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4512:
2598:
2320:
735:
2720:
4766:
4977:
5065:
5145:(POVM), where the need for the orthogonality implied by projection operators is replaced by the idea of a set of operators that are a non-orthogonal partition of unity. This generalization is motivated by applications to
1564:
3881:
3776:
1679:
3230:
7744:
830:
7662:
2954:
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3960:
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3522:
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1018:
3063:
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3253:
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4252:
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5530:
5504:
5485:
5433:
5399:
5380:
5362:
5168:
3971:
5418:
Spectral Theory and
Quantum Mechanics Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation
7716:
6841:
5647:
5163:
3714:
7749:
1618:
6268:
3164:
6448:
64:, except that its values are self-adjoint projections rather than real numbers. As in the case of ordinary measures, it is possible to
8085:
7191:
6054:
5451:
3708:
taking values in the projections of a separable
Hilbert space is an orthogonal direct sum of homogeneous projection-valued measures:
7783:
7280:
7171:
6998:
6405:
745:
7550:
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6395:
5142:
8018:
7793:
7195:
6785:
6205:
5878:
4507:{\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle .}
2884:
8013:
6775:
6770:
6763:
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6583:
3066:
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6390:
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3342:
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7366:
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359:
7937:
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7371:
7120:
7018:
6898:
6336:
3892:
2845:
2593:{\displaystyle \langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.}
2168:
7866:
7565:
7489:
6304:
6294:
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8008:
7422:
7125:
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6806:
6034:
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95:
65:
7356:
6707:
6343:
941:
8090:
7942:
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7458:
7259:
6717:
6588:
6512:
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5803:
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8044:
7555:
7080:
7055:
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6862:
6573:
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5953:
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7586:
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6478:
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5768:
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7836:
7766:
7689:
7671:
6676:
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5987:
5982:
5824:
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5665:
4567:
4075:
3033:
2965:
2135:
1609:
1118:
395:
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111:
87:
61:
7754:
5562:
1576:
835:
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7964:
7878:
7819:
7711:
7569:
7090:
7069:
6983:
6868:
6831:
6348:
6314:
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5932:
5887:
5729:
5652:
5421:
4026:
2764:
1412:
4321:
2019:
8054:
8000:
7990:
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7788:
7535:
7473:
7187:
6893:
6629:
6331:
6321:
6167:
6131:
6009:
5957:
5686:
5643:
2403:
2315:{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx}
1977:
1685:
1340:
1180:
103:
35:
730:{\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}
7916:
7771:
7560:
7427:
7023:
6952:
6883:
6727:
6689:
6483:
6243:
6228:
5927:
5808:
5786:
5514:
5340:
2606:
1934:
1023:
987:
3039:
2728:
1721:
465:
430:
7540:
7130:
7105:
6790:
6712:
6400:
6136:
6097:
6092:
5999:
5917:
5702:
5675:
5580:
5570:
5536:
5526:
5500:
5481:
5457:
5447:
5429:
5395:
5376:
5358:
4676:
4633:
4593:
4373:
4277:
4213:
4081:
3238:
3096:
3003:
2466:
2399:
507:
99:
4540:
2047:
1190:
365:
332:
8059:
7906:
7896:
7845:
7798:
7759:
7545:
7463:
7432:
7412:
7397:
7392:
7387:
7224:
7135:
6836:
6684:
6639:
6563:
6417:
6326:
6102:
6087:
6077:
6062:
6029:
6024:
6014:
5892:
5867:
5682:
5350:
5335:
Ashtekar, Abhay; Schilling, Troy A. (1999). "Geometrical
Formulation of Quantum Mechanics".
