3785:
5239:. Many of these functions can be used to find their own solutions by repeatedly recycling the result back as input, but the rate of convergence can be slow, or the function can fail to converge at all, depending on the individual function. Steffensen's method accelerates this convergence, to make it
4046:
2389:
needs only one function evaluation per step. The secant method increases the number of correct digits by "only" a factor of roughly 1.6 per step, but one can do twice as many steps of the secant method within a given time. Since the secant method can carry out twice as many steps in the same
3418:
1199:
7738:
1869:
to guarantee convergence of
Steffensen's algorithm. Although slight non-conformance may not necessarily be dire, any large departure from the condition warns that Steffensen's method is liable to fail, and temporary use of some fallback algorithm is warranted (e.g. the more robust
7522:
Be aware, however, that the second form may not be as numerically stable as the first: Because the first form involves finding a value for a (hopefully) small difference it may be numerically more likely to avoid excessively large or erratic changes to the iterated value
4383:
5835:
3228:
2926:
1679:
4196:
6649:
3381:
3793:
3780:{\displaystyle p~\approx ~{\frac {\,p_{n+2}\,p_{n}-p_{n+1}^{2}\,}{\,p_{n+2}-2\,p_{n+1}+p_{n}\,}}~=~{\frac {\,p_{n}^{2}+p_{n}\,p_{n+2}+2\,p_{n}\,p_{n+1}-2\,p_{n}\,p_{n+1}-p_{n}^{2}-p_{n+1}^{2}\,}{\,p_{n+2}-2\,p_{n+1}+p_{n}\,}}}
1556:
7593:
3051:
1013:
1024:
782:
571:
6392:
7179:
6031:
2586:
6865:
311:
1996:
2390:
time as
Steffensen's method, in practical use the secant method actually converges faster than Steffensen's method, when both algorithms succeed: The secant method achieves a factor of about
5335:
7923:
5162:
7439:
5671:
2729:
4207:
369:
solution, although it is not required to work efficiently. For some functions, Steffensen's method can work even if this condition is not met, but in such a case, the starting value
2180:
means that for both methods, the number of correct digits in the answer doubles with each step. But the formula for Newton's method requires evaluation of the function's derivative
6930:
2656:
188:
5731:
848:
5361:
5081:
1833:
7865:
6497:
438:
222:
6435:
5231:
5198:
1730:
604:
8037:
2504:
7986:
7484:
5533:
5466:
2357:
1867:
1792:
7221:
6969:
3062:
2799:
1434:
676:
8148:
2309:
1243:
475:
137:
7829:
7557:
7520:
7002:
2209:
637:
400:
2435:
883:
2762:
2468:
1561:
1307:
6174:
1272:
110:
7796:
7770:
6675:
6549:
6523:
6461:
6327:
6298:
6262:
6232:
6200:
6123:
6089:
6060:
5887:
5723:
5697:
5594:
5562:
5495:
5417:
5387:
5270:
5107:
2132:
2074:
2048:
2022:
1931:
1905:
1758:
1460:
1401:
1365:
1335:
909:
337:
248:
2791:
2238:
7585:
6099:. Note also that division within the Banach space is not necessary for the elaborated Steffensen's method to be viable; the only requirement is that the operator
3410:
2383:
2264:
2174:
363:
4052:
3239:
4041:{\displaystyle =~{\frac {\,(\,p_{n}^{2}+p_{n}\,p_{n+2}-2\,p_{n}\,p_{n+1}\,)-(\,p_{n}^{2}-2\,p_{n}\,p_{n+1}+p_{n+1}^{2}\,)\,}{\,p_{n+2}-2\,p_{n+1}+p_{n}\,}}}
6565:
1465:
440:
and convergence to the solution may be slow. Adjustments of the method's step size, mentioned later, can improve convergence in some of these cases.
2394:
as many digits for every two steps (two function evaluations), compared to
Steffensen's factor of 2 for every one step (two function evaluations).
