4354:
2671:. Thus the determinant of a real skew-symmetric matrix is always non-negative. However this last fact can be proved in an elementary way as follows: the eigenvalues of a real skew-symmetric matrix are purely imaginary (see below) and to every eigenvalue there corresponds the conjugate eigenvalue with the same multiplicity; therefore, as the determinant is the product of the eigenvalues, each one repeated according to its multiplicity, it follows at once that the determinant, if it is not 0, is a positive real number.
43:
8582:
4082:
4349:{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
6462:
3163:
5817:
3543:
2971:
4746:
This defines a form with desirable properties for vector spaces over fields of characteristic not equal to 2, but in a vector space over a field of characteristic 2, the definition is equivalent to that of a symmetric form, as every element is its own additive inverse.
6329:
5070:
559:
3002:
1321:
1929:
437:
5607:
3378:
3927:
6860:
1470:
1395:
188:
2449:
1696:
3370:
2474:
is odd, and since the underlying field is not of characteristic 2, the determinant vanishes. Hence, all odd dimension skew symmetric matrices are singular as their determinants are always zero. This result is called
331:
3287:
3608:
3745:
5957:
6205:
1566:
2822:
7035:
1629:
6522:
6900:
Conversely, the surjectivity of the exponential map, together with the above-mentioned block-diagonalization for skew-symmetric matrices, implies the block-diagonalization for orthogonal matrices.
5612:
2608:
1221:
6457:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}
3975:. Since the eigenvalues of a real skew-symmetric matrix are imaginary, it is not possible to diagonalize one by a real matrix. However, it is possible to bring every skew-symmetric matrix to a
1842:
5237:
4893:
5138:
4741:
602:, where 1 denotes the multiplicative identity and 0 the additive identity of the given field. If the characteristic of the field is 2, then a skew-symmetric matrix is the same thing as a
4625:
4437:
2723:
was considered already by Cayley, Sylvester, and Pfaff. Due to cancellations, this number is quite small as compared the number of terms of the determinant of a generic matrix of order
1755:
4054:
2066:
448:
6898:
3158:{\displaystyle s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}
2669:
3750:
i.e., the commutator of skew-symmetric three-by-three matrices can be identified with the cross-product of three-vectors. Since the skew-symmetric three-by-three matrices are the
2273:
2007:
6628:
1972:
5404:
1216:
908:
1791:
1065:
1012:
6771:
6686:
4882:
941:
6321:
6286:
1096:
6254:
3813:
1153:
4504:
4384:
3954:
4013:
8240:
7219:
7120:
6076:
5596:
5287:
2327:
2238:
2168:
1817:
592:
5161:
4799:
4535:
6968:
6730:
4477:
1716:
691:
347:
6038:
5812:{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-\,.\end{aligned}}}
3168:
The number of positive and negative terms are approximatively a half of the total, although their difference takes larger and larger positive and negative values as
1179:
1122:
967:
857:
6000:
5535:
5366:
5334:
661:
6142:
6109:
5500:
5457:
2793:
2701:
4654:
221:
7190:
7062:
4677:
3784:
2764:
814:
7239:
7167:
7140:
6927:
6706:
6648:
6584:
6564:
6544:
5867:
5844:
5307:
5261:
5181:
4839:
4819:
4771:
4581:
4558:
4457:
4074:
3186:
2994:
2741:
2721:
2637:
2548:
2524:
2504:
2472:
2351:
2301:
2195:
2136:
2106:
2086:
1633:
740:
3538:{\displaystyle _{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},}
7082:
1837:
1493:
787:
764:
714:
641:
261:
241:
8454:
6082:
orthogonal matrix with unit determinant can be written as the exponential of some skew-symmetric matrix. In the particular important case of dimension
3842:
3195:
2802:
7392:
Duplij, S.; Nikitin, A.; Galkin, A.; Sergyeyev, A.; Dayi, O.F.; Mohapatra, R.; Lipatov, L.; Dunne, G.; Feinberg, J.; Aoyama, H.; Voronov, T. (2004).
3831:
of a skew-symmetric matrix always come in pairs ±λ (except in the odd-dimensional case where there is an additional unpaired 0 eigenvalue). From the
7673:
6776:
5406:
For each of symmetric, skew-symmetric and alternating forms, the representing matrices are symmetric, skew-symmetric and alternating respectively.
