2030:; the issue is that the pullbacks are determined only up to canonical isomorphisms; similarly fiber products are defined only up to canonical isomorphisms, despite the notational practice to the contrary. In practice, one simply makes some canonical identifications of pullbacks, their compositions, fiber products, etc.; up to such identifications, the above category is well-defined (in other words, it is defined up to a canonical equivalence of categories.)
2377:
These reformulations of the definitions of prestacks and stacks make intuitive meanings of those concepts very explicit: (1) "fibered category" means one can construct a pullback (2) "prestack in groupoids" additionally means "locally isomorphic" implies "isomorphic" (3) "stack in groupoids" means,
653:
4509:
8127:
1407:
6159:
3575:
6398:
2788:
2021:
1729:
9452:
for affine group schemes or the generalizations. In fact, according to this point of view, a stack in groupoids is nothing but a category of torsors, and a prestack a category of trivial torsors, which are local models of torsors.
4694:
1622:
536:
424:
9585:, Theorem 4.35.. Editorial note: the reference uses the language of groupoid schemes but a groupoid scheme they use is the same as an equivalence pre-relation used here; compare Proposition 3.6. and the verifications below.
4317:
6560:
3979:
6782:
5060:
1827:
7536:
7175:
3310:
7454:
6266:
3637:
7821:
3163:
8314:
8172:
3922:
3754:
1104:
1000:
3075:
4312:
958:
3368:
This fiber product behaves like a usual fiber product but up to natural isomorphisms. The meaning of this is the following. Firstly, the obvious square does not commute; instead, for each object
7826:
5636:
1239:
5457:
3877:
3838:
7312:
6907:
2956:
9247:
8735:
9017:
6080:
7381:
5805:
2818:
1880:
9177:
8972:
7242:
2372:
2266:
2200:
2094:
1466:
890:
9058:
8785:
6221:
4221:
9117:
8936:
4940:
4603:
4161:
4895:
8272:
8222:
7609:
3799:
3200:
9341:
7564:
3241:
5301:
5172:
2635:
4565:
2892:
2449:
1234:
8853:
8657:
7106:
6834:
9435:
8885:
8815:
6654:
5878:
7074:
7016:
6450:
6037:
5510:
2309:
2137:
1186:
225:
4809:
4024:
3437:
3355:
307:
5983:
2563:
7344:
5932:
3404:
2998:
6107:
2517:
5575:
4065:
3445:
9393:
7781:
7716:
7684:
5228:
5103:
4848:
4738:
4123:
3709:
3677:
2485:
1916:
1529:
519:
257:
148:
9267:
8559:
6274:
4960:
9600:
8539:
8481:
8375:
7813:
7042:
5715:
5536:
5258:
5129:
4986:
4768:
2702:
1144:
1039:
487:
457:
7644:
6944:
5385:
4085:
2682:
1493:
9290:
6593:
1921:
1627:
9137:
8611:
8416:
5752:
4611:
648:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}
1534:
315:
4504:{\displaystyle (F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})}
87:
Since a stack is a prestack, all the results on prestacks are valid for stacks as well. Throughout the article, we work with a fixed base category
6467:
3927:
2378:
in addition to the previous properties, a global object can be constructed from local data subject to cocycle conditions. All these work up
5195:
6670:
4995:
1736:
6417:
7111:
8122:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=\\&=\\&=.\end{aligned}}}
6226:
3591:
7461:
3254:
7386:
8277:
8135:
3882:
3714:
1067:
963:
9399:
be the category where an object is a descent datum and a morphism is that of descent data. (The details are omitted for now)
489:; here, the bracket means we canonically identify different Hom sets resulting from different choices of pullbacks. For each
3023:
1402:{\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}}
4232:
898:
9606:
5402:
2566:
2391:
9599:
Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006),
3843:
3804:
9679:
9449:
77:
6847:
2897:
9182:
5591:
5178:; this allows one to transfer many notions of properties on morphisms of schemes to the stack context. Namely, let
3091:
1003:
8791:
8666:
8981:
6046:
2202:
is fully faithful. A statement like this is independent of choices of canonical identifications mentioned early.
7247:
5772:
2796:
1832:
69:
is a prestack with effective descents, meaning local objects may be patched together to become a global object.
