973:
554:
968:{\displaystyle D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\a_{21}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}},\quad U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}.}
472:
127:
1936:
2731:
467:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}
4135:
1712:
2532:
1290:
1925:
2875:
3147:
3804:
6972:
7459:
7098:
1445:
7310:
2726:{\displaystyle \rho (C_{\omega })={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\left(\omega \mu +{\sqrt {\omega ^{2}\mu ^{2}-4(\omega -1)}}\right)^{2}\,,&0<\omega \leq \omega _{\text{opt}}\\\omega -1\,,&\omega _{\text{opt}}<\omega <2\end{cases}}}
2452:
3418:
3783:
1105:
1758:
3692:
1071:
2986:
3247:
4216:. According to the successive over-relaxation algorithm, the following table is obtained, representing an exemplary iteration with approximations, which ideally, but not necessarily, finds the exact solution,
2742:
4130:{\displaystyle {\begin{aligned}4x_{1}-x_{2}-6x_{3}+0x_{4}&=2,\\-5x_{1}-4x_{2}+10x_{3}+8x_{4}&=21,\\0x_{1}+9x_{2}+4x_{3}-2x_{4}&=-12,\\1x_{1}+0x_{2}-7x_{3}+5x_{4}&=-6.\end{aligned}}}
66:, requiring some expertise to ensure convergence to the solution which made them inapplicable for programming on digital computers. These aspects are discussed in the thesis of David M. Young Jr.
3011:
3809:
6868:
2492:
2317:
54:
in 1950 for the purpose of automatically solving linear systems on digital computers. Over-relaxation methods had been used before the work of Young and
Frankel. An example is the method of
7325:
2042:
1707:{\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=(1-\omega )x_{i}^{(k)}+{\frac {\omega }{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j<i}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j>i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
116:
2263:
2520:
6983:
2124:
1395:
7187:
1973:
1328:
2156:
7176:
2206:
4214:
3316:
2362:
3428:
Since elements can be overwritten as they are computed in this algorithm, only one storage vector is needed, and vector indexing is omitted. The algorithm goes as follows:
7892:
7553:
7527:
1750:
1421:
1354:
4164:
2000:
6847:
7501:
2904:
543:
7580:
3321:
3006:
2357:
4337:
4309:
4281:
4253:
3267:
2074:
3697:
8013:
7582:
based on the observed behavior of the converging process. Usually they help to reach a super-linear convergence for some problems but fail for the others.
1285:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=(D+\omega L)^{-1}{\big (}\omega \mathbf {b} -\mathbf {x} ^{(k)}{\big )}=L_{\omega }\mathbf {x} ^{(k)}+\mathbf {c} ,}
1920:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=(1-\omega )\mathbf {x} ^{(k)}+\omega D^{-1}{\big (}\mathbf {b} -L\mathbf {x} ^{(k+1)}-U\mathbf {x} ^{(k)}{\big )}.}
8038:
3610:
8064:
8033:
7885:
984:
7734:
7701:
7661:
6854:
2913:
2158:. Thus, convergence of the iteration process follows, but we are generally interested in faster convergence rather than just convergence.
7319:
is considered to be the complete vector. If this formulation is used instead, the equation for calculating the next vector will look like
3159:
7864:
7859:
2870:{\displaystyle \omega _{\text{opt}}:=1+\left({\frac {\mu }{1+{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}\right)^{2}=1+{\frac {\mu ^{2}}{4}}+O(\mu ^{3})\,.}
7315:
However, the formulation presented above, used for solving systems of linear equations, is not a special case of this formulation if
8059:
7992:
7878:
7783:
8023:
7950:
3142:{\displaystyle \rho (C_{\omega })={\frac {1-{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}={\frac {\mu ^{2}}{4}}+O(\mu ^{3})}
6967:{\displaystyle P=\left({\frac {D}{\omega }}+L\right){\frac {\omega }{2-\omega }}D^{-1}\left({\frac {D}{\omega }}+U\right),}
7982:
7454:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=(1-\omega )\mathbf {x} ^{(k)}+\omega L_{*}^{-1}(\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)}),}
2457:
2274:
7936:
36:
7987:
2005:
7555:
are often used to help establish convergence of a diverging iterative process or speed up the convergence of an
7093:{\displaystyle \mathbf {x} ^{k+1}=\mathbf {x} ^{k}-\gamma ^{k}P^{-1}(A\mathbf {x} ^{k}-\mathbf {b} ),\ k\geq 0.}
88:
7901:
7115:
2216:
2081:
20:
2907:
2497:
32:
2087:
7305:{\displaystyle x_{n+1}^{\mathrm {SOR} }=(1-\omega )x_{n}^{\mathrm {SOR} }+\omega f(x_{n}^{\mathrm {SOR} }).}
1359:
7754:
7946:
1942:
1298:
2447:{\displaystyle \operatorname {det} (\lambda D+zL+{\tfrac {1}{z}}U)=\operatorname {det} (\lambda D+L+U)}
2166:
The convergence rate for the SOR method can be analytically derived. One needs to assume the following
2129:
7126:
2173:
1717:
This can again be written analytically in matrix-vector form without the need of inverting the matrix
7941:
7808:
4169:
1436:
59:
55:
7792:
3272:
2563:
7920:
6318:
convergence_criteria: The maximum discrepancy acceptable to regard the current solution as fitting.