5264:
5158:
3090:
2461:
1768:
1444:
595:
193:
83:
27:
Mathematical operator-value measure of interest in quantum mechanics and functional analysis
1939:
1382:
1219:
914:
887:
163:
8034:
7911:
7901:
7726:
7721:
7407:
7361:
7309:
7304:
7275:
7156:
7110:
7095:
7003:
6966:
6962:
6926:
6888:
6826:
6811:
6780:
6722:
6681:
6668:
6593:
6535:
6493:
6473:
6248:
6146:
6141:
6119:
5977:
5942:
5862:
5756:
5469:
5073:
4844:
4797:
4127:
3284:
2991:
2715:{\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.}
1691:
1570:
1468:
265:
151:
79:
72:
7234:
4210:
the 2-point set "true" and "false" for the truth-value of an arbitrary proposition about
7640:
5555:
5425:
4761:{\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }
8049:
7855:
7596:
7448:
7249:
7060:
7039:
6957:
6947:
6758:
6665:
6598:
6558:
6383:
6238:
6233:
6044:
6019:
5972:
5902:
5882:
5842:
5832:
5629:
5116:
5093:
4884:
4864:
4824:
4774:
4653:
4613:
4573:
4520:
4353:
4301:
4257:
4237:
4155:
4104:
4057:
3999:
3979:
3569:
Hilbert space, there is a Borel measure Ό and a Ό-measurable family of
Hilbert spaces {
3448:
3258:
3072:
2994:
2973:
2814:
2794:
2774:
2443:
2423:
1474:
1266:
1246:
575:
489:
309:
285:
242:
222:
199:
154:
133:
115:
3667:
The measure class of Ό and the measure equivalence class of the multiplicity function
8074:
8038:
7814:
7706:
7701:
7601:
7525:
7254:
7239:
7229:
6488:
6151:
6072:
6067:
5967:
5937:
5907:
5857:
5852:
5847:
5837:
5751:
5670:
5547:
4295:
3550:
2997:
2631:
2391:
1757:
157:
54:
5552:
Mathematical
Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators
4972:{\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}
98:
for self-adjoint operators is constructed using integrals with respect to PVMs. In
7985:
7840:
7591:
7244:
7214:
6878:
6732:
6673:
6082:
6004:
5744:
5525:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
47:
5781:
6504:
3680:
completely characterize the projection-valued measure up to unitary equivalence.
7520:
7510:
7417:
7219:
7075:
6660:
5947:
5473:
5354:
1709:
58:
31:
17:
5060:{\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}
46:) is a function defined on certain subsets of a fixed set and whose values are
7736:
7453:
7293:
7289:
7285:
6568:
5791:
4145:
3976:
In quantum mechanics, given a projection-valued measure of a measurable space
1057:
119:
5584:
5540:
5461:
5446:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
4121:
is the value space for some quantum property of the system (an "observable"),
6553:
6539:
5773:
5717:
5712:
3121:
483:
217:
1559:{\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }
7888:
7140:
7085:
5798:
5657:
3283:
First we provide a general example of projection-valued measure based on
1964:
3876:{\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}
5345:
5499:. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics.
4207:
a discrete set (for angular momentum, energy of a bound state, etc.),
3771:{\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}
2402:. This map extends in a canonical way to all bounded complex-valued
1674:{\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }
4794:
A measurement that can be performed by a projection-valued measure
5478:
Methods of Modern
Mathematical Physics: Vol 1: Functional analysis
3225:{\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}
5598:
3314:
be a Ό-measurable family of separable
Hilbert spaces. For every
2878:
is a measurable function, then a unique measure exists such that
2838:
for such operators and then pass to measurable functions via the
107:
7644:
7160:
6508:
5602:
5133:
is called the observable associated with the spectral measure.
2771:
The theorem is also correct for unbounded measurable functions
5141:
The idea of a projection-valued measure is generalized by the
3996:
to the space of continuous endomorphisms upon a
Hilbert space
71:
with respect to a PVM; the result of such an integration is a
57:. A projection-valued measure (PVM) is formally similar to a
4791:
making the values of the observable into a random variable.
3694:
if and only if the multiplicity function has constant value
825:{\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}
7745:
Differentiable vectorâvalued functions from
Euclidean space
3093:
says that there exists a unique projection-valued measure
2811:
will be an unbounded linear operator on the
Hilbert space
78:
Projection-valued measures are used to express results in
4350:. The probability that the observable takes its value in
2949:{\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).}
90:, in which case the PVM is sometimes referred to as the
5246:
5244:
2334:
is a projection-valued measure on a measurable space (
5556:
https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/
5119:
5096:
5076:
4991:
4910:
4887:
4867:
4847:
4841:
is the real number line, there exists, associated to
4827:
4800:
4777:
4702:
4679:
4656:
4636:
4616:
4610:
for which the value of the observable always lies in
4596:
4576:
4543:
4523:
4517:
We can parse this in two ways. First, for each fixed
4399:
4376:
4356:
4324:
4304:
4280:
4260:
4240:
4216:
4181:
4158:
4130:
4107:
4084:
4060:
4029:
4002:
3982:
3895:
3790:
3717:
3607:
3472:
3345:
3261:
3241:
3167:
3129:
3099:
3075:
3042:
3006:
2976:
2887:
2848:
2817:
2797:
2777:
2731:
2643:
2609:
2504:
2469:
2446:
2426:
2351:
2210:
2171:
2138:
2088:
2050:
2022:
2016:
defines a projection-valued measure. For example, if
1980:
1942:
1923:{\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}
1879:
1800:
1771:
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1579:
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288:
268:
245:
225:
202:
166:
136:
5567:
Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels
5375:. Providence (R.I.): American mathematical society.