9146:
8941:
7182:
2314:
2208:
2142:
2036:
1416:
661:
9025:
8740:
6188:
4166:
9066:
8890:
4907:
4570:
4128:
4861:
8227:
8177:
7569:
3759:
3582:
9295:
5267:
5138:
2579:
1111:
96:
46:
4520:
2847:
2404:
1191:
8820:
8624:
7349:
7079:
6801:
9635:
9405:
8866:
8796:
6620:
6563:
5814:
3168:
7047:
6971:
6423:
5992:
5465:
3209:
2693:
2275:
2103:
1152:
176:
6154:{\displaystyle X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F}
5175:
4781:
3996:
3409:
3327:
266:
72:
Prestacks that appear in nature are typically stacks but some naively constructed prestacks (e.g.,
66:
5944:
3570:{\displaystyle \psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )}
2529:
9625:
7317:
6596:
5905:
3371:
2965:
31:
6393:{\displaystyle g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).}
6098:
2490:
8568:
One importance of this construction is that it provides an atlas for an algebraic space: every
7544:
5545:
4044:
2783:{\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)}
9366:
7754:
7689:
7657:
6788:
5885:
5201:
5191:
5076:
4821:
4711:
4096:
3682:
3650:
2458:
1885:
1498:
492:
230:
121:
9252:
8544:
4945:
2016:{\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.}
9624:, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 1–104,
8490:
8432:
8326:
7786:
7021:
5673:
5651:
5515:
5237:
5108:
4965:
4747:
2821:
2523:
is fibered in groupoids; e.g., an algebraic stack (since all morphisms are cartesian then.)
1724:{\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}
1117:
1012:
462:
432:
112:
62:
9647:
7617:
6917:
5658:
and is known as an action groupoid or a transformation groupoid. It may also be called the
5358:
4070:
2660:
1471:
65:
and such that (when the fibers are groupoids) locally isomorphic objects are isomorphic. A
9643:
9620:
Vistoli, Angelo (2005), "Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory",
9275:
8569:
6569:
5320:
73:
2268:
consists precisely of effective descent data (just the definition of "effective"). Thus,
9639:
1149:
This definition can be equivalently phrased as follows. First, for each covering family
9356:
9122:
5718:
1007:
8575:
8380:
5723:
9673:
9566:
4689:{\displaystyle F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B}
2519:
and (2) it maps cartesian morphisms to cartesian morphisms. Note (2) is automatic if
1107:
1617:{\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}
419:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=}
8938:. This is done as follows. By definition, there is an étale surjective morphism
6094:
9355:
There is a way to associate a stack to a given prestack. It is similar to the
17:
2096:
that sends an object to the descent datum that it defines. One can then say:
95:
can be the category of all schemes over some fixed scheme equipped with some
9249:(nothing changes on the object-level; we only need to explain how to send
5655:
9448:
In some special cases, the stackification can be described in terms of
5186:
that is stable under base changes and that is local on the topology of
3643:
Secondly, it satisfies the strict universal property: given a prestack
2026:
An object of this category is called a descent datum. This category is
7718:; the latter is obtained by factorizing the diagonal morphism through
6555:{\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}
3974:{\displaystyle f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w}
9630:
6185:
a projection. It is not 1-coequalizer since, instead of the equality
5899:
as a prestack (in fact a stack), there is the obvious canonical map
6777:{\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).}
5055:{\displaystyle U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X}
2836:
and the morphisms are the base-preserving natural transformations.
1822:{\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}
9662:
8978:. Since the diagonal is strongly representable, the fiber product
2894:
be morphisms of prestacks. Then, by definition, the fiber product
9402:
As it turns out, it is a stack and comes with a natural morphism
9363:. The idea of the construction is quite simple: given a prestack
8274:. Since the fiber product of sheaves is a sheaf, it follows that
7170:{\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X}
150:; this means that one can construct pullbacks along morphisms in
9139:
is an equivalence pre-relation. We finish, roughly, as follows.
