3070:
1487:
3065:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}&=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}}+{\hat {y}}_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})+\underbrace {(y_{i}-{\hat {y}}_{i})} _{{\hat {\varepsilon }}_{i}})^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}+2{\hat {\varepsilon }}_{i}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})+{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2})\\&=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}+2\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})\\&=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}+2\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}({\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i1}+\cdots +{\hat {\beta }}_{p}x_{ip}-{\overline {y}})\\&=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}+2({\hat {\beta }}_{0}-{\overline {y}})\underbrace {\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}} _{0}+2{\hat {\beta }}_{1}\underbrace {\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}x_{i1}} _{0}+\cdots +2{\hat {\beta }}_{p}\underbrace {\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}x_{ip}} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}=\mathrm {ESS} +\mathrm {RSS} \\\end{aligned}}}
3906:
3194:
3901:{\displaystyle {\begin{aligned}SS_{\text{total}}=\Vert \mathbf {y} -{\bar {y}}\mathbf {1} \Vert ^{2}&=\Vert \mathbf {y} -{\bar {y}}\mathbf {1} +\mathbf {\hat {y}} -\mathbf {\hat {y}} \Vert ^{2},\\&=\Vert \left(\mathbf {\hat {y}} -{\bar {y}}\mathbf {1} \right)+\left(\mathbf {y} -\mathbf {\hat {y}} \right)\Vert ^{2},\\&=\Vert {\mathbf {\hat {y}} -{\bar {y}}\mathbf {1} }\Vert ^{2}+\Vert {\hat {\varepsilon }}\Vert ^{2}+2{\hat {\varepsilon }}^{T}\left(\mathbf {\hat {y}} -{\bar {y}}\mathbf {1} \right),\\&=SS_{\text{regression}}+SS_{\text{error}}+2{\hat {\varepsilon }}^{T}\left(X{\hat {\beta }}-{\bar {y}}\mathbf {1} \right),\\&=SS_{\text{regression}}+SS_{\text{error}}+2\left({\hat {\varepsilon }}^{T}X\right){\hat {\beta }}-2{\bar {y}}\underbrace {{\hat {\varepsilon }}^{T}\mathbf {1} } _{0},\\&=SS_{\text{regression}}+SS_{\text{error}}.\end{aligned}}}
1323:
729:
1318:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|y-{\bar {y}}\mathbf {1} \right\|^{2}&=\left\|{\hat {y}}-{\bar {y}}\mathbf {1} \right\|^{2}+\left\|{\hat {\varepsilon }}\right\|^{2},\quad \mathbf {1} =(1,1,\ldots ,1)^{T},\\\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}&=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2},\\\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}&=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2},\\\end{aligned}}}
87:, or spread of the observations about their mean value. Partitioning of the sum of squared deviations into various components allows the overall variability in a dataset to be ascribed to different types or sources of variability, with the relative importance of each being quantified by the size of each component of the overall sum of squares.
4139:
290:
Scaling (also known as normalizing) means adjusting the sum of squares so that it does not grow as the size of the data collection grows. This is important when we want to compare samples of different sizes, such as a sample of 100 people compared to a sample of 20 people. If the sum of squares were
271:
When more data are added to the collection the sum of squares will increase, except in unlikely cases such as the new data being equal to the mean. So usually, the sum of squares will grow with the size of the data collection. That is a manifestation of the fact that it is unscaled.
3917:
291:
not normalized, its value would always be larger for the sample of 100 people than for the sample of 20 people. To scale the sum of squares, we divide it by the degrees of freedom, i.e., calculate the sum of squares per degree of freedom, or variance.
429:
266:
648:
718:
554:
3136:
3183:
3199:
1492:
734:
4134:{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}^{T}X=\left(\mathbf {y} -\mathbf {\hat {y}} \right)^{T}X=\mathbf {y} ^{T}(I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T})^{T}X={\mathbf {y} }^{T}(X^{T}-X^{T})^{T}={\mathbf {0} }.}
133:
187:
1469:
1433:
1397:
1361:
458:
160:
323:
4290:
192:
563:
4373:
4352:
4332:
4310:
664:
463:
3078:
3075:
The requirement that the model include a constant or equivalently that the design matrix contain a column of ones ensures that
276:
80:
31:
3141:
4392:
4320:
95:
The distance from any point in a collection of data, to the mean of the data, is the deviation. This can be written as
4150:
4253:
651:
655:
318:
76:
98:
4397:
303:
72:
60:
56:
45:
4208:
4196:
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4202:
299:
165:
38:
1438:
1402:
1366:
1330:
4215:
4162:
4276:
4233:
4228:
298:
The above describes how the sum of squares is used in descriptive statistics; see the article on
292:
66:
436:
4369:
4348:
4328:
4306:
4286:
4191:
4218:
that the sum of the squared norms of orthogonal summands equals the squared norm of the sum.
