358:
2060:
151:
1746:
816:
2261:
353:{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{with eigenvectors}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.}
1757:
1151:
3454:
2508:
1513:
678:
2658:
3731:
1501:
913:
2066:
3507:
2736:
2055:{\displaystyle ({\vec {x}}^{\dagger }+{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\bar {x}}_{n+1})M_{n}({\vec {x}}+x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}})-|x_{n+1}|^{2}{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}+d|x_{n+1}|^{2}}
2342:
3344:
1042:
3335:
3207:
2792:
483:
3584:
531:
1363:
1033:
1741:{\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{n}{\vec {x}}+x_{n+1}{\vec {x}}^{\dagger }{\vec {v}}+{\bar {x}}_{n+1}{\vec {v}}^{\dagger }{\vec {x}}+d|x_{n+1}|^{2}}
1399:
976:
620:
95:
2414:
3850:
3677:
3043:
2965:
2377:
1238:
3245:
1209:
557:
438:
3800:
3764:
1321:
3618:
3541:
3133:
3069:
3672:
3645:
3099:
2992:
2918:
2888:
2861:
2826:
2404:
1426:
1288:
1183:
940:
811:{\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)}
669:
584:
412:
4041:
2536:
1258:
640:
2544:
1435:
825:
4026:
3886:
2256:{\displaystyle =({\vec {x}}+{\vec {c}})^{\dagger }M_{n}({\vec {x}}+{\vec {c}})+|x_{n+1}|^{2}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})}
2663:
24:
3459:
3250:
2406:
are all positive.) The first term is positive by the inductive hypothesis. We now examine the sign of the second term. By using the
4049:
2890:
is strictly positive definite shows that all principal minors (not necessarily the leading principal minors) are non-negative.
1146:{\displaystyle M_{n+1}=\left({\begin{array}{cc}M_{n}&{\vec {v}}\\{\vec {v}}^{\dagger }&d\end{array}}\right)\qquad (*)}
2269:
3045:
are strictly positive definite. Since the limit of positive definite matrices is always positive semidefinite, we can take
3976:
3916:
137:
4018:
3878:
3338:
3138:
2745:
3449:{\displaystyle q_{k}(t)=\sum _{j=0}^{k}t^{k-j}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right),}
3674:, and are thus non-negative. Since the trace of a matrix is the sum of the diagonal entries, it follows that
443:
4068:
3546:
982:
3552:
488:
2503:{\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)=\det A\det(D-CA^{-1}B)}
1326:
988:
3931:
1368:
945:
589:
77:
3813:
3005:
2927:
4001:
2347:
1214:
3216:
1188:
536:
417:
4045:
4022:
3993:
3882:
3769:
3736:
1293:
3985:
3939:
3593:
3516:
3108:
3048:
28:
3650:
3623:
3077:
2970:
2896:
2866:
2839:
2804:
2382:
1404:
1266:
1161:
918:
647:
562:
390:
3002:
identity matrix. Indeed, from the positive definite case, we would know that the matrices
372:
110:
2653:{\displaystyle \det M_{n+1}=\det M_{n}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})>0}
2515:
3935:
1243:
625:
4062:
3726:{\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right)\geq 0.}
3974:
Gilbert, George T. (1991), "Positive definite matrices and
Sylvester's criterion",
2407:
2426:
1070:
140:
Hermitian matrices, except that it is no longer sufficient to consider only the
47:
1496:{\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\x_{n+1}\end{array}}\right)}
46:
is positive-definite if and only if all the following matrices have a positive
3947:
3997:
908:{\displaystyle 0<x^{\dagger }M_{n}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{k}{\vec {x}}.}
113:
must be positive. By using appropriate permutations of rows and columns of
4005:
3901:
Carl D. Meyer, Matrix
Analysis and Applied Linear Algebra. See section
586:
is positive definite, then the principal minors are positive; that is,
3989:
3943:
2863:
is semidefinite. Essentially the same proof as for the case that
3620:
In particular, the diagonal entries are the principal minors of
3502:{\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{j}M_{k}\right)}
2731:{\displaystyle d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}>0}
1751:
By completing the squares, this last expression is equal to
2893:
For the reverse implication, it suffices to show that if
1428:
is positive definite by the inductive hypothesis. Denote
978:
since the determinant is the product of the eigenvalues.