8737:
is an injective function ("étale" means the two possible maps
6261:{\displaystyle \pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t}
5311:
Example: the prestack given by an action of an algebraic group
3632:{\displaystyle \Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q}
80:) may not be stacks. Prestacks may be studied on their own or
9019:
is a scheme (that is, represented by a scheme) and then let
7531:{\displaystyle (\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R}
8483:
have the same set of objects. On the morphism-level, while
4818:
In particular, the definition applies to the structure map
3305:{\displaystyle g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )}
7449:{\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}}
5717:, since, as it turns out, the stackification of it is the
5339:
determines a prestack (but not a stack) over the category
9582:
9578:
9553:
9541:
9529:
9481:
27:
Algebraic geometry category satisfying lifting conditions
8887:
is the stackification of the prestack associated to it:
8309:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
8167:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
5755:
3917:{\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}
3749:{\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}
1099:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
995:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
8487:
has only identity morphisms as morphisms, the prestack
2100:
is a prestack if and only if, for each covering family
5264:
a scheme viewed as a prestack, the induced projection
3070:{\displaystyle \psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}
9408:
9369:
9298:
9278:
9255:
9185:
9149:
9125:
9069:
9028:
8984:
8944:
8893:
8869:
8823:
8799:
8743:
8669:
8627:
8578:
8547:
8493:
8435:
8383:
8329:
8280:
8230:
8180:
8138:
7824:
7789:
7757:
7692:
7660:
7620:
7572:
7547:
7464:
7456:, by the universal property, there is an induced map
7389:
7352:
7320:
7250:
7185:
7114:
7082:
7050:
7024:
6974:
6920:
6850:
6804:
6673:
6623:
6572:
6470:
6426:
6277:
6229:
6191:
6110:
6082:
by definition, goes to the identity group element of
6049:
5995:
5947:
5908:
5817:
5775:
5726:
5676:
5594:
5548:
5518:
5468:
5405:
5361:
5270:
5240:
5204:
5141:
5111:
5079:
4998:
4968:
4948:
4910:
4904:
The definition applies also to the diagonal morphism
4864:
4824:
4784:
4750:
4714:
4614:
4573:
4523:
4320:
4307:{\displaystyle F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2}
4235:
4169:
4131:
4099:
4073:
4047:
3999:
3930:
3885:
3846:
3807:
3762:
3717:
3685:
3653:
3594:
3448:
3412:
3374:
3330:
3257:
3212:
3171:
3094:
3026:
2968:
2900:
2850:
2799:
2705:
2663:
2582:
2532:
2493:
2461:
2407:
2317:
2278:
2211:
2145:
2106:
2039:
1924:
1888:
1835:
1739:
1630:
1537:
1501:
1474:
1419:
1242:
1194:
1155:
1120:
1070:
1015:
966:
953:{\displaystyle g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}}
901:
664:
539:
495:
465:
435:
318:
269:
233:
179:
124:
6836:(+ some more data), there is an associated prestack
2272:
is a stack if and only if, for each covering family
2696:says: there is a natural equivalence of categories
2637:is, by construction, the set of all morphisms from
81:
9429:
9387:
9335:
9284:
9261:
9241:
9171:
9131:
9111:
9052:
9011:
8966:
8930:
8879:
8847:
8809:
8779:
8729:
8651:
8605:
8553:
8533:
8475:
8410:
8369:
8308:
8266:
8216:
8166:
8121:
7807:
7775:
7710:
7678:
7638:
7603:
7558:
7530:
7448:
7375:
7338:
7306:
7236:
7169:
7100:
7068:
7036:
7010:
6938:
6901:
6828:
6776:
6648:
6587:
6554:
6444:
6392:
6260:
6215:
6153:
6074:
6031:
5977:
5926:
5872:
5799:
5746:
5709:
5630:
5569:
5530:
5504:
5452:{\displaystyle X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}
5451:
5379:
5295:
5252:
5222:
5166:
5123:
5097:
5054:
4980:
4954:
4934:
4889:
4854:is a prestack over itself via the identity). Then
4842:
4803:
4762:
4732:
4688:
4597:
4559:
4503:
4306:
4215:
4155:
4117:
4079:
4059:
4018:
3973:
3916:
3871:
3832:
3793:
3748:
3703:
3671:
3631:
3569:
3431:
3398:
3349:
3304:
3235:
3194:
3157:
3069:
2992:
2950:
2886:
2812:
2782:
2676:
2629:
2557:
2511:
2479:
2443:
2366:
2303:
2260:
2194:
2131:
2088:
2015:
1910:
1874:
1821:
1723:
1616:
1523:
1487:
1460:
1401:
1228:
1180:
1138:
1098:
1033:
994:
952:
884:
647:
513:
481:
451:
418:
301:
251:
219:
142:
6566:. The prefix "pre-" is because we do not require
3872:{\displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}
3833:{\displaystyle u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w}
6795:, which is clearly an equivalence pre-relation.
5754:. The construction is a special case of forming
5182:be a property on morphisms in the base category
4700:this isomorphism is constructed simply by hand.
