3210:
1140:
862:
1135:{\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}
2112:
1650:
1979:
254:
729:
128:
857:
662:
1907:
1859:
1680:
1579:
572:
160:
2868:
1458:
1423:
761:
424:
327:
1733:
1512:
1240:
599:
540:
1804:
1772:
453:
2262:
2107:{\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}
1362:
1336:
1974:
1954:
1934:
1703:
1574:
1552:
1532:
1485:
1388:
1310:
1288:
1268:
1206:
1186:
619:
513:
387:
367:
347:
297:
277:
180:
72:
782:
188:
667:
3082:
2301:
3173:
80:
2270:
2245:
3092:
2858:
1150:
The eigenvalues of a skew-Hermitian matrix are all purely imaginary (and possibly zero). Furthermore, skew-Hermitian matrices are
2893:
2440:
2657:
2294:
624:
2732:
1867:
1819:
2888:
2410:
2237:
3251:
2992:
2863:
2777:
3097:
2987:
2695:
2375:
1655:
1645:{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}}
3256:
3132:
3061:
2943:
2803:
2400:
2287:
3002:
2585:
2390:
545:
2948:
2685:
2535:
2365:
2340:
2138:
1426:
467:
397:
3209:
3142:
2500:
2330:
2310:
1248:
136:
3163:
3137:
2715:
2520:
2510:
1154:. Hence they are diagonalizable and their eigenvectors for distinct eigenvalues must be orthogonal.
51:
3214:
3168:
3158:
3112:
3107:
3036:
2972:
2838:
2575:
2570:
2505:
2495:
2360:
2123:
1706:
481:
1432:
1397:
740:
403:
3246:
3225:
3012:
3007:
2997:
2977:
2938:
2933:
2762:
2757:
2742:
2737:
2728:
2723:
2670:
2565:
2515:
2460:
2430:
2425:
2405:
2395:
2355:
2266:
2241:
390:
3220:
3188:
3117:
3056:
3051:
3031:
2967:
2873:
2843:
2828:
2813:
2808:
2747:
2700:
2675:
2665:
2636:
2555:
2550:
2525:
2455:
2435:
2345:
2325:
2128:
1461:
1365:
1162:
734:
488:
400:, or as the matrix analogue of the purely imaginary numbers. The set of all skew-Hermitian
302:
1711:
1490:
1213:
577:
518:
2918:
2853:
2833:
2818:
2798:
2782:
2680:
2611:
2601:
2560:
2445:
2415:
1780:
1748:
429:
1341:
1318:
3178:
3122:
3102:
3087:
3046:
2923:
2883:
2848:
2772:
2711:
2690:
2631:
2621:
2606:
2540:
2485:
2475:
2470:
2380:
2143:
1959:
1939:
1919:
1736:
1688:
1559:
1537:
1517:
1470:
1373:
1295:
1273:
1253:
1191:
1171:
604:
498:
492:
471:
372:
352:
332:
282:
262:
165:
57:
39:
31:
249:{\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}
3240:
3183:
3041:
2982:
2913:
2903:
2898:
2823:
2752:
2626:
2616:
2545:
2465:
2450:
2385:
2133:
1158:
1151:
459:
35:
1165:; i.e., on the imaginary axis (the number zero is also considered purely imaginary).