3810:, it is clear that the coefficient is 1. In particular,
144:
principal minors as illustrated by the
Hermitian matrix
2924:, all leading principal minors of the Hermitian matrix
3691:
3549:, we know that the entries in the matrix expansion of
3462:
3417:
2337:{\displaystyle {\vec {c}}=x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}}}
1450:
764:
693:
316:
276:
239:
160:
3816:
3772:
3739:
3680:
3653:
3626:
3596:
3555:
3519:
3347:
3253:
3219:
3141:
3111:
3080:
3051:
3008:
2973:
2930:
2899:
2869:
2842:
2807:
2748:
2666:
2547:
2518:
2417:
2385:
2350:
2272:
2069:
1760:
1516:
1438:
1407:
1371:
1329:
1296:
1269:
1246:
1217:
1191:
1164:
1045:
991:
948:
921:
828:
681:
650:
628:
592:
565:
559:
upper left corner matrices. It will be shown that if
539:
491:
446:
420:
393:
154:
80:
3917:"The Principal Minor Test for Semidefinite Matrices"
2920:
has all non-negative principal minors, then for all
2797:
Proof for the case of positive semidefinite matrices
3547:
Minor_(linear_algebra)#Multilinear_algebra_approach
3844:
3794:
3758:
3725:
3666:
3639:
3612:
3578:
3535:
3501:
3448:
3329:
3239:
3201:
3127:
3093:
3063:
3037:
2986:
2959:
2912:
2882:
2855:
2820:
2786:
2730:
2652:
2530:
2502:
2398:
2371:
2336:
2255:
2054:
1740:
1495:
1420:
1393:
1357:
1315:
1282:
1252:
1232:
1203:
1177:
1145:
1027:
970:
934:
907:
810:
663:
634:
614:
578:
551:
525:
477:
432:
406:
352:
89:
3984:(1), Mathematical Association of America: 44–46,
3164:
2570:
2548:
2466:
2460:
2418:
1372:
1330:
949:
593:
383:Proof for the case of positive definite matrices
3647:, which of course are also principal minors of
3330:{\displaystyle q_{k}(t)=(-1)^{k}p_{M_{k}}(-t).}
136:An analogous theorem holds for characterizing
117:, it can also be shown that the positivity of
16:Criterion of positive definiteness of a matrix
8:
4013:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985),
3873:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985),
1290:. Assuming that all the principal minors of
3213:, related to the characteristic polynomial
3202:{\displaystyle q_{k}(t)=\det(M_{k}+tI_{k})}
4038:Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
3924:Journal of Guidance, Control, and Dynamics
2787:{\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x>0.}
533:be the principal minor matrices, i.e. the
3821:
3815:
3777:
3771:
3744:
3738:
3706:
3696:
3679:
3658:
3652:
3631:
3625:
3601:
3595:
3570:
3560:
3554:
3524:
3518:
3488:
3478:
3461:
3432:
3422:
3395:
3385:
3374:
3352:
3346:
3304:
3299:
3289:
3258:
3252:
3229:
3224:
3218:
3190:
3174:
3146:
3140:
3116:
3110:
3085:
3079:
3050:
3029:
3013:
3007:
2978:
2972:
2951:
2935:
2929:
2904:
2898:
2874:
2868:
2847:
2841:
2812:
2806:
2763:
2753:
2747:
2711:
2710:
2701:
2696:
2686:
2675:
2674:
2665:
2630:
2629:
2620:
2615:
2605:
2594:
2593:
2577:
2555:
2546:
2517:
2485:
2425:
2416:
2390:
2384:
2360:
2355:
2349:
2323:
2322:
2313:
2308:
2292:
2274:
2273:
2271:
2239:
2238:
2229:
2224:
2214:
2203:
2202:
2186:
2181:
2168:
2159:
2142:
2141:
2127:
2126:
2117:
2107:
2092:
2091:
2077:
2076:
2068:
2046:
2041:
2028:
2019:
2002:
2001:
1992:
1987:
1977:
1966:
1965:
1958:
1953:
1940:
1931:
1914:
1913:
1904:
1899:
1883:
1865:
1864:
1855:
1836:
1825:
1824:
1814:
1809:
1799:
1788:
1787:
1777:
1766:
1765:
1759:
1732:
1727:
1714:
1705:
1688:
1687:
1681:
1670:
1669:
1656:
1645:
1644:
1629:
1628:
1622:
1611:
1610:
1597:
1579:
1578:
1572:
1562:
1551:
1550:
1531:
1521:
1515:
1473:
1454:
1453:
1449:
1437:
1412:
1406:
1379:
1370:
1337:
1328:
1301:
1295:
1274:
1268:
1245:
1219:
1218:
1216:
1190:
1169:
1163:
1114:
1103:
1102:
1086:
1085:
1077:
1069:
1050:
1044:
990:
981:To prove the reverse implication, we use
956:
947:
926:
920:
891:
890:
884:
874:
863:
862:
849:
839:
827:
768:
767:
763:
721:
700:
692:
680:
655:
649:
627:
600:
591:
570:
564:
538:
496:
490:
469:
456:
451:
445:
419:
398:
392:
311:
305:
271:
234:
228:
155:
153:
81:
79:
671:is positive definite. Indeed, choosing
368:is positive-semidefinite if and only if
3865:
3856:, which is what was required to show.
