4040:
3344:
4035:{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\={}&iD(x_{0},x_{1})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle +iD(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\&{}+iD(x_{0},x_{3})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \\&{}+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{4}\,D(x_{0},x_{4})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}
3333:
3014:
354:
31:
1621:
2729:
3328:{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\}\mid \psi \rangle \\={}&iD(x_{0},x_{1})+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{2}\,D(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}
594:
2327:
181:
1007:
1314:
2489:
1851:
1365:
2500:
1961:
444:
2141:
349:{\displaystyle \left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S\right\}\right|\psi \right\rangle }
840:
2907:
1150:
739:
2345:
3349:
2089:
1616:{\displaystyle F\leftG=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G.}
1687:
3019:
3006:
2790:
2724:{\displaystyle i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z+J(x)Z=0}
74:
corresponding to the Green's function. They form a set of infinitely many functional differential equations, all coupled to each other, sometimes referred to as the infinite tower of SDEs.
589:{\displaystyle \rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S\right\}\right).}
2322:{\displaystyle S=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi (x)\partial _{\mu }\varphi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi (x)^{4}\right)}
1862:
93:, Schwinger derived a set of equations for Green's functions non-perturbatively, which generalize Dyson's equations to the Schwinger–Dyson equations for the Green functions of
832:
405:
173:
1142:
1050:
772:
436:
2122:
1002:{\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\varphi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{{\text{int}},i}D^{ij}\}|\psi \rangle .}
1675:
1651:
1357:
1337:
1122:
1102:
1073:
1030:
796:
628:
377:
141:
1309:{\displaystyle F={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n})}
2801:
2484:{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi (x)-m^{2}\varphi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\varphi ^{3}(x).}
59:
636:
97:. Today they provide a non-perturbative approach to quantum field theories and applications can be found in many fields of theoretical physics, such as
4245:
There are some review article about applications of the
Schwinger–Dyson equations with applications to special field of physics. For applications to
90:
1972:
1846:{\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}=i^{n}Z\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\rangle ,}
108:
Schwinger also derived an equation for the two-particle irreducible Green functions, which is nowadays referred to as the inhomogeneous
4217:
4061:
4362:
2958:
2740:
4357:
4049:
109:
67:
102:
2913:
4071:
1956:{\displaystyle {\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left+J(x)\right\rangle }_{J}=0,}
2945:
1631:
121:
4301:
C.D. Roberts and A.G. Williams (1994). "Dyson-Schwinger equations and their applications to hadron physics".
82:
4367:
4246:
1654:
4195:
There are not many books that treat the
Schwinger–Dyson equations. Here are three standard references:
4320:
4273:
4147:
4105:
94:
63:
801:
386:
150:
2952:
98:
77:
In his paper "The S-Matrix in
Quantum electrodynamics", Dyson derived relations between different
4336:
4310:
4289:
4263:
1053:
71:
4213:
4175:
1627:
1127:
1035:
4328:
4281:
4165:
4155:
4113:
774:
is an invertible symmetric (antisymmetric for fermions) covariant tensor of rank two in the
747:
380:
51:
421:
775:
607:
600:
86:
4254:
R. Alkofer and L. v.Smekal (2001). "On the infrared behaviour of QCD Green's functions".
2101:
4324:
4277:
4151:
4109:
17:
4202:
4170:
4135:
4066:
1660:
1636:
1342:
1322:
1107:
1078:
1058:
1015:
781:
613:
362:
126:
4285:
4351:
4340:
4332:
4293:
2902:{\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z}
2095:
415:
408:
144:
55:
4076:
1678:
734:{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\varphi ^{i}D_{ij}^{-1}\varphi ^{j}+S_{\text{int}},}
599:
This infinite set of equations can be used to solve for the correlation functions
4209:
4117:
4179:
30:
4160:
78:
4315:
4268:
834:
is the "interaction action". Then, we can rewrite the SD equations as
2084:{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}\leftZ+J(x)Z=0.}
1630:" (a function that is locally given by a convergent power series)
29:
81:
elements, or more specific "one-particle Green's functions", in
1966:
the
Schwinger–Dyson equation for the generating functional is
2494:
The
Schwinger–Dyson equation for this particular example is:
89:, thus working in a perturbative approach. Starting from his
4096:
F. Dyson (1949). "The S Matrix in
Quantum Electrodynamics".
