10963:
9354:
9019:
9042:
3560:
8734:
374:
is the general study of Sturm–Liouville problems. In particular, for a "regular" Sturm–Liouville problem, it can be shown that there are an infinite number of eigenvalues each with a unique eigenfunction, and that these eigenfunctions form an orthonormal basis of a certain
Hilbert space of functions.
6182:
6553:
6914:
4967:
8080:
6718:
7360:
9349:{\displaystyle {\tilde {X}}^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle \quad \int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ odd}},\\\displaystyle -\int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ even.}}\end{cases}}}
9504:
2820:
3355:
5795:
which is all we need for this particular theory to function. We mention for the interested reader that in this case we may rely on a result which says that
Fourier series converge at every point of differentiability, and at jump points (the function
926:
7940:
5959:
1893:
8342:
Numerically, a variety of methods are also available. In difficult cases, one may need to carry out the intermediate calculations to several hundred decimal places of accuracy in order to obtain the eigenvalues correctly to a few decimal places.
1054:
4343:
singular. In this case, the spectrum no longer consists of eigenvalues alone and can contain a continuous component. There is still an associated eigenfunction expansion (similar to
Fourier series versus Fourier transform). This is important in
9630:
6042:
4676:
7545:
1486:
6381:
7798:
3237:
8204:
4292:
3031:
6759:
5215:
8316:
4833:
2171:
9014:{\displaystyle X^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle -\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ odd}},\\\displaystyle \quad \int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ even}}\end{cases}}}
7684:
5777:
545:
4001:
2673:
164:
3350:
2403:
7190:
2563:
3703:
2277:
2079:
2916:
7944:
1356:
with inner product defined using the weight function. Sturm–Liouville theory studies the existence and asymptotic behavior of the eigenvalues, the corresponding qualitative theory of the eigenfunctions and their
5287:
6577:
4155:
7195:
5546:
that this set of sinusoidal functions is an orthogonal basis. Since orthogonal bases are always maximal (by definition) we conclude that the Sturm–Liouville problem in this case has no other eigenvectors.
8513:
4824:
4074:
1751:
4451:
5388:
9379:
3121:
7015:
7802:
5820:
4745:
1756:
2473:
1412:
5076:
satisfy the desired boundary conditions, and injecting inside the proposed differential equation, it can be assumed without loss of generality that the boundary conditions are of the form
818:
9508:
7405:
5602:
949:
4334:
4082:
twice, where the boundary terms vanish by virtue of the boundary conditions. It then follows that the eigenvalues of a Sturm–Liouville operator are real and that eigenfunctions of
2678:
4525:
8404:
The spectral parameter power series (SPPS) method makes use of a generalization of the following fact about homogeneous second-order linear ordinary differential equations: if
7688:
7082:
5526:
3895:
3128:
8087:
5469:
5652:
4191:
1564:
5122:
3763:
10852:
10082:
8208:
1923:
1515:
7577:
1292:
5684:
762:
727:
425:
4559:
3901:
2574:
658:
3555:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.}
1244:
1205:
1140:
1105:
335:
45:
5001:
1660:
1417:
1324:
800:
633:
7087:
4554:
2921:
251:
222:
193:
10309:
3572:
1590:
10515:
2088:
355:
275:
3242:
1622:
690:
593:
2825:
6177:{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}
5222:
2312:
10678:
10009:
will never vanish because two linearly-independent solutions of a regular Sturm–Liouville equation cannot vanish simultaneously as a consequence of the
6548:{\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}
4096:
10987:
10805:
10660:
2486:
11002:
10636:
2184:
8429:
1990:
10173:
Ledoux, V.; Van Daele, M.; Berghe, G. Vanden (2009). "Efficient computation of high index Sturm–Liouville eigenvalues for problems in physics".
4020:
6909:{\displaystyle f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h(x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,}
5031:
ensures that the differential equation has a unique solution in a neighbourhood of the point where the initial conditions have been specified.
10484:
10401:
10368:
10317:
4962:{\displaystyle w=\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\exp \left(\int \alpha \,dx\right).}
5321:
6918:
8519:. Further, all solutions are linear combinations of these two solutions. In the SPPS algorithm, one must begin with an arbitrary value
10528:
9889:, this reduces to the original construction described above for a solution linearly independent to a given one. The representations (
4763:
10617:
10508:
10460:
10429:
10336:
10157:
4185:
402:
4681:
11007:
10887:
6374:
and define the simplest possible Sturm–Liouville eigenvalue problems as in the example, yielding the "normal mode solutions" for
10087:
8075:{\displaystyle a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}}
10532:
5553:
4363:
1676:
5028:
4161:
is not an eigenvalue. Then, computing the resolvent amounts to solving a nonhomogeneous equation, which can be done using the
10119:
Augusto B. d'Oliveira, Ed Gerck, Jason A. C. Gallas. "Solution of the Schrödinger equation for bound states in closed form."
