3869:
3095:
7454:
31:
3444:
2739:
39:
3864:{\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor =\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {x\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}1\right)=x\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O({\sqrt {x}})\\&=x\sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d>{\sqrt {x}}}{\frac {1}{d^{2}}}+{\sqrt {x}}\right)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O({\sqrt {x}}).\end{aligned}}}
3090:{\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2}}})^{-1}}}\\&=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {x}{\zeta (2)}}={\frac {6x}{\pi ^{2}}}.\end{aligned}}}
3403:
4622:
4240:
6006:
4066:
6727:
2682:
3197:
2491:
4429:
4339:
1445:
4463:
1233:
6580:
3183:
4850:
4090:
5872:
6403:
1530:
1606:
5019:
3884:
6105:
1699:
775:
6128:
The converse is also true. Since every positive integer has a unique binary representation it is possible to reverse this encoding so that they may be decoded into a unique square-free integer.
3449:
2744:
952:
5377:
652:
295:
422:
1365:
580:
The use of the square-free factorization of integers is limited by the fact that its computation is as difficult as the computation of the prime factorization. More precisely every known
187:
6588:
2152:
2101:
4912:
4712:
2520:
3398:{\displaystyle Q(x)=\sum _{n\leq x}\sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=\sum _{d\leq x}\mu (d)\sum _{n\leq x,d^{2}\mid n}1=\sum _{d\leq x}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor ;}
6453:
6308:
5501:
5308:
6502:
1299:
4627:
Since a multiple of 4 must have a square factor 4=2, it cannot occur that four consecutive integers are all square-free. On the other hand, there exist infinitely many integers
5153:
3436:
6220:
5097:
5060:
2312:
576:
5406:
5199:
1716:
No algorithm is known for computing any of these square-free factors which is faster than computing the complete prime factorization. In particular, there is no known
1014:
2379:
457:
831:
717:
483:
6036:
1370:
1081:
346:
214:
5836:
5784:
5531:
5463:
5271:
4749:
2332:
1934:
4938:
1885:
1773:
899:
5856:
5804:
5433:
2274:
2251:
2215:
2195:
2172:
2063:
2028:
2001:
1974:
1954:
1905:
1857:
1837:
1817:
1794:
1770:
1253:
1124:
1101:
1054:
1034:
974:
871:
851:
801:
679:
543:
523:
503:
319:
125:
4354:
1133:
6791:
Adleman, Leonard M.; McCurley, Kevin S. (1994). "Open problems in number theoretic complexity, II". In
Adleman, Leonard M.; Huang, Ming-Deh A. (eds.).
4251:
7397:
6763:
6749:
6735:
6161:
2709:
96:
4617:{\displaystyle Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}}}+O\left({\sqrt{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)}}+O\left({\sqrt{x}}\right).}
6909:
1450:
7343:
7270:
7056:
6808:
6513:
4235:{\displaystyle Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6}{\pi ^{2}}}x+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).}
6995:
6001:{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }(p_{n+1})^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace ,{\text{ and }}p_{n}{\text{ is the }}n{\text{th prime}},}
3110:
4764:
34:
10 is square-free, as its divisors greater than 1 are 2, 5, and 10, none of which is square (the first few squares being 1, 4, 9, and 16)
7280:
Granville, Andrew; Ramaré, Olivier (1996). "Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients".
7225:
Ramaré, Olivier; Granville, Andrew (1996). "Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients".
1106:
In summary, there are three square-free factors that are naturally associated to every integer: the square-free part, the above factor
1737:
234:
7443:
355:
4061:{\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{1/2}\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right),}
6328:
1304:
592:
is not only easier to compute than the complete factorization, but it is the first step of all standard factorization algorithms.
130:
7640:
7453:
2039:
1537:
4950:
584:
for computing a square-free factorization computes also the prime factorization. This is a notable difference with the case of
6131:
Again, for example, if we begin with the number 42, this time as simply a positive integer, we have its binary representation
6044:
1611:
722:
7390:
6507:
6173:
7594:
6125:
Since the prime factorization of every number is unique, so also is every binary encoding of the square-free integers.
