2701:
964:
2696:{\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{m-m'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{m-m'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,m-m',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{aligned}}}
2735:
754:
951:
466:
264:
32:
that transform in a particular way under rotations in three dimensions. Such integrals are particularly useful when computing properties of atoms which have natural spherical symmetry. These integrals are defined below along with some of their mathematical properties.
504:
83:
969:
765:
298:
2776:
496:
71:
749:{\displaystyle \int Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}Y_{L}^{-M}d^{2}\Omega =(-1)^{m+m'}{\hat {A}}^{L}(\ell ,m,\ell ',m')=(-1)^{m}c^{L}(\ell ,-m,\ell ',m').}
2769:
288:
Note that the product of two spherical harmonics can be written in terms of these coefficients. By expanding such a product over a
259:{\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{m-m'}(\Omega )}
2810:
2762:
282:
2805:
946:{\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}(-1)^{m'}c^{\ell ''}(\ell ,-m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}
461:{\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}
2800:
2795:
289:
21:
2742:
498:
and integrate, using the conjugate property and being careful with phases and normalisations:
278:
74:
42:
25:
270:
274:
46:
474:
2720:
John C. Slater, Quantum Theory of Atomic
Structure, McGraw-Hill (New York, 1960), Volume I
2746:
56:
50:
2789:
29:
269:
These integrals are useful and necessary when doing atomic calculations of the
2734:
281:
are needed. For an explicit formula, one can use Gaunt's formula for
53:
defined the integral of three spherical harmonics as a coefficient
956:
These coefficient obey a number of identities. They include
73:. These coefficients are essentially the product of two
2750:
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768:
507:
477:
301:
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59:
2695:
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490:
460:
258:
65:
2770:
8:
20:are certain integrals of products of three
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16:In mathematics and mathematical physics,
24:. They occur naturally when applying an
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273:variety where matrix elements of the
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1:
2749:. You can help Knowledge by
2827:
2728:
292:basis with the same order
471:one may then multiply by
2811:Quantum chemistry stubs
41:In connection with the
2745:-related article is a
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28:of functions on the
2806:Rotational symmetry
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