25:
3057:
2462:
2822:
3213:
3389:
3638:
2166:
2600:
2172:
1672:
2002:
3421:
of the non-semi-simple and finite-dimensional Schrödinger algebra becomes a component of an infinite family in the Schrödinger–Virasoro algebra. In addition, and in analogy with either the
1868:
392:
308:
224:
1444:
542:
1558:
2674:
1373:
3264:
1759:
3052:{\displaystyle X_{n}=-t^{n+1}\partial _{t}-{n+1 \over 2}t^{n}{\vec {r}}\cdot \partial _{\vec {r}}-{n(n+1) \over 4}{\cal {M}}t^{n-1}{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}-{x \over 2}(n+1)t^{n}}
1119:
1014:
727:
665:
3063:
876:
1214:
2723:
2769:
3682:
3774:
of kinetic interface growth. It also describes the kinetics of phase-ordering, after a temperature quench from the disordered to the ordered phase, in magnetic systems.
1287:
799:
3419:
2803:
826:
3270:
763:
3478:
2008:
3486:
2474:
2457:{\displaystyle =\delta _{i,k}R_{n+n'}^{(jl)}+\delta _{j,l}R_{n+n'}^{(ik)}-\delta _{i,l}R_{n+n'}^{(jk)}-\delta _{j,k}R_{n+n'}^{(il)}}
65:
4022:
A. Röthlein, F. Baumann, M. Pleimling, "Symmetry-based determination of space-time functions in nonequilibrium growth processes",
4099:
879:
3770:
The Schrödinger group also arises as dynamical symmetry in condensed-matter applications: it is the dynamical symmetry of the
1564:
3684:, where it must have a Kac-Moody form. Any other possible central extension can be absorbed into the Lie algebra generators.
3755:
The Schrödinger group symmetry can give rise to exotic properties to interacting bosonic and fermionic systems, such as the
3807:
Son, Dam T (August 2008). "Toward an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry".
4104:
3729:
1874:
2809:
integer span a loop-Virasoro algebra. An explicit representation as time-space transformations is given by, with
730:
314:
230:
146:
35:
3737:
1378:
398:
3733:
2605:
3771:
1314:
4079:
4074:
3725:
3693:
3219:
2774:
In the chosen notation, one clearly sees that an infinite-dimensional extension exists, which is called the
890:
137:
87:
4036:
D.T. Son, "Towards an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry",
1020:
3429:, further central extensions are possible. However, a non-vanishing result only exists for the commutator
3208:{\displaystyle Y_{m}^{(j)}=-t^{m+1/2}\partial _{r_{j}}-\left(m+{1 \over 2}\right){\cal {M}}t^{m-1/2}r_{j}}
122:
3426:
910:
673:
3741:
742:
548:
3696:, it is realized in some interacting non-relativistic systems (for example cold atoms at criticality).
1765:
831:
1125:
1468:
1462:
spatial dimensions. The non-vanishing commutators of the Schrödinger algebra become (euclidean form)
2679:
4109:
3764:
3760:
2728:
3646:
1678:
3992:
G. Burdet, M. Perrin, P. Sorba, "About the non-relativistic structure of the conformal algebra",
3940:
3914:
3887:
3869:
3842:
3816:
106:
102:
3740:. This embedding can also be viewed as the extension of the Schrödinger algebra to the maximal
4084:
3932:
3834:
1220:
768:
734:
3384:{\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-t^{n}\left(r_{j}\partial _{r_{k}}-r_{k}\partial _{r_{j}}\right)}
1311:
A more systematic notation allows to cast these generators into the four (infinite) families
3924:
3879:
3826:
3422:
738:
130:
98:
4055:
Non-equilibrium phase transitions, vol 2: ageing and dynamical scaling far from equilibrium
3982:
U. Niederer, "The maximal kinematical invariance group of the free
Schroedinger equation",
3397:
2781:
804:
3860:
Adams, A.; Wang, J. (November 2011). "Towards a Non-Relativistic
Holographic Superfluid".
3706:
3883:
3972:
C. R. Hagen, "Scale and
Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory",
748:
83:
3432:
4093:
3756:
125:. In one space dimension, it can be obtained as a semi-direct sum of the Lie algebra
3944:
3891:
3846:
94:
118:
4012:
M. Henkel, J. Unterberger, "Schrödinger-invariance and space-time symmetries",
4002:
M. Henkel, "Schrödinger-invariance and strongly anisotropic critical systems",
3928:
3830:
3692:
Though the Schrödinger group is defined as symmetry group of the free particle
3936:
3838:
3767:
in fermions. They have applications in condensed matter and cold atoms.
