2700:
4540:
2231:
6523:
6320:
4952:
5396:
2405:
4284:
1361:
3668:
generally acquire different values under a change of basis. Nevertheless, for certain types of transformations, there are specific combinations of components, called invariants, that remain unchanged. Invariants are defined with respect to a given set of transformations, formally known as a
4072:
1936:
6356:
6019:
1489:
1733:
835:
1100:
4706:
5165:
2695:{\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}
3813:
5764:
4535:{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji}\right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}}
1198:
4187:
1891:
4077:
These quantities are linearly independent, that is, none can be expressed as a linear combination of the others. They are also complete, in the sense that there are no additional independent linear or quadratic invariants.
3311:
5589:
3124:
2226:{\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}
3824:
1191:
in the reference frame of the material. In an orthonormal
Cartesian coordinate basis, there is no distinction between upper and lower indices, and the metric tensor can be replaced with the Kronecker delta:
3560:
4125:
1542:
6518:{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}
3213:
6315:{\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}
6591:
345:, but the elasticity tensor has at most 21 independent components. This fact follows from the symmetry of the stress and strain tensors, together with the requirement that the stress derives from an
1372:
1616:
6024:
5170:
4711:
4289:
3712:
2410:
1941:
6692:
6645:
699:
942:
5083:
An irreducible representation can be built by considering the notion of a totally symmetric tensor, which is invariant under the interchange of any two indices. A totally symmetric tensor
5851:
4695:
4947:{\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{il}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}
397:
2366:
are scalars; because they are coordinate-independent, they are intrinsic material constants. Thus, a crystal with cubic symmetry is described by three independent elastic constants.
6970:
6901:
6861:
6792:
6752:
3012:
688:
465:
167:
5391:{\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}
5065:, as they are not symmetric under interchange of the first two indices. In addition, it is not irreducible, so it is not invariant under linear transformations such as rotations.
4603:, respectively. This decomposition is irreducible, in the sense of being invariant under rotations, and is an important tool in the conceptual development of continuum mechanics.
1785:
4254:
1916:
5964:
3397:
6999:
6930:
6821:
5880:
5428:
3707:
870:
5600:
3602:
7590:
Itin, Yakov; Hehl, Friedrich W. (April 2013). "The constitutive tensor of linear elasticity: Its decompositions, Cauchy relations, null
Lagrangians, and wave propagation".
6345:
6011:
5989:
5924:
5902:
5125:
5103:
4276:
4232:
3699:
3666:
3336:
2730:
2300:
2278:
2256:
1564:
1356:{\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{}}}
1185:
934:
899:
620:
592:
570:
548:
526:
307:
96:
74:
5464:
5063:
5027:
4991:
3444:
2324:
1604:
1123:
504:
343:
274:
4210:
2364:
4092:
A common strategy in tensor analysis is to decompose a tensor into simpler components that can be analyzed separately. For example, the displacement gradient tensor
3632:
3402:
The symmetries listed above reduce the number of independent components from 81 to 21. If a material has additional symmetries, then this number is further reduced.
2397:
230:
200:
5154:
4133:
4572:
2344:
1793:
1584:
1143:
6712:
3147:
1163:
4601:
4606:
The elasticity tensor has rank 4, and its decompositions are more complex and varied than those of a rank-2 tensor. A few examples are described below.
3224:
276:
are the components of the elasticity tensor. Summation over repeated indices is implied. This relationship can be interpreted as a generalization of
7063:
5472:
3020:
7035:
7749:
7728:
4067:{\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}
5926:
will either leave it unchanged or evaluate to zero. It is also irreducible with respect to arbitrary linear transformations, that is, the
8065:
8045:
4095:
1497:
3155:
3452:
1484:{\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}
6534:
1728:{\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}
2732:
in other crystal symmetry classes. The number of independent elastic constants for several of these is given in table 1.
830:{\displaystyle K_{ijpq}C^{pqkl}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{i}^{k}\delta _{j}^{l}+\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{k}\right)}
8070:
7030:
6650:
6603:
2744:
1095:{\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}
237:
5078:
5776:
4620:
3701:
possesses two linear invariants and seven quadratic invariants with respect to SO(3). The linear invariants are
372:
6935:
6866:
6826:
6757:
6717:
2952:
2369:
In an orthonormal
Cartesian coordinate basis, there is no distinction between upper and lower indices, and
628:
405:
107:
1741:
7653:
Itin, Yakov (20 April 2020). "Irreducible matrix resolution for symmetry classes of elasticity tensors".