1400:
1328:
137:
8545:
2359:
269:
3292:
7528:
7376:
3554:
3212:
6078:
will have determinant +1. Moreover, since the exponential map of a connected compact Lie group is always surjective, it turns out that
8464:
8230:
3628:
3613:
This can be immediately verified by computing both sides of the previous equation and comparing each corresponding element of the results.
7084:; in orthonormal coordinates these are exactly the elementary skew-symmetric matrices. This characterization is used in interpreting the
6708:
is odd; since each single block of order 2 is also an orthogonal matrix, it admits an exponential form. Correspondingly, the matrix
5875:
6150:
2966:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}
7613:"Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]"
1506:
7328:
7303:
86:
64:
6973:
3207:
8265:
2814:
1571:
7812:
6470:
5460:
7549:
5416:
2556:
8029:
7666:
5963:
5065:{\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),}
8104:
7544:
860:
5186:
8260:
7782:
5081:
4684:
3206:
Three-by-three skew-symmetric matrices can be used to represent cross products as matrix multiplications. Consider
554:{\displaystyle -A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.}
8364:
8235:
8149:
4592:
3980:
4401:
8469:
8359:
8067:
7747:
6003:
4774:
4018:
1728:
1500:
817:
595:
57:
51:
6909:
More intrinsically (i.e., without using coordinates), skew-symmetric linear transformations on a vector space
6865:
2012:
829:
As a result of the first two properties above, the set of all skew-symmetric matrices of a fixed size forms a
8504:
8433:
8315:
8175:
7772:
7659:
7270:
2642:
1316:{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}
7539:
2243:
1977:
8374:
7957:
7762:
6589:
5240:
3815:, the cross product and three-dimensional rotations. More on infinitesimal rotations can be found below.
2112:
1924:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}
617:
68:
7393:
8320:
8057:
7902:
7737:
7707:
7260:
5371:
4506:
still real positive-definite. This is an example of the Youla decomposition of a complex square matrix.
2198:
1936:
1719:
31:
8581:
1764:
1184:
865:
6735:
4846:
1025:
972:
915:
8514:
7872:
7702:
7682:
7428:
6657:
6291:
6259:
4887:
This is equivalent to a skew-symmetric form when the field is not of characteristic 2, as seen from
8535:
8509:
8087:
7892:
7882:
6213:
4561:
1496:
1070:
570:
4482:
4362:
3932:
3789:
1127:
8586:
8540:
8530:
8484:
8479:
8408:
8344:
8210:
7947:
7942:
7877:
7867:
7732:
7634:
7488:
7088:
of a vector field (naturally a 2-vector) as an infinitesimal rotation or "curl", hence the name.
7085:
5823:
3986:
2480:
5601:
It is easy to check that the commutator of two skew-symmetric matrices is again skew-symmetric:
432:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}}
7198:
7099:
6043:
5547:
5266:
2306:
2204:
2147:
1796:
8618:
8597:
8384:
8379:
8369:
8349:
8310:
8305:
8134:
8129:
8114:
8109:
8100:
8095:
8042:
7937:
7887:
7832:
7802:
7797:
7777:
7767:
7727:
7524:
7372:
7324:
7299:
7291:
7265:
5847:
5146:
4784:
4520:
3824:
3617:
743:
575:
6715:
4462:
1701:
8592:
8560:
8489:
8428:
8423:
8403:
8339:
8245:
8215:
8200:
8185:
8180:
8119:
8072:
8047:
8037:
8008:
7927:
7922:
7897:
7827:
7807:
7717:
7697:
7624:
7569:
7517:
7467:
7436:
7401:
7364:
7255:
7250:
6944:
6938:
6008:
5428:
3968:
3836:
3832:
1019:
670:
603:
5973:
5508:
5339:
5312:
1158:
1101:
946:
836:
8290:
8225:
8205:
8190:
8170:
8154:
8052:
7983:
7973:
7932:
7817:
7787:
7147:
6118:
6085:
5967:
5476:
5433:
2769:
2677:
2116:
646:
4633:
7590:
7432:
7172:
4659:
2746:
196:
8550:
8494:
8474:
8459:
8418:
8295:
8255:
8220:
8144:
8083:
8062:
8003:
7993:
7978:
7912:
7857:
7847:
7842:
7752:
7224:
7152:
7125:
7040:
6912:
6691:
6633:
6569:
6549:
6529:
6112:
5852:
5829:
5292:
5246:
5166:
4824:
4804:
4756:
4566:
4543:
4442:
4059:
3972:
3964:
3757:
3171:
2979:
2726:
2706:
2622:
2533:
2509:
2489:
2457:
2336:
2286:
2180:
2121:
2091:
2071:
792:
104:
8612:
8555:
8413:
8354:
8285:
8275:
8270:
8195:
8124:
7998:
7988:
7917:
7837:
7822:
7757:
7558:"On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants"
7344:
6930:
5424:
4584:
3960:
2171:
2139:
1758:
1473:
1015:
719:
124:
2486:
The even-dimensional case is more interesting. It turns out that the determinant of
616:
The elements on the diagonal of a skew-symmetric matrix are zero, and therefore its
8438:
8395:
8300:
8013:
7952:
7862:
7742:
7638:
7067:
6651:
6111:
the exponential representation for an orthogonal matrix reduces to the well-known
4751:
4538:
3976:
1822:
1478:
830:
772:
749:
699:
626:
246:
226:
5970:
of the Lie group that contains the identity element. In the case of the Lie group
5470:
Another way of saying this is that the space of skew-symmetric matrices forms the
7646:
7368:
4395:. In the odd-dimensional case ÎŁ always has at least one row and column of zeros.