7733:{\displaystyle {\Bigl \|}G\left(u,v\right)-G\left(x,y\right){\Bigr \|}\leq k{\biggl (}{\Bigl \|}u-x{\Bigr \|}+{\Bigr \|}v-y{\Bigr \|}{\biggr )}~}
2937:
917:
8141:
1194:{\displaystyle \ g(x)~=~{\frac {\ f(x+h)-f(x)\ }{h}}\ ~~\approx ~~{\frac {\ \operatorname {d} f(x)\ }{\operatorname {d} x}}~\equiv ~f'(x)\ ,}
2658:
This method assumes starting with a linearly convergent sequence and increases the rate of convergence of that sequence. If the signs of
8346:
684:
480:
8272:
8096:
6334:
2601:
7010:
5895:
8134:
2604:
for accelerating convergence of a sequence. To compare the following formulae to the formulae in the section above, notice that
8336:
8043:
cannot be made faster by running the function evaluations in parallel. This is yet another disadvantage of
Steffensen's method.
2509:
6686:
8367:
4696:
8300:
6145:
8305:
5275:
253:
1936:
1933:
must be an adequate correction to get closer to its own solution, and for that reason fulfill the requirement that
573:
can be generated using the formula below. When it works, each value in the sequence is much closer to the solution
7870:
6932:
In the more general case in which division may not be possible, the iteration formula requires finding a solution
5112:
7229:
5609:
5235:
2661:
47:
8290:
8234:
4378:{\displaystyle p~\approx ~p_{n+3}~=~p_{n}-{\frac {\,(\,p_{n+1}-p_{n}\,)^{2}\,}{\,p_{n+2}-2\,p_{n+1}+p_{n}\,}}~.}
6130:
5841:
8315:
8249:
8193:
8165:
8157:
6331:
Steffensen's method is then very similar to the Newton's method, except that it uses the divided difference
6873:
5830:{\displaystyle \ F\left(u\right)-F\left(v\right)=G\left(u,v\right)\,{\bigl }\ \qquad \qquad \qquad \qquad }
6272:
2398:
6680:
In the case that division is possible in the Banach space, the generalized iteration formula is given by
2607:
142:
8331:
6176:
given in the first section, the function simply takes in and puts out real numbers. There, the function
5240:
2143:
790:
5340:
5047:
1797:
8310:
8285:
7834:
6466:
6269:
6265:
409:
193:
59:
5203:
5167:
3223:{\displaystyle p_{n+1}^{2}-2\,p_{n+1}\,p+p^{2}~\approx ~p_{n+2}\;p_{n}-(\,p_{n}+p_{n+2}\,)\,p+p^{2}}
2921:{\displaystyle {\frac {\,p_{n+1}-p\,}{\,p_{n}-p\,}}~\approx ~{\frac {\,p_{n+2}-p\,}{\,p_{n+1}-p\,}}}
1684:
576:
8295:
8224:
8216:
7991:
6091:
discussed in the first section, above. The quotient form is shown here for orientation only; it is
2473:
43:
7943:
7447:
5500:
5433:
5430:
This method for finding fixed points of a real-valued function has been generalised for functions
2314:
2024:
to be continuous and to actually have a nearby solution. Several modest modifications of the step
8113:
7187:
6935:
6204:
6063:
1871:
1338:
642:
79:
31:
8341:
8262:
8206:
8201:
2272:
2147:
1674:{\displaystyle \ {\bigl (}x,y{\bigr )}={\bigl (}\ x_{n}+h,\ f\left(x_{n}+h\right)\ {\bigr )}\ ,}
1207:
446:
115:
67:
51:
7801:
7526:
7489:
6974:
6397:
609:
372:
8257:
8080:
8068:
2404:
853:
2734:
2440:
1838:
1763:
1277:
8173:
8105:
6150:
5604:
1408:
1248:
88:
39:
7775:
7746:
6654:
6528:
6502:
6440:
6303:
6277:
6241:
6211:
6179:
6102:
6068:
6039:
5866:
5702:
5676:
5570:
5541:
5474:
5396:
5366:
5249:
5086:
4191:{\displaystyle =~p_{n}-{\frac {\,(\,p_{n+1}-p_{n})^{2}\,}{\,p_{n+2}-2\,p_{n+1}+p_{n}\,}}~,}
2111:
2053:
2027:
2001:
1910:
1884:
1737:
1439:
1380:
1344:
1314:
888:
316:
227:
4899:
This recursive generator yields the x_{n+1} value first then, when the generator iterates,
2767:
2214:
2183:
78:
The simplest form of the formula for
Steffensen's method occurs when it is used to find a
7564:
3389:
2362:
2243:
2153:
342:
2588:
may either erratically flip-flop between two extremes, or diverge to infinity, or both.