1953:
3042:
10683:
10421:
10393:
10360:
10296:
5981:
5805:
1967:
387:
10739:
6713:{\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).}
4174:
4090:
and hence existence of an orthonormal basis of eigenfunctions is not evident. To overcome this problem, one looks at the
10966:
10688:
10673:
10501:
10703:
7355:{\displaystyle {\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h(x),\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).}
2414:
10291:
7022:
5480:
1371:
10948:
10708:
9869:. For numerical work one may truncate this series to a finite number of terms, producing a calculable polynomial in
5424:
5064:, the problem turns out to be much more difficult. Notice that by adding a suitable known differentiable function to
10902:
10826:
6756:
Consider a linear second-order differential equation in one spatial dimension and first-order in time of the form:
3733:
10943:
10759:
10693:
8332:
10997:
10992:
10795:
10596:
10452:
10448:
10417:
10389:
10356:
10010:
8350:
8336:
806:
10668:
9499:{\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\tilde {X}}^{(2k)},}
8396:
as necessary to correct the original value. This strategy is not applicable for locating complex eigenvalues.
8331:) with boundary conditions may be solved analytically, which can be exact or provide an approximation, by the
4297:
10892:
10286:
10077:
6187:
4349:
4162:
395:
383:
9372:
The resulting iterated integrals are now applied as coefficients in the following two power series in
9088:
8771:
4974:
4009:
is defined on sufficiently smooth functions which satisfy the above regular boundary conditions. Moreover,
10923:
10867:
10831:
7935:{\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}
5954:{\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1}{6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).}
5781:
This particular
Fourier series is troublesome because of its poor convergence properties. It is not clear
4339:
If the interval is unbounded, or if the coefficients have singularities at the boundary points, one calls
1888:{\displaystyle \langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm},}
254:
10229:
Kravchenko, V. V.; Porter, R. M. (2010). "Spectral parameter power series for Sturm–Liouville problems".
5785:
whether the series converges pointwise. Because of
Fourier analysis, since the Fourier coefficients are "
4456:
10132:
Robert F. O'Connell, Jason A. C. Gallas, Ed Gerck. "Scaling Laws for
Rydberg Atoms in Magnetic Fields."
7549:
The first of these equations must be solved as a Sturm–Liouville problem in terms of the eigenfunctions
1358:
1345:
39:
9958:
respectively. Then the constant function 1 is a nonvanishing solution corresponding to the eigenvalue
3830:
921:{\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0,\qquad \alpha _{1},\alpha _{2}{\text{ not both }}0,}
10906:
10248:
10192:
9625:{\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^{(2k+1)}.}
4079:
2176:
1975:
5607:
1520:
10872:
10810:
10524:
10467:(See Chapter 8, part B, for excerpts from the works of Sturm and Liouville and commentary on them.)
5964:
4170:
4091:
3721:
379:
7540:{\displaystyle {\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)=\lambda T(t).}
5967:, but this is no longer useful in most cases when the differential equation is in many variables.
1898:
1493:
1049:{\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0,\qquad \beta _{1},\beta _{2}{\text{ not both }}0.}
10897:
10764:
10264:
10238:
10208:
10182:
10106:
Ed Gerck, A. B. d'Oliveira, H. F. de
Carvalho. "Heavy baryons as bound states of three quarks."
10067:
2568:
1963:
1342:
1364:
The main result of Sturm–Liouville theory states that, for any regular Sturm–Liouville problem:
1259:
732:
697:
10877:
10480:
10456:
10425:
10397:
10364:
10332:
10313:
10153:
6745:
4345:
4166:
2815:{\displaystyle e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0}
1663:
1481:{\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty .}
391:
10408:(see Chapter 9 for singular Sturm–Liouville operators and connections with quantum mechanics)
10882:
10800:
10769:
10749:
10734:
10729:
10724:
10561:
10256:
10200:
8372:, solving an initial value problem defined by the boundary conditions at one endpoint, say,
5985:
5539:
4087:
1214:
1175:
1110:
1075:
406:
305:
7793:{\displaystyle T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}
7572:. The second of these equations can be analytically solved once the eigenvalues are known.
