3777:
3465:
3772:{\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)}
1497:
547:
1247:
3885:
Clearly this pseudotensor for gravitational stress–energy is constructed exclusively from the metric tensor and its first derivatives. Consequently, it vanishes at any event when the coordinate system is chosen to make the first derivatives of the metric vanish because each term in the pseudotensor
2589:
330:
3439:
1492:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}
3881:
1523:
708:
1027:
1102:
The Landau–Lifshitz pseudotensor appears to include second derivative terms in the metric, but in fact the explicit second derivative terms in the pseudotensor cancel with the implicit second derivative terms contained within the
2599:
32:
that incorporates the energy–momentum of gravity. It allows the energy–momentum of a system of gravitating matter to be defined. In particular it allows the total of matter plus the gravitating energy–momentum to form a
1142:; only the first derivative terms in the metric survive and these vanish where the frame is locally inertial at any chosen point. As a result, the entire pseudotensor vanishes locally (again, at any chosen point)
542:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}
229:
318:, vanish locally in some frames. If gravitational energy is a function of its force field, as is usual for other forces, then the associated gravitational pseudotensor should also vanish locally.
2604:
1528:
3782:
1184:
155:
4026:
Petrov, Alexander (2008). "Nonlinear
Perturbations and Conservation Laws on Curved Backgrounds in GR and Other Metric Theories". In Christiansen, M.N.; Rasmussen, T.K. (eds.).
879:
808:
1136:
1093:
1058:
917:
841:
770:
271:
1218:
635:
1242:
926:
628:
75:
of a pseudotensor which is, in this case, a tensor (which also vanishes). Mathematical developments in the 1980's have allowed pseudotensors to be understood as
3886:
is quadratic in the first derivatives of the metric. However it is not symmetric, and is therefore not suitable as a basis for defining the angular momentum.
2584:{\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg \end{aligned}}}
3444:
This definition of energy–momentum is covariantly applicable not just under
Lorentz transformations, but also under general coordinate transformations.
99:
for gravity, when combined with terms for matter (including photons and neutrinos), allows the energy–momentum conservation laws to be extended into
4075:
4051:
3434:{\displaystyle {\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big \end{aligned}}}
567:
162:
4009:
3940:
4027:
1099:; the remaining term vanishes algebraically due to the commutativity of partial derivatives applied across antisymmetric indices.
171:
3928:
303:
3974:
Das hamiltonisches
Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (The Hamiltonian principle and general relativity).
295:) vanishes so that we have a conserved expression for the total stress–energy–momentum. (This is required of any
1061:
885:
239:
29:
1513:
Landau & Lifshitz also provide two equivalent but longer expressions for the Landau–Lifshitz pseudotensor:
1502:
1096:
3895:
4033:
3989:
Der
Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (An energy conservation law in general relativity).
327:
Landau & Lifshitz showed that there is a unique construction that satisfies these requirements, namely
1139:
725:
76:
1145:
1138:. This is more evident when the pseudotensor is directly expressed in terms of the metric tensor or the
121:
71:
are inappropriate objects in general relativity, but the conservation law only requires the use of the 4-
3924:
1221:
1196:
311:
846:
775:
737:
Examining the 4 requirement conditions we can see that the first 3 are relatively easy to demonstrate:
83:, thus providing a firm theoretical foundation for the concept of pseudotensors in general relativity.
715:
64:
3876:{\displaystyle \left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.}
1110:
1067:
1032:
891:
815:
744:
245:
2593:
703:{\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}
315:
4037:
3900:
1022:{\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0}
711:
100:
38:
17:
1202:
118:
were led by four requirements in their search for a gravitational energy momentum pseudotensor,
4047:
4005:
3936:
1227:
296:
34:
4070:
232:
3985:
3970:
3453:
1104:
557:
115:
54:
610:
4004:(1975), Princeton University Press, quick presentation of the bare essentials of GTR.
1195:
When the Landau–Lifshitz pseudotensor was formulated it was commonly assumed that the
4064:
1517:
96:
68:
46:
306:(which requires that it only contains first order and not second or higher order
597:
57:
3459:
920:
307:
274:
111:
80:
72:
884:
The Landau–Lifshitz pseudotensor is constructed so that when added to the
1186:, which demonstrates the delocalisation of gravitational energy–momentum.
