4156:
3691:
2601:
1457:
43:
4151:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left}{\sqrt {\operatorname {Var} }}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q^{2}-p^{2})\\&={\frac {(1-p)^{2}-p^{2}}{\sqrt {pq}}}\\&={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}}
9104:
5544:
4941:
9114:
5231:
5220:
4523:
7000:
5963:
6754:
687:
860:
995:
6603:
3324:
5539:{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}}
4391:
2203:
5005:
570:
4936:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}}
2903:
6770:
6469:
3576:
5666:
3113:
2312:
6311:
3515:
2425:
6616:
7412:
6190:
7206:
3193:
583:
728:
6775:
6621:
6507:
6376:
6237:
6145:
5671:
5236:
5010:
4528:
3696:
4512:
873:
6502:
3204:
3000:
7107:
2060:
4238:
1153:
3663:
7255:
3608:
7313:
2676:
1207:
7104:
3391:
7762:
1430:
1262:
2560:
397:
1748:
476:
355:
306:
252:
203:
149:
100:
5215:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}}
1105:
2781:
2740:
2098:
1932:
1353:
1047:
4998:
4971:
1306:
4230:
4197:
7029:
5992:
5629:
2521:
1835:
430:
5658:
2458:
1390:
6044:
6018:
2487:
7441:
7049:
6493:
6354:
6334:
6223:
6132:
6112:
6092:
6072:
5597:
5577:
4414:
3683:
3628:
2935:
2699:
2635:
2591:
2086:
1974:
1803:
715:
489:
3434:
7891:
2789:
1312:
8374:
6995:{\displaystyle {\begin{aligned}I(p)=-E\left=-\left(-{\frac {p}{p^{2}}}-{\frac {1-p}{(1-p)^{2}}}\right)={\frac {1}{p(1-p)}}={\frac {1}{pq}}\end{aligned}}}
9148:
8282:
9069:
5958:{\displaystyle {\begin{aligned}H(X)&=\mathbb {E} _{p}\ln({\frac {1}{P(X)}})=-\\H(X)&=-(q\ln q+p\ln p),\quad q=P(X=0),p=P(X=1)\end{aligned}}}
42:
6371:
8935:
8147:
7906:
7755:
3520:
3011:
9143:
8830:
8594:
1741:
8268:
6749:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial p^{2}}}\ln L(p;X)=-{\frac {X}{p^{2}}}-{\frac {1-X}{(1-p)^{2}}}\end{aligned}}}
2214:
8589:
8533:
8193:
7831:
6232:
3451:
2323:
8339:
8875:
8609:
8462:
8137:
7881:
7119:
6140:
9117:
8334:
7347:
9107:
8779:
8755:
7748:
7139:
8976:
8604:
3119:
8853:
8814:
8786:
8760:
8678:
8027:
7775:
7670:
7612:
7533:
7465:
1778:
1734:
1722:
1681:
2604:
The probability mass distribution function of a
Bernoulli experiment along with its corresponding cumulative distribution function.
8964:
8930:
8796:
8791:
8636:
8444:
8142:
7896:
576:
9138:
8714:
8627:
8599:
8508:
8457:
8431:
8329:
8112:
8077:
1612:
1548:
1359:
682:{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}k<0\\1-p&{\text{if }}0\leq k<1\\1&{\text{if }}k\geq 1\end{cases}}}
8728:
8645:
8482:
8229:
8107:
8082:
7946:
7941:
7936:
7572:
1660:
1521:
855:{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}
8406:
7916:
7911:
990:{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}
9044:
8910:
8618:
8467:
8399:
8384:
8277:
8251:
8183:
8022:
7853:
7838:
7706:
8561:
6598:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial p}}\ln L(p;X)={\frac {X}{p}}-{\frac {1-X}{1-p}}\end{aligned}}}
8940:
8880:
8870:
8487:
8188:
8047:
4422:
3319:{\displaystyle \operatorname {Var} =\operatorname {E} -\operatorname {E} ^{2}=\operatorname {E} -\operatorname {E} ^{2}}
2570:
8289:
8032:
7961:
8925:
8920:
8865:
8801:
8566:
8344:
8241:
7826:
7701:
8745:
8553:
2943:
9059:
8835:
8654:
8436:
8389:
8258:
8234:
8214:
8057:
7931:
7811:
1516:
1268:
1053:
9064:
8007:
4386:{\displaystyle \operatorname {E} =\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} .}
8848:
8809:
8683:
8520:
8364:
8309:
8207:
8171:
8042:
5559:
Entropy is a measure of uncertainty or randomness in a probability distribution. For a
Bernoulli random variable
3396:
With this result it is easy to prove that, for any
Bernoulli distribution, its variance will have a value inside
2066:
1632:
482:
1982:
8750:
8538:
8304:
8263:
8178:
8132:
8072:
8037:
7926:
7821:
7771:
7320:
1691:
1686:
1575:
1560:
1118:
7863:
7323:
is the generalization of the
Bernoulli distribution for variables with any constant number of discrete values.