6737:
can be decomposed into a sum of these modes, which vibrate at their individual frequencies
1638:
1297:
767:
606:
10744:
10698:
10646:
10641:
10612:
10493:
4530:
3706:
1982:
1926:
227:
198:
169:
10571:
3232:{\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right),}
1569:
10383:
10252:
10196:
8199:{\displaystyle {\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx,}
5984:
can be solved with the help of Sturm–Liouville theory. Suppose we are interested in the
4184:
which converge to 0 and eigenfunctions which form an orthonormal basis follows from the
638:
17:
10933:
10785:
10586:
5543:
4287:{\displaystyle \left(L-z\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,}
1353:
382:, where Sturm–Liouville problems occur very frequently, particularly when dealing with
340:
260:
5210:{\displaystyle f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R} }.}
1595:
1333:
The terms eigenvalue and eigenvector are used because the solutions correspond to the
663:
566:
10981:
10938:
10862:
10591:
10576:
10566:
10476:
10441:
10385:
Mathematical
Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators
10379:
10350:
10346:
8311:{\displaystyle w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}.}
6730:
6036:
3824:
1671:
1349:
1338:
1327:
359:
10268:
10212:
5027:, a second order differential equation can be solved using ordinary methods and the
10928:
10581:
10551:
10072:
8356:
7679:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)}
5101:
Here, the Sturm–Liouville theory comes in play: indeed, a large class of functions
4014:
5772:{\displaystyle Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.}
10147:
4086:
corresponding to different eigenvalues are orthogonal. However, this operator is
540:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left+q(x)y=-\lambda \,w(x)y}
10857:
10847:
10754:
10556:
10062:
8392:
with the other desired boundary condition, and finally increasing or decreasing
6733:
of (generalized) solutions of the wave equation; that is, an arbitrary solution
4671:{\displaystyle Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x)}}u,}
3996:{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,dx.}
2668:{\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {dx}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}},}
1334:
1162:
31:
4177:, this integral operator is compact and existence of a sequence of eigenvalues
159:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left+q(x)y=-\lambda w(x)y}
10790:
10630:
10626:
10622:
10204:
3768:
417:
The main results in Sturm–Liouville theory apply to a Sturm–Liouville problem
291:
7185:{\displaystyle {\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}}
3026:{\displaystyle \left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0.}
3698:{\displaystyle Lu=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left+q(x)u\right)}
5005:
In general, if initial conditions at some point are specified, for example
4360:
Consider a general inhomogeneous second-order linear differential equation
2081:
which can be written in Sturm–Liouville form (first by dividing through by
2166:{\displaystyle \left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.}
285:
for which there exists a non-trivial solution to the problem. Such values
5786:
3827:
3345:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\mu (x)P(x)y'\right)+\mu (x)R(x)y=0,}
9682:
take part in this construction through their influence on the choice of
2911:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}}
6564:
4749:
It suffices to solve the first two equations, which amounts to solving
2085:, then by collapsing the first two terms on the left into one term) as
6321:
separately, they must be constants. For example, the first term gives
10260:
7402:, then both sides of the above equation must be equal to a constant:
8515:
is a solution of the same equation and is linearly independent from
5681:
or by consulting a table of
Fourier transforms, that we thus obtain
5282:{\displaystyle y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.}
5112:
of the associated
Liouville operator with corresponding eigenvalues
2398:{\displaystyle \left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}
6016:. The equation of motion for the vertical membrane's displacement,
5105:
can be expanded in terms of a series of orthonormal eigenfunctions
10243:
10187:
9654:
are linearly independent solutions of the corresponding equation (
8677:. To obtain the next functions they are multiplied alternately by
5538:. We know that the solutions of a Sturm–Liouville problem form an
10473:
Direct and Inverse Sturm-Liouville Problems: A Method of Solution
9909:
The SPPS method can, itself, be used to find a starting solution
5668:
as a Fourier series. The reader may check, either by integrating
4356:
Application to inhomogeneous second-order boundary value problems
1250:
if it is continuously differentiable and satisfies the equation (
9901:) also have theoretical applications in Sturm–Liouville theory.
9873:
whose roots are approximations of the sought-after eigenvalues.
8388:, comparing the value this solution takes at the other endpoint
7084:
Then our above partial differential equation may be written as:
5550:
Given the preceding, let us now solve the inhomogeneous problem
3565:
Sturm–Liouville equations as self-adjoint differential operators
10497:
10329:
Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations
4150:{\displaystyle \left(L-z\right)^{-1},\qquad z\in \mathbb {R} ,}
3036:
Integrating factor for general second-order homogenous equation
10053:
will have very small imaginary parts which must be discarded.
