3377:
2965:
1267:
3372:{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}
983:
250:
2900:
3530:
2738:
4392:
1262:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}
4277:
3714:
1376:
1641:
4126:
609:
3878:
3964:
2512:
1450:
4533:. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.
2328:
2196:
1728:
2744:
3383:
2581:
4293:
in 1907. Schmidt called singular values "eigenvalues" at that time. The name "singular value" was first quoted by
Smithies in 1937. In 1957, Allahverdiev proved the following characterization of the
2970:
988:
1519:
3580:
2958:
2574:
2063:
4159:
3762:
817:
3584:
1869:
1799:
876:
4304:
683:
4018:
2400:
3771:
760:
643:
th powers of the singular values. Note that each norm is defined only on a special class of operators, hence singular values can be useful in classifying different operators.
955:
734:
514:
437:
360:
64:
4008:
1278:
705:
926:
1832:
1762:
1530:
1925:
4154:
141:
168:
520:
2425:
2420:
2350:
2238:
2218:
2106:
2086:
1892:
975:
475:
408:
380:
192:
107:
87:
3885:
2247:
2115:
1384:
4554:
4477:
1656:
4425:
4435:
2895:{\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}
767:
254:
3525:{\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}
2733:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}}
1457:
763:
3538:
2916:
2532:
2024:
3726:
781:
4387:{\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}
4549:
1837:
1767:
822:
653:
4430:
2355:
1647:
4496:
743:
4272:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}
931:
710:
480:
413:
336:
37:
4013:
3969:
3709:{\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
1371:{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).}
647:
1636:{\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}
616:
24:
688:
887:
292:
4121:{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}
1807:
1737:
4403:
249:
4473:
1897:
604:{\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}
4465:
4416:
4133:
454:
362:, there is a simple geometric interpretation for the singular values: Consider the image by
171:
116:
32:
3873:{\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
146:
4421:
4397:
This formulation made it possible to extend the notion of singular values to operators in
881:
300:
285:
243:
4459:
3959:{\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}
619:
on
Hilbert space operators studied are defined using singular values. For example, the
4526:
4290:
2405:
2335:
2223:
2203:
2091:
2071:
1877:
960:
737:
460:
393:
365:
269:
177:
92:
72:
1968:
The absolute values of all elements in the inverse matrix (A) are at most the inverse
4543:
632:
447:
258:
235:
67:
4398:
4499:. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3
443:
198:
20:
4530:
4492:
110:
4508:
X. Zhan. Matrix
Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28
4469:
2507:{\displaystyle \sigma _{i+k+\ell }(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
1445:{\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.}
387:
265:
631:
singular values, the trace norm is the sum of all singular values, and the
4517:
R. Bhatia. Matrix
Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1
2005:) = 0, then the rows of A are linearly dependent and A is not invertible.
1994:) is small, then the rows of A are "almost" linearly dependent. If it is
383:
322:
277:
2323:{\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
2191:{\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
1723:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A}
620:
248:
1950:). It has the following properties for a non-singular matrix A:
390:, and the lengths of its semi-axes are the singular values of
1272:
Matrix transpose and conjugate do not alter singular values.
766:
with the singular values lying on the diagonal. This is the
16:
Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator
295:Σ along the rotated coordinate axes and a second rotation
109:, are the square roots of the (necessarily non-negative)
1954:
The 2-norm of the inverse matrix (A) equals the inverse
523:
4307:
4162:
4136:
4021:
3972:
3888:
3774:
3729:
3587:
3541:
3386:
2968:
2919:
2747:
2584:
2535:
2428:
2408:
2358:
2338:
2250:
2226:
2206:
2118:
2094:
2074:
2027:
1900:
1880:
1840:
1810:
1770:
1740:
1659:
1533:
1460:
1387:
1281:
986:
963:
934:
890:
825:
784:
746:
713:
691:
656:
483:
463:
416:
396:
368:
339:
180:
149:
119:
95:
75:
40:
4407:, which also includes Gelfand and Kolmogorov width.
457:
can be applied to obtain unitary diagonalization of
442:The singular values are the absolute values of the
4464:. Society for Industrial and Applied Mathematics.
