5560:
5466:
5548:
7074:
6949:
6824:
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6564:
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6189:
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5527:
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5513:
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6927:
6802:
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5430:
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7164:
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5327:
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3457:
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31:
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6002:
5355:
4973:
4847:
4721:
4595:
4469:
4343:
4154:
containing counts of its component elements. The rows and columns correspond to vertices, edges, faces, and cells. The diagonal numbers (upper left to lower right) say how many of each element occur in the whole 4-polytope. The non-diagonal numbers say how many of the column's element occur in or at
4853:
4727:
2988:
3062:
2656:
4601:
4475:
4349:
349:
4223:
2905:
2580:
3246:
3196:
2392:
481:
Like their 3-dimensional analogues, the convex regular 4-polytopes can be naturally ordered by size as a measure of 4-dimensional content (hypervolume) for the same radius. Each greater polytope in the sequence is
2719:
2517:
2842:
2443:
2094:
2329:
2282:
2768:
2235:
1923:
2040:
5793:
Each group has 2 regular star-polychora, except for two groups which are self-dual, having only one. So there are 4 dual-pairs and 2 self-dual forms among the ten regular star polychora.
3100:
4113:
4016:
advocated the names n-cell, or pentachoron, hexadecachoron, tesseract or octachoron, icositetrachoron, hexacosichoron, and hecatonicosachoron (or dodecacontachoron), coining the term
1956:
2195:
2163:
2131:
274:
4968:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
4842:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
224:
2913:
5563:
A subset of relations among 8 forms from the 120-cell, polydodecahedron (pD). The three operations {a,g,s} are commutable, defining a cubic framework. There are 7
3001:
2588:
4716:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
7577:"Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder"
2466:
469:
which are all
Platonic solids of the same type and size. These are fitted together along their respective faces (face-to-face) in a regular fashion, forming the
7763:
4590:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
4464:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
4010:
advocated the names simplex, orthoplex, tesseract, octaplex or polyoctahedron (pO), tetraplex or polytetrahedron (pT), and dodecaplex or polydodecahedron (pD).
3146:
3123:
2791:
2002:
1979:
1878:
1855:
1832:
1809:
1786:
1763:
178:
Einleitung in die Lehre von der
Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder
4338:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}5&4&6&4\\2&10&3&3\\3&3&10&2\\4&6&4&5\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
286:
4985:
The following table shows some 2-dimensional projections of these 4-polytopes. Various other visualizations can be found in the external links below. The
473:
of the 4-polytope which is a closed, curved 3-dimensional space (analogous to the way the surface of the earth is a closed, curved 2-dimensional space).
5551:
This shows the relationships among the four-dimensional starry polytopes. The 2 convex forms and 10 starry forms can be seen in 3D as the vertices of a
486:
than its predecessor, enclosing more content within the same radius. The 4-simplex (5-cell) has the smallest content, and the 120-cell has the largest.
2850:
2525:
7289:
3204:
3154:
7651:
7609:
7562:
7540:
7414:
7383:
2342:
2669:
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2799:
2400:
5828:
2048:
7756:
7731:
7726:
7520:
7510:
5402:
4171:
2 cells), in any regular 4-polytope. The configuration for the dual polytope can be obtained by rotating the matrix by 180 degrees.