91:
41:
2161:{\displaystyle =\delta _{i,k}Y_{n+m}^{(j)}-\delta _{j,k}Y_{n+m}^{(i)}}
3633:{\displaystyle =(n-n')X_{n+n'}+{c \over 12}(n^{3}-n)\delta _{n+n',0}}
893:
under phase transformation (and to the conservation of probability).
801:. The specific form of the commutators of the generators of rotation
126:
4046:
A. Bagchi, R. Gopakumar, "Galilean
Conformal Algebras and AdS/CFT",
3919:
3874:
3821:
2676:
span the sl(2,R) sub-algebra. Space-translations are generated by
3724:. This embedding is connected with the fact that one can get the
2595:{\displaystyle X_{-1,0,1},Y_{-1/2,1/2}^{(j)},M_{0},R_{0}^{(jk)}}
886:
18:
3251:
3166:
2963:
133:; similar constructions apply to higher spatial dimensions.
3480:, where it must be of the familiar Virasoro form, namely
3688:
The role of the Schrödinger group in mathematical physics
1667:{\displaystyle =\left({n \over 2}-m\right)Y_{n+m}^{(j)}}
3905:
Wang, J. (February 2014). "Schrödinger Fermi
Liquids".
896:
There are two more generators which we shall denote by
47:
3705:
spatial dimensions can be embedded into relativistic
3649:
3489:
3435:
3400:
3273:
3222:
3066:
2825:
2784:
2731:
2682:
2608:
2477:
2175:
2011:
1877:
1768:
1681:
1567:
1471:
1381:
1317:
1223:
1128:
1023:
913:
834:
807:
771:
751:
676:
551:
401:
317:
233:
149:
3676:
3632:
3472:
3413:
3383:
3258:
3207:
3051:
2797:
2763:
2717:
2668:
2594:
2471:is finite-dimensional and contains the generators
2456:
2160:
1996:
1862:
1753:
1666:
1552:
1438:
1367:
1281:
1208:
1113:
1008:
870:
820:
793:
757:
721:
659:
536:
386:
302:
218:
1278:
1205:
1110:
1005:
904:. They have the following commutation relations:
656:
533:
383:
299:
215:
105:, and the Schrödinger group is the corresponding
3736:along null-like dimensions and Bargmann lift of
8:
3643:or for the commutator between the rotations
1997:{\displaystyle =\delta _{j,k}(m-m')M_{m+m'}}
828:is the one of three-dimensional space, then
387:{\displaystyle =i\epsilon _{abc}K_{c},\,\!}
303:{\displaystyle =i\epsilon _{abc}P_{c},\,\!}
219:{\displaystyle =i\epsilon _{abc}J_{c},\,\!}
1439:{\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-R_{n}^{(kj)}}
885:has an interpretation as non-relativistic
537:{\displaystyle =0,=0,=i\delta _{ab}M,\,\!}
3918:
3873:
3820:
3659:
3654:
3648:
3607:
3588:
3571:
3551:
3510:
3497:
3488:
3456:
3443:
3434:
3405:
3399:
3368:
3363:
3353:
3338:
3333:
3323:
3308:
3283:
3278:
3272:
3250:
3249:
3243:
3227:
3221:
3199:
3185:
3175:
3165:
3164:
3149:
3127:
3122:
3108:
3098:
3076:
3071:
3065:
3043:
3014:
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2999:
2985:
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2972:
2962:
2961:
2934:
2919:
2918:
2900:
2899:
2893:
2871:
2862:
2846:
2830:
2824:
2789:
2783:
2749:
2740:
2736:
2730:
2703:
2694:
2687:
2681:
2654:
2635:
2613:
2607:
2577:
2572:
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2540:
2531:
2517:
2510:
2482:
2476:
2439:
2423:
2407:
2385:
2369:
2353:
2331:
2315:
2299:
2277:
2261:
2245:
2220:
2210:
2188:
2183:
2174:
2146:
2135:
2119:
2100:
2089:
2073:
2051:
2046:
2024:
2019:
2010:
1977:
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1890:
1885:
1876:
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1767:
1734:
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1689:
1680:
1652:
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1593:
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1470:
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400:
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373:
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338:
325:
316:
298:
289:
273:
254:
241:
232:
214:
205:
189:
170:
157:
148:
66:Learn how and when to remove this message
2669:{\displaystyle X_{-1}=H,X_{0}=D,X_{1}=C}
3783:
1368:{\displaystyle X_{n},Y_{m}^{(j)},M_{n}}
