2504:
1302:
28:
1291:
The link of a vertex of a tetrahedron is a triangle – the three vertices of the link corresponds to the three edges incident to the vertex, and the three edges of the link correspond to the faces incident to the vertex. In this example, the link can be visualized by cutting off the vertex with a
2150:
2341:
1092:
692:
1480:
684:
is the triangle at the base of the tetrahedron. This is because, for each edge of that triangle, the join of v with the edge is a triangle (one of the three triangles at the sides of the tetrahedron); and the join of
2447:
2196:
406:
1524:
2064:
1973:
1696:
1421:
1368:
1169:
912:
2254:
1295:
Another example is illustrated below. There is a two-dimensional simplicial complex. At the left, a vertex is marked in yellow. At the right, the link of that vertex is marked in green.
999:
2497:
An example is illustrated below. There is a two-dimensional simplicial complex. At the left, a vertex is marked in yellow. At the right, the star of that vertex is marked in green.
1798:
513:
288:
150:
1748:
1550:
990:
565:
234:
202:
1577:
1221:
964:
2249:
1932:
1626:
1128:
654:
1999:
1722:
1195:
938:
539:
176:
2379:
738:
472:
2216:
2039:
1830:
1261:
867:
346:
314:
2059:
1281:
625:
1655:
109:
2491:
2467:
2019:
1895:
1870:
1850:
1241:
674:
605:
585:
426:
80:
1426:
2615:
2569:
2384:
2651:
2155:
2643:
351:
1485:
47:
of a vertex in a graph. The link of a vertex encodes information about the local structure of the complex at the vertex.
2145:{\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ are faces of }}\rho \}}
1902:
1759:
1098:
741:
433:
249:
44:
2503:
1301:
1596:
1292:
plane; formally, intersecting the tetrahedron with a plane near the vertex – the resulting cross-section is the link.
843:
56:
2336:{\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}
1087:{\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}
1940:
1663:
1388:
1335:
1136:
879:
776:
1765:
480:
255:
117:
2557:
795:
1873:
1727:
1529:
969:
1555:
823:
544:
207:
181:
2635:
1200:
943:
2672:
2647:
2611:
2565:
2228:
1911:
1605:
1107:
633:
2603:
1978:
1701:
1174:
917:
680:
As an example, suppose v is the top vertex of the tetrahedron at the left. Then the link of
518:
155:
2597:
2349:
708:
442:
2593:
2470:
628:
2201:
2024:
1803:
1370:
is downward-closed, and therefore it is a simplicial complex too; it is a sub-complex of
1246:
852:
319:
293:
17:
2631:
2044:
1266:
610:
1631:
85:
2666:
2530:
1475:{\displaystyle X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ such that }}\sigma \subseteq \rho \}}
2476:
2452:
2004:
1880:
1855:
1835:
1226:
659:
590:
570:
411:
65:
691:
32:
2221:
So the link is a subset of the star. The star and link are related as follows:
2607:
1382:
839:
The definition of a link can be extended from a single vertex to any face.
819:
27:
2442:{\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}
2556:
Bryant, John L. (2001-01-01), Daverman, R. J.; Sher, R. B. (eds.),
690:
26:
2191:{\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ is a face of }}\rho \}}
791:
381:
401:{\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}
2479:
2455:
2387:
2352:
2257:
2231:
2204:
2158:
2067:
2047:
2027:
2007:
1981:
1943:
1914:
1883:
1858:
1838:
1806:
1768:
1730:
1704:
1666:
1634:
1608:
1532:
1488:
1391:
1338:
1269:
1249:
1229:
1203:
1177:
1139:
1110:
1002:
972:
946:
920:
882:
855:
711:
695:
The link of a vertex of a tetrahedron is the triangle.
662:
636:
613:
593:
573:
547:
521:
483:
445:
414:
354:
322:
296:
258:
210:
184:
158:
120:
88:
68:
2533:- a geometric concept similar to the simplicial link.
1558:
1429:
1519:{\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}
689:
with the triangle itself is the entire tetrahedron.