5994:, indicating the highest level of uncertainty when both outcomes are equally likely. The entropy is zero when
3633:
7222:
3581:
9049:
8991:
8662:
8449:
8359:
8314:
8299:
8219:
8117:
8067:
8062:
7843:
7481:
7476:
7444:
2600:
1850:
1670:
1541:
7696:
8915:
8903:
8892:
8774:
8670:
8477:
7921:
7901:
7338:
7260:
2643:
1166:
9039:
8996:
8840:
8515:
8369:
8349:
8246:
7816:
7209:
7123:
7063:
3330:
2431:
1937:
1846:
1665:
1570:
1536:
436:
362:
1896:
would be the probability of the coin landing on heads (or vice versa where 1 would represent tails and
1706:
9089:
9084:
9079:
9074:
9011:
8981:
8860:
8503:
8394:
8294:
7997:
7956:
7951:
7848:
1696:
1590:
1483:
1403:
2128:
1842:
1456:
1220:
882:
737:
592:
498:
9023:
8548:
8528:
8498:
8472:
8426:
8354:
8166:
8102:
2533:
2198:{\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}
1655:
1597:
1585:
1580:
1213:
370:
443:
311:
262:
208:
159:
105:
56:
9054:
8543:
8324:
8319:
8224:
8161:
8156:
8012:
8002:
7886:
7471:
2563:
1762:
1642:
1531:
1471:
1448:
1396:
1060:
2745:
2704:
1903:
1837:. Less formally, it can be thought of as a model for the set of possible outcomes of any single
1319:
1008:
8952:
8379:
8122:
8052:
8017:
7966:
7716:
7666:
7608:
7578:
7568:
7556:
7529:
7506:
7457:
7327:
6114:
depends. For the
Bernoulli distribution, the Fisher information with respect to the parameter
4976:
4949:
1701:
1607:
1506:
1275:
866:
4202:
4169:
8127:
7801:
7524:
Dekking, Frederik; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik; Meester, Ludolf (9 October 2010).
6763:
is calculated as the negative expected value of the second derivative of the log-likelihood:
1526:
7719:
7008:
5971:
5602:
2492:
1808:
403:
7596:
7564:
7341:
models the number of independent and identical
Bernoulli trials needed to get one success.
7331:
7111:
5634:
2524:
2437:
1782:
1774:
1602:
1553:
1366:
1159:
565:{\displaystyle {\begin{cases}q=1-p&{\text{if }}k=0\\p&{\text{if }}k=1\end{cases}}}
6054:
Fisher information measures the amount of information that an observable random variable
6023:
5997:
2469:
8200:
7461:
7034:
6478:
6339:
6319:
6208:
6117:
6097:
6077:
6057:
5582:
5562:
4399:
3668:
3613:
2920:
2898:{\displaystyle \operatorname {E} =\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}
2684:
2620:
2614:
2576:
2071:
1959:
1788:
1617:
700:
693:
7417:
3399:
17:
9132:
8823:
8571:
7858:
1877:
1490:
7734:
7629:
7740:
1717:
1627:
1511:
7031:, reflecting maximum uncertainty and thus maximum information about the parameter
7600:
2594:
1881:
1870:
1866:
1862:
1637:
1478:
1466:
1944:
would be 1 for such a binomial distribution). It is also a special case of the
2523:
the two-point distributions including the
Bernoulli distribution have a lower
1858:
1838:
1766:
1495:
1441:
6464:{\displaystyle {\begin{aligned}\ln L(p;X)=X\ln p+(1-X)\ln(1-p)\end{aligned}}}
7724:
7582:
3571:{\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} }{\sqrt {\operatorname {Var} }}}}
1900:
would be the probability of tails). In particular, unfair coins would have
1889:
7510:
3108:{\displaystyle \operatorname {E} =\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}}
3445:
2914:
2681:
This is due to the fact that for a
Bernoulli distributed random variable
2463:
1622:
1111:
1001:
4946:
The higher central moments can be expressed more compactly in terms of
6475:
The Score
Function (the first derivative of the log-likelihood w.r.t.
3517:. When we take the standardized Bernoulli distributed random variable
2307:{\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}
6306:{\displaystyle {\begin{aligned}L(p;X)=p^{X}(1-p)^{1-X}\end{aligned}}}
1892:
where 1 and 0 would represent "heads" and "tails", respectively, and
721:
3510:{\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}
2420:{\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.}
27:
Probability distribution modeling a coin toss which need not be fair
7407:{\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}
6185:{\displaystyle {\begin{aligned}I(p)={\frac {1}{pq}}\end{aligned}}}
2599:
7201:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)}
7744:
3188:{\displaystyle =p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} }
1854:
7567:, Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific.