3259:{\displaystyle M_{n}=-t^{n}{\cal {M}}}
2602:. In particular, the three generators
3394:This shows how the central extension
1114:{\displaystyle =iP_{a},=-iK_{a},\,\!}
7:
121:of the Schrödinger group. It is not
40:In particular, it has problems with
2725:and the Galilei-transformations by
1009:{\displaystyle =iD,=-2iC,=2iH,\,\!}
889:and corresponds to the symmetry of
722:{\displaystyle J_{a},P_{a},K_{a},H}
3360:
3330:
3119:
2915:
2859:
660:{\displaystyle =0,=0,=iP_{a}.\,\!}
14:
1863:{\displaystyle =-n'R_{n'}^{(jk)}}
871:{\displaystyle a,b,c=1,\ldots ,3}
4062:The Schrödinger-Virasoro algebra
1458:label the spatial direction, in
1209:{\displaystyle =-iK_{a},=0,\,\!}
23:
1553:{\displaystyle =(n-n')X_{n+n'}}
117:The Schrödinger algebra is the
3884:10.1088/1367-2630/13/11/115008
3669:
3660:
3600:
3581:
3544:
3527:
3521:
3490:
3467:
3436:
3293:
3284:
3083:
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3036:
3024:
3005:
2990:
2952:
2940:
2924:
2905:
2756:
2750:
2718:{\displaystyle Y_{-1/2}^{(j)}}
2710:
2704:
2587:
2578:
2547:
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2176:
2153:
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1970:
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1568:
1526:
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1472:
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1268:
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974:
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633:
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402:
344:
318:
260:
234:
176:
150:
32:This article needs editing to
1:
4064:, (Springer, Heidelberg 2012)
4057:, (Springer, Heidelberg 2010)
3734:Kaluza–Klein compactification
2764:{\displaystyle Y_{1/2}^{(j)}}
729:are generators of rotations (
3677:{\displaystyle R_{n}^{(jk)}}
2776:Schrödinger–Virasoro algebra
1754:{\displaystyle =-n'M_{n+n'}}
90:. Mathematically, the group
4029:, 061604 (2006) -- erratum
4126:
4060:J. Unterberger, C. Roger,
3959:Eur. Phys. J. Spec. Topics
3929:10.1103/PhysRevD.89.046008
3831:10.1103/PhysRevD.78.046003
4053:M. Henkel, M. Pleimling,
3699:The Schrödinger group in
745:) respectively. (Notes:
733:), spatial translations (
731:angular momentum operator
1282:{\displaystyle ==0.\,\!}
794:{\displaystyle i^{2}=-1}
140:with central extension.
34:comply with Knowledge's
4080:Galilean transformation
3772:Edwards–Wilkinson model
2778:. Then, the generators
765:is the imaginary unit,
737:), Galilean boosts and
3862:New Journal of Physics
3678:
3634:
3474:
3415:
3385:
3260:
3209:
3053:
2799:
2765:
2719:
2670:
2596:
2458:
2162:
1998:
1864:
1755:
1668:
1554:
1454:is a half-integer and
1440:
1369:
1283:
1210:
1115:
1010:
872:
822:
795:
759:
723:
661:
538:
388:
304:
220:
3742:parabolic sub-algebra
3730:Klein–Gordon equation
3679:
3635:
3475:
3416:
3414:{\displaystyle M_{0}}
3386:
3261:
3210:
3054:
2800:
2798:{\displaystyle X_{n}}
2766:
2720:
2671:
2597:
2459:
2163:
1999:
1865:
1756:
1669:
1555:
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1011:
873:
823:
821:{\displaystyle J_{a}}
796:
760:
724:
662:
539:
389:
305:
221:
86:of the free particle
4100:Schrödinger equation
4075:Schrödinger equation
3738:Newton–Cartan theory
3726:Schrödinger equation
3694:Schrödinger equation
3647:
3487:
3433:
3398:
3271:
3220:
3064:
2823:
2782:
2729:
2680:
2606:
2475:
2173:
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1875:
1766:
1679:
1565:
1469:
1379:
1315:
1221:
1126:
1021:
911:
891:Schrödinger equation
832:
805:
769:
749:
674:
549:
399:
315:
231:
147:
88:Schrödinger equation
4105:Theoretical physics
3673:
3297:
3087:
2760:
2714:
2591:
2551:
2469:Schrödinger algebra
2453:
2399:
2345:
2291:
2234:
2202:
2157:
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