3922:{\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }
8280:
8250:
8018:
7852:
7722:
7512:
5471:
3751:
2330:
100:
7603:
4398:
More generally, every complex skew-symmetric matrix can be written in the form
3827:
to its own transpose, they must have the same eigenvalues. It follows that the
8331:
7792:
7574:
7557:
7405:
6855:{\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}
5538:
3828:
2527:
1465:{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}
1390:{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}
664:
7487:
Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2001). "Cluster algebras I: Foundations".
183:{\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.}
17:
8565:
8139:
5503:
3971:, which states that any real skew-symmetric matrix can be diagonalized by a
128:
7472:
7455:
2444:{\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}
7629:
7612:
1691:{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},}
8499:
6934:
3365:{\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}
2615:
326:{\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.}
3835:, for a real skew-symmetric matrix the nonzero eigenvalues are all pure
3282:{\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}
2703:
in the expansion of the determinant of a skew-symmetric matrix of order
7493:
7347:(1847). "Sur les determinants gauches" [On skew determinants].
5417:
Infinitesimal rotation matrix § Relationship to skew-symmetric matrices
3603:{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =_{\times }\mathbf {b} .}
693:, i.e. the nonzero eigenvalues of a skew-symmetric matrix are non-real.
7440:
3740:{\displaystyle _{\times }=_{\times }_{\times }-_{\times }_{\times };}
5463:. In this sense, then, skew-symmetric matrices can be thought of as
5952:{\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}
1067:
scalars (the number of entries on or above the main diagonal). Let
6200:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}
30:
For matrices with antisymmetry over the complex number field, see
7651:
7643:
2009:(one implication being obvious, the other a plain consequence of
6526:
The exponential representation of an orthogonal matrix of order
5423:
Skew-symmetric matrices over the field of real numbers form the
1561:{\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}
7655:
7456:"A normal form for a matrix under the unitary congruence group"
613:
A scalar multiple of a skew-symmetric matrix is skew-symmetric.
263:-th column, then the skew-symmetric condition is equivalent to
7604:"HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems"
6546:
can also be obtained starting from the fact that in dimension
36:
6040:
consisting of all orthogonal matrices with determinant 1. So
7030:{\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}
3190:
2797:
7419:
Zumino, Bruno (1962). "Normal Forms of
Complex Matrices".
1624:{\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},}
569:
Throughout, we assume that all matrix entries belong to a
7321:
Schaum's
Outline of Theory and Problems of Linear Algebra
610:
The sum of two skew-symmetric matrices is skew-symmetric.
131:
equals its negative. That is, it satisfies the condition
6712:
writes as exponential of a skew-symmetric block matrix
6517:{\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}
2115:, skew-symmetry is a property that depends only on the
7070:
7043:
6976:
6947:
6660:
6411:
6338:
6159:
4311:
4258:
4170:
4101:
4097:
4015:
real skew-symmetric matrix can be written in the form
3792:
3760:
3408:
3295:
3215:
2111:
Since this definition is independent of the choice of
2015:
1939:
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7359:Cayley, A. (2009). "Sur les DĂ©terminants Gauches".
7319:Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005).