7067:
7025:
7020:
4237:
3808:{\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}
1899:
1366:
Substituting the first equation into the stress-strain relation and summing over repeated indices gives
7866:
Olive, M.; Kolev, B.; Auffray, N. (2017-05-24). "A Minimal
Integrity Basis for the Elasticity Tensor".
5932:
5759:{\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}
3344:
901:
is defined from the stress-strain relation of a linear elastic material, in the limit of small strain.
7768:
6975:
6906:
6797:
5969:
However, this decomposition is not irreducible with respect to the group of rotations SO(3). Instead,
5856:
5404:
7977:
7885:
7609:
7562:
6597:
5927:
4614:
This decomposition is obtained by symmeterization and antisymmeterization of the middle two indices:
4087:
2926:
843:
233:
353:
materials, the elasticity tensor has just two independent components, which can be chosen to be the
7010:
3673:. For example, an invariant with respect to the group of proper orthogonal transformations, called
281:
8038:
Modern
Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics
6328:
5994:
5972:
5907:
5885:
5108:
5086:
4259:
4215:
3682:
3649:
3319:
2713:
2283:
2261:
2239:
1547:
1168:
917:
882:
603:
575:
553:
531:
509:
290:
79:
57:
7995:
7952:
7936:
7909:
7875:
7846:
7828:
7807:
7791:
7696:
7680:
7662:
7641:
7625:
7599:
7537:
7511:
7482:
1607:
6350:
This representation decomposes the space of elasticity tensors into a direct sum of subspaces:
3568:
8041:
8021:
8003:
7944:
7901:
7854:
7799:
7755:
7745:
7724:
7688:
7633:
7578:
7529:
7490:
5433:
5032:
4996:
4960:
4182:{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{3}}\Theta \mathbf {g} +\mathbf {\Sigma } +\mathbf {R} }
3413:
2309:
1589:
1108:
473:
312:
243:
43:
7459:
4195:
2949:
The elasticity tensor has several symmetries that follow directly from its defining equation
2349:
1886:{\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}
8011:
7985:
7893:
7838:
7783:
7769:"The Closest Elastic Tensor of Arbitrary Symmetry to an Elasticity Tensor of Lower Symmetry"
7739:
7672:
7617:
7570:
7521:
7502:
Hehl, Friedrich W.; Itin, Yakov (2002). "The Cauchy
Relations in Linear Elasticity Theory".
7474:
3607:
2372:
205:
175:
5130:
7712:
7015:
4548:
3670:
3635:
2329:
1569:
1128:
873:
7981:
7889:
7613:
7566:
7720:
7040:
6697:
3132:
2736:
Table 1: Number of independent elastic constants for various crystal symmetry classes.
2302:
are unit vectors corresponding to the three mutually perpendicular axes of the crystal
1148:
346:
277:
39:
8016:
7965:
4577:
8059:
7913:
7700:
7645:
7574:
5074:
1927:
1188:
358:
7811:
7541:
5156:
3129:
Usually, one also assumes that the stress derives from an elastic energy potential
2859:
2778:
354:
3306:{\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}
17:
5430:
is the set of all permutations of the four indices. Owing to the symmetries of
8033:
7897:
7787:
7759:
7708:
7525:
5584:{\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}
3338:
must be symmetric under interchange of the first and second pairs of indices:
2790:
2766:
8007:
7999:
7948:
7940:
7905:
7858:
7850:
7803:
7795:
7692:
7684:
7676:
7637:
7629:
7582:
7533:
7494:
7486:
7478:
7465:
Cowin, Stephen C. (1989). "Properties of the
Anisotropic Elasticity Tensor".
7070:. As a result, some references represent components using only lower indices.
3119:{\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}
7550:
2914:
2754:
2303:
350:
8025:
7842:
7990:
7833:
7516:
7956:
3638:. A similar transformation rule holds for other linear transformations.
7923:
7819:
Norris, A. N. (22 May 2007). "Quadratic invariants of elastic moduli".