4042:
1029:. This follows from the cancellation of the Einstein tensor,
165:, so as to be purely geometrical or gravitational in origin.
3308:
2332:
772:, is itself constructed from the metric, so therefore is
881:
since the additional terms are symmetric by inspection.
67:) have objected to this derivation on the grounds that
638:
3785:
3468:
2602:
1526:
1250:
1230:
1205:
1148:
1113:
1070:
1035:
929:
894:
849:
818:
778:
747:
613:
333:
248:
224:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}
174:
124:
3976:
Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
3875:
3771:
3433:
2583:
1491:
1236:
1212:
1178:
1130:
1087:
1052:
1021:
911:
873:
835:
802:
764:
702:
622:
541:
265:
223:
149:
3991:Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459
2704:
1650:
314:requires that the gravitational force field, the
3452:This pseudotensor was originally developed by
3462:showed that the mixed Einstein pseudotensor
8:
1501:This is necessary for consistency with the
28:, is an extension of the non-gravitational
4041:
3858:
3843:
3832:
3825:
3820:
3810:
3803:
3798:
3784:
3754:
3743:
3735:
3725:
3717:
3704:
3696:
3686:
3678:
3660:
3650:
3645:
3627:
3619:
3609:
3604:
3591:
3583:
3565:
3550:
3541:
3513:
3497:
3491:
3482:
3475:
3470:
3467:
3413:
3400:
3385:
3377:
3367:
3359:
3346:
3338:
3328:
3320:
3290:
3277:
3262:
3254:
3244:
3236:
3223:
3215:
3205:
3197:
3184:
3176:
3166:
3158:
3145:
3137:
3127:
3119:
3093:
3080:
3065:
3057:
3047:
3039:
3026:
3018:
3008:
3000:
2987:
2979:
2969:
2961:
2948:
2940:
2930:
2922:
2906:
2889:
2876:
2860:
2847:
2827:
2819:
2809:
2801:
2788:
2780:
2770:
2762:
2749:
2741:
2731:
2723:
2703:
2702:
2683:
2677:
2651:
2638:
2631:
2619:
2611:
2603:
2601:
2563:
2549:
2535:
2520:
2506:
2492:
2477:
2464:
2448:
2434:
2420:
2405:
2391:
2377:
2362:
2349:
2335:
2324:
2307:
2293:
2279:
2264:
2250:
2236:
2221:
2208:
2192:
2178:
2164:
2149:
2135:
2121:
2106:
2093:
2077:
2065:
2051:
2037:
2022:
2008:
1994:
1974:
1961:
1945:
1932:
1906:
1893:
1877:
1864:
1842:
1835:
1823:
1809:
1795:
1780:
1766:
1752:
1734:
1720:
1706:
1691:
1677:
1663:
1649:
1648:
1629:
1623:
1592:
1579:
1572:
1560:
1552:
1527:
1525:
1477:
1458:
1445:
1429:
1416:
1354:
1348:
1331:
1312:
1284:
1278:
1263:
1255:
1249:
1229:
1209:
1204:
1161:
1153:
1147:
1127:
1118:
1112:
1084:
1075:
1069:
1049:
1040:
1034:
1004:
985:
977:
961:
928:
908:
899:
893:
862:
854:
848:
832:
823:
817:
791:
783:
777:
761:
752:
746:
699:
690:
677:
663:
657:
642:
640:
637:
612:
527:
508:
495:
479:
466:
408:
402:
390:
367:
361:
346:
338:
332:
262:
253:
247:
220:
211:
203:
187:
179:
173:
161:that it be constructed entirely from the
146:
137:
129:
123:
1224:, and the expression frequently gains a
3912:
4029:Classical and Quantum Gravity Research
560:(which is constructed from the metric)
60:(4-dimensional submanifold) vanishes.
1509:Metric and affine connection versions
7:
3920:
3918:
3916:
310:of the metric). This is because the
1179:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}
150:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}
22:stress–energy–momentum pseudotensor
3732:
3714:
3693:
3675:
3616:
3580:
3374:
3356:
3335:
3317:
3251:
3233:
3212:
3194:
3173:
3155:
3134:
3116:
3054:
3036:
3015:
2997:
2976:
2958:
2937:
2919:
2816:
2798:
2777:
2759:
2738:
2720:
2644:
1585:
1324:
1231:
1206:
683:
670:
660:
14:
874:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}
803:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}
168:that it be index symmetric, i.e.