4650:
for which the value of the observable never lies in
3235:
where the integral extends to an unbounded function
8027:
7999:
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6267:
6160:
6053:
5822:
5695:
5636:
5394:. New York: Springer Science & Business Media.
3657:{\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}
3395:{\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}
2398:. In fact, it is easy to check that this map is a
7516:Spectral theory of ordinary differential equations
7116:Spectral theory of ordinary differential equations
5125:
5102:
5082:
5059:
4971:
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231:
208:
184:
142:
7014:SchröderâBernstein theorems for operator algebras
5318:
4204:(for position or momentum in three dimensions ),
4673:Second, for each fixed normalized vector state
2390:extends to a linear map on the vector space of
5442:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
3955:{\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}
3592:is unitarily equivalent to multiplication by 1
2871:{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
2194:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
7656:
7172:
6520:
5614:
2966:Self-adjoint operator § Spectral theorem
2132:there is then the associated complex measure
8:
6359:RieszâMarkovâKakutani representation theorem
4755:
4731:
4498:
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4331:
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3946:
3909:
3517:{\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }
2840:RieszâMarkovâKakutani representation theorem
2690:
2666:
2520:
2505:
1860:{\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}
1668:
1644:
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1586:
1580:
1553:
1529:
1330:{\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}
1172:{\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}
884:The second and fourth property show that if
5410:The Theory of Unitary Group Representations
3553:, then for every projection-valued measure
2414:
102:, PVMs are the mathematical description of
7663:
7649:
7641:
7207:
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7165:
7157:
6527:
6513:
6505:
6454:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
6371:
5621:
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977:{\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }
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3424:, Ï are projection-valued measures on (
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597:
577:
565:{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }
550:
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311:
287:
267:
244:
224:
201:
165:
135:
7960:No infinite-dimensional Lebesgue measure
7469:Group algebra of a locally compact group
4630:, and whose 0-eigenspace are the states
3565:) taking values in the projections of a
3330:) be the operator of multiplication by 1
2380:{\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}
2326:Extensions of projection-valued measures
7970:Structure theorem for Gaussian measures
5412:, The University of Chicago Press, 1976
5180:
4318:, so that its Hilbert norm is unitary,
4074:is interpreted as the set of possible (
5558:, American Mathematical Society, 2009.
5272:, ETH ZĂŒrich lecture notes, p. 50
5250:
5187:
4172:is the real line, but it may also be
1467:the projection-valued measure forms a
7846:infinite-dimensional Gaussian measure
6847:Spectral theory of normal C*-algebras
6645:Spectral theory of normal C*-algebras
5569:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
5223:
5169:Spectral theory of normal C*-algebras
3972:Expectation value (quantum mechanics)
326:satisfying the following properties:
7:
7717:Infinite-dimensional vector function
6842:Spectral theory of compact operators
6467:Applications & related
5306:
5235:
5199:
5164:Spectral theory of compact operators
3432:) with values in the projections of
5339:. New York, NY: Springer New York.
4144:expresses the probability that the
3409:is a projection-valued measure on (
3151:{\displaystyle E\subset \sigma (A)}
1379:is the unique identity operator on
6994:CohenâHewitt factorization theorem
4590:whose 1-eigenspace are the states
2697:
2575:
2165:which takes a measurable function
2158:{\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }}
971:
697:
655:
469:
420:{\displaystyle \pi (\emptyset )=0}
405:
25:
7784:Generalizations of the derivative
7750:Differentiation in Fréchet spaces
6999:Extensions of symmetric operators
5392:Quantum Theory for Mathematicians
5266:Spectral theory in Hilbert spaces
3704:. Any projection-valued measure
3295:, Ό) is a measure space and let {
1601:{\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}
874:{\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}
110:(POVMs) in the same sense that a
108:positive operator valued measures
7625:
7624:
7551:Topological quantum field theory
6817:Positive operator-valued measure
6396:Lebesgue differentiation theorem
6277:Carathéodory's extension theorem
5143:positive operator-valued measure
4197:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
4031:
3966:Application in quantum mechanics
1406:satisfying all four properties.