3894:
3742:
3626:
3519:
3366:
3225:
3036:
1881:
908:
857:
524:
458:
392:
279:
200:
606:
To make the connection to diagrammatic techniques (like
3001:{\displaystyle -\partial ^{\mu }\partial _{\mu }-m^{2}}
2785:{\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}}
2124:, we get the entire set of Schwinger–Dyson equations.
1856:
then, from the properties of the functional integrals
610:) clearer, it is often convenient to split the action
3347:
3017:
3008:
and so, the
Schwinger–Dyson set of equations goes as
2961:
2804:
2743:
2503:
2348:
2144:
2104:
1975:
1865:
1690:
1663:
1639:
1368:
1345:
1325:
1153:
1130:
1110:
1081:
1061:
1038:
1018:
843:
804:
784:
750:
639:
616:
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424:
389:
365:
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153:
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4201:
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3327:
3000:
2901:
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2321:
2116:
2083:
1955:
1845:
1669:
1645:
1615:
1351:
1331:
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766:
733:
622:
588:
430:
399:
371:
348:
167:
135:
4136:"On Green's functions of quantized fields I + II"
1104:is defined to be the operator which substitutes
4229:Path Integral Methods in Quantum Field Theories
744:where the first term is the quadratic part and
2951:In this example, the bare propagator D is the
70:of quantum field theories, since they are the
4129:
4127:
143:over the field configurations, then, for any
8:
4200:Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber (1980).
4025:
4016:
3899:
3883:
3797:
3788:
3747:
3731:
3681:
3672:
3631:
3615:
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3565:
3524:
3508:
3459:
3450:
3371:
3355:
3318:
3309:
3230:
3214:
3091:
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1837:
1793:
993:
982:
913:
895:
889:
878:
862:
844:
162:
418:formulation, for any (valid) density state
27:Equations for correlation functions in QFT
4314:
4267:
4238:Quantum Field Theory A Modern Perspective
4169:
4159:
4052:, the odd correlation functions vanish.)
4007:
3988:
3969:
3950:
3931:
3912:
3893:
3892:
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3740:
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2853:
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2805:
2803:
2773:
2750:
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2638:
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1976:
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210:
199:
198:
183:
154:
152:
128:
66:(QFTs). They are also referred to as the
4088:
7:
2976:
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2518:
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2385:
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1539:
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1457:
1440:
1259:
1242:
1189:
1172:
798:is called the bare propagator and
147:(which is a solution of the QFT),
25:
4062:Functional renormalization group
2094:If we expand this equation as a
85:, by summing up infinitely many
58:, are general relations between
4013:
4000:
3994:
3981:
3975:
3962:
3956:
3943:
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3586:
3562:
3549:
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1510:
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1428:
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1406:
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1220:
1163:
1157:
1091:
1085:
986:
902:
882:
851:
827:{\displaystyle S_{\text{int}}}
821:
815:
725:
719:
649:
643:
570:
564:
543:
537:
492:
486:
400:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
325:
319:
298:
292:
234:
228:
168:{\displaystyle |\psi \rangle }
155:
1:
4286:10.1016/S0370-1573(01)00010-2
4231:. Cambridge University Press.
4050:spontaneous symmetry breaking
120:Given a polynomially bounded
4333:10.1016/0146-6410(94)90049-3
2795:is not well-defined because
2135:To give an example, suppose
103:elementary particle physics
4384:
2944:this equation needs to be
4072:Path integral formulation
48:Dyson–Schwinger equations
40:Schwinger–Dyson equations
1137:{\displaystyle \varphi }
1045:{\displaystyle \varphi }
68:Euler–Lagrange equations
18:Schwinger-Dyson equation
4118:10.1103/PhysRev.75.1736
110:Bethe–Salpeter equation
83:quantum electrodynamics
4363:Differential equations
4303:Prog. Part. Nucl. Phys
4247:Quantum Chromodynamics
4036:
3329:
3002:
2903:
2786:
2725:
2485:
2332:for a real field
2323:
2118:
2085:
1957:
1847:
1671:
1647:
1617:
1353:
1333:
1310:
1138:
1118:
1098:
1069:
1046:
1026:
1003:
828:
792:
768:
767:{\displaystyle D^{-1}}
735:
624:
590:
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