957:
2195:
45:
401:
898:
4456:
700:
707:
20:
535:
893:{\displaystyle {\frac {9}{36^{.4}}}\approx 2.146,{\frac {10}{48^{.4}}}\approx 2.126,{\frac {12}{60^{.4}}}\approx 2.333,{\frac {16}{120^{.4}}}\approx 2.357,{\frac {18}{180^{.4}}}\approx 2.255,{\frac {20}{240^{.4}}}\approx 2.233,{\frac {24}{360^{.4}}}\approx 2.279}
504:
1216:
1293:
695:{\displaystyle {\frac {2}{2^{.5}}}\approx 1.414,{\frac {3}{4^{.5}}}=1.5,{\frac {4}{6^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {6}{12^{.5}}}\approx 1.732,{\frac {8}{24^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {12}{60^{.5}}}\approx 1.549}
1377:
1779:
1871:
1722:
1667:
2558:
1604:
433:
1517:
1455:
1413:
1114:
1900:
1556:
1632:
1140:
1810:
1484:
1224:
404:
Plot of the number of divisors of integers from 1 to 1000. Highly composite numbers are labelled in bold and superior highly composite numbers are starred. In the
1584:
1221:
An effective construction of the set of all superior highly composite numbers is given by the following monotonic mapping from the positive real numbers. Let
948:, which meet a similar condition based on the sum-of-divisors function rather than the number of divisors. Neither set, however, is a subset of the other.
1145:
532:
For example, the number with the most divisors per square root of the number itself is 12; this can be demonstrated using some highly composites near 12.
2138:
1909:
941:
2551:
1306:
3358:
2544:
3353:
3368:
3348:
2184:
2073:
1815:
4061:
2194:
1730:
704:
120 is another superior highly composite number because it has the highest ratio of divisors to itself raised to the .4 power.
83:, whichever integer has the greatest ratio is a superior highly composite number. It is a stronger restriction than that of a
3363:
4147:
2131:
3463:
3813:
3132:
2925:
3848:
3818:
3493:
3483:
2335:
3989:
3403:
3137:
3117:
3679:
3843:
4480:
3938:
3561:
3318:
3127:
3109:
3003:
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2983:
2371:
1009:
945:
3823:
4066:
3611:
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3018:
3013:
3008:
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2975:
2356:
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3051:
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1637:
956:
3308:
4177:
4142:
3928:
3838:
3712:
3687:
3596:
3586:
3198:
3180:
3100:
2510:
2376:
2300:
1672:
1057:
1000:
84:
4437:
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3581:
3212:
2988:
2768:
2695:
2361:
2320:
987:
3692:
3546:
3473:
2628:
2290:
2159:
1912:). In other words, the quotient of two successive superior highly composite numbers is a prime number.
1218:
for all positive ε, so if a number "n" is not highly composite, it cannot be superior highly composite.
4401:
4041:
4334:
4228:
4192:
3933:
3656:
3636:
3453:
3122:
2910:
2882:
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2366:
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405:
4056:
3920:
3915:
3883:
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3616:
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3521:
3517:
3448:
3338:
3170:
2966:
2935:
2525:
2520:
2315:
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2019:
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3155:
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3056:
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3730:
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3566:
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3071:
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3033:
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2867:
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2330:
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2174:
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1040:
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44:
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3303:
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2047:
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400:
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1612:
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3735:
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3601:
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3160:
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80:
61:
2116:
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4277:
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2254:
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2224:
1928:
960:
931:
927:
499:{\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}
324:
298:
53:
1211:{\displaystyle {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}>{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}}
90:
The first ten superior highly composite numbers and their factorization are listed.
4329:
4318:
4233:
4071:
4046:
3963:
3863:
3833:
3808:
3792:
3697:
3664:
3413:
3387:
3298:
3237:
2814:
2710:
2643:
2623:
2598:
2469:
2386:
2264:
2209:
2179:
1954:
1022:
923:
919:
272:
246:
2003:
4288:
4163:
3968:
3432:
3323:
3278:
3273:
3023:
2930:
2829:
2658:
2633:
2608:
1946:
915:
911:
220:
194:
2039:
4425:
4406:
3702:
3313:
1940:
907:
903:
168:
142:
87:, which is defined as having more divisors than any smaller positive integer.
2536:
1288:{\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt{p}}-1}}\right\rfloor }
934:, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sequence
4031:
3958:
3950:
3755:
3669:
2787:
2219:
2107:
526:
2060:
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006).
4132:
65:
1920:
The first few superior highly composite numbers have often been used as
4137:
3796:
2164:
376:
73:
1934:
1727:
This representation implies that there exist an infinite sequence of
350:
2023:
1382:
Note that the product need not be computed indefinitely, because if
19:
2435:
2056:(Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962
1921:
1606:
in the implicit definition of a superior highly composite number.
955:
69:
43:
18:
4423:
4387:
4351:
4315:
4275:
3900:
3789:
3515:
3430:
3385:
3262:
2952:
2899:
2851:
2785:
2737:
2675:
2579:
2540:
2120:
1924:, due to their high divisibility for their size. For example:
1953:
Bigger SHCNs can be used in other ways. 120 appears as the
1904:
1372:{\displaystyle s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}}
936:
1774:{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }
1881:
1818:
1791:
1733:
1675:
1640:
1615:
1592:
1564:
1528:
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1309:
1227:
1148:
1122:
1078:
710:
538:
436:
1609:
Moreover, for each superior highly composite number
76:
has and that integer raised to some positive power.