424:{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i1}+\cdots +\beta _{p}x_{ip}+\varepsilon _{i}}
138:
17:
4172:
30:
This article is about the partition of sums of squares in statistics. For other uses, see
71:. Mathematically, the sum of squared deviations is an unscaled, or unadjusted measure of
4386:
4223:
4186:
4167:
189:
is the estimate of the mean. If all such deviations are squared, then summed, as in
279:
is simply the number of data points in the collection, minus one. We write this as
1472:
27:
Concept that permeates much of inferential statistics and descriptive statistics
4280:
84:
4149:
Note that the residual sum of squares can be further partitioned as the
261:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\overline {y}}\,\right)^{2}}
643:{\displaystyle \mathrm {TSS} =\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}
723:
where this equation is equivalent to each of the following forms:
4199:, the closed subspace orthogonal to a set (especially a subspace)
44:"Variance partitioning" redirects here. Not to be confused with
4303:
Plane
Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models
3911:
The elimination of terms in the last line, used the fact that
713:{\displaystyle \mathrm {TSS} =\mathrm {ESS} +\mathrm {RSS} ,}
549:{\displaystyle (y_{i},x_{i1},\ldots ,x_{ip}),\,i=1,\ldots ,n}
4254:"Sum of Squares - Definition, Formulas, Regression Analysis"
3188:
The proof can also be expressed in vector form, as follows:
3131:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}
4345:
Prediction and
Regulation by Linear Least-Square Methods
3178:{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}^{T}\mathbf {1} =0}
3920:
3197:
3144:
3081:
1490:
1441:
1405:
1369:
1363:
is the value estimated by the regression line having
1333:
732:
667:
566:
466:
439:
326:
195:
168:
141:
101:
310:
Partitioning the sum of squares in linear regression
4133:
3900:
3177:
3130:
3064:
1463:
1427:
1391:
1355:
1317:
712:
642:
548:
452:
423:
268:, this gives the "sum of squares" for these data.
260:
181:
154:
127:
3966:
3556:
3455:
3411:
3358:
3315:
3300:
4297:Pre-publication chapters are available on-line.
295:, in turn, is the square root of the variance.
302:for an application of this broad principle to
8:
3511:
3495:
3483:
3445:
3423:
3344:
3322:
3263:
3247:
3218:
4153:plus the sum of squares due to pure error.
4205:of the subspaces of an inner-product space
4122:
4121:
4112:
4102:
4089:
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3754:
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1849:
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200:
194:
169:
167:
146:
140:
115:
106:
100:
37:For broader coverage of this topic, see
4245:
650:can be partitioned as follows into the
560:observations, the total sum of squares
4305:(Third ed.). New York: Springer.
128:{\displaystyle y_{i}-{\overline {y}}}
7:
55:is a concept that permeates much of
3054:
3051:
3048:
3040:
3037:
3034:
703:
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672:
669:
574:
571:
568:
25:
4347:. University of Minnesota Press.
4282:Design of Comparative Experiments
79:). When scaled for the number of
4123:
4071:
3991:
3963:
3953:
3833:
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3165:
868:
818:
762:
866:
182:{\displaystyle {\overline {y}}}
4327:. English Universities Press.
4285:. Cambridge University Press.
4109:
4082:
4053:
4030:
4013:
4001:
3928:
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1638:
1616:
1580:
1543:
1516:
1464:{\displaystyle {\hat {b}}_{p}}
1449:
1428:{\displaystyle {\hat {b}}_{1}}
1413:
1392:{\displaystyle {\hat {b}}_{0}}
1377:
1356:{\displaystyle {\hat {y}}_{i}}
1341:
1291:
1251:
1244:
1223:
1213:
1176:
1169:
1147:
1110:
1097:
1074:
1041:
1034:
1013:
1003:
966:
959:
937:
900:
875:
853:
847:
838:
823:
811:
796:
786:
767:
755:
739:
631:
624:
602:
518:
467:
287:is the number of data points.
1:
4364:Whittle, P. (20 April 2000).
275:In many cases, the number of
4301:Christensen, Ronald (2002).
2646:
2476:
1601:
1537:
283: − 1, where
241:
174:
120:
53:partition of sums of squares
4366:Probability Via Expectation
4258:Corporate Finance Institute
162:is the ith data point, and
63:. More properly, it is the
18:Sum of squares (statistics)
4414:
4368:(4th ed.). Springer.
4151:lack-of-fit sum of squares
453:{\displaystyle \beta _{0}}
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4325:Prediction and Regulation
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