6325:
See Itin (2020) for explicit expressions in terms of the components of
4545:
Here and later, symmeterization and antisymmeterization are denoted by
7621:
35:
3677:, is a quantity that remains constant under arbitrary 3D rotations.
7880:
7667:
7604:
3674:
6694:
is the space of 3D, totally symmetric, traceless tensors of rank
369:
The most general linear relation between two second-rank tensors
7264:
7262:
7228:
7226:
7079:
Combining the forward and inverse stress-strain relations gives
7370:
7368:
5882:. In other words, any additional symmetrization operations on
4120:{\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {\nabla } \mathbf {\xi } }
7343:
7341:
7339:
7337:
7209:, so this is the correct solution from a physical standpoint.
3014:. The symmetry of the stress and strain tensors implies that
1537:{\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}
6957:
6888:
6848:
6779:
6739:
6505:
6480:
6443:
6418:
6393:
6362:
3208:{\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}
7821:
The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics
7467:
The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics
7460:
The
Feynman Lectures on Physics - The tensor of elasticity
7066:, respectively, though the distinction can be ignored for
5853:
can be shown to be unique and irreducible with respect to
3555:{\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}
7551:"Continuum micro-mechanics of elastoplastic polycrystals"
7504:
Journal of Elasticity and the Physical Science of Solids
6586:{\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}
2399:
is the Kronecker delta, so the expression simplifies to
3604:
are the covariant components in the rotated basis, and
7249:
7247:
7245:
7243:
7241:
7385:
7383:
6978:
6938:
6909:
6869:
6829:
6800:
6760:
6720:
6700:
6653:
6606:
6537:
6359:
6331:
6022:
5997:
5975:
5935:
5910:
5888:
5859:
5779:
5603:
5475:
5436:
5407:
5168:
5133:
5111:
5089:
5035:
4999:
4963:
4709:
4623:
4580:
4551:
4287:
4262:
4240:
4218:
4212:
is a rank-0 tensor (a scalar), equal to the trace of
4198:
4136:
4098:
3827:
3710:
3685:
3652:
3610:
3571:
3455:
3416:
3347:
3322:
3227:
3158:
3135:
3023:
2955:
2716:
2408:
2375:
2352:
2332:
2312:
2286:
2264:
2242:
1939:
1902:
1796:
1744:
1619:
1592:
1572:
1550:
1500:
1375:
1201:
1171:
1151:
1131:
1111:
945:
920:
885:
846:
702:
631:
606:
578:
556:
534:
512:
476:
408:
375:
315:
293:
246:
208:
178:
110:
82:
60:
7874:(1). Springer Science and Business Media LLC: 1–31.
7767:
Moakher, Maher; Norris, Andrew N. (5 October 2006).
7031:
List of materials properties § Mechanical properties
2710:
There are similar expressions for the components of
622:
is defined from the inverse stress-strain relation:
7966:"On the stress-strain relations for cubic crystals"
7426:
7424:
7422:
27:
Stress-strain relation in a linear elastic material
7922:
7738:Marsden, Jerrold E.; Hughes, Thomas J. R. (1994).
6993:
6964:
6924:
6895:
6855:
6815:
6786:
6746:
6706:
6687:{\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}
6686:
6640:{\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}
6639:
6585:
6517:
6339:
6314:
6005:
5983:
5958:
5918:
5896:
5874:
5845:
5758:
5583:
5458:
5422:
5390:
5148:
5119:
5097:
5057:
5021:
4985:
4946:
4689:
4595:
4566:
4534:
4270:
4248:
4226:
4204:
4181:
4119:
4066:
3807:
3693:
3660:
3626:
3596:
3554:
3438:
3391:
3330:
3305:
3207:
3141:
3118:
3006:
2724:
2694:
2391:
2358:
2338:
2318:
2294:
2272:
2250:
2225:
1910:
1885:
1779:
1727:
1598:
1578:
1558:
1536:
1483:
1355:
1179:
1157:
1137:
1117:
1094:
928:
893:
864:
829:
682:
614:
586:
564:
542:
520:
498:
459:
391:
337:
301:
268:
224:
194:
161:
90:
68:
7442:
6954:
6885:
6845:
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6736:
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1700:
1639:
1456:
1395:
1271:
1227:
1145:are scalar functions of the material coordinates
1015:
971:
594:are the stress and strain tensors, respectively.