3066:
3023:
2928:
2641:
2580:
2490:
2370:
768:
478:
474:
724:{\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}
2908:
2878:
2646:
2480:
2350:
1743:
1245:
764:
455:
2959:
2420:
1910:
17:
3193:
2767:
1775:
123:{\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad A^{\mathsf {H}}=-A}
396:
Skew-Hermitian matrices can be understood as the complex versions of real
3127:
852:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}
27:
Matrix whose conjugate transpose is its negative (additive inverse)
2279:
2256:
2283:
1864:
The difference of a square matrix and its conjugate transpose
54:
is the negative of the original matrix. That is, the matrix
1816:
The sum of a square matrix and its conjugate transpose
737:
can be thought of as skew-adjoint (since they are like
2053:
2000:
1026:
934:
880:
797:
1982:
1962:
1942:
1922:
1870:
1822:
1783:
1751:
1714:
1691:
1658:
1582:
1562:
1540:
1520:
1493:
1473:
1435:
1400:
1376:
1344:
1321:
1298:
1276:
1256:
1216:
1194:
1174:
865:
785:
743:
670:
627:
607:
580:
548:
521:
501:
432:
406:
375:
355:
335:
305:
285:
265:
191:
168:
139:
83:
60:
779:
For example, the following matrix is skew-Hermitian
3151:
3075:
3021:
2957:
2791:
2709:
2655:
2594:
2318:
2106:
1968:
1948:
1928:
1901:
1853:
1798:
1766:
1727:
1697:
1674:
1644:
1568:
1546:
1526:
1506:
1479:
1452:
1417:
1382:
1356:
1330:
1304:
1282:
1262:
1234:
1200:
1180:
1134:
851:
755:
723:
657:{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}
656:
613:
593:
566:
534:
507:
447:
418:
381:
361:
341:
321:
291:
271:
248:
174:
154:
122:
66:
1936:can be written as the sum of a Hermitian matrix
1811:Decomposition into Hermitian and skew-Hermitian
1742:The space of skew-Hermitian matrices forms the
74:is skew-Hermitian if it satisfies the relation
1902:{\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}
1854:{\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}
162:denotes the conjugate transpose of the matrix
2295:
8:
2232:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985),
1913:of two Hermitian matrices is skew-Hermitian.
466:. The concept can be generalized to include
2216:
2189:
2177:
2161:
1161:of a skew-Hermitian matrix have to be pure
2869:Fundamental (linear differential equation)
2302:
2288:
2280:
2258:Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
2212:
2210:
205:
201:
97:
93:
2092:
2091:
2066:
2052:
2039:
2038:
2013:
1999:
1981:
1961:
1941:
1921:
1909:is skew-Hermitian. This implies that the
1887:
1886:
1869:
1839:
1838:
1821:
1782:
1750:
1719:
1713:
1690:
1675:{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }
1667:
1659:
1657:
1631:
1621:
1620:
1615:
1611:
1600:
1590:
1589:
1584:
1581:
1561:
1539:
1534:is an even integer and skew-Hermitian if
1519:
1498:
1492:
1472:
1439:
1434:
1404:
1399:
1375:
1343:
1320:
1297:
1275:
1255:
1215:
1193:
1173:
1125:
1124:
1110:
1109:
1091:
1068:
1046:
1029:
1021:
999:
979:
954:
937:
929:
875:
864:
792:
784:
742:
713:
702:
685:
677:
669:
648:
636:
628:
626:
606:
585:
579:
547:
526:
520:
500:
431:
405:
374:
354:
334:
310:
304:
284:
264:
232:
226:
211:
195:
190:
167:
146:
145:
144:
138:
104:
103:
87:
82:
59:
3174:Matrix representation of conic sections
2154:
2093:
2040:
1888:
1840:
1622:
1591:
1126:
1111:
182:. In component form, this means that
105:
2201:
2165:
458:, which corresponds to the Lie group
7:
621:is skew-adjoint means that for all
567:{\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}