43:in a simplicial complex is a generalization of the
2485:
2461:
2441:
2373:
2335:
2243:
2210:
2190:
2144:
2053:
2033:
2013:
1993:
1967:
1926:
1889:
1864:
1844:
1824:
1792:
1742:
1716:
1690:
1649:
1620:
1571:
1544:
1518:
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1415:
1362:
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1255:
1235:
1215:
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1163:
1122:
1086:
984:
958:
932:
906:
861:
830:; it is an analog to a sphere centered at a point.
732:
668:
648:
619:
599:
579:
559:
533:
507:
466:
420:
400:
340:
308:
282:
228:
196:
170:
144:
103:
74:
2152:. In other words, it is the closure of the set
2564:, Amsterdam: North-Holland, pp. 219–259,
1588:A concept closely related to the link is the
8:
2330:
2282:
2185:
2159:
2139:
2092:
1819:
1807:
1469:
1443:
1081:
1027:
335:
323:
223:
217:
1968:{\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}
1691:{\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}
1416:{\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}
1363:{\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}
1164:{\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}
907:{\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}
2599:Introduction to Piecewise-Linear Topology
2478:
2454:
2386:
2351:
2256:
2230:
2203:
2177:
2157:
2131:
2066:
2046:
2026:
2006:
1980:
1942:
1913:
1882:
1857:
1837:
1805:
1767:
1729:
1703:
1665:
1633:
1607:
1563:
1557:
1531:
1487:
1455:
1434:
1428:
1390:
1337:
1268:
1248:
1228:
1202:
1176:
1138:
1109:
1001:
971:
945:
919:
881:
854:
710:
661:
635:
612:
592:
572:
546:
520:
482:
444:
413:
380:
379:
353:
321:
295:
257:
209:
183:
157:
119:
87:
67:
755:constructed as follows. The vertices of
2640:Metric spaces of non-positive curvature
2558:"Chapter 5 - Piecewise Linear Topology"
2543:
2499:
1758:is a 1-dimensional complex (that is: a
1297:
1223:are disjoint and there is a simplex in
248:is a 1-dimensional complex (that is: a
1793:{\textstyle \operatorname {St} (v,X)}
508:{\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}
283:{\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}
145:{\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}
7:
2588:
2586:
2551:
2549:
2547:
2327:
2107:
1057:
701:An alternative definition is: the
348:is an edge in the graph; that is,
25:
2502:
2001:such that there is a simplex in
1300:
2198:-- the set of simplices having
1975:is a set containing every face
1754:. In the special case in which
1698:is a set containing every face
1171:is a set containing every face
914:is a set containing every face
515:is a set containing every face
152:is a set containing every face
2596:; Sanderson, Brian J. (1972).
2562:Handbook of Geometric Topology
2436:
2424:
2406:
2394:
2368:
2362:
2309:
2297:
2276:
2264:
2086:
2074:
1962:
1950:
1787:
1775:
1743:{\textstyle \tau \cup \sigma }
1685:
1673:
1644:
1638:
1545:{\textstyle \tau \cup \sigma }
1513:
1501:
1410:
1398:
1357:
1345:
1158:
1146:
1021:
1009:
985:{\textstyle \tau \cup \sigma }
901:
889:
727:
721:
502:
490:
461:
455:
392:
386:
373:
361:
277:
265:
139:
127:
98:
92:
1:
627:as a face. Equivalently, the
244:In the special case in which
1903:geometric simplicial complex
1099:geometric simplicial complex
560:{\textstyle v\not \in \tau }
434:geometric simplicial complex
229:{\textstyle \tau \cup \{v\}}
197:{\textstyle v\not \in \tau }
1597:abstract simplicial complex
1572:{\displaystyle X_{\sigma }}
1328:For any simplicial complex