7970:Proceedings of the National Academy of Sciences
7401:
7374:
7359:
7268:
7232:
7555:Journal of the Mechanics and Physics of Solids
7347:
7413:
7304:
5991:decomposes into three irreducible parts, and
4957:A disadvantage of this decomposition is that
879:Unless otherwise noted, this article assumes
8:
7130:, this equation does not uniquely determine
1606:can be identified with the first and second
7868:Archive for Rational Mechanics and Analysis
506:are the components of a fourth-rank tensor
7924:"Invariant Elastic Constants for Crystals"
5846:{\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}
4690:{\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}
8015:
7989:
7879:
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7603:
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6608:
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6596:These subspaces are each isomorphic to a
6536:
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2014:
1990:
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1743:
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1200:
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884:
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374:
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292:
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131:
115:
109:
83:
81:
61:
59:
7316:
7253:
5029:do not obey all original symmetries of
2734:
309:in 3D has 3 = 81 independent components
101:The defining equation can be written as
7222:
7052:
1896:are the components of the shear tensor
7921:Srinivasan, T.P.; Nigam, S.D. (1969).
7741:Mathematical Foundations of Elasticity
7389:
7328:
7064:contravariant and covariant components
7036:Representation theory of finite groups
6965:{\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}
6896:{\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}
6856:{\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}
6787:{\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}
6747:{\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}
3634:are the elements of the corresponding
528:. The elasticity tensor is defined as
7292:
7062:Here, upper and lower indices denote
3007:{\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}
683:{\displaystyle E^{ij}=K^{ijkl}T_{kl}}
460:{\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}
162:{\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}
7:
7929:Journal of Mathematics and Mechanics
7430:
7280:
7058:
7056:
1780:{\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }
7655:Mathematics and Mechanics of Solids
7205:preserves the minor symmetries of
5773:antisymmetric). The decomposition
4405:
4402:
4293:
4278:is antisymmetric. Component-wise,
4249:{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
4199:
4155:
4108:
3284:
3268:
3254:
3186:
3178:
1911:{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
1855:
1852:
1798:
1713:
1663:
1660:
1505:
1502:
1419:
1416:
25:
5959:{\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}
4256:is symmetric and trace-free; and
3818:and the quadratic invariants are
3392:{\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}
6994:{\displaystyle \mathbb {H} _{4}}
6925:{\displaystyle \mathbb {H} _{2}}
6816:{\displaystyle \mathbb {H} _{1}}
6333:
5999:
5977:
5912:
5890:
5875:{\displaystyle \mathbb {S} _{4}}
5423:{\displaystyle \mathbb {S} _{4}}
5113:
5091:
4411:
4264:
4242:
4220:
4175:
4167:
4159:
4138:
4100:
3687:
3654:
3324:
2718:
2288:
2266:
2244:
1904:
1861:
1669:
1552:
1511:
1425:
1173:
922:
887:
608:
580:
558:
536:
514:
385:
377:
295:
84:
62:
7964:Thomas, T. Y. (February 1966).
7592:Journal of Mathematical Physics
7443:Olive, Kolev & Auffray 2017
3410:Under rotation, the components
3071:
3065:
1348:
865:{\displaystyle \delta _{n}^{m}}
8040:. Princeton University Press.
8036:; Blandford, Roger D. (2017).
7719:. Vol. 7 (2nd ed.).