4247:
4201:
4161:
4112:
4086:
4019:
4003:
3982:
3949:
3914:
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3655:
3532:
3220:
3211:
3189:
3146:
3108:
3099:
3032:
2974:
2965:
2478:
2434:
2395:
2344:
2278:
2202:
2152:
1894:
1865:
1804:
1773:
1716:
1661:
1626:
1598:
1578:
1550:
1511:
1478:
1449:
1407:
1371:
1287:
1210:
1134:
1108:
892:
694:
498:
1060:. This is easy to prove: if there is some number
902:The first 15 superior highly composite numbers,
64:which, in a particular rigorous sense, has many
2004:http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi
1866:{\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}
2552:
2132:
408:file, hover over a bar to see its statistics.
8:
4420:
4384:
4348:
4312:
4272:
3946:
3911:
3897:
3786:
3529:
3512:
3427:
3382:
3259:
3217:
3105:
2971:
2962:
2949:
2896:
2853:Possessing a specific set of other numbers
2848:
2782:
2734:
2672:
2576:
2559:
2545:
2537:
2139:
2125:
2117:
1056:All superior highly composite numbers are
1886:
1880:
1857:
1847:
1836:
1823:
1817:
1796:
1790:
1767:
1766:
1751:
1738:
1732:
1674:
1662:{\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}
1653:
1649:
1648:
1639:
1614:
1591:
1568:
1563:
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1527:
1503:
1491:
1462:
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1420:
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1387:
1352:
1347:
1337:
1336:
1329:
1308:
1265:
1260:
1254:
1232:
1226:
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1180:
1169:
1149:
1147:
1121:
1077:
876:
867:
850:
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824:
815:
798:
789:
772:
763:
746:
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711:
709:
678:
669:
652:
643:
626:
617:
600:
591:
574:
565:
548:
539:
537:
488:
468:
457:
437:
435:
1064:that has the same number of divisors as
399:
92:
1970:
1902:are 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (sequence
1379:is a superior highly composite number.
412:For a superior highly composite number
1717:{\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s'}
1957:, while 360 appears as the number of
1785:-th superior highly composite number
7:
1522:Also note that in the definition of
521:, denotes the number of divisors of
416:there exists a positive real number
2147:Divisibility-based sets of integers
68:. Particularly, it is defined by a
2103:"Superior highly composite number"
1980:"Superior Highly Composite Number"
1676:
423:such that for all natural numbers
72:between the number of divisors an
14:
2185:Fundamental theorem of arithmetic
4454:
4062:Perfect digit-to-digit invariant
2193:
58:superior highly composite number
2002:Ramanujan (1915); see also URL
1700:
1694:
1545:
1539:
1473:
1467:
1457:, so the product to calculate
1438:
1432:
1364:
1358:
1319:
1313:
1244:
1238:
1192:
1186:
1161:
1155:
1103:
1097:
1088:
1082:
480:
474:
449:
443:
1:
2901:Expressible via specific sums
1634:exists a half-open interval
1599:{\displaystyle \varepsilon }
3990:Multiplicative digital root
2062:Handbook of number theory I
1512:{\displaystyle p\geq 2^{x}}
946:colossally abundant numbers
4497:
2024:"Highly composite numbers"
1450:{\displaystyle e_{p}(x)=0}
1408:{\displaystyle p>2^{x}}
4450:
4433:
4419:
4397:
4383:
4361:
4347:
4325:
4311:
4284:
4271:
4067:Perfect digital invariant
3910:
3896:
3804:
3785:
3642:Superior highly composite
3528:
3511:
3439:
3426:
3394:
3381:
3269:
3258:
2961:
2948:
2906:
2895:
2858:
2847:
2795:
2781:
2744:
2733:
2686:
2671:
2589:
2575:
2382:Superior highly composite
2191:
1109:{\displaystyle d(k)=d(n)}
1014:superior highly composite
525:. The term was coined by
3680:Euler's totient function
3464:Euler–Jacobi pseudoprime
2739:Other polynomial numbers
2279:Constrained divisor sums
2040:10.1112/plms/s2_14.1.347
1895:{\displaystyle \pi _{i}}
1551:{\displaystyle e_{p}(x)}
944:) are also the first 15
382:2 â‹… 3 â‹… 5 â‹… 7 â‹… 11 â‹… 13
16:Class of natural numbers
3494:Somer–Lucas pseudoprime
3484:Lucas–Carmichael number
3319:Lazy caterer's sequence
1486:can be terminated once
85:highly composite number
3369:Wedderburn–Etherington
2769:Lucky numbers of Euler
2028:Proc. London Math. Soc
1896:
1867:
1852:
1806:
1775:
1718:
1663:
1628:
1600:
1580:
1552:
1513:
1480:
1451:
1409:
1373:
1289:
1212:
1136:
1135:{\displaystyle k<n}
1110:
1053:
963:of numbers under 100:
894:
696:
500:
409:
49:
41:
3657:Prime omega functions
3474:Frobenius pseudoprime
3264:Combinatorial numbers
3133:Centered dodecahedral
2926:Primary pseudoperfect
2160:Integer factorization
1984:mathworld.wolfram.com
1897:
1868:
1832:
1807:
1805:{\displaystyle s_{n}}
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