8019:Holomorphic functional calculus
7101:RayleighâFaberâKrahn inequality
4047:{\displaystyle \mathbf {P} (H)}
3513:
2696:
2574:
2420:For any bounded Borel function
1933:i.e., as multiplication by the
1434:{\displaystyle \xi ,\eta \in H}
8014:Continuous functional calculus
5054:
5048:
5045:
5030:
5001:
4995:
4963:
4957:
4954:
4948:
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4914:
4749:
4743:
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4713:
4553:
4547:
4491:
4487:
4481:
4474:
4458:
4452:
4449:
4443:
4425:
4419:
4416:
4410:
4343:{\displaystyle \|\varphi \|=1}
4124:the projection-valued measure
4041:
4035:
3870:
3864:
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3765:
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3476:
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3380:
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2069:
2057:
2037:{\displaystyle X=\mathbb {R} }
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1725:
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1608:. It reduces to a real-valued
1541:
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345:
339:
304:bounded self-adjoint operators
179:
167:
1:
7347:Uniform boundedness principle
7009:Limiting absorption principle
5319:Ashtekar & Schilling 1999
2410:, and we have the following.
2009:{\displaystyle \pi (E)=1_{E}}
1372:{\displaystyle \pi (E)=I_{E}}
6635:Singular value decomposition
5517:; Wolff, Manfred P. (1999).
4771:is a probability measure on
4370:, given the system in state
3683:A projection-valued measure
3451:there is a unitary operator
2291:
118:generalizes the notion of a
75:on the given Hilbert space.
7066:Hearing the shape of a drum
6749:Decomposition of a spectrum
6449:PrĂ©kopaâLeindler inequality
5420:, vol. 110, Springer,
5373:A course in operator theory
5355:10.1007/978-1-4612-1422-9_3
5263:Kowalski, Emmanuel (2009),
3689:homogeneous of multiplicity
2623:{\displaystyle \mu _{\xi }}
1049:{\displaystyle \pi (E_{2})}
1013:{\displaystyle \pi (E_{1})}
592:are disjoint, then for all
106:. They are generalized by
8107:
7490:Invariant subspace problem
6654:Special Elements/Operators
6391:Lebesgue's density theorem
5595:V2, Springer Verlag, 1970.
5593:Geometry of Quantum Theory
5147:quantum information theory
4861:, a self-adjoint operator
4254:be a measurable subset of
3969:
3058:{\displaystyle \sigma (A)}
2963:
2834:This allows to define the
2756:{\displaystyle (X,M,\mu )}
1749:{\displaystyle (X,M,\mu )}
475:{\displaystyle \emptyset }
8086:Measures (measure theory)
8009:Borel functional calculus
7676:topological vector spaces
7620:
7210:
7126:Superstrong approximation
6989:Banach algebra cohomology
6822:Projection-valued measure
6807:Borel functional calculus
6579:Projection-valued measure
6444:MinkowskiâSteiner formula
6374:
6259:Projection-valued measure
5519:Topological Vector Spaces
5444:Topological Vector Spaces
2836:Borel functional calculus
455:{\displaystyle \pi (X)=I}
261:projection-valued measure
96:Borel functional calculus
40:projection-valued measure
7943:Inverse function theorem
7830:Classical Wiener measure
7459:Spectrum of a C*-algebra
6718:Spectrum of a C*-algebra
6589:Spectrum of a C*-algebra
6427:Isoperimetric inequality
6406:VitaliâHahnâSaks theorem
5735:Carathéodory's criterion
5416:Moretti, Valter (2017),
5371:Conway, John B. (2000).
5090:is a discrete subset of
4686:{\displaystyle \varphi }
4643:{\displaystyle \varphi }
4603:{\displaystyle \varphi }
4383:{\displaystyle \varphi }
4287:{\displaystyle \varphi }
4223:{\displaystyle \varphi }
4148:takes on various values.
4091:{\displaystyle \varphi }
3248:{\displaystyle \lambda }
3113:{\displaystyle \pi ^{A}}
3025:{\displaystyle A:H\to H}
2488:{\displaystyle T:H\to H}
2460:, there exists a unique
1285:orthogonal decomposition
1283:can be wrtitten as the
1243:is a closed subspace of
82:, such as the important
69:complex-valued functions
8045:Convenient vector space
7556:Noncommutative geometry
7146:WienerâKhinchin theorem
7081:Kuznetsov trace formula
7056:Almost Mathieu operator
6874:Banach function algebra
6863:Amenable Banach algebra
6620:GelfandâNaimark theorem
6574:Noncommutative topology
6432:BrunnâMinkowski theorem
6301:Decomposition theorems
5390:Hall, Brian C. (2013).
