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Steiner's calculus problem

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17: 318: 213: 92: 507: 387: 355: 540: 413: 602: 471: 442: 566: 128: 244: 674: 669: 641: 144: 252: 135: 35: 219: 43: 510: 474: 480: 360: 569: 31: 516: 392: 575: 326: 447: 418: 545: 107: 229: 16: 663: 98: 620: 223: 138:. One can determine that by solving the equivalent problem of maximizing 642:"Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl" 15: 578: 548: 519: 483: 450: 421: 395: 363: 329: 255: 232: 147: 110: 46: 596: 560: 534: 501: 465: 436: 407: 381: 349: 312: 238: 207: 122: 86: 208:{\displaystyle g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}.} 649:Journal für die reine und angewandte Mathematik 313:{\displaystyle g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}},} 8: 577: 547: 518: 482: 449: 420: 394: 362: 328: 299: 276: 254: 231: 184: 146: 109: 83: 70: 66: 45: 611: 27: 7: 14: 30:, is the problem of finding the 87:{\displaystyle f(x)=x^{1/x}.\,} 588: 582: 460: 454: 431: 425: 344: 338: 270: 264: 178: 172: 157: 151: 56: 50: 1: 136:base of the natural logarithm 502:{\displaystyle 0<x<e} 382:{\displaystyle 0<x<e} 691: 675:Mathematical optimization 26:, asked and answered by 535:{\displaystyle x>e.} 670:Functions and mappings 598: 562: 536: 503: 467: 438: 409: 408:{\displaystyle x>e} 383: 351: 314: 240: 209: 124: 88: 20: 599: 597:{\displaystyle f(x).} 563: 537: 504: 468: 439: 415:, which implies that 410: 384: 352: 350:{\displaystyle g'(x)} 315: 241: 220:first derivative test 210: 125: 89: 19: 640:Steiner, J. (1850), 576: 546: 517: 481: 466:{\displaystyle f(x)} 448: 437:{\displaystyle g(x)} 419: 393: 361: 327: 253: 230: 145: 108: 44: 621:"Steiner's Problem" 619:Eric W. Weisstein. 561:{\displaystyle x=e} 123:{\displaystyle x=e} 594: 558: 532: 499: 463: 434: 405: 379: 347: 310: 236: 205: 120: 104:The maximum is at 97:It is named after 84: 21: 389:and negative for 305: 239:{\displaystyle g} 200: 24:Steiner's problem 682: 656: 646: 633: 632: 630: 628: 616: 603: 601: 600: 595: 567: 565: 564: 559: 541: 539: 538: 533: 508: 506: 505: 500: 472: 470: 469: 464: 444:– and therefore 443: 441: 440: 435: 414: 412: 411: 406: 388: 386: 385: 380: 357:is positive for 356: 354: 353: 348: 337: 319: 317: 316: 311: 306: 304: 303: 294: 277: 263: 245: 243: 242: 237: 214: 212: 211: 206: 201: 196: 185: 129: 127: 126: 121: 93: 91: 90: 85: 79: 78: 74: 690: 689: 685: 684: 683: 681: 680: 679: 660: 659: 644: 639: 636: 626: 624: 618: 617: 613: 609: 574: 573: 544: 543: 515: 514: 479: 478: 446: 445: 417: 416: 391: 390: 359: 358: 330: 325: 324: 295: 278: 256: 251: 250: 228: 227: 186: 143: 142: 106: 105: 62: 42: 41: 12: 11: 5: 688: 686: 678: 677: 672: 662: 661: 658: 657: 635: 634: 610: 608: 605: 593: 590: 587: 584: 581: 570:global maximum 568:is the unique 557: 554: 551: 531: 528: 525: 522: 498: 495: 492: 489: 486: 462: 459: 456: 453: 433: 430: 427: 424: 404: 401: 398: 378: 375: 372: 369: 366: 346: 343: 340: 336: 333: 321: 320: 309: 302: 298: 293: 290: 287: 284: 281: 275: 272: 269: 266: 262: 259: 235: 216: 215: 204: 199: 195: 192: 189: 183: 180: 177: 174: 171: 168: 165: 162: 159: 156: 153: 150: 119: 116: 113: 95: 94: 82: 77: 73: 69: 65: 61: 58: 55: 52: 49: 28:Steiner (1850) 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 687: 676: 673: 671: 668: 667: 665: 654: 650: 643: 638: 637: 622: 615: 612: 606: 604: 591: 585: 579: 571: 555: 552: 549: 529: 526: 523: 520: 512: 496: 493: 490: 487: 484: 476: 457: 451: 428: 422: 402: 399: 396: 376: 373: 370: 367: 364: 341: 334: 331: 307: 300: 296: 291: 288: 285: 282: 279: 273: 267: 260: 257: 249: 248: 247: 233: 225: 221: 218:Applying the 202: 197: 193: 190: 187: 181: 175: 169: 166: 163: 160: 154: 148: 141: 140: 139: 137: 133: 117: 114: 111: 102: 100: 99:Jakob Steiner 80: 75: 71: 67: 63: 59: 53: 47: 40: 39: 38: 37: 33: 29: 25: 18: 652: 648: 625:. Retrieved 614: 322: 217: 134:denotes the 131: 103: 96: 23: 22: 627:December 8, 623:. MathWorld 664:Categories 607:References 511:decreasing 475:increasing 224:derivative 289:⁡ 283:− 191:⁡ 167:⁡ 335:′ 261:′ 130:, where 36:function 34:of the 32:maximum 542:Thus, 222:, the 655:: 208 645:(PDF) 473:– is 629:2010 524:> 513:for 509:and 494:< 488:< 477:for 400:> 374:< 368:< 572:of 323:so 246:is 226:of 666:: 653:40 651:, 647:, 286:ln 188:ln 164:ln 101:. 631:. 592:. 589:) 586:x 583:( 580:f 556:e 553:= 550:x 530:. 527:e 521:x 497:e 491:x 485:0 461:) 458:x 455:( 452:f 432:) 429:x 426:( 423:g 403:e 397:x 377:e 371:x 365:0 345:) 342:x 339:( 332:g 308:, 301:2 297:x 292:x 280:1 274:= 271:) 268:x 265:( 258:g 234:g 203:. 198:x 194:x 182:= 179:) 176:x 173:( 170:f 161:= 158:) 155:x 152:( 149:g 132:e 118:e 115:= 112:x 81:. 76:x 72:/ 68:1 64:x 60:= 57:) 54:x 51:( 48:f

Index


Steiner (1850)
maximum
function
Jakob Steiner
base of the natural logarithm
first derivative test
derivative
increasing
decreasing
global maximum
"Steiner's Problem"
"Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl"
Categories
Functions and mappings
Mathematical optimization

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