4386:
4271:
4148:
4120:
4002:
3958:
3872:
3756:
3708:
3574:
3524:
3371:
2952:
2894:
2732:
2568:
2506:
2414:
2394:
2344:
2322:
2232:
2212:
2190:
2100:
2080:
2057:
1919:
1886:
1863:
1826:
1793:
1756:
1722:
1635:
1513:
1444:
1370:
1261:
969:
949:
920:
870:
811:
754:
728:
699:
677:
603:
508:
469:
431:
402:
374:
354:
303:containing in its diagonal the singular values of
186:
162:
135:
101:
81:
58:
4401:. Note that there is a more general concept of
4330:
2874:
2712:
1906:
1894:is full rank, the product of singular values is
1843:
1834:is full rank, the product of singular values is
1773:
1764:is full rank, the product of singular values is
1514:{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}
1186:
1158:
1058:
1018:
850:
3575:{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
2953:{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
2569:{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
2058:{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.}
4376:
4335:
3757:{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
812:{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
8:
4353:
4341:
2889:
2877:
2727:
2715:
1210:
1203:
1082:
1075:
865:
853:
4375:
4374:
4373:
4364: is an operator of finite rank
4362:
4340:
4334:
4333:
4312:
4306:
4251:
4246:
4236:
4225:
4198:
4193:
4178:
4167:
4161:
4135:
4100:
4090:
4079:
4052:
4037:
4026:
4020:
3971:
3936:
3898:
3887:
3821:
3800:
3779:
3773:
3742:
3738:
3737:
3728:
3658:
3642:
3627:
3611:
3595:
3586:
3560:
3556:
3555:
3540:
3476:
3457:
3432:
3410:
3391:
3385:
3347:
3342:
3323:
3318:
3308:
3297:
3268:
3263:
3253:
3242:
3216:
3197:
3187:
3176:
3147:
3137:
3126:
3100:
3072:
3061:
3035:
3016:
2988:
2977:
2969:
2967:
2938:
2934:
2933:
2918:
2846:
2845:
2814:
2792:
2752:
2746:
2684:
2662:
2649:
2638:
2610:
2600:
2589:
2583:
2554:
2550:
2549:
2534:
2489:
2467:
2433:
2427:
2407:
2357:
2337:
2305:
2283:
2255:
2249:
2225:
2205:
2173:
2151:
2123:
2117:
2093:
2073:
2040:
2036:
2035:
2026:
1912:
1901:
1899:
1879:
1864:{\displaystyle {\sqrt {\det AA^{\top }}}}
1853:
1841:
1839:
1818:
1809:
1794:{\displaystyle {\sqrt {\det A^{\top }A}}}
1780:
1771:
1769:
1745:
1739:
1711:
1699:
1690:
1685:
1675:
1664:
1658:
1616:
1601:
1583:
1565:
1543:
1538:
1532:
1487:
1465:
1459:
1427:
1423:
1422:
1400:
1396:
1395:
1386:
1355:
1341:
1324:
1323:
1322:
1308:
1286:
1280:
1246:
1213:
1189:
1161:
1135:
1118:
1085:
1061:
1021:
995:
987:
985:
962:
941:
937:
936:
933:
889:
871:{\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}
824:
797:
793:
792:
783:
747:
745:
719:
714:
712:
692:
690:
668:
657:
655:
595:
566:
553:
544:
530:
524:
522:
500:
482:
462:
423:
419:
418:
415:
395:
367:
346:
342:
341:
338:
179:
154:
148:
124:
118:
94:
74:
39:
1935:The smallest singular value of a matrix
678:{\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }
4447:
201:, usually listed in decreasing order (
2395:{\displaystyle (m-k)\times (n-\ell )}
650:can always be decomposed in the form
284:into three simple transformations: a
197:The singular values are non-negative
7:
4453:
4451:
882:Min-max theorem for singular values
410:(the figure provides an example in
299:. Σ is a (square, in this example)
223:), …). The largest singular value
2009:Inequalities about singular values
1854:
1819:
1781:
1746:
755:{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
646:In the finite-dimensional case, a
584:
559:
550:
493:
14:
4458:Demmel, James W. (January 1997).
4461:Applied Numerical Linear Algebra
950:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
748:
729:{\displaystyle \mathbf {V^{*}} }
720:
716:
693:
669:
665:
661:
658:
509:{\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}
432:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
355:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
276:, which distorts the disc to an
59:{\displaystyle T:X\rightarrow Y}
4289:This concept was introduced by
4003:{\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}
3839:
3719:Singular values and eigenvalues
3675:
3491:
2832:
2705:
2017:Singular values of sub-matrices
257:(SVD) of a 2-dimensional, real
4324:
4318:
4263:
4257:
4210:
4204:
4112:
4106:
4064:
4058:
3948:
3942:
3910:
3904:
3833:
3827:
3617:
3601:
3488:
3482:
3469:
3463:
3447:
3438:
3422:
3416:
3403:
3397:
3359:
3353:
3335:
3329:
3283:
3274:
3228:
3222:
3209:
3203:
3162:
3153:
3115:
3106:
3047:
3041:
3028:
3022:
2826:
2820:
2804:
2798:
2782:
2770:
2699:
2696:
2690:
2674:
2668:
2655:
2628:
2616:
2501:
2495:
2479:
2473:
2457:
2451:
2389:
2377:
2371:
2359:
2317:
2311:
2295:
2289:
2273:
2267:
2185:
2179:
2163:
2157:
2141:
2135:
1913:
1902:
1555:
1549:
1505:
1493:
1477:
1471:
1298:
1292:
1242:
1231:
1174:
1168:
1147:
1141:
1114:
1103:
1034:
1028:
1007:
1001:
909:
903:
307:, which represent the lengths
268:in blue together with the two
50:
1:
113:of the self-adjoint operator
4555:Singular value decomposition
4436:Singular value decomposition
768:singular value decomposition
700:{\displaystyle \mathbf {U} }
272:. We then see the action of
255:singular value decomposition
4426:Poincaré separation theorem
1931:The smallest singular value
921:{\displaystyle U:\dim(U)=i}
764:rectangular diagonal matrix
4571:
4422:Cauchy interlacing theorem
1827:{\displaystyle AA^{\top }}
1757:{\displaystyle A^{\top }A}
639:th root of the sum of the
627:-norm is the sum of first
1524:Relation to eigenvalues:
1920:{\displaystyle |\det A|}
333:acts on Euclidean space
4470:10.1137/1.9781611971446
4388:
4273:
4241:
4183:
4150:
4149:{\displaystyle p>0}
4122:
4095:
4042:
4004:
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