6335:. The boundary conditions ("held in a rectangular frame") are
2558:{\displaystyle y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0}
1962:) by multiplying both sides of the equation by an appropriate
5804:) converges to the average of the left and right limits (see
4527:. As before, this can be reduced to the Sturm–Liouville form
8594:
2272:{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}
9342:
9007:
8508:{\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}}
6307:. Since the three terms of this equation are functions of
2074:{\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0}
4069:{\displaystyle \langle Lf,g\rangle =\langle f,Lg\rangle .}
8548:; it does not need to be an eigenvalue) and any solution
2279:
which can easily be put into Sturm–Liouville form, since
1746:{\displaystyle L^{2}{\big (},w(x)\,\mathrm {d} x{\big )}}
10331:(2 ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press.
6190:
suggests looking first for solutions of the simple form
5800:, considered as a periodic function, has a jump at
5291:
This solution will be valid only over the open interval
2822:
which can be easily put into Sturm–Liouville form since
5219:
Then a solution to the proposed equation is evidently:
5905:
5383:{\displaystyle Lu=-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\lambda u}
10352:
Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
9511:
9382:
9211:
9091:
9045:
8900:
8774:
8737:
8432:
8321:
Representation of solutions and numerical calculation
8211:
8090:
7947:
7805:
7691:
7580:
7408:
7198:
7090:
7025:
6921:
6762:
6580:
6384:
6045:
5823:
5687:
5610:
5556:
5483:
5427:
5324:
5225:
5125:
4977:
4836:
4766:
4684:
4562:
4533:
4459:
4366:
4300:
4194:
4099:
4023:
3904:
3833:
3823:
operator. The proper setting for this problem is the
3736:
3575:
3358:
3245:
3131:
3045:
2924:
2828:
2681:
2577:
2489:
2417:
2315:
2187:
2091:
1993:
1901:
1759:
1679:
1641:
1598:
1572:
1523:
1496:
1420:
1374:
1300:
1262:
1217:
1178:
1113:
1078:
952:
821:
770:
735:
700:
666:
641:
609:
569:
428:
343:
308:
263:
230:
201:
172:
48:
3239:
and then collecting gives the Sturm–Liouville form:
1956:
can be recast in the form on the left-hand side of (
1517:
is a unique (up to constant multiple) eigenfunction
277:. The goals of a given Sturm–Liouville problem are:
10916:
10840:
10819:
10778:
10717:
10659:
10605:
10540:
7010:{\displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).}
5963:In this case, we could have found the answer using
5042:different points (so-called boundary values), e.g.
10853:Spectral theory of ordinary differential equations
10440:
10083:Spectral theory of ordinary differential equations
9624:
9498:
9348:
9013:
8507:
8310:
8198:
8074:
7934:
7792:
7678:
7539:
7354:
7184:
7076:
7009:
6908:
6712:
6547:
6176:
5953:
5771:
5646:
5596:
5520:
5463:
5382:
5281:
5209:
5034:But if in place of specifying initial values at a
4995:
4961:
4818:
4739:
4670:
4548:
4519:
4445:
4328:
4286:
4149:
4068:
3995:
3889:
3757:
3697:
3554:
3344:
3231:
3115:
3025:
2910:
2814:
2667:
2557:
2467:
2397:
2271:
2165:
2073:
1917:
1887:
1745:
1654:
1616:
1584:
1558:
1509:
1480:
1406:
1318:
1286:
1238:
1211:For a regular Sturm–Liouville problem, a function
1199:
1134:
1099:
1048:
920:
794:
756:
721:
684:
652:
627:
587:
539:
349:
329:
269:
245:
216:
187:
158:
8665:, they are taken to be identically equal to 1 on
8658:, are defined recursively as follows. First when
5988:of a thin membrane, held in a rectangular frame,
4971:Given this transformation, one is left to solve:
4556:: writing a general Sturm–Liouville operator as:
4352:is a special case of a Sturm–Liouville equation.
10044:) has real coefficients, the solutions based on
9865:) becomes an equation in a power series in
8368:Shooting methods proceed by guessing a value of
5421:. For boundary conditions, we take for example:
4819:{\displaystyle w'={\frac {Q-P'}{P}}w:=\alpha w.}
1407:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }
1966:(although the same is not true of second-order
10149:Numerical Solution of Sturm–Liouville Problems
3125:Multiplying through by the integrating factor
2918:so the differential equation is equivalent to
10509:
10327:Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2003).