17:
5597:
3376:{\displaystyle (\,p_{n+2}-2\,p_{n+1}+p_{n}\,)\,p~\approx ~p_{n+2}\,p_{n}-p_{n+1}^{2}~.}
2401:, the crucial weakness in Steffensen's method is choosing an 'adequate' starting value
1998:
For all other parts of the calculation, Steffensen's method only requires the function
2266:
itself. This is important when the derivative is not easily or efficiently available.
8361:
8280:
8229:
8073:
5390:
2386:
83:
6644:{\displaystyle \ F'(x)\approx G{\bigl (}\,F\left(x\right),\,x\,{\bigr )}\approx I\ }
8178:
6235:
5860:
5565:
5536:
5469:
5424:
5420:
4911:
x: Starting value upon first call, each level n that the function recurses x is x_n
1875:
1551:{\displaystyle \ \left(x,y\right)={\bigl (}x_{n},\ f\left(x_{n}\right){\bigr )}\ }
5601:
8183:
63:
8079:. Translated by Anderson, Ned. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. pp.
2269:
The price for the quick convergence is the double function evaluation: Both
6036:
which may provide some insight: Expressed in this way, the linear operator
8126:
3046:{\displaystyle (p_{n+1}-p)^{2}~\approx ~(\,p_{n+2}-p\,)\,(\,p_{n}-p\,)~}
1008:{\displaystyle \ g(x)={\frac {\,f{\bigl (}x+f(x){\bigr )}\,}{f(x)}}-1\ }
8117:
4420:% This function takes as inputs: a fixed point iteration function, f,
4399:
2597:
1794:
its value can optionally be checked to see if it meets the condition
8109:
8094:
Johnson, L.W.; Scholz, D.R. (June 1968). "On
Steffensen's method".
4695:
Here is the source for an implementation of
Steffensen's Method in
4398:
Here is the source for an implementation of
Steffensen's Method in
7715:
7699:
7689:
7673:
7653:
7599:
777:{\displaystyle \ x_{n+1}=x_{n}-{\frac {\,f(x_{n})\,}{g(x_{n})}}\ }
4426:% The fixed point iteration function is assumed to be input as an
4423:% and initial guess to the fixed point, p0, and a tolerance, tol.
566:{\displaystyle \ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\dots ,\ x_{n},\ \dots \ }
7444:
with all the values inside square brackets being independent of
4435:% that makes the expression f(x) = p true to within the desired
27:
Newton-like root-finding algorithm that does not use derivatives
8130:
4480:% This is so that if the method fails to converge, we won't
8039:
the two evaluations must be done sequentially – the algorithm
6387:{\displaystyle \ G{\bigl (}\,F\left(x\right),\,x\,{\bigr )}\ }
4432:% This function will calculate and return the fixed point, p,
2764:
is 'sufficiently close' to the desired limit of the sequence
7772:
then the method converges quadratically to a fixed point of
7174:{\displaystyle {\Bigl }{\Bigl }=F\left(x_{n}\right)-x_{n}~.}
6026:{\displaystyle \ G\left(u,v\right)={\bigl }{\bigl }^{-1}\ ,}
4477:% get ready to do a large, but finite, number of iterations.
6062:
can be more easily seen to be an elaborate version of the
5427:
being momentarily ignored for the sake of the comparison.
5363:
is some scalar constant small enough in magnitude to make
4794:"""First-order divided difference function.
54:, but with certain situational advantages. In particular,
4896:"""Steffenson algorithm for finding roots.