6902:{\displaystyle s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f}
4962:is strongly representable, then every morphism
2951:{\displaystyle F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G}
9242:{\displaystyle \pi :^{pre}\to {\mathfrak {X}}}
5631:{\displaystyle y':U\to V{\overset {y}{\to }}X}
5135:a scheme viewed as a prestack, the projection
5105:is a strongly representable morphism, for any
9272:By the universal property of stackification,
7735:is a prestack; for that, notice: for objects
3158:{\displaystyle (x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')}
8:
9063:be the first and second projections. Taking
8730:{\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}
8106:
8038:
8019:
7943:
2358:
2339:
2298:
2279:
2252:
2233:
2186:
2167:
2126:
2107:
2080:
2061:
1816:
1781:
1775:
1740:
1455:
1420:
1220:
1201:
1175:
1156:
9012:{\displaystyle U\times _{\mathfrak {X}}U=R}
8817:, one can find an equivalence pre-relation
8377:and the stackification of it is written as
7731:is fibered in groupoids. Finally, we check
6093:Then the above canonical map fits into a 2-
6075:{\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}
8561:specified by the equivalence pre-relation
7307:{\displaystyle (,\delta '):(S,y)\to (U,z)}
5800:{\displaystyle *=\operatorname {Spec} (k)}
5230:of prestacks is said to have the property
5198:). Then a strongly representable morphism
2813:{\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}}
1875:{\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}
9629:
9407:
9368:
9327:
9326:
9314:
9305:
9297:
9277:
9254:
9233:
9232:
9217:
9207:
9198:
9184:
9172:{\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}
9163:
9162:
9148:
9124:
9068:
9027:
8993:
8992:
8983:
8967:{\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}
8958:
8957:
8943:
8919:
8910:
8895:
8894:
8892:
8871:
8870:
8868:
8822:
8801:
8800:
8798:
8742:
8668:
8626:
8594:
8585:
8577:
8546:
8519:
8509:
8500:
8492:
8461:
8451:
8442:
8434:
8399:
8390:
8382:
8355:
8345:
8336:
8328:
8281:
8279:
8229:
8179:
8139:
8137:
8056:
8010:
7982:
7961:
7915:
7899:
7860:
7829:
7825:
7823:
7795:
7794:
7788:
7756:
7691:
7659:
7619:
7586:
7571:
7546:
7513:
7488:
7483:
7463:
7440:
7435:
7411:
7406:
7388:
7351:
7319:
7249:
7237:{\displaystyle (,\delta ):(T,x)\to (S,y)}
7184:
7154:
7136:
7131:
7113:
7081:
7049:
7023:
6973:
6919:
6887:
6876:
6861:
6849:
6803:
6734:
6672:
6637:
6622:
6571:
6469:
6425:
6329:
6276:
6239:
6228:
6190:
6138:
6120:
6109:
6059:
6048:
5994:
5946:
5907:
5858:
5836:
5824:
5816:
5774:
5733:
5725:
5695:
5683:
5675:
5615:
5593:
5547:
5517:
5467:
5425:
5404:
5360:
5278:
5269:
5239:
5203:
5149:
5140:
5110:
5078:
5037:
5006:
4997:
4967:
4947:
4909:
4878:
4863:
4858:is strongly representable if and only if
4823:
4792:
4783:
4749:
4713:
4653:
4622:
4613:
4572:
4522:
4492:
4480:
4475:
4465:
4446:
4434:
4429:
4419:
4400:
4387:
4372:
4359:
4354:
4341:
4328:
4319:
4288:
4279:
4266:
4253:
4240:
4234:
4195:
4168:
4130:
4098:
4072:
4046:
4007:
3998:
3946:
3929:
3895:
3884:
3856:
3845:
3811:
3806:
3782:
3761:
3727:
3716:
3684:
3652:
3610:
3593:
3506:
3447:
3420:
3411:
3373:
3338:
3329:
3256:
3211:
3170:
3093:
3045:
3025:
2967:
2939:
2908:
2899:
2849:
2804:
2798:
2756:
2734:
2710:
2704:
2668:
2662:
2612:
2587:
2581:
2543:
2531:
2492:
2460:
2406:
2367:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
2346:
2316:
2286:
2277:
2261:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
2240:
2210:
2195:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
2174:
2144:
2114:
2105:
2089:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
2068:
2038:
2001:
1988:
1978:
1973:
1960:
1950:
1945:
1929:
1923:
1899:
1887:
1866:
1853:
1840:
1834:
1804:
1791:
1763:
1750:
1738:
1712:
1702:
1697:
1681:
1671:
1666:
1650:
1640:
1635:
1629:
1608:
1598:
1593:
1579:
1573:
1563:
1558:
1542:
1536:
1512:
1500:
1479:
1473:
1461:{\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}
1443:
1430:
1418:
1393:
1383:
1373:
1360:
1350:
1340:
1330:
1320:
1307:
1302:
1293:
1280:
1270:
1260:
1247:
1241:
1208:
1193:
1163:
1154:
1126:
1125:
1119:
1071:
1069:
1021:
1020:
1014:
967:
965:
944:
919:
906:
900:
885:{\displaystyle {\overset {g^{*}}{\to }}=}
867:
839:
790:
777:
758:
745:
721:
712:
697:
681:
663:
621:
590:
571:
540:
538:
494:
470:
464:
440:
434:
401:
385:
350:
319:
317:
290:
274:
268:
232:
199:
178:
123:
9053:{\displaystyle s,t:R\rightrightarrows U}
6844:is a category where: with the notations
4778:viewed as a prestack, the fiber product
3993:is a prestack canonically isomorphic to
960:is used to get the = on the right. Then
9517:
9505:
9493:
9469:
9462:
8780:{\displaystyle s,t:R\to U\times U\to U}
6798:To each given equivalence pre-relation
6216:{\displaystyle \pi \circ s=\pi \circ t}
4216:{\displaystyle x\mapsto (x,x,1_{p(x)})}
9112:{\displaystyle f=(s,t):R\to U\times U}
8931:{\displaystyle {\mathfrak {X}}\simeq }
8621:and an étale equivalence pre-relation
7727:Via a forgetful functor, the category
4935:{\displaystyle \Delta :X\to X\times X}
4598:{\displaystyle \Delta :B\to B\times B}
4156:{\displaystyle \Delta :X\to X\times X}
49:is a category together with a functor
9346:Check the last map is an isomorphism.