4559:{\displaystyle \pi (E)}
2201:and gives the integral
2075:{\displaystyle E=(0,1)}
1209:{\displaystyle \pi (E)}
384:{\displaystyle E\in M.}
351:{\displaystyle \pi (E)}
104:projective measurements
7938:CameronâMartin theorem
7695:Classical Wiener space
7612:TomitaâTakesaki theory
7587:Approximation property
7531:Calculus of variations
7121:SturmâLiouville theory
7019:ShermanâTakeda theorem
6899:TomitaâTakesaki theory
6674:Hermitian/Self-adjoint
6625:Gelfand representation
6479:Descriptive set theory
6379:Disintegration theorem
5814:Universally measurable
5495:Rudin, Walter (1991).
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88:self-adjoint operators
7955:FeldmanâHĂĄjek theorem
7767:Functional derivative
7690:Abstract Wiener space
7607:BanachâMazur distance
7570:Generalized functions
6615:GelfandâMazur theorem
6281:Convergence theorems
5740:Cylindrical Ï-algebra
5295:Reed & Simon 1980
5283:Reed & Simon 1980
5212:Reed & Simon 1980
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145:
7879:Radonifying function
7820:Cylinder set measure
7712:Cylinder set measure
7352:Kakutani fixed-point
7337:Riesz representation
7091:Proto-value function
7070:Dirichlet eigenvalue
6984:Abstract index group
6869:Approximate identity
6832:Rigged Hilbert space
6708:KreinâRutman theorem
6554:Involution/*-algebra
6349:Minkowski inequality
6223:Cylinder set measure
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5723:equivalence relation
5653:Lebesgue integration
5591:Varadarajan, V. S.,
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5074:
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4278:
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4156:
4152:A common choice for
4137:{\displaystyle \pi }
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4082:
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3551:standard Borel space
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266:
243:
223:
200:
196:consisting of a set
164:
134:
8001:Functional calculus
7991:Covariance operator
7912:GelfandâPettis/Weak
7874:measurable function
7789:Hadamard derivative
7536:Functional calculus
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7474:Von Neumann algebra
7188:Functional analysis
6894:Von Neumann algebra
6630:Polar decomposition
6344:Hölder's inequality
6206:of random variables
6168:Measurable function
6055:Particular measures
5644:Absolute continuity
5515:Schaefer, Helmut H.
5497:Functional Analysis
5426:2017stqm.book.....M
5113:The above operator
4693:, the association
3825:
3622:
3360:
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2261:
1686:probability measure
1326:
1187:, respectively, of
1141:
36:functional analysis
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7024:Unbounded operator
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6922:BauerâFike theorem
6917:AlonâBoppana bound
6910:Finite-Dimensional
6884:Nuclear C*-algebra
6728:Spectral asymmetry
6484:Probability theory
5809:Transverse measure
5787:Non-measurable set
5769:Locally measurable
5480:. Academic Press.
5337:On Einstein's Path
5285:, p. 227,235.
5123:
5100:
5080:
5070:if the support of
5057:
5016:
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1935:indicator function
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34:, particularly in
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7965:Sazonov's theorem
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5321:, pp. 23â65.
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5007:
4982:which reduces to
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4537:, the projection
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3724:
3635:
3373:
3268:{\displaystyle A}
3082:{\displaystyle A}
2983:{\displaystyle H}
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2804:{\displaystyle T}
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2433:{\displaystyle f}
2400:ring homomorphism
2294:
1484:{\displaystyle H}
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1256:{\displaystyle H}
585:{\displaystyle M}
508:identity operator
499:{\displaystyle I}
319:{\displaystyle H}
295:{\displaystyle M}
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209:{\displaystyle X}
143:{\displaystyle H}
100:quantum mechanics
16:(Redirected from
8098:
8060:Hilbert manifold
8055:Fréchet manifold
7839: like
7799:Quasi-derivative
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7464:Operator algebra
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7136:Transform theory
6856:Special algebras
6837:Spectral theorem
6800:Spectral Theorem
6640:Spectral theorem
6529:
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6515:
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6437:Milman's reverse
6420:
6418:Lebesgue measure
6372:
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5762:infimum/supremum
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