2053:
7532:
7506:
1720:
1404:
1337:
7843:
7771:
7596:
7120:
A similar technique can be used for any iterative method. If the original iteration had the form
7104:
4143:
3153:
1978:
47:
7556:
6815:
3413:{\displaystyle \operatorname {det} (\lambda D+L+U)=\operatorname {det} (Z(\lambda D+L+U)Z^{-1})}
7467:
2883:
2052:
is not necessarily easy, and depends upon the properties of the coefficient matrix. In 1947,
7779:
7730:
7697:
7657:
507:
490:
7565:
2991:
2324:
7956:
7833:
7722:
7689:
7601:
2077:
1088:
40:
7651:
4315:
4287:
4259:
4231:
7997:
7625:
482:
39:, resulting in faster convergence. A similar method can be used for any slowly converging
7827:
7915:
7621:
3778:{\displaystyle \phi _{i}+\omega \left({\frac {b_{i}-\sigma }{a_{ii}}}-\phi _{i}\right)}
3252:
2059:
63:
2002:. The plot shows the dependence on the spectral radius of the Jacobi iteration matrix
8053:
7961:
7591:
6300:
This is an implementation of the pseudo-code provided in the
Knowledge (XXG) article.
2268:
2210:
51:
7820:
7815:
4916:"Creates and returns a vector of the SIZE with all elements set to 0."
7529:
are used to speed up convergence of a slow-converging process, while values of
7693:
4460:;; Set the default floating-point format to "long-float" in order to
1935:
7830:'s copy of "Templates for the Solution of Linear Systems", by Barrett et al.
7627:
Iterative methods for solving partial difference equations of elliptical type
3687:{\displaystyle (1-\omega )\phi _{i}+{\frac {\omega }{a_{ii}}}(b_{i}-\sigma )}
7977:
7797:
7726:
5135:
iteration's ascension to the ``+MAXIMUM-NUMBER-OF-ITERATIONS+'',
3149:, which shows SOR is roughly four times more efficient than Gauss–Seidel.
7870:
7758:
5084:"Implements the successive over-relaxation (SOR) method, applied upon
4493:"The number of iterations beyond which the algorithm should cease its
4455:
A simple implementation of the algorithm in Common Lisp is offered below.
4589:
Let resultVectorSize = min(computedSolution.length, exactSolution.length)
1066:{\displaystyle (D+\omega L)\mathbf {x} =\omega \mathbf {b} -\mathbf {x} }
7812:, Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000), 177–199.
7562:
There are various methods that adaptively set the relaxation parameter
4562:"For each component of the COMPUTED-SOLUTION vector, retrieves its
7686:
Iterative
Solution of Large Sparse Systems of Equations | SpringerLink
6315:
initial_guess: An initial solution guess for the solver to start with.
8028:
8018:
6651:# An example case that mirrors the one in the Knowledge (XXG) article
5126:
which returns T, signifying the immediate termination, upon achieving
4565:
error with respect to the expected EXACT-SOLUTION vector, returning a
2981:{\displaystyle \rho (C_{\omega })=\mu ^{2}=\rho (C_{\text{Jac}})^{2}}
5087:
the linear equations defined by the matrix A and the right-hand side
3242:{\displaystyle Z(\lambda D+L+U)Z^{-1}=\lambda D+zL+{\tfrac {1}{z}}U}
4739:"Checks whether the convergence is reached with respect to the
4574:
While both input vectors should be equal in size, this condition is
4499:
iterations might provide a more accurate result, but imposes higher
6229:
A simple Python implementation of the pseudo-code provided above.