904:
5315:
2230:
607:
685:(that is an integer such that is divisible by the square of every prime factor) and a square-free integer, which are
6722:{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mathrm {core} _{t}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}}}
7812:
7630:
1796:, no prime factor occurs with an exponent larger than one. Another way of stating the same is that for every prime
7615:
2730:
2725:
are not divisible by 4, 8/9 of these numbers are not divisible by 9, and so on. Because these ratios satisfy the
2677:{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}),}
2116:
1733:
589:
2122:
2071:
89:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (sequence
7383:
4858:
4669:
983:
6793:
Algorithmic Number Theory, First
International Symposium, ANTS-I, Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings
7769:
7635:
7559:
7262:
6411:
6266:
6261:
5469:
5276:
2726:
7181:
6825:
6230:
7807:
7620:
7579:
7289:
6466:
1258:
7549:
7418:
2508:
2218:
1729:
1126:, and the largest square-free factor. Each is a factor of the next one. All are easily deduced from the
601:
30:
5102:
3411:
7723:
7625:
2226:
2008:
6181:
5069:
5032:
7784:
7779:
7574:
7569:
7554:
2282:
2112:
1127:
901:. The square-free part of an integer may be smaller than the largest square-free divisor, which is
298:
71:
6930:
548:
7708:
7703:
7664:
7584:
7564:
7163:
7015:
4081:
2347:
2104:
42:
Square-free integers up to 120 remain after eliminating multiples of squares of primes up to √120
7294:
5382:
5162:
2486:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}},}
2335:
1736:
of polynomials (in short, the largest square-free factor of a polynomial is its quotient by the
4754:
There exist sequences of consecutive non-square-free integers of arbitrary length. Indeed, if
1728:. This is a major difference between the arithmetic of the integers, and the arithmetic of the
7744:
7684:
7339:
7266:
7052:
6850:
6804:
6234:
2031:
1741:
1725:
429:
7774:
7749:
7669:
7655:
7589:
7473:
7433:
7349:
7315:
7299:
7236:
7197:
7153:
7120:
7081:
7044:
7007:
6971:
6866:
6840:
6796:
6257:-th power in its divisors. In particular, the 2-free integers are the square-free integers.
6238:
2370:
2108:
1721:
806:
692:
462:
217:
7311:
7211:
7093:
6862:
6122:
or 11 decimal. (The binary digits are reversed from the ordering in the infinite product.)
6014:
1059:
324:
192:
7759:
7754:
7679:
7673:
7610:
7508:
7498:
7428:
7353:
7335:
7319:
7307:
7207:
7089:
7040:
6870:
6858:
5812:
5760:
5507:
5439:
5247:
4725:
4663:, half of all positive integers minus finitely many must be non-square-free and therefore
4345:
2317:
1910:
1724:
whether an integer is square-free. In contrast, polynomial-time algorithms are known for
1717:
682:
38:
6938:
4917:
4424:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.6079}
1862:
876:
7764:
7718:
7544:
7528:
7518:
7488:
7327:
6991:
5841:
5789:
5418:
5156:
3875:
3101:
2277:
2259:
2236:
2200:
2180:
2157:
2048:
2013:
1986:
1959:
1939:
1890:
1842:
1822:
1802:
1779:
1755:
1238:
1109:
1086:
1039:
1019:
959:
856:
836:
786:
664:
655:
528:
508:
488:
304:
110:
7375:
7072:
Filaseta, Michael; Trifonov, Ognian (1992). "On gaps between squarefree numbers. II".
7801:
7713:
7513:
7503:
7483:
7202:
7185:
7167:
7019:
2512:
2004:
1980:. An immediate result of this definition is that all prime numbers are square-free.
67:
7728:
7645:
7523:
7468:
7438:
2035:
349:
7141:
17:
4334:{\displaystyle Q(x)={\frac {6}{\pi ^{2}}}x+O\left(x^{11/35+\varepsilon }\right).}
4245:
In 2015 the error term was further reduced (assuming also
Riemann hypothesis) to
7227:
6885:
6845:
6795:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 877. Springer. pp. 291–322.
2066:
47:
7085:
7303:
7240:
7125:
7108:
7048:
7034:
6976:
6959:
6145:
between the nonnegative integers and the set of positive squarefree integers.
3874:
By exploiting the largest known zero-free region of the
Riemann zeta function
1440:{\displaystyle \prod _{e_{i}{\text{ odd}}}p_{i}=\prod _{i{\text{ odd}}}q_{i},}
585:
6854:
6800:
4453:-free integers (e.g. 3-free integers being cube-free integers) between 1 and
7478:
6142:
581:
1228:{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{h}p_{i}^{e_{i}}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i}}
7158:
5310:(with the latter rounded to one decimal place) compare at powers of 10.