2142:
The main advantage of
Steffensen's method is that it has
5725:
can be devised that (locally) satisfies this condition:
2581:{\displaystyle ~x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\dots ~}
2150:– that is, both methods find roots to an equation
1907:
for this auxiliary point that the value of the function
8063:
8061:
8059:
6234:
is the analogue of a divided difference for use in the
4201:
which results in the more rapidly convergent sequence:
6860:{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+{\Bigl }^{-1}{\Bigl }\ ,}
5044:
Steffensen's method can also be used to find an input
2596:
The version of
Steffensen's method implemented in the
7994:
7946:
7873:
7837:
7804:
7778:
7749:
7596:
7567:
7529:
7492:
7450:
7232:
7190:
7013:
6977:
6938:
6876:
6689:
6657:
6568:
6531:
6505:
6469:
6443:
6400:
6337:
6306:
6280:
6244:
6214:
6182:
6153:
6105:
6071:
6042:
5898:
5869:
5734:
5705:
5679:
5612:
5573:
5544:
5503:
5477:
5436:
5399:
5369:
5343:
5278:
5252:
5206:
5170:
5115:
5089:
5050:
4625:% if we are, stop the iterations, we have our answer.
4504:% calculate the next two guesses for the fixed point.
4210:
4055:
3796:
3421:
3392:
3242:
3065:
2940:
2802:
2770:
2737:
2664:
2610:
2512:
2476:
2443:
2407:
2365:
2359:
must be calculated, which might be time-consuming if
2317:
2275:
2246:
2217:
2186:
2156:
2114:
2056:
2030:
2004:
1939:
1913:
1887:
1841:
1800:
1766:
1740:
1687:
1564:
1468:
1442:
1411:
1383:
1347:
1317:
1280:
1251:
1210:
1027:
920:
891:
856:
793:
687:
645:
612:
579:
483:
449:
412:
375:
345:
319:
256:
230:
196:
145:
118:
91:
5272:
and the fixed-point functions are simply related by
8324:
8271:
8248:
8215:
8192:
8164:
4902:
it yields x_{n+2} from the next level of recursion.
1405:Practically, it is the averaged value of the slope
8072:
8031:
7980:
7917:
7859:
7823:
7790:
7764:
7732:
7579:
7551:
7514:
7478:
7433:
7215:
7173:
6996:
6963:
6924:
6859:
6669:
6643:
6543:
6517:
6491:
6455:
6429:
6386:
6321:
6292:
6256:
6226:
6194:
6168:
6117:
6083:
6054:
6025:
5881:
5829:
5717:
5691:
5665:
5588:
5556:
5527:
5489:
5460:
5411:
5381:
5355:
5329:
5264:
5225:
5192:
5156:
5101:
5075:
4377:
4190:
4040:
3779:
3404:
3375:
3222:
3045:
2920:
2785:
2756:
2723:
2650:
2580:
2498:
2462:
2429:
2377:
2351:
2303:
2258:
2232:
2203:
2168:
2126:
2068:
2042:
2016:
1990:
1925:
1899:
1861:
1827:
1786:
1752:
1724:
1673:
1550:
1454:
1428:
1395:
1359:
1329:
1301:
1266:
1237:
1193:
1007:
903:
877:
842:
776:
670:
631:
598:
565:
469:
432:
394:
357:
331:
305:
242:
216:
182:
131:
104:
7722:
7666:
7420:
7325:
7299:
7235:
7123:
7087:
7080:
7016:
6846:
6805:
6789:
6724:
5389:stable under iteration, but large enough for the
1245:is a step-size between the last iteration point,
7831:is 'sufficiently close' to the desired solution
5419:to be appreciable. All issues of a more general
4682:'failed to converge in 1000 iterations.'