5132:
its default configuration, the CONVERGENCE-CHECK simply abides the
5129:
convergence, or NIL, signaling continuant operation, otherwise. In
5117:
The terminating condition is implemented by the CONVERGENCE-CHECK,
5108:
vector will be destructively modified. In any case, the PHI vector
4742:
ERRORS vector which registers the discrepancy betwixt the computed
1934:
5102:
represented by the optional keyword parameter PHI, which defaults
4757:
For all e in ERRORS, it holds: abs(e) <= errorTolerance."
4496:
operation, regardless of its current solution. A higher number of
7762:
5099:
The first algorithm step, the choice of an initial guess PHI, is
4754:
component is less than or equal to the ERROR-TOLERANCE, that is:
3785:, thus saving one multiplication in each iteration of the outer
7874:
4751:
The convergence is fulfilled if and only if each absolute error
4577:
not checked and the shortest of the twain determines the output
7840:, Second ed. (of 1962 Prentice Hall edition), Springer-Verlag.
5105:
to a zero-vector of the same structure as B. If supplied, this
5090:
vector B, employing the relaxation factor OMEGA, returning the
1099:
on the right hand side. Analytically, this may be written as:
2719:
1423:. However, by taking advantage of the triangular form of (
62:. However, these methods were designed for computation by
7656:(1 ed.). Springer Berlin, Heidelberg. p. 180.
4463:;; ensure correct operation on a wider range of numbers.
5138:
ignoring the achieved accuracy of the vector PHI."
4140:
To solve the equations, we choose a relaxation factor
3225:
2394:
1091:
that solves the left hand side of this expression for
840:
703:
569:
405:
332:
142:
7568:
7535:
7509:
7470:
7328:
7190:
7129:
6986:
6871:
6818:
5822:;; Summon the function with the exemplary parameters.
4592:
Let resultVector = new vector of resultVectorSize
4318:
4290:
4262:
4234:
4172:
4146:
3807:
3700:
3613:
3324:
3275:
3255:
3162:
3014:
2994:
2916:
2886:
2745:
2535:
2500:
2460:
2365:
2327:
2277:
2219:
2176:
2132:
2090:
2062:
2008:
1981:
1945:
1761:
1723:
1448:
1407:
1362:
1340:
1301:
1108:
987:
557:
510:
130:
91:
978:
The system of linear equations may be rewritten as:
8006:
7970:
7929:
7908:
7809:
Successive overrelaxation (SOR) and related methods
4222:
2736:where the optimal relaxation parameter is given by
7849:, Academic Press, 1971. (reprinted by Dover, 2003)
7721:. Frontiers in Applied Mathematics. Vol. 17.
7574:
7547:
7521:
7495:
7453:
7304:
7170:
7092:
6966:
6841:
4331:
4303:
4275:
4247:
4208:
4158:
4129:
3777:
3686:
3412:
3310:
3261:
3241:
3141:
3000:
2980:
2898:
2869:
2725:
2514:
2486:
2446:
2351:
2311:
2257:
2200:
2150:
2118:
2068:
2036:
1994:
1967:
1919:
1744:
1706:
1415:
1389:
1348:
1322:
1284:
1065:
967:
537:
466:
110:
7776:Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences
7653:Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker
7753:This article incorporates text from the article
2487:{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
2312:{\displaystyle \mu :=\rho (C_{\text{Jac}})<1}
7688:. Applied Mathematical Sciences. Vol. 95.
5123:lambda(iteration phi) => generalized-boolean
4598:resultVector = exactSolution - computedSolution
1087:The method of successive over-relaxation is an
2526:Then the convergence rate can be expressed as
16:Method of solving a linear system of equations
7886:
1909:
1843:
1235:
1166:
8:
7719:Iterative Methods for Solving Linear Systems
5111:constitutes the function's result value.