3933:The Classical Theory of Fields
1540:
1531:
1379:
1370:
1131:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
1088:{\displaystyle T^{\mu \nu }\,}
1053:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
912:{\displaystyle T^{\mu \nu }\,}
836:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
765:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
454:
445:
433:
424:
266:{\displaystyle T^{\mu \nu }\,}
1:
4076:Tensors in general relativity
3961:Landau–Lifshitz equation 96.8
3952:Landau–Lifshitz equation 96.9
3779:satisfies a conservation law
302:that it vanish locally in an
45:energy–momentum crossing the
4002:General Theory of Relativity
3929:Evgeny Mikhailovich Lifshitz
93:Landau–Lifshitz pseudotensor
87:Landau–Lifshitz pseudotensor
49:(3-dimensional boundary) of
26:Landau–Lifshitz pseudotensor
812:Since the Einstein tensor,
741:Since the Einstein tensor,
304:inertial frame of reference
95:, a stress–energy–momentum
4092:
3935:, (1951), Pergamon Press,
1222:that assumption is suspect
1213:{\displaystyle \Lambda \,}
607:, hence its appearance as
1503:Einstein field equations
1237:{\displaystyle \Lambda }
1097:Einstein field equations
238:that, when added to the
37:within the framework of
4034:Nova Science Publishers
3943:chapter 11, section #96
1220:, was zero. Nowadays,
273:, its total ordinary 4-
3877:
3773:
3435:
2585:
1493:
1238:
1214:
1180:
1140:Levi-Civita connection
1132:
1089:
1054:
1023:
913:
875:
837:
804:
766:
726:gravitational constant
704:
624:
600:of the metric tensor.
566:is the inverse of the
543:
267:
225:
151:
3925:Lev Davidovich Landau
3878:
3774:
3448:Einstein pseudotensor
3436:
2586:
1494:
1239:
1215:
1197:cosmological constant
1191:Cosmological constant
1181:
1133:
1090:
1055:
1024:
914:
876:
843:, is symmetric so is
838:
805:
767:
716:covariant derivatives
705:
625:
544:
312:equivalence principle
268:
226:
152:
63:Some people (such as
3783:
3466:
2600:
1524:
1248:
1228:
1203:
1146:
1111:
1068:
1062:stress–energy tensor
1033:
927:
892:
886:stress–energy tensor
847:
816:
776:
745:
636:
611:
331:
246:
240:stress–energy tensor
172:
122:
30:stress–energy tensor
3896:Bel–Robinson tensor
3748:
3730:
3709:
3691:
3655:
3632:
3614:
3596:
3390:
3372:
3351:
3333:
3267:
3249:
3228:
3210:
3189:
3171:
3150:
3132:
3070:
3052:
3031:
3013:
2992:
2974:
2953:
2935:
2832:
2814:
2793:
2775:
2754:
2736:
2627:
1568:
1271:
1169:
993:
870:
799:
712:partial derivatives
354:
316:Christoffel symbols
219:
195:
145:
3901:Gravitational wave
3873:
3769:
3731:
3713:
3692:
3674:
3641:
3615:
3600:
3579:
3431:
3429:
3373:
3355:
3334:
3316:
3250:
3232:
3211:
3193:
3172:
3154:
3133:
3115:
3053:
3035:
3014:
2996:
2975:
2957:
2936:
2918:
2815:
2797:
2776:
2758:
2737:
2719:
2607:
2581:
2579:
1548:
1489:
1251:
1234:
1210:
1176:
1149:
1128:
1085:
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1019:
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871:
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800:
779:
762:
700:
623:{\displaystyle -g}
620:
539:
334:
263:
221:
199:
175:
147:
125:
101:general relativity
39:general relativity
18:general relativity
4053:978-1-61122-957-8
4012:pages 61—63
3851:
3762:
3558:
3524:
3521:
2700:
2672:
2594:Affine connection
2543:
2500:
2428:
2385:
2343:
2287:
2244:
2172:
2129:
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2002:
1850:
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1760:
1714:
1671:
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1613:
1383:
1301:
697:
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