8127:
8093:
8064:
8016:
8007:
7966:
7652:
7620:
5971:Application to partial differential equations
4348:, since the one-dimensional time-independent
4165:formula. This shows that the resolvent is an
1738:
1692:
595:that is "regular". The problem is said to be
8:
10231:Mathematical Methods in the Applied Sciences
4740:{\displaystyle p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.}
4060:
4045:
4039:
4024:
3917:
3905:
2309:, so the Legendre equation is equivalent to
1786:
1760:
1153:The goals of a Sturm–Liouville problem are:
8325:The Sturm–Liouville differential equation (
10544:
10516:
10502:
10494:
6225:the partial differential equation becomes
3720:, and it can be studied in the context of
1172:, to find the corresponding eigenfunction
10242:
10186:
9598:
9588:
9577:
9572:
9550:
9539:
9529:
9516:
9510:
9478:
9467:
9466:
9459:
9448:
9443:
9421:
9410:
9400:
9387:
9381:
9334:
9321:
9312:
9296:
9283:
9243:
9232:
9231:
9224:
9219:
9199:
9186:
9168:
9152:
9121:
9110:
9109:
9102:
9097:
9083:
9059:
9048:
9047:
9044:
8999:
8986:
8968:
8952:
8921:
8911:
8906:
8888:
8875:
8866:
8850:
8837:
8797:
8787:
8782:
8766:
8742:
8736:
8496:
8460:
8454:
8449:
8431:
8276:
8244:
8227:
8210:
8186:
8144:
8139:
8126:
8125:
8092:
8091:
8089:
8063:
8062:
8047:
8025:
8015:
8014:
8006:
8005:
7975:
7965:
7964:
7961:
7952:
7946:
7920:
7902:
7897:
7881:
7851:
7841:
7831:
7804:
7778:
7760:
7755:
7739:
7718:
7696:
7690:
7661:
7651:
7650:
7629:
7619:
7618:
7600:
7581:
7579:
7493:
7492:
7410:
7409:
7407:
7319:
7305:
7304:
7270:
7246:
7232:
7226:
7200:
7199:
7197:
7142:
7141:
7138:
7095:
7094:
7091:
7089:
7024:
6920:
6865:
6824:
6800:
6782:
6775:
6761:
6694:
6689:
6678:
6668:
6661:
6650:
6645:
6634:
6624:
6617:
6606:
6593:
6585:
6579:
6528:
6501:
6484:
6462:
6445:
6426:
6389:
6383:
6162:
6144:
6137:
6129:
6120:
6108:
6090:
6083:
6071:
6053:
6046:
6044:
5936:
5923:
5904:
5881:
5870:
5854:
5845:
5834:
5822:
5743:
5724:
5712:
5701:
5686:
5609:
5597:{\displaystyle Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )}
5555:
5488:
5482:
5426:
5362:
5344:
5337:
5323:
5270:
5258:
5248:
5242:
5236:
5224:
5199:
5198:
5197:
5188:
5165:
5155:
5145:
5124:
4976:
4944:
4902:
4860:
4835:
4778:
4765:
4683:
4641:
4604:
4572:
4561:
4532:
4458:
4446:{\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f(x)}
4365:
4317:
4299:
4264:
4215:
4193:
4173:of the problem). As a consequence of the
4140:
4139:
4120:
4098:
4022:
3983:
3938:
3932:
3927:
3903:
3877:
3838:
3832:
3735:
3647:
3646:
3614:
3588:
3574:
3531:
3499:
3453:
3425:
3393:
3359:
3357:
3246:
3244:
3214:
3182:
3147:
3130:
3044:
3006:
2994:
2989:
2984:
2983:
2973:
2946:
2941:
2936:
2935:
2923:
2900:
2889:
2884:
2879:
2878:
2872:
2859:
2854:
2849:
2848:
2829:
2827:
2795:
2783:
2778:
2773:
2772:
2762:
2743:
2732:
2727:
2722:
2721:
2715:
2697:
2692:
2687:
2686:
2680:
2655:
2650:
2645:
2644:
2624:
2610:
2576:
2538:
2529:
2510:
2501:
2488:
2422:
2416:
2337:
2314:
2203:
2186:
2138:
2132:
2090:
2051:
2038:
1998:
1992:
1906:
1900:
1873:
1858:
1857:
1830:
1811:
1801:
1796:
1780:
1767:
1758:
1737:
1736:
1728:
1727:
1691:
1690:
1684:
1678:
1646:
1640:
1597:
1571:
1541:
1528:
1522:
1501:
1495:
1457:
1438:
1425:
1419:
1392:
1379:
1373:
1299:
1261:
1216:
1177:
1112:
1077:
1038:
1032:
1019:
982:
957:
951:
907:
901:
888:
851:
826:
820:
769:
734:
699:
665:
640:
608:
568:
521:
478:
468:
465:
437:
431:
429:
427:
342:
307:
262:
229:
200:
171:
98:
88:
85:
57:
51:
49:
47:
10806:Group algebra of a locally compact group
9744:satisfies the first boundary condition (
4169:with a continuous symmetric kernel (the
3771:problem; that is, one seeks eigenvalues
1326:, the solutions must be understood in a
10099:
9905:Construction of a nonvanishing solution
8414:) that does not vanish at any point of
4329:{\displaystyle \lambda =z+\alpha ^{-1}}
409:(1809–1882), who developed the theory.