1375:-type divided difference, depending on the sign
4676:% If we fail to meet the tolerance, we output a
2592:Derivation using Aitken's delta-squared process
2506:the method may fail and the sequence of values
2385:is a complicated function. For comparison, the
1367:between those two points ( it is either a
5330:{\displaystyle \ F(x)=x+\varepsilon \ f(x)\ ,}
3386:Solving for the desired limit of the sequence
306:{\displaystyle \ -1<f'(x_{\star })<0\,;}
8142:
7400:
7359:
7292:
7251:
7073:
7032:
6781:
6740:
6627:
6597:
6376:
6346:
6208:. In the generalized form here, the operator
6003:
5980:
5973:
5929:
5815:
5797:
2470:is not 'close enough' to the actual solution
1991:{\displaystyle \ -1<f'(x_{\star })<0~.}
1660:
1596:
1586:
1570:
1540:
1496:
973:
948:
8:
7918:{\displaystyle \ x_{\star }=F(x_{\star })~.}
5657:
5616:
5157:{\displaystyle \ x_{\star }=F(x_{\star })\ }
5109:that produces output the same as its input:
7434:{\displaystyle {\Bigl }x_{n+1}={\Bigl }\ ,}
5666:{\displaystyle \ \{\;G(u,v):u,v\in X\;\}\ }
4908:f: Function whose root we are searching for
2724:{\displaystyle ~p_{n},\,p_{n+1},\,p_{n+2}~}
8149:
8135:
8127:
5656:
5619:
4586:% use Aitken's delta squared method to
3152:
639:from the current step generates the value
8014:
7993:
7960:
7945:
7900:
7881:
7872:
7845:
7836:
7812:
7803:
7777:
7748:
7721:
7720:
7714:
7713:
7698:
7697:
7688:
7687:
7672:
7671:
7665:
7664:
7652:
7651:
7598:
7597:
7595:
7566:
7537:
7528:
7500:
7491:
7458:
7449:
7419:
7418:
7412:
7399:
7398:
7392:
7375:
7358:
7357:
7341:
7324:
7323:
7308:
7298:
7297:
7291:
7290:
7284:
7267:
7250:
7249:
7234:
7233:
7231:
7198:
7189:
7159:
7142:
7122:
7121:
7115:
7096:
7086:
7085:
7079:
7078:
7072:
7071:
7065:
7048:
7031:
7030:
7015:
7014:
7012:
6985:
6976:
6946:
6937:
6906:
6899:
6892:
6875:
6845:
6844:
6838:
6821:
6804:
6803:
6794:
6788:
6787:
6780:
6779:
6773:
6756:
6739:
6738:
6723:
6722:
6713:
6694:
6688:
6656:
6626:
6625:
6624:
6620:
6602:
6596:
6595:
6567:
6530:
6504:
6477:
6468:
6442:
6399:
6375:
6374:
6373:
6369:
6351:
6345:
6344:
6336:
6305:
6279:
6243:
6213:
6181:
6152:
6104:
6070:
6041:
6008:
6002:
6001:
5979:
5978:
5972:
5971:
5928:
5927:
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5813:
5812:
5802:
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5795:
5794:
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5704:
5678:
5611:
5572:
5543:
5502:
5476:
5435:
5398:
5368:
5342:
5277:
5251:
5214:
5205:
5178:
5169:
5142:
5123:
5114:
5088:
5064:
5049:
4619:% test to see if we are within tolerance.
4365:
4359:
4340:
4335:
4317:
4312:
4309:
4303:
4298:
4292:
4273:
4268:
4264:
4261:
4252:
4227:
4209:
4178:
4172:
4153:
4148:
4130:
4125:
4122:
4116:
4106:
4087:
4082:
4078:
4075:
4066:
4054:
4034:
4028:
4009:
4004:
3986:
3981:
3978:
3974:
3968:
3957:
3938:
3933:
3927:
3922:
3910:
3905:
3900:
3890:
3878:
3873:
3867:
3862:
3844:
3839:
3833:
3820:
3815:
3810:
3806:
3803:
3795:
3773:
3767:
3748:
3743:
3725:
3720:
3717:
3711:
3700:
3687:
3682:
3663:
3658:
3652:
3647:
3629:
3624:
3618:
3613:
3595:
3590:
3584:
3571:
3566:
3561:
3558:
3545:
3539:
3520:
3515:
3497:
3492:
3489:
3483:
3472:
3459:
3454:
3442:
3437:
3434:
3420:
3391:
3361:
3350:
3337:
3332:
3320:
3303:
3299:
3293:
3274:
3269:
3251:
3246:
3241:
3214:
3203:
3199:
3187:
3174:
3169:
3157:
3140:
3121:
3110:
3098:
3093:
3081:
3070:
3064:
3036:
3024:
3019:
3015:
3011:
2993:
2988:
2970:
2948:
2939:
2914:
2896:
2891:
2888:
2870:
2865:
2862:
2849:
2837:
2832:
2829:
2811:
2806:
2803:
2801:
2769:
2745:
2736:
2706:
2701:
2686:
2681:
2672:
2663:
2636:
2631:
2627:
2615:
2609:
2571:
2562:
2557:
2548:
2543:
2534:
2529:
2520:
2511:
2484:
2475:
2451:
2442:
2415:
2406:
2364:
2331:
2316:
2289:
2274:
2245:
2216:
2185:
2155:
2113:
2055:
2029:
2003:
1967:
1938:
1912:
1886:
1840:
1799:
1765:
1739:
1707:
1686:
1659:
1658:
1638:
1608:
1595:
1594:
1585:
1584:
1569:
1568:
1563:
1539:
1538:
1528:
1505:
1495:
1494:
1467:
1441:
1410:
1382:
1346:
1316:
1279:
1250:
1209:
1118:
1052:
1026:
978:
972:
971:
947:
946:
942:
939:
919:
890:
855:
836:
792:
759:
746:
737:
726:
723:
714:
695:
686:
653:
644:
620:
611:
587:
578:
545:
523:
507:
491:
482:
463:
457:
448:
426:
420:
411:
383:
374:
344:
318:
299:
284:
255:
229:
210:
204:
195:
159:
144:
123:
117:
98:
90:
2600:code shown below can be found using the
2240:while Steffensen's method only requires
2134:that do not quite meet the requirement.