4890:{\displaystyle X\simeq X\times _{C}C}
3316:It comes with the forgetful functors
7:
9565:The argument here is Lemma 25.6. of
8267:{\displaystyle (x,y):U\to X\times X}
8217:{\displaystyle (s,t):R\to X\times X}
7614:the identity morphism for an object
7604:{\displaystyle T\to R\times _{t,s}R}
5756:#The prestack of equivalence classes
3794:{\displaystyle w:H\to F\times _{B}G}
2824:; the objects are the functors from
1624:that satisfy the cocycle condition:
9567:M. Olsson's lecture notes on stacks
9336:{\displaystyle \to {\mathfrak {X}}}
9328:
9234:
9164:
8994:
8959:
8896:
8872:
8802:
6404:The prestack of equivalence classes
3801:together with natural isomorphisms
1041:, the category of all morphisms in
9663:"Prestacks and fibered categories"
5989:goes to itself, and each morphism
5323:acting from the right on a scheme
5296:{\displaystyle X\times _{Y}T\to T}
5167:{\displaystyle X\times _{Y}S\to S}
5062:is strongly representable for any
4949:
4911:
4678:
4574:
4132:
3595:
2630:{\displaystyle p^{-1}(U)=F_{S}(U)}
525:, define the restriction map from
25:
6412:be a scheme in the base category
5642:Through the forgetful functor to
4560:{\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}
4125:, there is the diagonal morphism
4041:is dropped and one simply writes
3981:. In general, a fiber product of
3247:, both over the same morphism in
2887:{\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}
2444:{\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}
2374:is an equivalence of categories.
1229:{\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}
429:be the set of all morphisms from
8848:{\displaystyle f:R\to U\times U}
8652:{\displaystyle f:R\to U\times U}
7376:{\displaystyle \delta '':T\to R}
7101:{\displaystyle s\circ \delta =x}
6829:{\displaystyle f:R\to X\times X}
4992:is strongly representable since
3581:That is, there is an invertible
1056:is a prestack if, for each pair
154:, up to canonical isomorphisms.
111:be a category and suppose it is
9430:{\displaystyle \theta :F\to HF}
8880:{\displaystyle {\mathfrak {X}}}
8810:{\displaystyle {\mathfrak {X}}}
6649:{\displaystyle R=X\times _{k}G}
5880:is the classifying prestack of
5873:{\displaystyle ^{pre}=BG^{pre}}
4087:in objects are all identities.
3195:{\displaystyle \alpha :x\to x'}
3016:, both over the same object in
1468:of pairs consisting of objects
9622:Fundamental algebraic geometry
9418:
9379:
9351:Stacks associated to prestacks
9323:
9320:
9299:
9229:
9214:
9192:
9159:
9097:
9088:
9076:
9044:
8954:
8925:
8904:
8833:
8771:
8759:
8724:
8718:
8709:
8703:
8697:
8694:
8688:
8679:
8673:
8637:
8600:
8579:
8516:
8494:
8458:
8436:
8405:
8384:
8352:
8330:
8303:
8291:
8252:
8243:
8231:
8202:
8193:
8181:
8161:
8149:
8109:
8097:
8085:
8073:
8061:
8057:
8050:
8035:
8022:
7962:
7955:
7940:
7927:
7924:
7892:
7883:
7873:
7862:
7854:
7851:
7839:
7767:
7702:
7670:
7633:
7621:
7611:followed by the multiplication
7576:
7503:
7494:
7484:
7465:
7436:
7407:
7367:
7330:
7324:
7301:
7289:
7286:
7283:
7271:
7265:
7251:
7231:
7219:
7216:
7213:
7201:
7195:
7186:
7156:
7148:
7132:
7069:{\displaystyle \delta :T\to R}
7060:
7028:
7011:{\displaystyle (T,x)\to (S,y)}
7005:
6993:
6990:
6987:
6975:
6933:
6921:
6814:
6768:
6753:
6750:
6747:
6735:
6728:
6722:
6713:
6707:
6701:
6698:
6692:
6683:
6677:
6582:
6576:
6549:
6543:
6534:
6528:
6522:
6519:
6507:
6495:
6489:
6480:
6474:
6445:{\displaystyle R\to X\times X}
6430:
6384:
6375:
6366:
6354:
6351:
6339:
6331:
6326:
6320:
6311:
6299:
6296:
6284:
6241:
6181:is the given group action and
6140:
6123:
6061:
6053:
6032:{\displaystyle (U,x)\to (V,y)}
6026:
6014:
6011:
6008:
5996:
5972:
5966:
5948:
5918:
5884:and its stackification is the
5833:
5818:
5794:
5788:
5741:
5727:
5692:
5677:
5617:
5609:
5564:
5558:
5522:
5505:{\displaystyle (U,x)\to (V,y)}
5499:
5487:
5484:
5481:
5469:
5446:
5434:
5415:
5409:
5374:
5362:
5287:
5244:
5214:
5158:
5115:
5089:
5030:
5018:
4972:
4920:
4834:
4754:
4724:
4646:
4634:
4583:
4551:
4533:
4498:
4458:
4452:
4412:
4406:
4380:
4347:
4321:
4272:
4246:
4210:
4205:
4199:
4176:
4173:
4141:
4109:
3948:
3897:
3858:
3813:
3772:
3729:
3695:
3663:
3612:
3564:
3546:
3543:
3531:
3525:
3519:
3508:
3503:
3497:
3488:
3470:
3467:
3455:
3393:
3375:
3299:
3293:
3267:
3261:
3236:{\displaystyle \beta :y\to y'}
3222:
3181:
3152:
3119:
3116:
3113:
3095:
3081:over the identity morphism in
3064:
3058:
3047:
3042:
3036:
2987:
2969:
2878:
2860:
2777:
2771:
2762:
2749:
2743:
2736:
2731:
2719:
2649:. Analogously, given a scheme
2624:
2618:
2602:
2596:
2549:
2471:
2435:
2417:
2361:
2352:
2336:
2330:
2327:
2321:
2304:{\displaystyle \{V_{i}\to U\}}
2292:
2255:
2246:
2230:
2224:
2221:
2215:
2189:
2180:
2164:
2158:
2155:
2149:
2132:{\displaystyle \{V_{i}\to U\}}
2120:
2083:
2074:
2058:
2052:
2049:
2043:
1905:
1892:
1859:
1813:
1784:
1778:
1772:
1743:
1581:
1518:
1505:
1452:
1423:
1366:
1286:
1223:
1214:
1198:
1181:{\displaystyle \{V_{i}\to U\}}
1169:
1093:
1081:
989:
977:
941:
928:
895:where a canonical isomorphism
879:
876:
864:
851:
836:
823:
820:
811:
805:
802:
799:
783:
767:
751:
738:
729:
714:
709:
706:
674:
665:
642:
623:
615:
612:
600:
587:
584:
573:
565:
562:
550:
505:
413:
410:
378:
369:
363:
352:
344:
341:
329:
243:
220:{\displaystyle F(U)=p^{-1}(U)}
214:
208:
189:
183:
134:
1:
9661:Dai Tamaki (August 7, 2019).
7646:consists of the identity map
6840:defined as follows. Firstly,
6791:, this determines a morphism
4804:{\displaystyle X\times _{Y}S}
4019:{\displaystyle F\times _{B}G}
3432:{\displaystyle F\times _{B}G}
3350:{\displaystyle F\times _{B}G}
2451:over the fixed base category
1236:as a category where: writing
302:{\displaystyle f^{*}x,f^{*}y}
9359:of a presheaf and is called
6613:of finite type over a field
5978:{\displaystyle (U,x:U\to X)}
5327:of finite type over a field
4811:of prestacks is a scheme in
4037:(the prestack over itself),
2567:stack associated to a scheme
2558:{\displaystyle p:F_{S}\to C}
2392:Morphism of algebraic stacks
2033:There is an obvious functor
1110:with respect to the induced
78:projectivized vector bundles
8425:is viewed as a stack, both
7383:obtained as follows: since
7339:{\displaystyle T\to S\to U}
6456:such that, for each scheme
5927:{\displaystyle \pi :X\to F}
5331:. Then the group action of
3399:{\displaystyle (x,y,\psi )}
2993:{\displaystyle (x,y,\psi )}
2487:is a functor such that (1)
1188:, we "define" the category
9696:
9441:is a stack if and only if
8541:have additional morphisms
7722:, possible by reflexivity.