394:, the one-dimensional time-independent
9986:will not vanish, the complex function
8400:Spectral parameter power series method
5313:Consider the Sturm–Liouville problem:
4186:spectral theorem for compact operators
3116:{\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}
401:Sturm–Liouville theory is named after
7019:Separating variables, we assume that
5038:, it is desired to specify values at
1952:. All second-order linear homogenous
1414:are real and can be numbered so that
302:, to find the corresponding solution
7:
10224:
10222:
9968:. While there is no guarantee that
9859:, so the second boundary condition (
9036:
8728:
6744:. This representation may require a
5315:
943:
812:
419:
10443:A source book in classical analysis
5789:", the Fourier series converges in
5305:, and may fail at the boundaries.
4520:{\displaystyle P(x),Q(x),R(x),f(x)}
4078:This can be seen formally by using
3795:and the corresponding eigenvectors
2408:Example using an integrating factor
9551:
9422:
8719:and integrated, specifically, for
6876:
6868:
6835:
6827:
6793:
6779:
6155:
6141:
6101:
6087:
6064:
6050:
5846:
5713:
5604:with the same boundary conditions
5477:is any integer, then the function
1859:
1729:
1472:
479:
469:
438:
432:
99:
89:
58:
52:
27:On a type of differential equation
25:
2468:{\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}
1934:Reduction to Sturm–Liouville form
1490:Corresponding to each eigenvalue
10962:
10961:
10888:Topological quantum field theory
7077:{\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}
5521:{\displaystyle u_{k}(x)=\sin kx}
3890:{\displaystyle L^{2}(,w(x)\,dx)}
10988:Ordinary differential equations
10306:Ordinary Differential Equations
9092:
8901:
7491:
7454:
7303:
6970:
6378:with harmonic time dependence,
5654:. In this case, we must expand
5572:
5464:{\displaystyle u(0)=u(\pi )=0.}
5183:
4917:
4875:
4721:
4700:
4294:are equivalent, so we may take
4239:
4132:
1954:ordinary differential equations
1670:-weighted inner product in the
1157:to find the eigenvalues: those
1014:
883:
337:of the problem. Such functions
11003:Partial differential equations
10471:Kravchenko, Vladislav (2020).
10136:50(5):324–327, January 1983.
10013:. This trick gives a solution
9750:). This is simple to do since
9694:Next one chooses coefficients
9614:
9599:
9488:
9479:
9472:
9309:
9302:
9280:
9273:
9267:
9261:
9256:
9244:
9237:
9183:
9177:
9165:
9158:
9145:
9139:
9134:
9122:
9115:
9077:
9071:
9066:
9060:
9053:
8983:
8977:
8965:
8958:
8945:
8939:
8934:
8922:
8863:
8856:
8834:
8827:
8821:
8815:
8810:
8798:
8760:
8754:
8749:
8743:
8620:.) Two sequences of functions
8493:
8486:
8480:
8474:
8442:
8436:
8299:
8293:
8270:
8264:
8256:
8250:
8221:
8215:
8183:
8177:
8171:
8165:
8159:
8153:
8122:
8116:
8107:
8101:
8059:
8053:
8037:
8031:
8002:
7996:
7987:
7981:
7917:
7911:
7863:
7857:
7821:
7809:
7775:
7769:
7708:
7702:
7673:
7667:
7647:
7641:
7612:
7606:
7531:
7525:
7513:
7507:
7498:
7479:
7473:
7464:
7458:
7448:
7442:
7430:
7424:
7415:
7346:
7340:
7310:
7297:
7291:
7267:
7261:
7223:
7217:
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7170:
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7100:
7068:
7062:
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5982:partial differential equations
5945:
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5857:
5647:{\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}
5635:
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5591:
5579:
5528:is a solution with eigenvalue
5500:
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4399:
4393:
4376:
4370:
4336:with the same eigenfunctions.
3980:
3974:
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3962:
3950:
3944:
3884:
3874:
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3049:
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2581:
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2371:
2257:
2245:
1968:partial differential equations
1854:
1848:
1842:
1836:
1823:
1817:
1724:
1718:
1709:
1697:
1635:The normalized eigenfunctions
1611:
1599:
1559:{\displaystyle y_{n}=y_{n}(x)}
1553:
1547:
1469:
1294:. In the case of more general
1281:
1269:
1233:
1227:
1194:
1188:
1129:
1123:
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1002:
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667:
582:
570:
531:
525:
506:
500:
462:
456:
403:Jacques Charles François Sturm
398:is a Sturm–Liouville problem.
