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81:
2951:
3357:
2608:
2538:
2056:
429:
A quotient of a subrepresentation of a representation (of, say, a group) might be called a subquotient representation; e. g.,
2324:
3345:
674:
2142:
1428:
2233:
3349:
3283:
2822:
2776:
2439:
2393:
3391:
582:
441:
There are subquotients of groups which are neither subgroup nor quotient of it. E. g. according to article
53:
3386:
3063:
1367:
3067:
1402:
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1538:
479:
1960:
1913:
1649:
1604:
1001:, i. e. no two distinct elements precede each other. Indeed, a comparison of the group orders of
3295:
2017:
1192:
1122:
3155:
2738:
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3209:
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3105:
3085:
3075:
3048:{\displaystyle H'/H''\cong \varphi ^{-1}\left(H'\right)/\varphi ^{-1}\left(H''\right).}
2931:
2911:
2303:
2212:
2121:
1981:
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45:
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1760:
1733:
225:
3123:
37:
3316:
2388:
533:
104:
356:
As in the context of subgroups, in the context of subquotients the term
3307:
2671:{\displaystyle \varphi \left(\varphi ^{-1}\left(H''\right)\right)=H'',}
2598:{\displaystyle \varphi \left(\varphi ^{-1}\left(H'\right)\right)=H'}
3082:. When one has the law of the excluded middle, then a subquotient
2110:{\displaystyle {\Bigl \{}{\bigl (}G'',\{1\}{\bigr )}{\Bigr .}}
2375:{\displaystyle {\Bigl .}{\bigl (}G',H{\bigr )}{\Bigr \}}.}
843:, i. e. every element is related to itself. Indeed,
3070:
does not necessarily hold, one can consider the relation
709:{\displaystyle (\Leftrightarrow :G''\vartriangleleft G')}
2201:{\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H''),H''{\bigr )}}
1472:{\displaystyle \varphi \colon X\to Y,\;x\mapsto x\,G''}
2292:{\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H'),H'{\bigr )}}
3232:
3212:
3192:
3158:
3132:
3108:
3088:
2954:
2934:
2914:
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2825:
2779:
2741:
2710:
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2611:
2541:
2513:
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2442:
2396:
2327:
2306:
2236:
2215:
2145:
2124:
2059:
2020:
1984:
1963:
1937:
1916:
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1811:
1784:
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1705:
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1607:
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1541:
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1411:
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1350:
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769:
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541:
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386:
366:
339:
319:
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137:
112:
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69:
3238:
3218:
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3174:
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2900:
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2670:
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2200:
2130:
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1990:
1969:
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1901:
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1854:
1821:
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1767:
1740:
1715:
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1658:
1637:
1592:
1571:
1526:
1505:
1471:
1417:
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1336:
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1272:
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1181:
1155:
1105:
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1013:
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967:
941:
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835:
801:
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755:
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552:
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95:
75:
2364:
2062:
1709:
3152:. This order relation is traditionally denoted
2861:{\displaystyle \varphi ^{-1}\left(H'\right).}
2812:{\displaystyle \varphi ^{-1}\left(H''\right)}
2475:{\displaystyle \varphi ^{-1}\left(H''\right)}
2357:
2336:
2284:
2239:
2193:
2148:
2096:
2069:
313:“ can be found with the apparent meaning of „
40:. Subquotients are particularly important in
8:
2429:{\displaystyle \varphi ^{-1}\left(H'\right)}
2091:
2085:
1849:
1843:
884:
878:
466:without being a subgroup or quotient of it.
393:
387:
612:{\displaystyle (\Leftrightarrow :G'\leq G)}
2038:
2037:
2036:
1450:
452:has a double cover which is a subgroup of
3315:
3231:
3211:
3191:
3163:
3157:
3131:
3107:
3087:
3017:
3008:
2983:
2963:
2953:
2933:
2913:
2885:
2875:
2830:
2824:
2784:
2778:
2740:
2709:
2683:
2624:
2610:
2554:
2540:
2512:
2487:
2447:
2441:
2401:
2395:
2363:
2362:
2356:
2355:
2335:
2334:
2329:
2328:
2326:
2305:
2283:
2282:
2248:
2238:
2237:
2235:
2214:
2192:
2191:
2157:
2147:
2146:
2144:
2123:
2102:
2101:
2095:
2094:
2068:
2067:
2061:
2060:
2058:
2019:
1983:
1962:
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1915:
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1841:
1813:
1812:
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1785:
1783:
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1758:
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1731:
1729:
1704:
1672:
1651:
1612:
1606:
1585:
1546:
1540:
1519:
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1460:
1430:
1410:
1369:
1349:
1321:
1305:
1285:
1257:
1247:
1204:
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1168:
1134:
1124:
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1072:
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1046:
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768:
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676:
652:
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540:
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365:
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318:
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278:
243:
233:
209:
184:
159:
136:
111:
88:
68:
3271:
1394:{\displaystyle \varphi \colon G'\to H}
3226:and this order relation is the usual
360:may be used for the two subquotients
7:
3348:, vol. 11, Providence, R.I.:
2870:As a consequence, the subquotient
1822:{\displaystyle {\Big \downarrow }}
1795:{\displaystyle {\Big \downarrow }}
1768:{\displaystyle {\Big \downarrow }}
1741:{\displaystyle {\Big \downarrow }}
1572:{\displaystyle \varphi ^{-1}(H'')}
14:
1970:{\displaystyle \vartriangleleft }
1923:{\displaystyle \vartriangleleft }
1659:{\displaystyle \vartriangleleft }
1638:{\displaystyle \varphi ^{-1}(H')}
863:is isomorphic to the subquotient
502:. It shall be proved for groups.
