2126:
1742:
2121:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\sigma _{1}^{2}(1+\gamma )=\sigma _{2}^{2}(1-\gamma )\\\gamma &={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}+\sigma _{1}^{2}}}\\\xi &={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\\\gamma &=\operatorname {sgn} (\xi ){\sqrt {1-\left({\frac {{\sqrt {1+2\beta }}-1}{\beta }}\right)^{2}}},\quad {\text{where}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}
4489:
1732:. In this formulation the parameter μ is the mode and is identical as in John's and Britton, Fisher and Whitley's formulation. The parameter σ informs about the dispersion (scale) and is the same as in the Britton, Fisher and Whitley's formulation. The parameter ξ equals the difference between the distribution's mean and mode and can be viewed as unnormed measure of skewness.
4499:
1146:
1287:
1612:
The formulation discussed above originates from John. The literature offers two mathematically equivalent alternative parameterizations . Britton, Fisher and
Whitley offer a parameterization if terms of mode, dispersion and normed skewness, denoted with
408:
501:
1669:. The parameter μ is the mode and has equivalent to the mode in John's formulation. The parameter σ >0 informs about the dispersion (scale) and should not be confused with variance. The third parameter, γ ∈ (-1,1), is the normalized skew.
44:. It is claimed by Johnson et al. that this distribution was introduced by Gibbons and Mylroie and by John. But these are two of several independent rediscoveries of the Zweiseitige Gauss'sche Gesetz introduced in the posthumously published
1735:
The three parameterizations are mathematically equivalent, meaning that there is a strict relationship between the parameters and that it is possible to go from one parameterization to another. The following relationships hold:
585:
969:
795:
2748:
2586:
1384:
The split normal distribution results from merging two halves of normal distributions. In a general case the 'parent' normal distributions can have different variances which implies that the joined PDF would not be
1374:
1002:
1588:
1469:
124:
660:
1152:
1667:
1730:
1747:
2387:
250:
204:
3147:
1505:
311:
2422:
413:
158:
297:
2835:
688:
3276:
3759:
507:
808:
3667:
3112:
4454:
701:
4320:
3532:
3291:
3140:
2849:
Gibbons, J.F.; Mylroie, S. (1973). "Estimation of impurity profiles in ion-implanted amorphous targets using joined half-Gaussian distributions".
2776:
The split normal distribution has been used mainly in econometrics and time series. A remarkable area of application is the construction of the
2592:
2430:
4215:
3979:
3653:
2819:
1298:
3974:
3918:
3578:
3216:
3724:
1141:{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu }
4260:
3994:
3847:
3522:
3266:
4502:
3719:
4492:
4164:
4140:
3133:
1282:{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise}}}
4361:
3989:
1525:
1406:
66:
4523:
4238:
4199:
4171:
4145:
4063:
3412:
3160:
598:
2136:
The multivariate generalization of the split normal distribution was proposed by
Villani and Larsson. They assume that each of the
3055:
Villani, Mattias; Rolf
Larsson (2006). "The Multivariate Split Normal Distribution and Asymmetric Principal Components Analysis".
4349:
4315:
4181:
4176:
4021:
3829:
3527:
3281:
1616:
4099:
4012:
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3893:
3842:
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4030:
3867:
3614:
3492:
3467:
3331:
3326:
3321:
3005:
3791:
3301:
3296:
1601:). If this difference is positive, the distribution is skewed to the right and if negative, then it is skewed to the left.
4429:
4295:
4003:
3852:
3784:
3769:
3662:
3636:
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4255:
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3573:
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2945:
2137:
982:
303:
3674:
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4305:
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4186:
3951:
3729:
3626:
3211:
2174:
4130:
3938:
2930:
Wallis, K.F. (2014). The two-piece normal, binormal, or double
Gaussian distribution: its origin and rediscoveries.
2160:
method. He shows that the likelihood function can be expressed in an intensive form, in which the scale parameters σ
4444:
4220:
4039:
3821:
3774:
3643:
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3648:
3563:
3517:
3457:
3422:
3311:
3206:
3156:
2983:
3248:
3022:
Britton, E.; P. Fisher; Whitley, J. (1998). "The inflation report projections: understanding the fan chart".
4434:
4376:
4047:
3834:
3744:
3699:
3684:
3604:
3502:
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4277:
4159:
4055:
3862:
3306:
3286:
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3109:
3064:
49:
4424:
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4225:
3900:
3754:
3734:
3631:
3201:
269:
130:
403:{\displaystyle A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu }
222:
176:
4474:
4469:
4464:
4459:
4396:
4366:
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3888:
3779:
3679:
3382:
3341:
3336:
3233:
2858:
1478:
1394:
496:{\displaystyle A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise,}}}
52:(1801-1887), see Wallis (2014). Another rediscovery has appeared more recently in a finance journal.
33:
3069:
2943:
de Roon, F. and
Karehnke, P. (2016). A simple skewed distribution with asset pricing applications.
1676:
communication and is written in terms of mode, dispersion and unnormed skewness and is denoted with
4408:
3933:
3913:
3883:
3857:
3811:
3739:
3551:
3487:
2785:
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1472:
1386:
986:
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4439:
3928:
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3704:
3609:
3546:
3541:
3397:
3387:
3271:
3090:
2891:
John, S. (1982). "The three-parameter two-piece normal family of distributions and its fitting".
2829:
2761:
2157:
253:
207:
165:
17:
276:
4337:
3764:
3507:
3437:
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3082:
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666:
161:
37:
3512:
3186:
3074:
2900:
2866:
3116:
2998:
2765:
1673:
673:
257:
211:
1604:
Other properties of the split normal density were discussed by
Johnson et al. and Julio.