1720:
algorithm for computing the square-free part of an integer, or even for
7423:
7011:
6575:{\displaystyle \left(\mathrm {core} _{t}(n)\right)_{n\in \mathbb {N} }}
6229:> 4. This was proven in 1985 for all sufficiently large integers by
2222:
1977:
1797:
686:
74:
has exactly one factor for each prime that appears in it. For example,
63:
59:
3178:{\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right).}
7361:
4845:{\displaystyle n\equiv -i{\pmod {p_{i}^{2}}}\qquad (i=1,2,\ldots ,l)}
977:
6824:
Agrawal, Manindra; Kayal, Neeraj; Saxena, Nitin (1 September 2004).
588:
for which the same definitions can be given, but, in this case, the
352:. Then the factors of the square-free factorization are defined as
6887:
Algorithms for factoring square-free polynomials over finite fields
3100:
This argument can be made rigorous for getting the estimate (using
7694:
654:
with notation of the preceding section. An integer is square-free
37:
29:
7146:
Proceedings of the Japan
Academy, Series A, Mathematical Sciences
1235:
are the prime factorization and the square-free factorization of
7379:
7142:"Experiments concerning the distribution of squarefree numbers"
1705:, the square-free factor such that the quotient is a square is
4659:+3 among four could be non-square-free for sufficiently large
2225:
as the order relation. This partially ordered set is always a
6381:
5866:
If we represent a square-free number as the infinite product
6398:{\displaystyle \mathrm {core} _{t}(p^{e})=p^{e{\bmod {t}}}.}
1525:{\displaystyle \prod _{i=1}^{h}p_{i}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}.}
6767:
6753:
6739:
6157:
6153:
6149:
2713:
1601:{\displaystyle n=75600=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7,}
91:
6922:
Jia, Chao Hua. "The distribution of square-free numbers",
6038:
and use them as bits in a binary number with the encoding
5014:{\displaystyle Q(x)=6x/\pi ^{2}+O\left({\sqrt {x}}\right)}
2703:) denote the number of square-free integers between 1 and
6118:
Thus the number 42 may be encoded as the binary sequence
1367:
The square-free factor such the quotient is a square is
1301:
are distinct prime numbers, then the square-free part is
6100:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}.}
5066:. Moreover, an elementary argument allows us to replace
6906:
6141:
Thus binary encoding of squarefree numbers describes a
976:
can be represented in a unique way as the product of a
681:
can be represented in a unique way as the product of a
1694:{\displaystyle q_{1}=7,\;q_{2}=5,\;q_{3}=3,\;q_{4}=2.}
908:
726:
611:
6591:
6516:
6469:
6414:
6331:
6269:
6184:
6047:
6017:
5875:
5844:
5815:
5792:
5763:
5510:
5472:
5442:
5421:
5385:
5318:
5279:
5250:
5165:
5105:
5072:
5035:
4953:
4920:
4861:
4767:
4728:
4672:
4466:
4357:
4254:
4093:
3887:
3447:
3414:
3200:
3113:
2742:
2687:
where the products are taken over the prime numbers.
2523:
2382:
2320:
2285:
2262:
2239:
2203:
2183:
2160:
2125:
2074:
2051:
2034:, which is the case if and only if any such group is
2016:
1989:
1962:
1942:
1913:
1907:
is square-free if and only if in every factorization
1893:
1865:
1845:
1825:
1805:
1782:
1758:
1614:
1540:
1453:
1373:
1307:
1261:
1241:
1136:
1112:
1089:
1062:
1042:
1022:
986:
962:
907:
879:
859:
839:
809:
789:
770:{\displaystyle \textstyle \prod _{i=2}^{k}q_{i}^{i}.}
725:
695:
667:
610:
551:
531:
511:
491:
465:
432:
358:
327:
307:
237:
216:
different from one are square-free integers that are
195:
133:
113:
5025:, there always exists a square-free integer between
4434:
Therefore over 3/5 of the integers are square-free.
7737:
7693:
7654:
7603:
7537:
7461:
7411:
6893:(Master's thesis). Canada: Simon Fraser University.