7110:. Due to the minor symmetries
6949:
6943:
6880:
6874:
6840:
6834:
6771:
6765:
6731:
6725:
6681:
6666:
6634:
6619:
6580:
6568:
6562:
6544:
6497:
6491:
6472:
6466:
6435:
6429:
6410:
6404:
6385:
6379:
6278:
6272:
6242:
6236:
6193:
6187:
6156:
6150:
6119:
6113:
5953:
5939:
5243:
5219:
4868:
4859:
4753:
4744:
4590:
4581:
4561:
4552:
4467:
4458:
4322:
4313:
1843:
1829:
1771:
1757:
1610:. An equivalent expression is
1:
287:A general fourth-rank tensor
7575:10.1016/0022-5096(65)90023-2
6340:{\displaystyle \mathbf {C} }
6006:{\displaystyle \mathbf {A} }
5984:{\displaystyle \mathbf {S} }
5919:{\displaystyle \mathbf {A} }
5897:{\displaystyle \mathbf {S} }
5120:{\displaystyle \mathbf {C} }
5098:{\displaystyle \mathbf {S} }
4271:{\displaystyle \mathbf {R} }
4227:{\displaystyle \mathbf {W} }
3694:{\displaystyle \mathbf {C} }
3661:{\displaystyle \mathbf {C} }
3331:{\displaystyle \mathbf {C} }
2725:{\displaystyle \mathbf {C} }
2295:{\displaystyle \mathbf {c} }
2273:{\displaystyle \mathbf {b} }
2251:{\displaystyle \mathbf {a} }
1559:{\displaystyle \mathbf {E} }
1180:{\displaystyle \mathbf {g} }
929:{\displaystyle \mathbf {C} }
894:{\displaystyle \mathbf {C} }
615:{\displaystyle \mathbf {K} }
587:{\displaystyle \mathbf {E} }
565:{\displaystyle \mathbf {T} }
543:{\displaystyle \mathbf {C} }
521:{\displaystyle \mathbf {C} }
302:{\displaystyle \mathbf {F} }
91:{\displaystyle \mathbf {Y} }
69:{\displaystyle \mathbf {C} }
7402:Thorne & Blandford 2017
7375:Thorne & Blandford 2017
7360:Srinivasan & Nigam 1969
7269:Thorne & Blandford 2017
7233:Thorne & Blandford 2017
5069:Irreducible representations
1926:The elasticity tensor of a
914:For an isotropic material,
238:infinitesimal strain tensor
8087:
8066:Tensor physical quantities
7348:Landau & Lifshitz 1970
5079:Irreducible representation
5072:
4085:
1787:is the bulk modulus, and
232:are the components of the
46:material. Other names are
7898:10.1007/s00205-017-1127-y
7788:10.1007/s10659-006-9082-0
7414:Moakher & Norris 2006
7305:Marsden & Hughes 1994
5769:is an asymmetric tensor (
3597:{\displaystyle C'_{ijkl}}
54:. Common symbols include
7677:10.1177/1081286520913596
5459:{\displaystyle C^{ijkl}}
5105:can be constructed from
5058:{\displaystyle C^{ijkl}}
5022:{\displaystyle N^{ijkl}}
4986:{\displaystyle M^{ijkl}}
3439:{\displaystyle C^{ijkl}}
2319:{\displaystyle \lambda }
1599:{\displaystyle \lambda }
1118:{\displaystyle \lambda }
499:{\displaystyle C^{ijkl}}
338:{\displaystyle F_{ijkl}}
269:{\displaystyle C^{ijkl}}
7549:Hill, R. (April 1965).
7526:10.1023/A:1021225230036
4205:{\displaystyle \Theta }
2749:Independent components
2359:{\displaystyle \alpha }
693:The two are related by
7744:. Dover Publications.
7479:10.1093/qjmam/42.2.249
7190:is a solution for any
6995:
6966:
6926:
6897:
6857:
6817:
6788:
6748:
6708:
6688:
6641:
6587:
6519:
6341:
6316:
6007:
5985:
5960:
5920:
5898:
5876:
5847:
5760:
5585:
5466:, this sum reduces to
5460:
5424:
5392:
5150:
5121:
5099:
5059:
5023:
4987:
4948:
4691:
4597:
4568:
4536:
4272:
4250:
4228:
4206:
4183:
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4068:
3809:
3695:
3662:
3628:
3627:{\displaystyle R_{ij}}
3598:
3556:
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3393:
3332:
3307:
3209:
3143:
3120:
3008:
2726:
2696:
2393:
2392:{\displaystyle g^{ij}}
2360:
2340:
2320:
2296:
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2252:
2227:
1912:
1887:
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1600:
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1485:
1357:
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1119:
1096:
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866:
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684:
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588:
566:
544:
522:
500:
461:
393:
339:
303:
270:
226:
225:{\displaystyle E_{kl}}
196:
195:{\displaystyle T^{ij}}
163:
92:
70:
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