492:
208:
1536:
1334:
1172:
487:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=f(0)+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}uf'(u\sin \theta )\ d\theta \ du,\\a_{n}&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}u\cos nu\ f'(u\sin \theta )\ d\theta \ du.\end{aligned}}}
872:
1340:
634:
197:
1652:
1178:
213:
1745:(1911). LXII. On a physical interpretation of Schlömilch's theorem in Bessel's functions. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 21(124), 567-571.
1032:
923:
1021:
955:
670:
640:. This is particularly interesting because the null function is represented by a series expansion in which not all the coefficients are zero. The series converges only when
989:
727:
536:
56:
1531:{\displaystyle {\frac {1}{x}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {2}{\sqrt {x^{2}-4m^{2}\pi ^{2}}}}={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }J_{0}(nx),\quad 2k\pi <x<2(k+1)\pi .}
1682:
722:
1570:
93:
696:
1742:
541:
1766:
Chapman, S. (1911). On the general theory of summability, with application to
Fourier's and other series. Quarterly Journal, 43, 1-52.
101:
59:
1329:{\displaystyle x^{2}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}J_{0}(nx),\quad -\pi <x<\pi .}
1575:
1024:
1730:
1167:{\displaystyle x={\frac {\pi ^{2}}{4}}-2\sum _{n=1,3,...}^{\infty }{\frac {J_{0}(nx)}{n^{2}}},\quad 0<x<\pi .}
1791:
877:
994:
928:
867:{\displaystyle 0={\frac {1}{2\Gamma (\nu +1)}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{0}(nx)/(nx/2)^{\nu }}
643:
63:
960:
509:
29:
1661:
1655:
701:
1543:
1722:
69:
1713:
Schlomilch, G. (1857). On Bessel's function. Zeitschrift fur Math, and Pkys., 2, 155-158.
675:
1694:
637:
23:
1785:
1754:
1726:
1757:(1995). A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge university press.
26:
type expansion of twice continuously differentiable function in the interval
1775:
Nielsen, N. (1904). Handbuch der theorie der cylinderfunktionen. BG Teubner.
629:{\displaystyle 0={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{0}(nx)}
192:{\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}J_{0}(nx),}
66:, who derived the series in 1857. The real-valued function
502:
Some examples of Schlömilch's series are the following:
1647:{\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nz}J_{0}(nr)}
1572:
are the cylindrical polar coordinates, then the series
1664:
1578:
1546:
1343:
1181:
1035:
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103:
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31:
1706:
62:, named after the German mathematician
1023:. These properties were identified by
724:. This theorem is generalized so that
7:
918:{\displaystyle -1/2<\nu \leq 1/2}
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1239:
1099:
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60:Bessel function of the first kind
1485:
1304:
1145:
1016:{\displaystyle 0<x\leq \pi }
506:Null functions in the interval
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761:
749:
665:{\displaystyle 0<x<\pi }
636:, which cannot be obtained by
623:
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45:
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1:
1733:. Cambridge university press.
95:has the following expansion:
16:Fourier series type expansion
1731:A Course of Modern Analysis
984:{\displaystyle \nu >1/2}
672:; the series oscillates at
1808:
531:{\displaystyle (0,\pi )}
51:{\displaystyle (0,\pi )}
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1677:{\displaystyle z>0}
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1654:is a solution of
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1723:Whittaker, E. T.
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1656:Laplace equation
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698:and diverges at
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64:Oskar Schlömilch
58:in terms of the
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