4643:+3 are all square-free. Otherwise, observing that 4
689:. In this factorization, the square-free factor is
6929::2 (1993), pp. 154–169. Cited in Pappalardi 2003,
6721:
6574:
6496:
6463:-free integer is mapped to itself by the function
6447:
6397:
6302:
6214:
6099:
6030:
6000:
5850:
5830:
5798:
5778:
5525:
5495:
5457:
5427:
5400:
5371:
5302:
5265:
5193:
5147:
5091:
5054:
5013:
4947:. On the other hand, the above-mentioned estimate
4932:
4906:
4844:
4743:
4706:
4616:
4423:
4333:
4234:
4060:
3863:
3430:
3397:
3177:
3089:
2676:
2485:
2326:
2306:
2268:
2245:
2209:
2189:
2166:
2146:
2095:
2057:
2022:
1995:
1968:
1948:
1928:
1899:
1879:
1851:
1831:
1811:
1788:
1764:
1693:
1600:
1524:
1439:
1359:
1293:
1247:
1227:
1118:
1095:
1075:
1048:
1028:
1008:
968:
946:
893:
865:
845:
825:
795:
769:
711:
673:
646:
570:
537:
517:
497:
477:
451:
416:
340:
313:
289:
208:
181:
119:
6206:
6188:
2346:The absolute value of the Möbius function is the
947:{\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{k}q_{i}.}
6996:"On a Problem in the Additive Theory of Numbers"
6939:Average orders of certain arithmetical functions
5372:{\displaystyle R(x)=Q(x)-{\frac {6}{\pi ^{2}}}x}
4359:
647:{\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{k}q_{i}}
231:To construct the square-free factorization, let
86:. The smallest positive square-free numbers are
290:{\displaystyle n=\prod _{j=1}^{h}p_{j}^{e_{j}}}
4722:contrary to the above asymptotic estimate for
2350:for the square-free integers – that is,
1732:, as polynomial-time algorithms are known for
417:{\displaystyle q_{i}=\prod _{j:e_{j}=i}p_{j}.}
7391:
6943:Journal of the Ramanujan Mathematical Society
8:
6110:The square-free number 42 has factorization
5961:
5949:
3408:observing that the last summand is zero for
1360:{\displaystyle \prod _{e_{i}=1}p_{i}=q_{1},}
182:{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i},}
6960:"On the distribution of squarefree numbers"
6137:2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 = 3 × 7 × 13 = 273.
604:is its largest square-free factor, that is
505:th power of another integer if and only if
7398:
7384:
7376:
7074:Journal of the London Mathematical Society
2147:{\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }
2096:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
2038:. This follows from the classification of
1674:
1654:
1634:
7293:
7201:
7186:"On divisors of binomial coefficients. I"
7157:
7124:
6975:
6844:
6657:
6646:
6626:
6612:
6608:
6596:
6590:
6566:
6565:
6558:
6538:
6524:
6515:
6485:
6471:
6468:
6430:
6416:
6413:
6384:
6380:
6376:
6360:
6347:
6333:
6330:
6285:
6271:
6268:
6233:, and for all integers > 4 in 1996 by
6205:
6187:
6185:
6183:
6088:
6074:
6069:
6063:
6052:
6046:
6022:
6016:
5990:
5982:
5976:
5967:
5940:
5925:
5920:
5904:
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5880:
5874:
5843:
5814:
5791:
5762:
5509:
5482:
5473:
5471:
5441:
5420:
5384:
5358:
5349:
5317:
5289:
5280:
5278:
5249:
5176:
5164:
5123:
5119:
5104:
5082:
5071:
5045:
5034:
5000:
4984:
4975:
4952:
4919:
4907:{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{l}}
4898:
4879:
4866:
4860:
4798:
4793:
4780:
4766:
4727:
4707:{\displaystyle Q(x)\leq {\frac {x}{2}}+C}
4688:
4671:
4600:
4595:
4564:
4550:
4545:
4524:
4515:
4509:
4498:
4488:
4465:
4407:
4398:
4374:
4362:
4356:
4308:
4304:
4279:
4270:
4253:
4209:
4205:
4180:
4171:
4148:
4144:
4109:
4092:
4032:
4028:
3994:
3990:
3971:
3944:
3940:
3917:
3903:
3886:
3844:
3814:
3799:
3788:
3779:
3770:
3763:
3737:
3717:
3711:
3684:
3667:
3647:
3638:
3631:
3604:
3597:
3574:
3551:
3542:
3535:
3516:
3507:
3482:
3475:
3448:
3446:
3421:
3413:
3380:
3371:
3343:
3319:
3302:
3274:
3241:
3236:
3220:
3199:
3161:
3143:
3129:
3112:
3072:
3058:
3034:
3020:
3011:
3005:
2994:
2984:
2964:
2955:
2944:
2935:
2923:
2916:
2909:
2880:
2868:
2859:
2844:
2837:
2830:
2807:
2798:
2780:
2773:
2743:
2741:
2721:, 3/4 of the positive integers less than
2659:
2640:
2618:
2588:
2572:
2566:
2524:
2522:
2445:
2434:
2424:
2407:
2404:
2398:
2387:
2381:
2369:is square-free, and 0 if it is not. The
2319:
2284:
2261:
2238:
2202:
2182:
2159:
2140:
2139:
2131:
2127:
2126:
2124:
2089:
2088:
2080:
2076:
2075:
2073:
2050:
2015:
1988:
1961:
1941:
1912:
1892:
1869:
1864:
1844:
1824:
1804:
1781:
1757:
1679:
1659:
1639:
1619:
1613:
1583:
1570:
1557:
1539:
1513:
1503:
1492:
1479:
1469:
1458:
1452:
1428:
1417:
1413:
1400:
1389:
1383:
1378:
1372:
1348:
1335:
1317:
1312:
1306:
1285:
1266:
1260:
1240:
1219:
1214:
1204:
1193:
1178:
1173:
1168:
1158:
1147:
1135:
1111:
1088:
1067:
1061:
1041:
1021:
997:
985:
961:
934:
924:
913:
906:
883:
878:
858:
838:
833:which is the largest square-free divisor
814:
808:
788:
757:
752:
742:
731:
724:
700:
694:
666:
637:
627:
616:
609:
556:
550:
530:
510:
490:
464:
437:
431:
426:An integer is square-free if and only if
405:
387:
376:
363:
357:
332:
326:
306:
279:
274:
269:
259:
248:
236:
200:
194:
170:
165:
155:
144:
132:
112:
5412:
1709:, and the largest square-free factor is
6910:VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
6783:
1447:and the largest square-free factor is
6924:Science in China Series A: Mathematics
6448:{\displaystyle \mathrm {core} _{t}(n)}
6303:{\displaystyle \mathrm {core} _{t}(n)}
6253:-free" a positive integer that has no
5496:{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}x}
5303:{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}x}
2197:, the set of all positive divisors of
7259:Introduction to the theory of numbers
5838:is astonishingly small compared with
5786:changes its sign infinitely often as
2119:and the fact that a ring of the form
1772:is square-free if and only if in the
1130:or the square-free factorization: if
485:. An integer greater than one is the
27:Number without repeated prime factors
7:
7109:"ABC allows us to count squarefrees"
6497:{\displaystyle \mathrm {core} _{t}.}
4758:satisfies a simultaneous congruence
4348:of square-free numbers is therefore
7406:Divisibility-based sets of integers
4788:
4084:, the error term can be reduced to
1294:{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{h}}
127:can be factored in a unique way as
82:is not, because 18 is divisible by
7332:Unsolved problems in number theory
6622:
6619:
6616:
6613:
6534:
6531:
6528:
6525:
6481:
6478:
6475:
6472:
6426:
6423:
6420:
6417:
6343:
6340:
6337:
6334:
6281:
6278:
6275:
6272:
6192:
6064:
5892:
5386:
4510:
4369:
3006:
2399:
2065:is square-free if and only if the
2003:is square-free if and only if all
25:
7444:Fundamental theorem of arithmetic
6318:by its largest divisor that is a
5148:{\displaystyle x+cx^{1/5}\log x.}
3191:the above characterization gives
2040:finitely generated abelian groups
7452:
7039:. Problem Books in Mathematics.