2862:
3585:
591:
4517:
4208:
3956:
3243:
3094:
2168:
are a function of the location parameter μ. The likelihood in its intensive form is:
580:{\displaystyle {\text{where}}\quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}}
3125:
964:{\displaystyle \gamma _{3}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left}
2976:
2963:
2768:
and provide some analytical results for either univariate and multivariate case.
2140:
has univariate split normal distribution with a different set of parameters μ, σ
261:
215:
169:
2392:
and has to be maximized numerically with respect to a single parameter μ only.
3078:
2904:
790:{\displaystyle (1-2/\pi )(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}}
21:
3086:
981:
The split normal distribution arises from merging two opposite halves of two
3039:
Fan Chart: Methodology and its
Application to Inflation Forecasting in India
2781:
2743:{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left^{2/3},}
2581:{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left^{2/3},}
1390:
801:
694:
41:
1593:
The sign of its third central moment is determined by the difference (σ
1369:{\displaystyle \quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}.}
2870:
1522:
is different from the constant of normal distribution. However, when
32:
results from joining at the mode the corresponding halves of two
3129:
1583:{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}
1464:{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}
119:{\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma _{1},\sigma _{2})}
2965:
The Fan Chart: The
Technical Details Of The New Implementation
655:{\displaystyle \mu +{\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})}
1688:
1685:
1625:
1622:
75:
72:
1662:{\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\gamma )}
1725:{\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi )}
1672:
The second alternative parameterization is used in the
2810:
2595:
2433:
2401:
2177:
1745:
1682:
1619:
1528:
1481:
1409:
1301:
1155:
1005:
996:
The PDF of the split normal distribution is given by
811:
704:
676:
601:
510:
416:
314:
279:
225:
179:
140:
69:
2934:, vol. 29, no. 1, pp.106-112. doi:10.1214/13-STS417.
4417:
4375:
4276:
4112:
4090:
4081:
3965:
3800:
3476:
3373:
3364:
3257:
3177:
3168:
800:
693:
665:
590:
302:
268:
129:
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2742:
2580:
2416:
2381:
2120:
1724:
1661:
1582:
1499:
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1368:
1281:
1140:
963:
789:
682:
654:
579:
495:
402:
291:
244:
198:
152:
118:
3057:Communications in Statistics - Theory and Methods
2893:Communications in Statistics - Theory and Methods
2382:{\displaystyle L(\mu )=-\left^{1/3}-\left^{1/3}}
2156:John proposes to estimate the parameters using
3141:
3041:. Reserve Bank of India Working Paper Series.
2812:Continuous Univariate Distributions, Volume 1
2805:
2803:
2801:
8:
2834:: CS1 maint: multiple names: authors list (
55:
2957:
2955:
2760:Villani and Larsson propose to use either
4087:
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1491:
1486:
1480:
1471:the split normal distribution reduces to
1455:
1450:
1437:
1432:
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1028:
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224:
184:
178:
139:
107:
94:
89:
71:
70:
68:
2917:Fechner, G.T. (ed. Lipps, G.F.) (1897).
2797:
2395:Given the maximum likelihood estimator
2993:
2992:
2981:
2827:
2814:. John Wiley & Sons. p. 173.
7:
4498:
1389:. To ensure that the resulting PDF
2784:forecast distribution reported by
2424:the other parameters take values:
286:
147:
14:
4497:
4488:
4487:
2788:central banks around the globe.
245:{\displaystyle \sigma _{2}>0}
199:{\displaystyle \sigma _{1}>0}
2757:is the number of observations.
2070:
2064:
1500:{\displaystyle \sigma _{*}^{2}}
1302:
1273:
1123:
516:
487:
385:
2709:
2689:
2638:
2632:
2603:
2547:
2527:
2476:
2470:
2441:
2408:
2351:
2331:
2258:
2238:
2187:
2181:
2002:
1996:
1973:
1947:
1827:
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1794:
1782:
1719:
1693:
1656:
1630:
1351:
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1086:
1073:
1047:
1009:
924:
897:
863:
837:
755:
728:
725:
705:
649:
623:
565:
538:
450:
437:
348:
335:
113:
80:
1:
3037:Banerjee, N.; A. Das (2011).
2417:{\displaystyle {\hat {\mu }}}
983:probability density functions
30:two-piece normal distribution
153:{\displaystyle \mu \in \Re }
4545:
4321:Wrapped asymmetric Laplace
3292:Extended negative binomial
2962:Juan Manuel Julio (2007).
2780:, a representation of the
4483:
3980:Generalized extreme value
3760:Relativistic Breit–Wigner
3157:Probability distributions
3079:10.1080/03610920600672252
2905:10.1080/03610928208828279
1590:the constants are equal.
805:
698:
670:
595:
307:
292:{\displaystyle x\in \Re }
273:
134:
63:
26:split normal distribution
4524:Continuous distributions
2152:Estimation of parameters
1608:Alternative formulations
3975:Generalized chi-squared
3919:Normal-inverse Gaussian
3026:. February 1998: 30–37.
3004:CS1 maint: postscript (
2968:. Banco de la República
2851:Applied Physics Letters
2132:Multivariate Extensions
1403:In a special case when
4287:Univariate (circular)
3848:Generalized hyperbolic
3277:Conway–Maxwell–Poisson
3267:Beta negative binomial
2744:
2582:
2418:
2383:
2122:
1726:
1663:
1584:
1501:
1465:
1370:
1283:
1142:
965:
791:
684:
656:
581:
497:
404:
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