3254:
The following table lists some properties of the six convex regular 4-polytopes. The symmetry groups of these 4-polytopes are all
2290:
2243:
7124:
6959:
6874:
6709:
6574:
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6199:
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5240:
5201:
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5123:
5084:
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3481:
3364:
2727:
851:
812:
773:
734:
695:
656:
364:{p,q,r} that have valid cells {p,q} and vertex figures {q,r}, and pass the dihedral test, but fail to produce finite figures: {3,
7104:
7094:
7084:
6999:
6979:
6969:
6864:
6844:
6834:
6749:
6739:
6719:
6624:
6604:
6594:
6469:
6459:
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6364:
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6094:
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5309:
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5221:
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5192:
5182:
5172:
5153:
5143:
5133:
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5094:
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3960:
3950:
3850:
3840:
3830:
3730:
3720:
3710:
3630:
3620:
3610:
3511:
3501:
3491:
3394:
3384:
3374:
881:
871:
861:
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822:
803:
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686:
676:
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6729:
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7964:
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7119:
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6994:
6859:
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6484:
6359:
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5983:
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7109:
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6984:
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6849:
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6724:
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5973:
5963:
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5089:
3965:
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3725:
3715:
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5652:
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151:
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5559:
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7222:
7216:
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4045:
7073:
6948:
6823:
6698:
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6313:
6188:
6063:
5937:
5547:
8003:
7994:
7971:
7488:
7264:
6555:
6430:
6055:
5485:
4151:
103:
1931:
5780:
5716:
John Conway names the 10 forms from 3 regular celled 4-polytopes: pT=polytetrahedron {3,3,5} (a tetrahedral
5318:
5884:
5420:
4986:
512:
3258:
and given in the notation described in that article. The number following the name of the group is the
7723:
2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes)
7225:{3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
8012:
7957:
6690:
5929:
5922:
5737:
4036:
3259:
2171:
2139:
2107:
613:
504:
229:
115:
6536:
5996:
5787:
5784:
5691:
3922:
3876:
3802:
599:
492:
7662:
5533:
5526:
7576:
7550:
7250:
6757:
6671:
6247:
6036:
5917:
5806:
5644:
5564:
4007:
465:
131:
62:
5880:
5861:
5598:
5590:
5519:
5505:
4990:
3277:
623:
361:
92:
7137:
6926:
6801:
6637:
6502:
6291:
6127:
5512:
5498:
4039:
for all 4-polytopes is zero, we have the 4-dimensional analogue of Euler's polyhedral formula:
2983:{\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}
191:
7736:
7682:
7647:
7605:
7558:
7536:
7524:
7506:
7410:
7400:
7379:
7371:
7230:
7046:
6882:
6411:
5910:
5695:
5474:
5341:
3286:
3057:{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}
2651:{\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}
357:
The six convex and ten star polytopes described are the only solutions to these constraints.
7498:
7253:
7197:
5835:
5821:
5576:
5456:
5438:
5416:
520:
55:
5447:
5429:
7268:
5903:
5896:
5889:
3301:
3296:
3291:
3281:
648:
457:
73:
66:
7709:
7596:
Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995).
2451:
17:
8028:
7987:
7980:
7685:
7598:
7259:
6940:
6305:
6180:
5709:
4021:
3462:
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2776:
1987:
1964:
1863:
1840:
1817:
1794:
1771:
1748:
1693:
453:
277:
107:
99:
344:{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}}
8353:
7358:
5856:
5773:
5648:
5580:
5552:
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3318:
3313:
3306:
3255:
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89:
77:
5397:
5382:
7273:
6372:
6161:
5367:
4135:
3991:
1653:
6762:
6676:
6252:
6041:
95:
in the mid-19th century. He discovered that there are precisely six such figures.
7404:
7704:
7584:
7572:
7171:
7051:
7007:
6887:
6416:
5849:
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5331:
3996:
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3871:
3796:
3656:
3532:
3420:
3415:
1485:
1478:
547:
528:
173:
114:. He skipped the remaining six because he would not allow forms that failed the
43:
7553:; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Regular Star-polytopes".
7163:
7150:
7038:
7025:
6913:
6900:
6788:
6775:
6663:
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6528:
6515:
6403:
6390:
6278:
6265:
6153:
6140:
6028:
6014:
2900:{\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}
2575:{\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}
7715:
7699:
7284:
7279:
5672:
5586:
3751:
3537:
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7145:
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6658:
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6398:
6135:
6022:
5681:
5614:
5039:
4020:
being a 4D analogy to the 3D polyhedron, and 2D polygon, expressed from the
3581:
3241:{\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}
3191:{\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}
1720:
35:
3682:
1471:
6377:
6166:
4131:-faces in the polytope (a vertex is a 0-face, an edge is a 1-face, etc.).
3339:
1450:
7825:
7820:
7158:
7020:
6908:
6895:
6783:
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1678:
1623:
1617:
1587:
1516:
607:
593:
452:
The regular convex 4-polytopes are the four-dimensional analogues of the
7176:
7012:
6541:
6001:
5567:
seen in vertical positioning, with 2 dual forms having the same density.