844:abstract simplicial complex
826:of small radius centred at
57:abstract simplicial complex
2689:
1381:is simplicial, there is a
1216:{\textstyle \sigma ,\tau }
959:{\textstyle \sigma ,\tau }
567:and there is a simplex in
2608:10.1007/978-3-642-81735-9
2244:{\textstyle \sigma \in X}
1927:{\textstyle \sigma \in X}
1621:{\textstyle \sigma \in X}
1123:{\textstyle \sigma \in X}
649:{\textstyle v\star \tau }
18:Star (simplicial complex)
2179: is a face of
2133: are faces of
2449:, that is, the star of
1994:{\textstyle \tau \in X}
1717:{\textstyle \tau \in X}
1190:{\textstyle \tau \in X}
933:{\textstyle \tau \in X}
534:{\textstyle \tau \in X}
171:{\textstyle \tau \in X}
2487:
2463:
2443:
2375:
2374:{\textstyle v\in V(X)}
2337:
2245:
2212:
2192:
2146:
2055:
2035:
2015:
1995:
1969:
1928:
1891:
1866:
1852:that are neighbors of
1846:
1826:
1794:
1744:
1718:
1692:
1651:
1622:
1573:
1546:
1520:
1476:
1417:
1364:
1277:
1257:
1237:
1217:
1191:
1165:
1124:
1088:
986:
960:
934:
908:
863:
798:to a common 2-cell at
734:
733:{\textstyle v\in V(X)}
696:
670:
650:
621:
601:
581:
561:
535:
509:
468:
467:{\textstyle v\in V(X)}
422:
402:
342:
310:
290:contains all vertices
284:
230:
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172:
146:
105:
76:
36:
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2464:
2444:
2376:
2338:
2246:
2213:
2193:
2147:
2056:
2036:
2016:
1996:
1970:
1929:
1892:
1867:
1847:
1827:
1795:
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1719:
1693:
1652:
1623:
1574:
1547:
1521:
1477:
1457: such that
1418:
1365:
1278:
1258:
1238:
1218:
1192:
1166:
1125:
1089:
987:
961:
935:
909:
864:
775:. Two such edges are
735:
694:
671:
651:
622:
602:
582:
562:
536:
510:
469:
423:
403:
343:
311:
285:
231:
199:
173:
147:
106:
77:
30:
2477:
2453:
2385:
2350:
2255:
2229:
2211:{\textstyle \sigma }
2202:
2156:
2065:
2045:
2034:{\textstyle \sigma }
2025:
2005:
1979:
1941:
1912:
1881:
1874:graph-theoretic star
1856:
1836:
1825:{\textstyle \{u,v\}}
1804:
1766:
1728:
1702:
1664:
1632:
1606:
1556:
1530:
1486:
1427:
1389:
1336:
1267:
1256:{\textstyle \sigma }
1247:
1227:
1201:
1175:
1137:
1108:
1000:
970:
944:
918:
880:
862:{\textstyle \sigma }
853:
709:
660:
634:
611:
591:
571:
545:
519:
481:
443:
412:
408:the neighborhood of
352:
341:{\textstyle \{u,v\}}
320:
309:{\textstyle u\neq v}
294:
256:
208:
182:
156:
118:
86:
66:
1872:. That is, it is a
1800:contains all edges
818:is often given the
2483:
2459:
2439:
2371:
2333:
2241:
2208:
2188:
2142:
2054:{\textstyle \tau }
2051:
2031:
2011:
1991:
1965:
1924:
1887:
1862:
1842:
1822:
1790:
1740:
1714:
1688:
1647:
1618:
1569:
1542:
1516:
1472:
1413:
1360:
1276:{\textstyle \tau }
1273:
1253:
1233:
1213:
1187:
1161:
1120:
1084:
982:
956:
930:
904:
859:
730:
697:
666:
646:
620:{\textstyle \tau }
617:
597:
577:
557:
531:
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418:
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338:
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194:
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101:
72:
37:
2617:978-3-540-11102-3
2571:978-0-444-82432-5
2180:
2134:
1832:for all vertices
1650:{\textstyle V(X)}
1458:
1065:
1044:
966:are disjoint and
767:are the edges of
104:{\textstyle V(X)}
16:(Redirected from
2680:
2657:
2656:
2636:Haefliger, André
2628:
2622:
2621:
2594:Rourke, Colin P.
2590:
2581:
2580:
2579:
2578:
2553:
2518:
2512:
2506:
2492:
2490:
2489:
2484:
2468:
2466:
2465:
2460:
2448:
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