478:{\displaystyle M_{n}^{\dagger }=M_{n}}
7:
3339:Characteristic polynomial#Properties
942:are positive, and this implies that
34:Sylvester's criterion states that a
3579:{\displaystyle \bigwedge ^{j}M_{k}}
3105:th leading principal submatrix of
2379:exists because the eigenvalues of
526:{\displaystyle M_{k},k=1,\ldots n}
14:
3977:The American Mathematical Monthly
1358:{\displaystyle \det M_{n+1}>0}
1028:{\displaystyle (n+1)\times (n+1)}
915:Equivalently, the eigenvalues of
27:criterion to determine whether a
2408:block matrix determinant formula
1263:Suppose the criterion holds for
68:the upper left 3-by-3 corner of
61:the upper left 2-by-2 corner of
54:the upper left 1-by-1 corner of
1394:{\displaystyle \det M_{n}>0}
1133:
971:{\displaystyle \det M_{k}>0}
615:{\displaystyle \det M_{k}>0}
310:
304:
270:
233:
227:
90:{\displaystyle {}\quad \vdots }
83:
3903:7.6 Positive Definite Matrices
3833:
3827:
3789:
3783:
3364:
3358:
3321:
3312:
3286:
3276:
3270:
3264:
3196:
3167:
3158:
3152:
3055:
2716:
2680:
2641:
2635:
2599:
2583:
2525:
2519:
2497:
2469:
2328:
2279:
2250:
2244:
2208:
2192:
2182:
2160:
2153:
2147:
2132:
2123:
2104:
2097:
2082:
2073:
2042:
2020:
2007:
1971:
1954:
1932:
1925:
1919:
1870:
1861:
1848:
1830:
1793:
1771:
1761:
1728:
1706:
1693:
1675:
1650:
1634:
1616:
1584:
1556:
1459:
1224:
1140:
1134:
1108:
1091:
1022:
1010:
1004:
992:
896:
868:
773:
1:
3845:{\displaystyle q_{k}(t)>0}
2967:are strictly positive, where
3038:{\displaystyle M_{n}+tI_{n}}
2960:{\displaystyle M_{n}+tI_{n}}
4036:Carl D. Meyer (June 2000),
106:In other words, all of the
4085:
4019:Cambridge University Press
3915:Prussing, John E. (1986),
3879:Cambridge University Press
2836:Hermitian matrix. Suppose
2372:{\displaystyle M_{n}^{-1}}
1323:are positive implies that
1233:{\displaystyle {\vec {v}}}
3590:) are just the minors of
3240:{\displaystyle p_{M_{k}}}
1204:{\displaystyle n\times n}
985:. The general form of an
552:{\displaystyle k\times k}
433:{\displaystyle n\times n}
133:being positive-definite.
3802:is non-negative for all
3795:{\displaystyle q_{k}(t)}
3733:Thus the coefficient of
25:necessary and sufficient
3759:{\displaystyle t^{k-j}}
3337:We use the identity in
1316:{\displaystyle M_{n+1}}
31:is positive-definite.
3846:
3796:
3760:
3727:
3668:
3641:
3614:
3613:{\displaystyle M_{k}.}
3580:
3537:
3536:{\displaystyle M_{k}.}
3503:
3450:
3390:
3331:
3241:
3203:
3129:
3128:{\displaystyle M_{n}.}
3095:
3065:
3064:{\displaystyle t\to 0}
3039:
2988:
2961:
2914:
2884:
2857:
2822:
2788:
2732:
2654:
2532:
2504:
2400:
2373:
2338:
2257:
2056:
1742:
1497:
1422:
1395:
1359:
1317:
1284:
1254:
1234:
1205:
1179:
1147:
1029:
972:
936:
909:
812:
665:
636:
616:
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