5326:
7815:
7810:
7242:
7236:
5354:
5044:
5034:
4198:
4184:
3666:
3444:
3345:
2387:{\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}
1713:
1706:
1671:
1661:
1611:
1599:
583:
555:
27:
Four-dimensional analogues of the regular polyhedra in three dimensions
7741:
3573:
3456:
2714:{\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}
1464:
1457:
176:(1843–1903) published the complete list in his 1883 German book
30:
7800:
5029:
4191:
4177:
3644:
3559:
3325:
2512:{\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}
1734:
1727:
1699:
1605:
1593:
569:
541:
2837:{\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}
2438:{\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}
463:
Each convex regular 4-polytope is bounded by a set of 3-dimensional
130: = 2). That excludes cells and vertex figures such as the
7359:"Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005
5704:– replaces the cells with large ones in same 3-spaces. (Example: a
7720:
5690:– replaces the faces with large ones in same planes. (Example: an
29:
88:
The convex regular 4-polytopes were first described by the Swiss
7464:
Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ)
7333:, pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {
5359:
5346:
3756:
3651:
575:
7940:
7783:
7745:
7621:
5756:
for great, (ag)grand, and stellated. The final stellation, the
2089:{\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}
5676:– replaces edges with longer edges in same lines. (Example: a
98:
Schläfli also found four of the regular star 4-polytopes: the
7406:
Euler's Gem: The
Polyhedron Formula and the Birth of Topology
7450:
7346:
2324:{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}
2277:{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}
7589:
Sitzungsber
Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg
7256:
4-polytope families constructed from these 6 regular forms.
2763:{\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}
354:
to ensure that the cells meet to form a closed 3-surface.
7712:
A collection of stereographic projections of 4-polytopes.
5667:
modifier. Conway offered these operational definitions:
226:
is constrained by the existence of the regular polyhedra
4134:
The topology of any given 4-polytope is defined by its
4866:
4862:
4740:
4736:
4614:
4610:
4488:
4484:
4362:
4358:
4236:
4232:
4150:
A regular 4-polytope can be completely described as a
3209:
3159:
3075:
3025:
3006:
2925:
2862:
2811:
2739:
2681:
2600:
2537:
2487:
2413:
2354:
2296:
2249:
2209:
2176:
2144:
2112:
2053:
2015:
1897:
4856:
4730:
4604:
4478:
4352:
4226:
4155:
the row's element. For example, there are 2 vertices
4048:
3207:
3157:
3134:
3111:
3073:
3004:
2916:
2853:
2802:
2779:
2730:
2672:
2591:
2528:
2477:
2454:
2403:
2345:
2293:
2246:
2206:
2174:
2142:
2110:
2051:
2013:
1990:
1967:
1934:
1894:
1866:
1843:
1820:
1797:
1774:
1751:
289:
232:
194:
2230:{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}
1918:{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}
7622:"Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ)"
7587:(1885). "Uber die regulären Polytope höherer Art".
7401:"23. Henri Poincaré and the Ascendancy of Topology"
5846:The cells (polyhedra), their faces (polygons), the
5740:), and pD=polydodecahedron {5,3,3} (a dodecahedral
5631:. They are thus analogous to the regular nonconvex
7600:Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
7597:
4967:
4841:
4715:
4589:
4463:
4337:
4107:
3240:
3190:
3140:
3117:
3094:
3056:
2982:
2899:
2836:
2785:
2762:
2713:
2650:
2574:
2511:
2460:
2437:
2386:
2323:
2276:
2229:
2189:
2157:
2125:
2088:
2034:
1996:
1973:
1950:
1917:
1872:
1849:
1826:
1803:
1780:
1757:
343:
268:
218:
7223:Eleven paracompact regular hyperbolic honeycombs:
5589:). They are named in honor of their discoverers:
61:. They are the four-dimensional analogues of the
5635:, which are in turn analogous to the pentagram.
2035:{\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}
118:on cells or vertex figures (for zero-hole tori:
80:regular 4-polytopes, giving a total of sixteen.
7069:great grand stellated polydodecahedron (gaspD)
7063:
6938:
6813:
6688:
6553:
6428:
6303:
6178:
6053:
5927:
7757:
7409:. Princeton University Press. pp. 256–.
7378:. Cambridge University Press. pp. 246–.
8:
7646:(2nd ed.). Cambridge University Press.