388:partial differential equations
324:
318:
240:
234:
211:
205:
182:
176:
150:
144:
126:
120:
82:
76:
40:ordinary differential equation
1:
10684:Uniform boundedness principle
10422:American Mathematical Society
10394:American Mathematical Society
10361:American Mathematical Society
6574:are arbitrary constants, and
5811:Therefore, by using formula (
5806:convergence of Fourier series
3758:{\displaystyle Lu=\lambda u.}
2567:Multiplying throughout by an
807:separated boundary conditions
10308:(2 ed.). Philadelphia:
8597:of ways to find appropriate
7398:are independent of position
6752:Second-order linear equation
3954:
1978:). Some examples are below.
1918:{\displaystyle \delta _{nm}}
1510:{\displaystyle \lambda _{n}}
378:This theory is important in
10292:Encyclopedia of Mathematics
10152:. Oxford: Clarendon Press.
10088:Atkinson–Mingarelli theorem
10040:
10024:
9943:
9897:
9891:
9861:
9746:
9656:
8559:
8410:
8408:is a solution of equation (
8327:
5817:), we obtain the solution:
5813:
3726:
1958:
1940:
1938:The differential equation (
1252:
11024:
10827:Invariant subspace problem
10439:Birkhoff, Garrett (1973).
1287:{\displaystyle x\in (a,b)}
603:the coefficient functions
10957:
10547:
10205:10.1016/j.cpc.2008.10.001
8581:which does not vanish on
8337:matrix-variational method
1161:for which there exists a
757:{\displaystyle w(x)>0}
722:{\displaystyle p(x)>0}
38:is a second-order linear
10796:Spectrum of a C*-algebra
10453:Harvard University Press
10449:Cambridge, Massachusetts
10304:Hartman, Philip (2002).
10287:"Sturm–Liouville theory"
10110:38(1):27–32, Sep 1983.
10108:Lettere al Nuovo Cimento
10011:Sturm separation theorem
9918:. Consider the equation
9712:so that the combination
8351:Finite difference method
7379:are independent of time
3569:The mapping defined by:
34:and its applications, a
18:Sturm–Liouville operator
11008:Boundary value problems
10893:Noncommutative geometry
10134:Physical Review Letters
10078:Variation of parameters
6221:. For such a function
6188:separation of variables
5309:Example: Fourier series
5029:Picard–Lindelöf theorem
4678:one solves the system:
4163:variation of parameters
1361:in the function space.
36:Sturm–Liouville problem
10949:Tomita–Takesaki theory
10924:Approximation property
10868:Calculus of variations
10414:Sturm–Liouville Theory
9801:provide the values of
9626:
9555:
9500:
9426:
9350:
9015:
8509:
8312:
8200:
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7936:
7794:
7680:
7541:
7364:Since, by definition,
7356:
7186:
7078:
7011:
6910:
6714:
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6178:
5955:
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4330:
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4151:
4070:
3997:
3891:
3767:This is precisely the
3759:
3699:
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1239:{\displaystyle y=y(x)}
1201:
1200:{\displaystyle y=y(x)}
1136:
1135:{\displaystyle r=r(x)}
1101:
1100:{\displaystyle w=w(x)}
1050:
922:
796:
758:
723:
686:
660:are all continuous on
654:
629:
589:
541:
372:Sturm–Liouville theory
351:
331:
330:{\displaystyle y=y(x)}
271:
247:
218:
189:
160:
10944:Banach–Mazur distance
10907:Generalized functions
10412:Zettl, Anton (2005).
10146:Pryce, J. D. (1993).
10123:, 26:1(1), June 1982.