885:is a composite of the original function
8055:
7933:
7486:The bracketed terms all only depend on
7184:Equivalently one may seek the solution
5596:The generalized method assumes that a
1881:It is only for the purpose of finding
339:adequate as a correction-function for
6925:{\displaystyle \ n=1,\,2,\,3,\,...~.}
2591:
678:for the next step, via this formula:
250:is supposed to approximately satisfy
7:
4589:% find a better approximation to p0.
6268:whose entries are all functions of
5497:onto itself or even more generally
5246:For orientation, the root function
4643:% update p0 for the next iteration.
2651:{\displaystyle x_{n}=p\,-\,p_{n}~.}
183:{\displaystyle \ f(x_{\star })=0~.}
8097:SIAM Journal on Numerical Analysis
7988:requires the prior calculation of
4456:% This prints more decimal places.
1274:and an auxiliary point located at
1147:
1124:
843:{\displaystyle \ n=0,1,2,3,...\,;}
25:
5083:for a different kind of function
2399:iterative root-finding algorithms
2076:exist, such as multiplying it by
443:Given an adequate starting value
8347:Sidi's generalized secant method
7743:for some positive real constant
5356:{\displaystyle \ \varepsilon \ }
5076:{\displaystyle \ x=x_{\star }\ }
2176:just as 'quickly'. In this case
1828:{\displaystyle \ -1<g<0\ }
1462:between the last sequence point
911:given by the following formula:
606:than the prior value. The value
112:that is, to find the real value
8337:Inverse quadratic interpolation
7860:{\displaystyle \ x_{\star }\ ,}
6492:{\displaystyle \ x_{\star }\ ,}
5826:
5825:
5824:
5823:
4803:x: Point at which to evaluate g
4483:% be stuck in an infinite loop.
1681:with step size (and direction)
433:{\displaystyle \ x_{\star }\,,}
217:{\displaystyle \ x_{\star }\,,}
8020:
8007:
7972:
7953:
7906:
7893:
6586:
6580:
6418:
6412:
5635:
5623:
5516:
5449:
5318:
5312:
5291:
5285:
5226:{\displaystyle \ x_{\star }\ }
5193:{\displaystyle \ x_{\star }~.}
5148:
5135:
5040:Generalization to Banach space
4806:fx: Function f evaluated at x
4300:
4265:
4113:
4079:
3975:
3897:
3891:
3807:
3300:
3243:
3200:
3166:
3037:
3016:
3012:
2985:
2967:
2941:
2602:Aitken's delta-squared process
2343:
2324:
2295:
2282:
1973:
1960:
1725:{\displaystyle \ h=f(x_{n})~.}
1713:
1700:
1229:
1223:
1182:
1176:
1139:
1133:
1088:
1082:
1073:
1061:
1040:
1034:
990:
984:
968:
962:
933:
927:
869:
863:
765:
752:
743:
730:
599:{\displaystyle \ x_{\star }\ }
290:
277:
165:
152:
1:
8032:{\displaystyle ~h=f(x_{n})~,}
7798:if the initial approximation
7223:to the somewhat reduced form
2793:we can assume the following:
2499:{\displaystyle ~x_{\star }~,}
2050:in the formula for the slope
406:close to the actual solution
7981:{\displaystyle ~f(x_{n}+h)~}
7479:{\displaystyle \ x_{n+1}\ :}
5528:{\displaystyle \ F:X\to Y\ }
5461:{\displaystyle \ F:X\to X\ }
2352:{\displaystyle ~f(x_{n}+h)~}
7216:{\displaystyle \ x_{n+1}\ }
6964:{\displaystyle \ x_{n+1}\ }
6525:and their linear operators
6264:is roughly equivalent to a
4447:% This shortens the output.