2603:{\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}
969:matrices. A skew-symmetric matrix is determined by
7516:
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6937:on the space, which are sums of simple bivectors (
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235:
215:
182:
3786:this elucidates the relation between three-space
3489:
3471:
3418:
2170:skew symmetric matrices can be used to represent
7396:. In Duplij, S.; Siegel, W.; Bagger, J. (eds.).
6115:of a complex number of unit modulus. Indeed, if
2560:
2426:
2389:
2363:
7296:Applied Factor Analysis in the Natural Sciences
6688:blocks of order 2, plus one of order 1 if
5232:{\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw}
4583:of arbitrary characteristic is defined to be a
4386:. The nonzero eigenvalues of this matrix are ±λ
2809:1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …
5537:The Lie bracket on this space is given by the
7667:
5133:{\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}
4777:including characteristic 2, we may define an
4736:{\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}
4479:has the block-diagonal form given above with
8:
6675:
6661:
6467:which corresponds exactly to the polar form
2049:
2016:
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1940:
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1861:
1846:
1744:
1732:
1615:
1609:
4620:{\displaystyle \varphi :V\times V\mapsto K}
598:is not equal to 2. That is, we assume that
8241:Fundamental (linear differential equation)
7674:
7660:
7652:
7298:. Cambridge University Press. p. 68.
4432:{\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}
2976:The latter yields to the asymptotics (for
1750:{\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
286:
282:
193:In terms of the entries of the matrix, if
154:
150:
7628:
7617:ACM Transactions on Mathematical Software
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2093:
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2014:
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1988:
1979:
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1072:
1029:
1027:
1014:scalars (the number of entries above the
976:
974:
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228:
204:
198:
162:
161:
160:
144:
139:
87:Learn how and when to remove this message
6893:{\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}
50:This article includes a list of general
8546:Matrix representation of conic sections
7282:
6970:The correspondence is given by the map
2526:even can be written as the square of a
7221:matrices, sometimes the condition for
5459:at the identity matrix; formally, the
2664:{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}
1299:
1258:
716:is a real skew-symmetric matrix, then
7398:Concise Encyclopedia of Supersymmetry
6524:of a complex number of unit modulus.
2268:{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}
2002:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
7:
6623:{\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}
5966:of a Lie algebra always lies in the
4510:Skew-symmetric and alternating forms
3548:the cross product can be written as
2550:, which was first proved by Cayley:
643:is a real skew-symmetric matrix and
7241:to have positive entries is added.
7064:is the covector dual to the vector
1967:{\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}
6872:
6831:
6798:
6754:
6719:
5919:
5399:{\displaystyle v^{\textsf {T}}Aw.}
4466:
4423:
4414:
4086:
4031:
3056:
2842:
1211:{\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}
903:{\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}
56:it lacks sufficient corresponding
25:
7611:Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978).
7602:Benner, Peter; Kressner, Daniel.
7363:. Vol. 1. pp. 410–413.
7361:The Collected Mathematical Papers
3981:special orthogonal transformation
3959:Real skew-symmetric matrices are
1839:is skew-symmetric if and only if
1786:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
1503:is different from 2. Then, since
1060:{\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}
1007:{\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}
8580:
6766:{\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}
6681:{\textstyle \lfloor n/2\rfloor }
6002:this connected component is the
5415:This section is an excerpt from
5163:will be represented by a matrix
4877:{\displaystyle \varphi (v,v)=0.}
3720:
3702:
3681:
3663:
3642:
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3578:
3567:
3559:
3386:
3297:
3217:
936:{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}
789:is a skew-symmetric matrix then
41:
8448:Used in science and engineering
7421:Journal of Mathematical Physics
6316:{\displaystyle b=\sin \theta ,}
2815:exponential generating function
1888:
287:
281:
155:
149:
7691:Explicitly constrained entries
7146:if there exists an invertible
6986:
6846:
6825:
6801:
6795:
6757:
6751:
6566:any special orthogonal matrix
6281:{\displaystyle a=\cos \theta }
6065:
6059:
6024:
6018:
5986:
5980:
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5759:
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5515:
5489:
5483:
5461:special orthogonal Lie algebra
5446:
5440:
5355:
5343:
5205:
5193:
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4930:
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4865:
4853:
4727:
4715:
4703:
4691:
4611:
3967:) and are thus subject to the
3773:
3767:
3725:
3716:
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3677:
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2613:This polynomial is called the
2588:
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1054:
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989:
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882:
283:
151:
1:
8465:Fundamental (computer vision)
6249:{\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}
5336:gives rise to a form sending
5263:is chosen, and conversely an
4773:is over a field of arbitrary
3808:{\textstyle \mathbb {R} ^{3}}
2674:The number of distinct terms
1148:{\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}
818:negative semi-definite matrix
7369:10.1017/CBO9780511703676.070
4499:{\displaystyle \lambda _{k}}
4379:{\displaystyle \lambda _{k}}
3949:{\displaystyle \lambda _{k}}
1124:skew-symmetric matrices and
859:skew-symmetric matrices has
8231:Duplication and elimination
8030:eigenvalues or eigenvectors
7545:Encyclopedia of Mathematics
7538:Suprunenko, D. A. (2001) ,
7294:; Leslie F. Marcus (1996).