2481:
2475:
7821:Iterative Methods for Sparse Linear Systems
3597:-loop) check if convergence is reached
2037:{\displaystyle \mu :=\rho (C_{\text{Jac}})}
1975:of the iteration matrix for the SOR method
7893:
7879:
7871:
7847:Iterative Solution of Large Linear Systems
111:{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
7567:
7534:
7508:
7475:
7469:
7433:
7428:
7416:
7404:
7399:
7377:
7372:
7335:
7330:
7327:
7283:
7282:
7277:
7248:
7247:
7242:
7207:
7206:
7195:
7189:
7159:
7134:
7128:
7103:The SOR and SSOR methods are credited to
7067:
7058:
7053:
7037:
7027:
7014:
7009:
6993:
6988:
6985:
6940:
6926:
6904:
6883:
6870:
6838:
6829:
6817:
4586:The established formula is the following:
4323:
4317:
4295:
4289:
4267:
4261:
4239:
4233:
4171:
4145:
4104:
4088:
4072:
4056:
4023:
4007:
3991:
3975:
3945:
3929:
3913:
3897:
3864:
3848:
3832:
3819:
3808:
3806:
3764:
3746:
3729:
3722:
3705:
3699:
3669:
3651:
3642:
3633:
3612:
3398:
3323:
3296:
3280:
3274:
3254:
3224:
3194:
3161:
3130:
3106:
3100:
3086:
3074:
3058:
3046:
3037:
3025:
3013:
2993:
2972:
2962:
2943:
2927:
2915:
2885:
2863:
2854:
2830:
2824:
2809:
2794:
2782:
2770:
2750:
2744:
2698:
2688:
2669:
2647:
2641:
2607:
2597:
2591:
2566:
2558:
2546:
2534:
2508:
2507:
2499:
2468:
2467:
2459:
2393:
2364:
2326:
2294:
2276:
2258:{\displaystyle C_{\text{Jac}}:=I-D^{-1}A}
2243:
2224:
2218:
2175:
2170:the relaxation parameter is appropriate:
2131:
2101:
2089:
2061:
2025:
2007:
1986:
1980:
1956:
1944:
1908:
1907:
1895:
1890:
1865:
1860:
1848:
1842:
1841:
1832:
1810:
1805:
1768:
1763:
1760:
1722:
1653:
1648:
1635:
1619:
1594:
1589:
1576:
1560:
1547:
1527:
1518:
1503:
1498:
1458:
1453:
1447:
1408:
1406:
1369:
1364:
1361:
1341:
1339:
1308:
1303:
1300:
1274:
1259:
1254:
1247:
1234:
1233:
1221:
1216:
1174:
1165:
1164:
1155:
1115:
1110:
1107:
1058:
1017:
1006:
986:
901:
869:
852:
835:
798:
783:
732:
698:
671:
610:
576:
564:
556:
509:
447:
426:
412:
400:
392:
374:
353:
339:
327:
319:
298:
278:
263:
224:
207:
195:
178:
161:
149:
137:
129:
103:
95:
90:
2515:{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
8024:Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
7755:Successive_over-relaxation_method_-_SOR
7613:
2472:
2119:{\displaystyle \rho (L_{\omega })<1}
4595:For i from 0 to (resultVectorSize - 1)
7684:Hackbusch, Wolfgang (2016). "4.6.2".
3152:The last assumption is satisfied for
7:
7181:then the modified version would use
6855:Symmetric Successive Over-Relaxation
6801:Symmetric successive over-relaxation
6324:phi: solution vector of dimension n.
1390:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}
6805:The version for symmetric matrices
6176:"~&~d. errors = ~a"
5759:;; Check if convergence is reached.
5747:"~&~d. solution = ~a"
3798:We are presented the linear system
1435:can be computed sequentially using
491:strictly lower and upper triangular
7793:"Successive Overrelaxation Method"
7791:Black, Noel & Moore, Shirley.
7290:
7287:
7284:
7255:
7252:
7249:
7214:
7211:
7208:
1968:{\displaystyle \rho (C_{\omega })}
1323:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}
14:
2151:{\displaystyle 0<\omega <2}
1334:th approximation or iteration of
46:It was devised simultaneously by
7865:Tridiagonal linear system solver
7717:Greenbaum, Anne (1997). "10.1".
7633:, PhD thesis, Harvard University
7429:
7417:
7373:
7331:
7171:{\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}
7110:Other applications of the method
7068:
7054:
7010:
6989:
4580:vector's number of elements.
2201:{\displaystyle \omega \in (0,2)}
2048:The choice of relaxation factor
1891:
1861:
1849:
1806:
1764:
1409:
1365:
1342:
1304:
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1255:
1217:
1175:
1111:
1059:
1018:
1007:
393:
320:
104:
96:
4502:performance requirements."
4209:{\displaystyle \phi =(0,0,0,0)}
1673:
1095:, using the previous value for
828:
691:
391:
318:
58:, and the methods developed by
8065:Relaxation (iterative methods)
7445:
7440:
7434:
7413:
7384:
7378:
7368:
7356:
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7270:
7235:
7223:
7165:
7152:
7072:
7046:
6309:b: n dimensional numpy vector.