5021:implies that, for some constant
3431:{\displaystyle d>{\sqrt {x}}}
2733:), we obtain the approximation:
2717:shifting index by 1). For large
4808:
4781:
956:Any arbitrary positive integer
596:Square-free factors of integers
6713:
6698:
6690:
6678:
6672:
6663:
6638:
6632:
6550:
6544:
6442:
6436:
6366:
6353:
6297:
6291:
6215:{\displaystyle {2n \choose n}}
5917:
5897:
5825:
5819:
5773:
5767:
5520:
5514:
5452:
5446:
5395:
5389:
5343:
5337:
5328:
5322:
5260:
5254:
5186:
5180:
5092:{\displaystyle x+c{\sqrt {x}}}
5055:{\displaystyle x+c{\sqrt {x}}}
4963:
4957:
4839:
4809:
4804:
4782:
4738:
4732:
4682:
4676:
4579:
4573:
4482:
4470:
4386:
4380:
4366:
4264:
4258:
4124:
4118:
4103:
4097:
4025:
4006:
3987:
3974:
3897:
3891:
3878:improved the approximation to
3851:
3841:
3829:
3823:
3729:
3723:
3691:
3681:
3659:
3653:
3566:
3560:
3500:
3494:
3461:
3455:
3364:
3358:
3295:
3289:
3264:
3258:
3210:
3204:
3123:
3117:
3049:
3043:
2877:
2850:
2756:
2750:
2668:
2646:
2627:
2605:
2600:
2575:
2553:
2544:
2536:
2530:
2474:
2465:
2457:
2451:
2425:
2421:
2415:
2408:
2373:of this indicator function is
2295:
2289:
1:
6937:; also see Kaneenika Sinha, "
6508:Dirichlet generating function
2307:{\displaystyle \mu (n)\neq 0}
7203:10.1016/0022-314X(85)90017-4
6310:maps every positive integer
6174:central binomial coefficient
6116:2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 ···
6114:, or as an infinite product
1859:does not evenly divide
1748:Equivalent characterizations
658:it is equal to its radical.
571:{\displaystyle q_{i}\neq 1.}
7257:Shapiro, Harold N. (1983).
6994:; Evelyn, C. J. A. (1929).
6846:10.4007/annals.2004.160.781
6168:Erdős squarefree conjecture
4071:for some positive constant
2177:For every positive integer
980:and a square-free integer:
719:and the powerful number is
70:other than 1. That is, its
7829:
7107:Andrew, Granville (1998).
7036:Exercises in Number Theory
6884:Richards, Chelsea (2009).
5862:Encoding as binary numbers
5401:{\displaystyle \Delta (x)}
5194:{\displaystyle x+x^{o(1)}}
2154:is a field if and only if
1740:of the polynomial and its
1036:is the largest divisor of
7641:Superior highly composite
7450:
7304:10.1112/S0025579300011608
7241:10.1112/S0025579300011608
7126:10.1155/S1073792898000592
7049:10.1007/978-1-4757-5194-9
7000:Mathematische Zeitschrift
6977:10.1016/j.jnt.2015.07.013
2731:Chinese remainder theorem
2511:. This follows from the
2117:Chinese remainder theorem
1734:square-free factorization
590:square-free factorization
222:square-free factorization
103:Square-free factorization
7538:Constrained divisor sums
7190:Journal of Number Theory
7086:10.1112/jlms/s2-45.2.215
6964:Journal of Number Theory
6801:10.1007/3-540-58691-1_70
6225:is never squarefree for
4449:) denotes the number of
2115:. This follows from the
1701:The square-free part is
1009:{\displaystyle n=m^{2}k}
7263:Oxford University Press
7140:Minoru, Tanaka (1979).
6948::3 (2006), pp. 267–277.
6262:multiplicative function
6011:then we may take those
2727:multiplicative property
1738:greatest common divisor
1016:In this factorization,
661:Every positive integer
452:{\displaystyle q_{i}=1}
107:Every positive integer
7033:Parent, D. P. (1984).
6723:
6576:
6498:
6449:
6399:
6304:
6216:
6101:
6068:
6032:
6002:
5896:
5852:
5832:
5809:The absolute value of
5800:
5780:
5747:607,927,101,854,027.0
5527:
5497:
5459:
5429:
5402:
5373:
5304:
5267:
5195:
5149:
5093:
5056:
5015:
4934:
4908:
4846:
4745:
4708:
4618:
4514:
4425:
4335:
4236:
4062:
3865:
3432:
3399:
3179:
3091:
3010:
2678:
2487:
2403:
2328:
2308:
2270:
2247:
2211:
2191:
2168:
2148:
2097:
2059:
2024:
1997:
1970:
1950:
1930:
1901:
1881:
1853:
1833:
1813:
1790:
1766:
1730:univariate polynomials
1695:
1602:
1526:
1508:
1474:
1441:
1361:
1295:
1249:
1229:
1209:
1163:
1120:
1097:
1077:
1050:
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1010:
970:
948:
929:
895:
867:
847:
827:
826:{\displaystyle q_{1},}
797:
771:
747:
713:
712:{\displaystyle q_{1},}
675:
648:
632:
572:
539:
519:
499:
479:
478:{\displaystyle i>1}
453:
418:
342:
315:
291:
264:
210:
183:
160:
121:
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