9627:
9535:
9501:
9406:
9351:
9016:
8510:
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7357:
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7012:
6911:
6729:form a basis for the
6715:
6550:
6179:
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5599:
5523:
5466:
5406:for the unknowns are
5385:
5284:
5212:
4998:
4996:{\displaystyle Ly=f.}
4964:
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4742:
4673:
4551:
4522:
4448:
4331:
4289:
4188:. Finally, note that
4175:Arzelà–Ascoli theorem
4152:
4071:
3998:
3892:
3760:
3724:. In fact, equation (
3700:
3557:
3347:
3234:
3118:
3028:
2913:
2817:
2670:
2560:
2477:Divide throughout by
2470:
2400:
2274:
2168:
2076:
1920:
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1748:
1657:
1655:{\displaystyle y_{n}}
1619:
1587:
1561:
1512:
1483:
1409:
1346:differential operator
1321:
1319:{\displaystyle p,q,w}
1289:
1241:
1202:
1137:
1102:
1051:
923:
797:
795:{\displaystyle x\in }
759:
724:
687:
655:
630:
628:{\displaystyle p,q,w}
590:
563:on a finite interval
542:
352:
332:
272:
257:at extreme values of
253:, together with some
248:
219:
190:
161:
10689:Kakutani fixed-point
10674:Riesz representation
10175:Comput. Phys. Commun
9829:and the derivatives
9509:
9380:
9043:
8735:
8430:
8426:, then the function
8333:Rayleigh–Ritz method
8209:
8088:
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7803:
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6331:for a constant
6043:
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4682:
4560:
4549:{\displaystyle Ly=f}
4531:
4457:
4453:for given functions
4364:
4350:Schrödinger equation
4298:
4192:
4097:
4080:integration by parts
4021:
3902:
3898:with scalar product
3831:
3734:
3730:) can be written as
3716:to another function
3573:
3356:
3243:
3129:
3043:
2922:
2826:
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2487:
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2313:
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1991:
1946:Sturm–Liouville form
1899:
1757:
1677:
1639:
1630:fundamental solution
1596:
1570:
1521:
1494:
1418:
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1298:
1260:
1215:
1176:
1168:for each eigenvalue
1111:
1107:, sometimes denoted
1076:
1040: not both
950:
909: not both
819:
768:
733:
698:
664:
639:
607:
567:
426:
396:Schrödinger equation
341:
306:
298:For each eigenvalue
261:
246:{\displaystyle w(x)}
228:
217:{\displaystyle q(x)}
199:
188:{\displaystyle p(x)}
170:
166:for given functions
46:
10873:Functional calculus
10832:Mahler's conjecture
10811:Von Neumann algebra
10525:Functional analysis
10253:2010MMAS...33..459K
10197:2009CoPhC.180..241L
10038:. In practice if (
9636:(real or complex),
9582:
9453:
9229:
9107:
8916:
8792:
8459:
8355:Spectral parameter
8149:
7907:
7765:
6699:
6655:
6598:
5965:antidifferentiation
5542:, and we know from
3937:
3722:functional analysis
3712:mapping a function
3705:can be viewed as a
1944:) is said to be in
1806:
1585:{\displaystyle n-1}
635:and the derivative
380:applied mathematics
363:associated to each
255:boundary conditions
10898:Riemann hypothesis
10597:Topological vector
10068:Oscillation theory
9660:). (The functions
9622:
9568:
9496:
9439:
9346:
9341:
9328:
9215:
9193:
9093:
9011:
9006:
8993:
8902:
8882:
8778:
8656:iterated integrals
8505:
8445:
8376:, of the interval
8308:
8196:
8135:
8072:
7932:
7893:
7836:
7790:
7751:
7676:
7537:
7352:
7182:
7074:
7007:
6906:
6710:
6685:
6641:
6581:
6545:
6174:
5951:
5914:
5769:
5644:
5594:
5518:
5461:
5380:
5279:
5241:
5207:
5150:
5068:, whose values at
4993:
4959:
4816:
4737:
4668:
4546:
4517:
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4066:
3993:
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3695:
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3229:
3113:
3023:
2908:
2812:
2665:
2569:integrating factor
2555:
2465:
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2269:
2163:
2071:
1964:integrating factor
1915:
1885:
1792:
1743:
1652:
1614:
1582:
1556:
1507:
1478:
1404:
1348:in an appropriate
1316:
1284:
1236:
1197:
1132:
1097:
1046:
918:
792:
754:
719:
682:
653:{\displaystyle p'}
650:
625:
585:
537:
390:. For example, in
347:
327:
267:
243:
214:
185:
156:
10975:
10974:
10878:Integral operator
10655:
10654:
10486:978-3-030-47848-3
10403:978-0-8218-4660-5
10370:978-0-8218-8328-0
10319:978-0-89871-510-1
10121:Physical Review A
9941:are replaced in (
9779:. The values of
9475:
9370:
9369:
9337:
9240:
9202:
9118:
9056:
9035:
9034:
9002:
8891:
8654:, referred to as
8503:
8303:
8274:
8070:
7827:
7594:
7501:
7418:
7332:
7313:
7283:
7253:
7208:
7180:
7150:
7133:
7103:
6883:
6842:
6807:
6700:
6656:
6507:
6468:
6169:
6135:
6115:
6078:
5986:vibrational modes
5913:
5887:
5752:
5404:
5403:
5369:
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5141:
4799:
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4628:
4591:
4346:quantum mechanics
4167:integral operator
3957:
3665:
3627:
3607:
3529:
3483:
3423:
3372:
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3166:
3012:
2906:
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2801:
2749:
2630:
2544:
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