1436:
1401:
515:dimensional complex or real space
25:
1576:is skew-Hermitian if and only if
3208:
1668:
1660:
1632:
1616:
1601:
1585:
714:
703:
686:
678:
637:
629:
3076:Used in science and engineering
2059:
2051:
2006:
1998:
206:
200:
155:{\displaystyle A^{\textsf {H}}}
98:
92:
2319:Explicitly constrained entries
1793:
1787:
1761:
1755:
1446:
1440:
1411:
1405:
718:
699:
690:
671:
574:denotes the scalar product on
561:
549:
491:of an operator depends on the
442:
436:
202:
94:
1:
3093:Fundamental (computer vision)
1956:and a skew-Hermitian matrix
1705:is skew-Hermitian, then the
1637:
1096:
1084:
1059:
1039:
1004:
992:
970:
947:
241:
2859:Duplication and elimination
2658:eigenvalues or eigenvectors
1916:An arbitrary square matrix
389:, and the overline denotes
3273:
2792:With specific applications
2421:Discrete Fourier Transform
2238:Cambridge University Press
1244:is skew-Hermitian for all
3202:
3083:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
2710:Satisfying conditions on
2217:Horn & Johnson (1985)
2190:Horn & Johnson (1985)
2178:Horn & Johnson (1985)
2162:Horn & Johnson (1985)
1453:{\displaystyle \Im {(A)}}
1418:{\displaystyle \Re {(A)}}
1208:are skew-Hermitian, then
756:{\displaystyle 1\times 1}
419:{\displaystyle n\times n}
1487:is skew-Hermitian, then
2441:Generalized permutation
2255:Meyer, Carl D. (2000),
1429:and the imaginary part
398:skew-symmetric matrices
3215:Mathematics portal
2108:
1970:
1950:
1930:
1903:
1855:
1800:
1768:
1729:
1699:
1676:
1646:
1570:
1548:
1528:
1508:
1481:
1454:
1419:
1384:
1358:
1332:
1306:
1284:
1264:
1236:
1202:
1182:
1136:
853:
757:
725:
658:
615:
595:
568:
536:
509:
468:linear transformations
449:
420:
383:
363:
343:
329:is the element in the
323:
322:{\displaystyle a_{ij}}
293:
273:
250:
176:
156:
124:
68:
42:entries is said to be
2139:Skew-symmetric matrix
2109:
1971:
1951:
1931:
1904:
1856:
1801:
1769:
1730:
1728:{\displaystyle e^{A}}
1700:
1677:
1647:
1571:
1549:
1529:
1509:
1507:{\displaystyle A^{k}}
1482:
1455:
1420:
1385:
1359:
1333:
1307:
1285:
1265:
1237:
1235:{\displaystyle aA+bB}
1203:
1183:
1137:
854:
758:
726:
659:
616:
596:
594:{\displaystyle K^{n}}
569:
537:
535:{\displaystyle K^{n}}
510:
450:
421:
384:
364:
344:
324:
294:
274:
251:
177:
157:
125:
69:
1980:
1960:
1940:
1920:
1868:
1820:
1799:{\displaystyle U(n)}
1781:
1767:{\displaystyle u(n)}
1749:
1712:
1689:
1656:
1580:
1560:
1538:
1518:
1491:
1471:
1433:
1398:
1374:
1342:
1319:
1296:
1274:
1254:
1214:
1192:
1172:
863:
783:
741:
668:
625:
605:
578:
546:
519:
499:
448:{\displaystyle u(n)}
430:
404:
373:
353:
333:
303:
283:
263:
197: skew-Hermitian
189:
166:
137:
89: skew-Hermitian
81:
58:
3164:Linear independence
2411:Diagonally dominant
1357:{\displaystyle -iA}
1157:All entries on the
763:matrices), whereas
426:matrices forms the
391:complex conjugation
52:conjugate transpose
3169:Matrix exponential
3159:Jordan normal form
2993:Fisher information
2864:Euclidean distance
2778:Totally unimodular
2124:Bivector (complex)
2104:
2057:
2004:
1966:
1946:
1926:
1899:
1851:
1796:
1764:
1725:
1707:matrix exponential
1695:
1672:
1642:
1566:
1554:is an odd integer.
1544:
1524:
1504:
1477:
1450:
1415:
1390:is skew-Hermitian
1380:
1354:
1338:(or equivalently,
1331:{\displaystyle iA}
1328:
1312:is skew-Hermitian
1302:
1280:
1260:
1232:
1198:
1178:
1132:
1103:
1011:
920:
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