406:which are present in every group
1238:Proof of transitivity for groups
3346:Graduate Studies in Mathematics
2045:{\displaystyle (X,Y)\;\;\;\in }
1226:{\displaystyle H'/H''\preceq G}
1156:{\displaystyle H'/H''\preceq H}
48:, where they are also known as
3175:{\displaystyle \leq ^{\ast }.}
3136:
2766:{\displaystyle \varphi (g)=h.}
2751:
2745:
2268:
2257:
2177:
2166:
2033:
2021:
1632:
1621:
1566:
1555:
1454:
1441:
1412:
1385:
1073:
1065:
1057:
1049:
703:
681:
678:
606:
589:
586:
1:
3350:American Mathematical Society
3206:has a one-to-one function to
3126:or there is an onto function
52:, though this conflicts with
3246:on corresponding cardinals.
482:– which shall be denoted by
459:, so it is a subquotient of
1716:{\displaystyle \varphi \!:}
1418:{\displaystyle \downarrow }
3408:
3338:Dixmier, Jacques (1996) ,
3058:Relation to cardinal order
1182:{\displaystyle H\preceq G}
968:{\displaystyle H\preceq G}
942:{\displaystyle G\preceq H}
836:{\displaystyle G\preceq G}
802:{\displaystyle H\preceq G}
2007:for the respective pairs
1337:{\displaystyle H:=G'/G''}
756:{\displaystyle H:=G'/G''}
3288:Inventiones Mathematicae
2773:Moreover, the subgroup
1106:{\displaystyle G\cong H}
994:{\displaystyle G\cong H}
495:{\displaystyle \preceq }
433:'s subquotient theorem.
269:In the literature about
3074:as replacing the usual
3064:constructive set theory
2728:{\displaystyle g\in G'}
1080:{\displaystyle |G|=|H|}
890:{\displaystyle G/\{1\}}
3240:
3220:
3200:
3176:
3146:
3145:{\displaystyle X\to Y}
3116:
3096:
3068:law of excluded middle
3049:
2942:
2922:
2902:
2901:{\displaystyle H'/H''}
2862:
2813:
2767:
2729:
2698:
2697:{\displaystyle h\in H}
2672:
2599:
2529:
2501:
2482:are both subgroups of
2476:
2430:
2376:
2314:
2293:
2223:
2202:
2132:
2111:
2046:
1992:
1971:
1950:
1924:
1903:
1877:
1856:
1823:
1796:
1769:
1742:
1717:
1686:
1660:
1639:
1594:
1573:
1528:
1507:
1473:
1419:
1403:canonical homomorphism
1395:
1358:
1338:
1294:
1274:
1273:{\displaystyle H'/H''}
1227:
1183:
1157:
1107:
1081:
1035:
1015:
995:
969:
943:
911:
891:
857:
837:
803:
777:
757:
710:
666:
641:
613:
574:
554:
526:
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420:
400:
374:
347:
327:
307:
287:
260:
259:{\displaystyle G'/G''}
218:
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173:
145:
125:
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77:
3241:
3239:{\displaystyle \leq }
3221:
3201:
3177:
3147:
3117:
3097:
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2923:
2903:
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2673:
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2431:
2377:
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1876:{\displaystyle \leq }
1857:
1855:{\displaystyle \{1\}}
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1743:
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1593:{\displaystyle \leq }
1574:
1529:
1527:{\displaystyle \leq }
1508:
1474:
1420:
1405:. Then all vertical (
1396:
1359:
1339:
1295:
1275:
1228:
1184:
1158:
1108:
1082:
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912:
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838:
804:
778:
758:
711:
667:
642:
614:
575:
555:
527:
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421:
401:
399:{\displaystyle \{1\}}
375:
348:
328:
308:
288:
261:
219:
199:
174:
146:
126:
98:
78:
3284:"The Friendly Giant"
3230:
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