2108:, to accommodate functions
1558:and the auxiliary point at
671:{\displaystyle \ x_{n+1}\ }
8384:
8166:Bracketing (no derivative)
6677:is the identity operator.
6463:close to some fixed point
6394:instead of the derivative
6146:basic real number function
2304:{\displaystyle ~f(x_{n})~}
1337:is called the first-order
1311:Technically, the function
1238:{\displaystyle \ h=f(x)\ }
470:{\displaystyle \ x_{0}\,,}
132:{\displaystyle x_{\star }}
7824:{\displaystyle \ x_{0}\ }
7552:{\displaystyle \ x_{n}~.}
7515:{\displaystyle \ x_{n}~.}
6997:{\displaystyle \ x_{n}\ }
6430:{\displaystyle \ F'(x)~.}
1018:or perhaps more clearly,
850:where the slope function
632:{\displaystyle \ x_{n}\ }
395:{\displaystyle \ x_{0}\ }
48:Johan Frederik Steffensen
6437:Note that for arguments
4701:
4404:
2430:{\displaystyle ~x_{0}~.}
2211:as well as the function
2138:Advantages and drawbacks
1760:is an approximation for
878:{\displaystyle \ g(x)\ }
18:Stephensen's method
8316:Splitting circle method
8301:Jenkins–Traub algorithm
8158:Root-finding algorithms
7561:If the linear operator
5857:If division is possible
2757:{\displaystyle ~p_{n}~}
2463:{\displaystyle ~x_{0}~}
1862:{\displaystyle \ f'\ ,}
1787:{\displaystyle \ f'\ ,}
1302:{\displaystyle \ x+h~.}
8306:Lehmer–Schur algorithm
8071:; Björck, Åke (1974).
8033:
7982:
7919:
7861:
7825:
7792:
7766:
7734:
7581:
7553:
7516:
7480:
7435:
7217:
7175:
6998:
6965:
6926:
6861:
6671:
6645:
6552:
6545:
6519:
6499:fixed point functions
6493:
6457:
6431:
6388:
6323:
6294:
6258:
6228:
6196:
6170:
6169:{\displaystyle \ f\ ,}
6126:
6119:
6085:
6056:
6027:
5883:
5863:, the linear operator
5831:
5719:
5693:
5667:
5590:
5558:
5529:
5491:
5462:
5413:
5383:
5357:
5331:
5266:
5227:
5194:
5164:for the special value
5158:
5103:
5077:
4800:f: Function input to g
4379:
4192:
4042:
3781:
3406:
3377:
3224:
3047:
2922:
2787:
2758:
2725:
2652:
2582:
2500:
2464:
2431:
2397:Similar to most other
2379:
2353:
2305:
2260:
2234:
2205:
2170:
2128:
2070:
2044:
2018:
1992:
1927:
1901:
1863:
1829:
1788:
1754:
1726:
1675:
1552:
1456:
1430:
1429:{\displaystyle \ f'\ }
1397:
1361:
1331:
1303:
1268:
1267:{\displaystyle \ x\ ,}
1239:
1195:
1009:
905:
879:
844:
778:
672:
633:
600:
567:
471:
434:
396:
359:
333:
307:
244:
218:
184:
133:
106:
105:{\displaystyle \ f\,;}
8332:Fixed-point iteration
8034:
7983:
7920:
7862:
7826:
7793:
7791:{\displaystyle \ F\ }
7767:
7765:{\displaystyle \ k~,}
7735:
7582:
7554:
7517:
7481:
7436:
7218:
7176:
6999:
6966:
6927:
6862:
6672:
6670:{\displaystyle \ I\ }
6646:
6546:
6544:{\displaystyle \ G\ }
6520:
6518:{\displaystyle \ F\ }
6494:
6458:
6456:{\displaystyle \ x\ }
6432:
6389:
6324:
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