5826:of a skew-symmetric matrix
4359:for real positive-definite
4008:{\displaystyle 2n\times 2n}
2329:skew-symmetric matrix. The
2174:as matrix multiplications.
1933:This is also equivalent to
8635:
8164:With specific applications
7793:Discrete Fourier Transform
5414:
4801:such that for all vectors
3615:
3372:Then, defining the matrix
442:is skew-symmetric because
29:
8574:
8455:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
8082:Satisfying conditions on
7575:10.1017/S0950184300000070
7406:10.1007/1-4020-4522-0_393
7400:. Springer. p. 298.
7214:{\displaystyle n\times n}
7115:{\displaystyle n\times n}
7092:Skew-symmetrizable matrix
6650:is orthogonal and S is a
6071:{\displaystyle R=\exp(A)}
5591:{\displaystyle =AB-BA.\,}
5282:{\displaystyle n\times n}
3963:(they commute with their
3839:and thus are of the form
2813:and it is encoded in the
2322:{\displaystyle n\times n}
2233:{\displaystyle x^{T}Ax=0}
2163:{\displaystyle 3\times 3}
1812:{\displaystyle n\times n}
587:{\textstyle \mathbb {F} }
223:denotes the entry in the
7519:Elementary Matrix Theory
6004:special orthogonal group
5156:{\displaystyle \varphi }
4794:{\displaystyle \varphi }
4530:{\displaystyle \varphi }
2197:is a skew-symmetric (or
7813:Generalized permutation
7540:"Skew-symmetric matrix"
7271:Symmetry in mathematics
7192:is skew-symmetric. For
6963:{\textstyle v\wedge w.}
6725:{\displaystyle \Sigma }
5465:infinitesimal rotations
5410:Infinitesimal rotations
4472:{\displaystyle \Sigma }
1711:{\displaystyle \oplus }
1472:This is true for every
1181:symmetric matrices. If
766:is the identity matrix.
686:{\textstyle \lambda =0}
71:more precise citations.
8587:Mathematics portal
7591:"Antisymmetric matrix"
7556:Aitken, A. C. (1944).
7523:. Dover Publications.
7473:10.4153/CJM-1961-059-8
7235:
7215:
7186:
7163:
7136:
7116:
7078:
7058:
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6964:
6933:may be defined as the
6923:
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3983:. Specifically, every
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3754:of the rotation group
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1495:with entries from any
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852:{\textstyle n\times n}
825:Vector space structure
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7630:10.1145/355791.355799
7562:Edinburgh Math. Notes
7454:Youla, D. C. (1961).
7261:Skew-Hermitian matrix
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6256:. Therefore, putting
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7290:Richard A. Reyment;
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943:denote the space of
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7783:Diagonally dominant
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6732:of the form above,
5968:connected component
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4516:skew-symmetric form
1891: for all
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6620:
6586:can be written as
6576:
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6323:it can be written
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4630:such that for all
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4076:is orthogonal and
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4046:
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3929:where each of the
3919:
3823:Since a matrix is
3805:
3779:{\textstyle SO(3)}
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3737:
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2530:in the entries of
2516:
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2481:Carl Gustav Jacobi
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2454:In particular, if
2441:
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180:
103:, particularly in
8606:
8605:
8598:Category:Matrices
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8360:Doubly stochastic
8068:Positive-definite
7748:Block tridiagonal
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7530:978-0-486-63946-8
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6539:{\displaystyle n}
5962:The image of the
5944:
5862:{\displaystyle R}
5848:orthogonal matrix
5839:{\displaystyle A}
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5685:
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