first division. The generalized Sturm chain is in this case
4848:{\displaystyle (b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4} \over b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}}
2872:(When this is derived you do not know all coefficients should be positive, and you add
442:
393:
342:
224:
170:
146:
122:
6227:
5894:
232:
214:
166:
162:
688:
is given below). Using the Routh–Hurwitz theorem, we can replace the condition on
259:
5940:
5858:
A Treatise on the
Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion
24:
5805:
6119:
6160:. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 26. Oxford:
1854:, the sign of the first element of the chain is again the opposite sign of
1311:
Next, we divide those polynomials to obtain the generalized Sturm chain:
967:
If at least one of the minors is negative (or zero), then the polynomial
5886:
1300:{\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).}
2955:
is fixed to 1, which is positive. When this is assumed, we can remove
2041:
Routh–Hurwitz criterion for second, third and fourth-order polynomials
6115:
2601:{\displaystyle P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}
3277:{\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}
2865:{\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}-a_{4}a_{1}^{2}-a_{3}^{2}a_{0}>0}
5217:{\displaystyle (b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}\geq 0}
6090:"Response and Stability, An Introduction to the Physical Theory"
5903:
R. Bellman and R. Kalaba Eds. New York: Dover, 1964 pp. 70–82.)
5573:{\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,}
4362:{\displaystyle b_{0}s^{4}+b_{1}s^{3}+b_{2}s^{2}+b_{3}s+b_{4}=0}
18:
1729:{\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)}
1041:(for the sake of simplicity we take real coefficients) where
5824:(variant for unknown coefficients bounded within intervals)
4248:
The characteristic equation of a servo system is given by:
459:
is supposed to have no roots lying on the imaginary line);
227:). Thus the criterion provides a way to determine if the
2316:{\displaystyle P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}
5901:
716:) be a complex polynomial. The process is as follows:
3293:
5720:
5652:
5473:
5305:
5234:
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4916:
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4674:
4607:
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4380:
4257:
4050:
3905:
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3737:
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3602:
3574:
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3398:
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3302:
3168:
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1989:
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1073:
1047:
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798:
762:
726:
555:
515:
479:
445:
416:
396:
365:
345:
280:
179:
6219:
Online implementation of the Routh-Hurwitz
Criterion
4661:{\displaystyle b_{1}b_{4}-b_{0}\times 0 \over b_{1}}
6214:
A MATLAB script implementing the Routh-Hurwitz test
439:with positive real part (according to the theorem,
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
5767:
5706:
5572:
5371:
5286:
5216:
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3049:
2997:
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2600:
2464:
2398:
2348:
2315:
2202:
2158:
2125:
2033:must have the same sign. We have thus found the
2013:
1975:
1929:
1846:
1799:
1757:
1728:
1582:
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537:
501:
451:
431:
402:
380:
351:
328:
207:The importance of the criterion is that the roots
192:
4592:{\displaystyle b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3} \over b_{1}}
3291: + 1 rows and the following structure:
3102:{\displaystyle \Delta _{3}>0,\Delta _{5}>0}
3050:{\displaystyle \Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0}
3146:check can be removed for third-order polynomial.
6058:. Delhi: Katson Publishers. pp. 206, 207.
274:. From the statement of that theorem, we have
165:have negative real parts. German mathematician
5916:Control Systems: Principles and Design, 2nd Ed
2126:{\displaystyle P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}
262:. Hurwitz derived his conditions differently.
153:proposed in 1876 to determine whether all the
5372:{\displaystyle s^{4}+6s^{3}+11s^{2}+6s+200=0}
1402:{\displaystyle P_{0}(y)=((-a/b)y)P_{1}(y)+c,}
217:with negative real parts represent solutions
8:
5646:In such a case the auxiliary polynomial is
2608:, all coefficients must be positive, where
2323:, all coefficients must be positive, where
2133:, all coefficients must be positive, where
1541:{\displaystyle P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),}
329:{\displaystyle p-q=w(+\infty )-w(-\infty )}
5919:. Tata McGraw-Hill Education. p. 14.