6221:+MAXIMUM-NUMBER-OF-ITERATIONS+
5078:+MAXIMUM-NUMBER-OF-ITERATIONS+
4745:and the exact solution vector.
4535:+MAXIMUM-NUMBER-OF-ITERATIONS+
4487:+MAXIMUM-NUMBER-OF-ITERATIONS+
4203:
4179:
3681:
3662:
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3331:
3311:{\displaystyle Z_{ii}=z^{i-1}}
3187:
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1037:
1025:
1003:
988:
78:linear equations with unknown
1:
7548:{\displaystyle \omega <1}
7522:{\displaystyle \omega >1}
6977:and the iterative method is
4166:and an initial guess vector
2359:satisfies the property that
1745:{\displaystyle (D+\omega L)}
1416:{\displaystyle \mathbf {x} }
1349:{\displaystyle \mathbf {x} }
7597:Gaussian Belief Propagation
5093:calculated solution vector.
4472:*read-default-float-format*
4159:{\displaystyle \omega =0.5}
1995:{\displaystyle C_{\omega }}
8081:
7937:System of linear equations
7113:
6842:{\displaystyle U=L^{T},\,}
6005:successive-over-relaxation
4982:successive-over-relaxation
37:linear system of equations
25:successive over-relaxation
7988:Cache-oblivious algorithm
7860:Module for the SOR Method
7838:Matrix Iterative Analysis
7824:, 1st edition, PWS, 1996.
7694:10.1007/978-3-319-28483-5
7496:{\displaystyle L_{*}=L+D}
6312:omega: relaxation factor.
4601:Return resultVector"
2899:{\displaystyle \omega =1}
2321:the matrix decomposition
2265:has only real eigenvalues
481:can be decomposed into a
74:Given a square system of
8060:Numerical linear algebra
8039:General purpose software
7902:Numerical linear algebra
7116:Richardson extrapolation
6231:
4457:
3447:Choose an initial guess
538:{\displaystyle A=D+L+U,}
21:numerical linear algebra
7727:10.1137/1.9781611970937
7575:{\displaystyle \omega }
4568:vector of error values.
3001:{\displaystyle \omega }
2352:{\displaystyle A=D+L+U}
7576:
7549:
7523:
7497:
7455:
7306:
7172:
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4160:
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3779:
3688:
3455:until convergence
3414:
3312:
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3243:
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1067:
969:
539:
468:
112:
31:) is a variant of the
8034:Specialized libraries
7947:Matrix multiplication
7942:Matrix decompositions
7577:
7550:
7524:
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6844:
5120:an optional predicate
4334:
4332:{\displaystyle x_{4}}
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4276:{\displaystyle x_{2}}
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7867:based on SOR, in C++
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6780:residual_convergence
6654:residual_convergence
6396:convergence_criteria
6306:A: nxn numpy matrix.
6291:convergence_criteria
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3694:can also be written
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3154:tridiagonal matrices
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1437:forward substitution
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56:Lewis Fry Richardson
7921:Numerical stability
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7260:
7219:
6672:# Relaxation factor
4889:error-is-acceptable
4823:error-is-acceptable
4218:(3, −2, 2, 1)
3545:-loop) set
2880:In particular, for
1664:
1611:
1514:
1475:
1431:), the elements of
1089:iterative technique
1080:> 1, called the
33:Gauss–Seidel method
7844:David M. Young Jr.
7772:Robert J. Plemmons
7761:that is under the
7572:
7545:
7519:
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7451:
7395:
7302:
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7238:
7191:
7168:
7105:David M. Young Jr.
7090:
6964:
6852:is referred to as
6839:
6384:# Initial residual
6327:"""
6297:"""
6017::convergence-check
4329:
4301:
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3139:
2998:
2988:. For the optimal
2978:
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2718:
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52:Stanley P. Frankel
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5858::initial-contents
5774:convergence-check
5321:convergence-check
5027:convergence-check
4703:computed-solution
4631:computed-solution
4553:computed-solution
4453:
4452:
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2213:iteration matrix
2082:positive-definite
2069:{\displaystyle A}
2028:
1615:
1556:
1536:
1401:+ 1 iteration of
1082:relaxation factor
64:human calculators
41:iterative process
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7957:Matrix splitting
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