36:
292:
488:
1129:. Therefore, the space of square integrable functions is a Banach space, under the metric induced by the norm, which in turn is induced by the inner product. As we have the additional property of the inner product, this is specifically a
757:
187:
1196:
361:
1292:
1109:
3895:
1067:
3678:
3768:
1255:
denotes the set of square integrable functions, but no selection of metric, norm or inner product are specified by this notation. The set, together with the specific inner product
1494:
1397:
955:
179:
1532:
840:
1729:
1564:
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2432:
4002:
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1637:
975:
917:
897:
800:
780:
641:
1007:
327:
497:. For this to be true, the integrals of the positive and negative portions of the real part must both be finite, as well as those for the imaginary part.
3111:
287:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }
53:
45:
3083:
2249:
4040:
2722:
2717:
2549:
3430:
3372:
1962:
3271:
2710:
1139:
587:, which allows notions like angle and orthogonality to be defined. Along with this inner product, the square integrable functions form a
2738:
2381:
2032:
2444:
1072:
2307:
4164:
2912:
2695:
2363:
483:{\displaystyle f:\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }
1983:
2830:
2673:
3141:
3360:
3296:
2847:
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3355:
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2427:
1258:
4033:
3566:
2542:
2297:
500:
The vector space of (equivalence classes of) square integrable functions (with respect to
Lebesgue measure) forms the
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3727:
3096:
3091:
2776:
2391:
3860:
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4220:
4133:
3389:
3203:
3188:
2986:
2959:
2924:
2669:
2333:
648:
Often the term is used not to refer to a specific function, but to equivalence classes of functions that are equal
3683:
3333:
3151:
2396:
3377:
3350:
2996:
2665:
2328:
493:
An equivalent definition is to say that the square of the function itself (rather than of its absolute value) is
4240:
3900:
3193:
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3101:
2401:
2348:
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3166:
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1499:
1114:
807:
619:
3281:
1702:
1537:
1117:
under the metric induced by the inner product defined above. A complete metric space is also called a
4072:
3930:
3783:
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2842:
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2239:
2203:
2165:
2098:
2018:
3934:
899:
is the set over which one integratesâin the first definition (given in the introduction above),
660:
The square integrable functions (in the sense mentioned in which a "function" actually means an
4194:
4174:
4147:
4091:
4063:
3688:
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785:
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626:
583:
spaces, the class of square integrable functions is unique in being compatible with an
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752:{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}
4199:
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3536:
3521:
3501:
3475:
3440:
2991:
2954:
2627:
1932:
124:
78:
1133:, because the space is complete under the metric induced by the inner product.
3819:
3780:
3470:
3435:
3276:
3024:
2786:
2509:
2200:
297:
One may also speak of quadratic integrability over bounded intervals such as
3546:
2791:
2755:
2504:
2489:
1121:, because sequences in such metric spaces converge if and only if they are
3849:
3812:
3696:
3622:
3582:
3485:
3308:
2144:
2113:
2064:
2041:
1881:
1298:
623:
501:
136:
3617:
3451: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
2700:
2527:
1910: â Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces
1191:{\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}
1125:. A space that is complete under the metric induced by a norm is a
4018:
4022:
2531:
2014:
29:
2010:
27:
Function whose squared absolute value has finite integral
1113:
It can be shown that square integrable functions form a
664:
of functions that are equal almost everywhere) form an
143:
is finite. Thus, square-integrability on the real line
57:
1707:
1542:
1510:
1475:
1368:
1136:
This inner product space is conventionally denoted by
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3863:
3825:
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3588:
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2143:
2112:
2048:
1786:is arbitrary. Furthermore, this function is not in
1639:are square-integrable. These functions are also in
3965:
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321:
286:
173:
109:
1287:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}
1104:{\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}
1297:The space of square integrable functions is the
3890:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
1062:{\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}
4034:
3998:Mathematical formulation of quantum mechanics
2543:
2026:
1069:, square integrability is the same as saying
8:
1275:
1262:
1174:
1161:
1088:
1076:
691:
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2536:
2528:
2450:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
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3785:
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3733:
3673:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
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198:
197:
189:
148:
101:
95:
3763:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
1920:
4003:Ordinary Differential Equations (ODEs)
3117:BanachâSteinhaus (Uniform boundedness)
7:
2463:Applications & related
1978:
1976:
1974:
1957:. Dover Publications. pp. 1â2.
1926:
1924:
1489:{\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}
1392:{\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}
58:move details into the article's body
2382:Marcinkiewicz interpolation theorem
950:{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
174:{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
3831:
3792:
3754:
3598:
2308:Symmetric decreasing rearrangement
2212:
1849:
1582:
1527:{\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}
1094:
941:
932:
835:{\displaystyle {\overline {f(x)}}}
742:
477:
467:
281:
271:
235:
230:
165:
156:
25:
4165:Compact operator on Hilbert space
3495:Subsets / set operations
3272:Differentiation in Fréchet spaces
1937:MathWorld--A Wolfram Web Resource
1294:specify the inner product space.
87:quadratically integrable function
1724:{\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}
1559:{\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}
802:are square integrable functions,
396: square integrable on
34:
3800:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
420:
414:
221:
215:
3960:
3941:
3757:
3751:
3667:
3659:
3601:
3595:
3189:Lomonosov's invariant subspace
3112:BanachâSchauder (open mapping)
1852:
1840:
1750:
1738:
1623:
1611:
1604:Bounded functions, defined on
1585:
1573:
1418:
1406:
1198:and many times abbreviated as
1030:
1021:
996:
984:
944:
926:
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856:
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386:
383:
371:
316:
304:
259:
254:
248:
241:
217:
202:
168:
150:
1:
2278:Convergence almost everywhere
3074:Singular value decomposition
1861:{\displaystyle [1,\infty ).}
1594:{\displaystyle [1,\infty ),}
1054:
827:
723:
3839:{\displaystyle L^{\infty }}
3607:{\displaystyle ba(\Sigma )}
3476:Radially convex/Star-shaped
2445:PrĂ©kopaâLeindler inequality
2298:Locally integrable function
2220:{\displaystyle L^{\infty }}
18:Square-integrable functions
4291:
4134:Hilbert projection theorem
3966:{\displaystyle W(X,L^{p})}
2191:Square-integrable function
83:square-integrable function
4113:CauchyâSchwarz inequality
3512:Algebraic interior (core)
3127:CauchyâSchwarz inequality
2770:Function space Topologies
2440:MinkowskiâSteiner formula
2423:Isoperimetric inequality
121:square-summable function
2428:BrunnâMinkowski theorem
622:under their respective
348:{\displaystyle a\leq b}
212: square integrable
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