5287:{\displaystyle b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0}
3057:and for sixth-order we only need to check
2756:{\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}
2465:{\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}
16:Mathematical test in control system theory
5759:
5743:
5719:
5703:
5691:
5675:
5651:
5569:
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648:roots in the complex plane (i.e., for an
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359:is the number of roots of the polynomial
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109:Learn how and when to remove this message
5707:{\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16\,}
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864:{\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}
621:{\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}
5847:
6201:Polynomials and Linear Control Systems
6156:Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002).
6082:Applications of the Theory of Matrices
5836:(analog for discrete-time LTI systems)
5830:(analog for discrete-time LTI systems)
5818:(variant requiring fewer computations)
1941:). By the properties of the function
6088:Pippard, A. B.; Dicke, R. H. (1986).
664:). Thus, we have the condition that
652:with no roots on the imaginary line,
469:) is the number of variations of the
7:
6084:, pp 177–80, New York: Interscience.
6024:
6022:
5996:
5994:
5992:
1881:is Hurwitz-stable. This means that
213:of the characteristic equation of a
47:adding citations to reliable sources
5768:{\displaystyle B(s)=8s^{3}+24s^{1}}
5382:We have the following table :
2998:{\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}
2915:{\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}
58:"Routh–Hurwitz stability criterion"
6080:(J.L. Brenner translator) (1959).
3084:
3065:
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302:
181:
14:
6193:MathWorld--A Wolfram Web Resource
3109:and this is further optimised in
129:is a mathematical test that is a
127:Routh–Hurwitz stability criterion
2035:necessary condition of stability
1870:has always the opposite sign of
1034:{\displaystyle f(z)=az^{2}+bz+c}
23:
6203:, New York: Marcel Dekker, Inc.
6141:(9th ed.). Prentice Hall.
685:
223:of the system that are stable (
34:needs additional citations for
6158:Analytic theory of polynomials
5730:
5724:
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5656:
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2475:For a fourth-order polynomial
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638:fundamental theorem of algebra
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1:
5791:Derivation of the Routh array
5583:We have the following table:
2690:{\displaystyle (i=0,1,2,3,4)}
2037:for polynomials of degree 2.
2014:{\displaystyle w(-\infty )=0}
1976:{\displaystyle w(+\infty )=2}
5834:Bistritz stability criterion
3896:can be computed as follows:
2046:For second-order polynomial
1847:{\displaystyle (y=-\infty )}
1450:{\displaystyle P_{2}(y)=-c,}
640:, each polynomial of degree
270:The criterion is related to
6137:, Robert H. Bishop (2001).
6095:American Journal of Physics
6031:Control Systems Engineering
5796:Nyquist stability criterion
2399:{\displaystyle (i=0,1,2,3)}
2213:For third-order polynomial
193:{\displaystyle \Delta _{i}}
6270:
6054:Saeed, Syed Hasan (2008).
5965:"Stability Analysis Tools"
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1800:{\displaystyle (c-ay^{2})}
1758:{\displaystyle y=+\infty }
1583:{\displaystyle P_{3}(y)=0}
6199:Stephen Barnett (1983).
6056:Automatic Control Systems
5941:"Routh-Hurwitz Criterion"
5816:Liénard–Chipart criterion
3111:Liénard–Chipart criterion
2203:{\displaystyle (i=0,1,2)}
265:
159:characteristic polynomial
5828:Jury stability criterion
1862:is the opposite sign of
1807:is the opposite sign of
1132:{\displaystyle P_{1}(y)}
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947:{\displaystyle P_{1}(y)}
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785:{\displaystyle P_{1}(y)}
749:{\displaystyle P_{0}(y)}
720:Compute the polynomials
538:{\displaystyle P_{1}(y)}
502:{\displaystyle P_{0}(y)}
388:with negative real part;
266:Using Euclid's algorithm
131:necessary and sufficient
6189:"Routh-Hurwitz Theorem"
6162:Oxford University Press
3830:{\displaystyle \ddots }
3809:{\displaystyle \vdots }
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3767:{\displaystyle \vdots }
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1060:{\displaystyle c\neq 0}
471:generalized Sturm chain
250:through the use of the
6139:Modern Control Systems
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246:The Routh test can
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5913:Gopal, M. (2002).
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