3095:{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}
263:
251:
245:
233:
213:
195:
7217:Four compact regular hyperbolic honeycombs:
4108:{\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}
7953:
7948:
7937:
7796:
7791:
7780:
7764:
7750:
7742:
7451:Conway, Burgiel & Goodman-Strauss 2008
7347:Conway, Burgiel & Goodman-Strauss 2008
5866:
3264:
488:
7441:Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.117
4865:
4857:
4855:
4739:
4731:
4729:
4613:
4605:
4603:
4487:
4479:
4477:
4361:
4353:
4351:
4235:
4227:
4225:
4104:
4092:
4079:
4066:
4053:
4047:
3220:
3212:
3208:
3206:
3170:
3162:
3158:
3156:
3133:
3110:
3074:
3072:
3042:
3024:
3005:
3003:
2959:
2953:
2937:
2924:
2915:
2877:
2861:
2852:
2810:
2801:
2778:
2738:
2729:
2687:
2680:
2671:
2628:
2612:
2599:
2590:
2552:
2536:
2527:
2485:
2476:
2453:
2411:
2402:
2360:
2353:
2344:
2302:
2294:
2292:
2255:
2247:
2245:
2207:
2205:
2175:
2173:
2143:
2141:
2111:
2109:
2069:
2063:
2052:
2050:
2014:
2012:
1989:
1966:
1935:
1933:
1895:
1893:
1865:
1842:
1819:
1796:
1773:
1750:
331:
312:
296:
288:
231:
193:
7321:, p. 141, §7-x. Historical remarks.
6559:grand stellated polydodecahedron (aspD)
6434:great stellated polydodecahedron (gspD)
5842:(face-colored) orthographic projections.
5558:
5546:
5543:Regular star (Schläfli–Hess) 4-polytopes
4995:
4173:
1951:{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}
7700:Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes
7661:McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002).
7429:
7330:
7318:
7311:
5758:great grand stellated polydodecahedron
188:The existence of a regular 4-polytope
38:is one of 6 convex regular 4-polytopes
5643:Their names given here were given by
7:
6694:great grand polydodecahedron (gapD)
5783:. They are generated from 6 related
7535:. Courier Dover. pp. 159–192.
456:in three dimensions and the convex
7219:{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
25:
7372:"§ 11.5 Spherical Coxeter groups"
6059:stellated polydodecahedron (spD)
5613:} in which one of the numbers is
8087:great grand stellated dodecaplex
7529:Introduction to the Geometry of
7493:(3rd ed.). New York: Dover.
7211:One regular Euclidean honeycomb:
7175:
7162:
7149:
7136:
7122:
7117:
7112:
7107:
7102:
7097:
7092:
7087:
7082:
7072:
7050:
7037:
7024:
7011:
6997:
6992:
6987:
6982:
6977:
6972:
6967:
6962:
6957:
6947:
6925:
6912:
6899:
6886:
6872:
6867:
6862:
6857:
6852:
6847:
6842:
6837:
6832:
6822:
6800:
6787:
6774:
6761:
6747:
6742:
6737:
6732:
6727:
6722:
6717:
6712:
6707:
6697:
6675:
6662:
6649:
6636:
6622:
6617:
6612:
6607:
6602:
6597:
6592:
6587:
6582:
6577:
6572:
6562:
6540:
6527:
6514:
6501:
6487:
6482:
6477:
6472:
6467:
6462:
6457:
6452:
6447:
6437:
6415:
6402:
6389:
6376:
6362:
6357:
6352:
6347:
6342:
6337:
6332:
6327:
6322:
6312:
6290:
6277:
6264:
6251:
6237:
6232:
6227:
6222:
6217:
6212:
6207:
6202:
6197:
6187:
6165:
6152:
6139:
6126:
6112:
6107:
6102:
6097:
6092:
6087:
6082:
6077:
6072:
6062:
6040:
6027:
6013:
6000:
5986:
5981:
5976:
5971:
5966:
5961:
5956:
5951:
5946:
5936:
5532:
5525:
5518:
5511:
5504:
5497:
5473:
5464:
5455:
5446:
5437:
5428:
5396:
5381:
5366:
5353:
5340:
5325:
5307:
5302:
5297:
5292:
5287:
5282:
5277:
5268:
5263:
5258:
5253:
5248:
5243:
5238:
5229:
5224:
5219:
5214:
5209:
5204:
5199:
5190:
5185:
5180:
5175:
5170:
5165:
5160:
5151:
5146:
5141:
5136:
5131:
5126:
5121:
5112:
5107:
5102:
5097:
5092:
5087:
5082:
4989:graphs are also given below the