5941:; explicitly, each object
5347:-schemes, as follows. Let
4567:and the diagonal morphism
2688:fibered in groupoids over
2512:{\displaystyle q\circ f=p}
2389:
7559:{\displaystyle \delta ''}
6605:: Let an algebraic group
6562:has the image that is an
5570:{\displaystyle g\in G(U)}
4060:{\displaystyle F\times G}
2657:viewed as a stack (i.e.,
2380:to canonical isomorphisms
263:, after fixing pullbacks
63:certain lifting condition
9581:, Proposition 5.20. and
9388:{\displaystyle p:F\to C}
8323:above may be written as
8174:is the fiber product of
7776:{\displaystyle f:V\to U}
7711:{\displaystyle e:X\to R}
7679:{\displaystyle x:T\to X}
6656:and then for any scheme
6418:equivalence pre-relation
5811:is affine, the quotient
5223:{\displaystyle f:X\to Y}
5098:{\displaystyle f:X\to Y}
4843:{\displaystyle p:X\to C}
4733:{\displaystyle f:X\to Y}
4708:A morphism of prestacks
4118:{\displaystyle p:X\to C}
3711:, a natural isomorphism
3704:{\displaystyle v:H\to G}
3672:{\displaystyle u:H\to F}
3585:(= natural isomorphism)
3000:consisting of an object
2480:{\displaystyle f:F\to G}
1911:{\displaystyle F(V_{i})}
1524:{\displaystyle F(V_{i})}
514:{\displaystyle g:W\to V}
252:{\displaystyle f:V\to U}
143:{\displaystyle p:F\to C}
9262:{\displaystyle \delta }
8554:{\displaystyle \delta }
6946:consisting of a scheme
5387:consisting of a scheme
5234:if, for every morphism
4955:{\displaystyle \Delta }
4744:if, for every morphism
4704:Representable morphisms
4067:. Note, in this case,
2820:refers to the relative
2205:The essential image of
9431:
9389:
9337:
9286:
9263:
9243:
9173:
9133:
9113:
9054:
9013:
8968:
8932:
8881:
8849:
8811:
8781:
8731:
8653:
8607:
8555:
8535:
8534:{\displaystyle ^{pre}}
8477:
8476:{\displaystyle ^{pre}}
8412:
8371:
8370:{\displaystyle ^{pre}}
8310:
8268:
8218:
8168:
8123:
7809:
7808:{\displaystyle C_{/U}}
7777:
7712:
7680:
7640:
7605:
7560:
7532:
7450:
7377:
7340:
7308:
7238:
7171:
7102:
7070:
7038:
7037:{\displaystyle T\to S}
7012:
6940:
6903:
6830:
6778:
6650:
6589:
6556:
6446:
6394:
6262:
6217:
6155:
6076:
6033:
5979:
5928:
5874:
5801:
5748:
5711:
5710:{\displaystyle ^{pre}}
5632:
5571:
5532:
5531:{\displaystyle U\to V}
5506:
5453:
5381:
5351:be the category where
5297:
5254:
5253:{\displaystyle T\to Y}
5224:
5168:
5125:
5124:{\displaystyle S\to Y}
5099:
5056:
4982:
4981:{\displaystyle U\to X}
4956:
4936:
4891:
4844:
4805:
4764:
4763:{\displaystyle S\to Y}
4742:strongly representable
4734:
4690:
4599:
4561:
4505:
4308:
4217:
4157:
4119:
4081:
4061:
4020:
3975:
3918:
3873:
3834:
3795:
3750:
3705:
3673:
3633:
3583:natural transformation
3571:
3433:
3400:
3351:
3306:
3237:
3196:
3159:
3071:
2994:
2962:an object is a triple
2958:is the category where
2952:
2888:
2814:
2784:
2678:
2631:
2559:
2513:
2481:
2445:
2368:
2305:
2262:
2196:
2133:
2090:
2017:
1912:
1876:
1823:
1725:
1618:
1525:
1489:
1462:
1403:
1230:
1182:
1140:
1139:{\displaystyle C_{/U}}
1100:
1035:
1034:{\displaystyle C_{/U}}
996:
954:
886:
655:to be the composition
649:
515:
483:
482:{\displaystyle f^{*}y}
453:
452:{\displaystyle f^{*}x}
420:
303:
253:
221:
144:
9432:
9390:
9338:
9287:
9264:
9244:
9174:
9134:
9114:
9055:
9014:
8969:
8933:
8882:
8850:
8812:
8792:Deligne–Mumford stack
8782:
8732:
8654:
8608:
8556:
8536:
8478:
8413:
8372:
8311:
8269:
8219:
8169:
8132:Now, this means that
8124:
7810:
7778:
7713:
7681:
7641:
7639:{\displaystyle (T,x)}
7606:
7561:
7533:
7451:
7378:
7341:
7309:
7239:
7172:
7103:
7071:
7039:
7013:
6941:
6939:{\displaystyle (T,x)}
6904:
6831:
6779:
6651:
6590:
6557:
6447:
6395:
6263:
6218:
6156:
6077:
6034:
5980:
5929:
5875:
5802:
5749:
5712:
5633:
5572:
5533:
5507:
5454:
5382:
5380:{\displaystyle (U,x)}
5298:
5255:
5225:
5169:
5126:
5100:
5057:
4983:
4957:
4937:
4892:
4845:
4806:
4765:
4735:
4691:
4600:
4562:
4506:
4309:
4218:
4158:
4120:
4082:
4080:{\displaystyle \psi }
4062:
4033:is the base category
4021:
3976:
3919:
3874:
3835:
3796:
3751:
3706:
3674:
3634:
3572:
3434:
3401:
3352:
3307:
3238:
3197:
3160:
3072:
3020:, and an isomorphism
2995:
2953:
2889:
2815:
2785:
2679:
2677:{\displaystyle F_{U}}
2632:
2572:in the base category
2560:
2514:
2482:
2446:
2369:
2306:
2263:
2197:
2134:
2091:
2018:
1913:
1877:
1824:
1726:
1619:
1526:
1490:
1488:{\displaystyle x_{i}}
1463:
1404:
1231:
1183:
1141:
1112:Grothendieck topology
1101:
1036:
997:
955:
887:
650:
516:
484:
454:
421:
304:
254:
222:
145:
97:Grothendieck topology
47:Grothendieck topology
9406:
9367:
9296:
9285:{\displaystyle \pi }
9276:
9253:
9183:
9147:
9123:
9067:
9026:
8982:
8942:
8891:
8867:
8821:
8797:
8741:
8667:
8659:such that, for each
8625:
8576:
8545:
8491:
8433:
8381:
8327:
8278:
8228:
8178:
8136:
7822:
7787:
7755:
7690:
7658:
7618:
7570:
7545:
7462:
7387:
7350:
7318:
7248:
7183:
7112:
7080:
7048:
7022:
6972:
6918:
6914:an object is a pair
6848:
6802:
6671:
6621:
6588:{\displaystyle f(T)}
6570:
6564:equivalence relation
6468:
6424:
6416:. By definition, an
6275:
6227:
6189:
6108:
6047:
5993:
5945:
5906:
5815:
5773:
5724:
5674:
5592:
5546:
5516:
5466:
5403:
5359:
5355:an object is a pair
5268:
5238:
5202:
5139:
5109:
5077:
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4571:
4521:
4318:
4233:
4167:
4129:
4097:
4093:: For each prestack
4071:
4045:
3997:
3928:
3883:
3844:
3805:
3760:
3715:
3683:
3651:
3592:
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3410:
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3328:
3255:
3210:
3169:
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1833:
1737:
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1535:
1499:
1472:
1417:
1240:
1192:
1153:
1118:
1068:
1013:
964:
899:
662:
537:
493:
463:
433:
316:
267:
231:
227:, for each morphism
177:
122:
118:through the functor
9640:2004math.....12512V
9583:Behrend et al. 2006
9579:Behrend et al. 2006
9554:Behrend et al. 2006
9542:Behrend et al. 2006
9530:Behrend et al. 2006
9482:Behrend et al. 2006
9445:is an isomorphism.
7179:the composition of
5176:morphism of schemes
4850:(the base category
1983:
1955:
1707:
1676:
1645:
1603:
1568:
1413:an object is a set
103:Informal definition
76:or the prestack of
45:equipped with some
9680:Algebraic geometry
9556:, Definition 3.13.
9532:, Definition 2.25.
9520:, Definition 3.33.
9427:
9385:
9333:
9282:
9259:
9239:
9169:
9129:
9109:
9050:
9009:
8964:
8928:
8877:
8845:
8807:
8777:
8727:
8649:
8603:
8551:
8531:
8473:
8408:
8367:
8306:
8289:
8264:
8214:
8164:
8147:
8119:
8117:
7837:
7805:
7773:
7708:
7676:
7636:
7601:
7556:
7528:
7446:
7373:
7336:
7304:
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7167:
7098:
7066:
7034:
7008:
6936:
6899:
6826:
6774:
6646:
6597:injective function
6585:
6552:
6442:
6390:
6258:
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5975:
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5797:
5744:
5707:
5670:and be denoted as
5628:
5567:
5528:
5502:
5449:
5377:
5293:
5250:
5220:
5164:
5121:
5095:
5052:
4978:
4952:
4932:
4887:
4840:
4801:
4760:
4730:
4686:
4595:
4557:
4501:
4304:
4213:
4153:
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3869:
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