3968:
3963:
3958:
3953:
3948:
3943:
3938:
3915:
3848:
3843:
3838:
3833:
3828:
3823:
3818:
3795:
3728:
3723:
3718:
3713:
3708:
3703:
3698:
3681:
3628:
3623:
3618:
3613:
3608:
3603:
3598:
3572:
3509:
3504:
3499:
3494:
3489:
3484:
3479:
3455:
3392:
3387:
3382:
3377:
3372:
3367:
3362:
3338:
1484:
1477:
1470:
1463:
1456:
1449:
879:
874:
869:
864:
859:
854:
849:
840:
835:
830:
825:
820:
815:
810:
801:
796:
791:
786:
781:
776:
771:
762:
757:
752:
747:
742:
737:
732:
723:
718:
713:
708:
703:
698:
693:
684:
679:
674:
669:
664:
659:
654:
5573:Schläfli–Hess 4-polytopes
4850:
4724:
4598:
4472:
4346:
4220:
3664:
3323:
2190:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
2158:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
2126:{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
269:{\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}
7716:A Catalog of Uniform Polytopes
7376:Geometries and Transformations
7207:Infinite regular 4-polytopes:
7066:Great grand stellated 120-cell
5788:rational-order symmetry groups
5653:Kepler–Poinsot polyhedra
5633:Kepler–Poinsot polyhedra
4163:2 vertices), and 2 cells meet
112:great grand stellated 120-cell
1:
6309:grand polydodecahedron (apD)
6184:great polydodecahedron (gpD)
5426:
7705:Regular 4D Polytope Foldouts
7663:"Abstract Regular Polytopes"
6944:grand polytetrahedron (apT)
6819:great polyicosahedron (gpI)
152:small stellated dodecahedron
65:in three dimensions and the
7468:The Schläfli-Hess polytopes
7399:Richeson, David S. (2012).
7370:Johnson, Norman W. (2018).
5720:), pI=polyicosahedron {3,5,
5597:. Each is represented by a
5575:are the complete set of 10
276:which form its cells and a
8376:
8243:grand stellated dodecaplex
8199:great stellated dodecaplex
7732:The Regular Star Polychora
7710:Catalog of Polytope Images
7525:"X. The Regular Polytopes"
6816:Great icosahedral 120-cell
5744:), with prefix modifiers:
5587:four-dimensional polytopes
5495:
5388:Pentakis icosidodecahedral
5323:
493:Regular convex 4-polytopes
448:Regular convex 4-polytopes
7951:
7947:
7936:
7794:
7790:
7779:
7644:Regular Complex Polytopes
7203:List of regular polytopes
5772:All ten polychora have (
5486:stereographic projections
5483:
5414:
5316:
5019:
5005:
3892:
3883:
3553:
3544:
3317:
527:
511:
491:
360:There are four nonconvex
219:{\displaystyle \{p,q,r\}}
59:four-dimensional polytope
7620:Coxeter, H.S.M. (1989).
7555:The Symmetries of Things
7503:Introduction to Geometry
7265:Kepler-Poinsot polyhedra
6556:Grand stellated 120-cell
6431:Great stellated 120-cell
6056:Small stellated 120-cell
5860:are identified by their
5829:orthographic projections
5809:, matching those of the
5319:orthographic projections
104:great stellated 120-cell
18:Schläfli–Hess 4-polytope
7626:Elemente der Mathematik
7505:(2nd ed.). Wiley.
7453:, p. 406, Fig 26.2
7276:— regular star polygons
5781:hexacosichoric symmetry
5337:(cell/vertex-centered)
8271:great grand dodecaplex
7432:, § 1.8 Configurations
7349:, Ch. 26. Higher Still
5568:
5556:
5421:Perspective projection
4987:Coxeter-Dynkin diagram
4969:
4843:
4717:
4591:
4465:
4339:
4127:denotes the number of
4109:
3242:
3192:
3142:
3119:
3096:
3058:
2984:
2901:
2838:
2787:
2764:
2715:
2652:
2576:
2513:
2462:
2439:
2388:
2325:
2278:
2231:
2191:
2159:
2127:
2090:
2036:
1998:
1975:
1952:
1919:
1874:
1851:
1828:
1805:
1782:
1759:
345:
270:
220:
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