2191:
983:
848:
675:
558:
1976:
is a random variable with a
Bernoulli distribution, then:
6609:
The second derivative of the log-likelihood function is:
1948:, for which the possible outcomes need not be 0 and 1.
7420:
7350:
7263:
2527:, namely −2, than any other probability distribution.
7225:
7142:
7066:
7037:
7011:
6773:
6619:
6505:
6481:
6374:
6342:
6322:
6235:
6211:
6143:
6120:
6100:
6080:
6060:
6026:
6000:
5974:
5669:
5637:
5605:
5585:
5565:
5234:
5008:
4979:
4952:
4526:
4425:
4402:
4241:
4205:
4172:
3694:
3671:
3636:
3616:
3584:
3523:
3454:
3402:
3333:
3207:
3122:
3014:
2946:
2923:
2792:
2748:
2707:
2687:
2646:
2623:
2579:
2536:
2495:
2472:
2440:
2326:
2217:
2101:
2074:
1985:
1962:
1906:
1811:
1791:
1406:
1369:
1322:
1278:
1223:
1169:
1121:
1063:
1011:
876:
731:
703:
586:
492:
446:
406:
373:
314:
265:
211:
162:
108:
59:
2430:
The Bernoulli distribution is a special case of the
1936:
The Bernoulli distribution is a special case of the
9032:
8990:
8891:
8727:
8705:
8696:
8580:
8415:
8091:
7988:
7979:
7872:
7792:
7783:
7607:. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. Section 4.2.2.
7526:
A Modern Introduction to Probability and Statistics
4166:The raw moments are all equal due to the fact that
1395:
1358:
1311:
1267:
1212:
1158:
1110:
1052:
1000:
865:
720:
692:
575:
481:
435:
361:
7435:
7406:
7307:
7249:
7200:
7098:
7043:
7023:
6994:
6748:
6597:
6487:
6463:
6348:
6328:
6305:
6217:
6184:
6126:
6106:
6086:
6066:
6038:
6012:
5986:
5957:
5652:
5623:
5591:
5571:
5538:
5214:
4992:
4965:
4935:
4507:{\displaystyle \mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}
4506:
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2054:
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1926:
1888:. It can be used to represent a (possibly biased)
1829:
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2749:
2708:
2019:
1986:
7684:. New York: Harper & Row. pp. 162–171.
7528:(1 ed.). Springer London. pp. 43–48.
2995:{\displaystyle \operatorname {Var} =pq=p(1-p)}
7756:
6316:This represents the probability of observing
2088:of this distribution, over possible outcomes
1742:
8:
2466:goes to infinity for high and low values of
2411:
2399:
2301:
2289:
465:
453:
32:
7661:Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993).
7106:are independent, identically distributed (
8702:
7985:
7789:
7763:
7749:
7741:
3578:we find that this random variable attains
2055:{\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}
1749:
1735:
1436:
47:Three examples of Bernoulli distribution:
31:
7605:Generalized Linear Models, Second Edition
7419:
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7349:
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3453:
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2073:
1984:
1961:
1916:
1905:
1810:
1790:
1785:which takes the value 1 with probability
1407:
1405:
1368:
1336:
1321:
1292:
1277:
1222:
1170:
1168:
1148:{\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}
1122:
1120:
1062:
1010:
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264:
236:
210:
187:
161:
133:
107:
84:
58:
7503:Introduction to Mathematical Probability
3658:{\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}
7493:
7250:{\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}
3603:{\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}
1447:
1940:where a single trial is conducted (so
7735:Univariate Distribution Relationships
7505:. New York: McGraw-Hill. p. 45.
7308:{\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}
7219:The Bernoulli distribution is simply
7:
9113:
7551:
7549:
7547:
7545:
2671:{\displaystyle \operatorname {E} =p}
7630:"Conjugate priors: Beta and normal"
6074:carries about an unknown parameter
1202:{\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}
7682:Introduction to Applied Statistics
7382:
7379:
7376:
7373:
7370:
7367:
7364:
7361:
7358:
7289:
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7283:
7280:
7277:
7274:
7271:
7268:
7265:
7226:
7177:
7099:{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
6817:
6807:
6637:
6627:
6516:
6512:
4517:The first six central moments are
4365:
4242:
3740:
3716:
3533:
3386:{\displaystyle =p-p^{2}=p(1-p)=pq}
3294:
3276:
3251:
3226:
3170:
3015:
2793:
2647:
1773:, named after Swiss mathematician
25:
7663:Univariate Discrete Distributions
7628:Orloff, Jeremy; Bloom, Jonathan.
1805:and the value 0 with probability
1779:discrete probability distribution
9149:Exponential family distributions
9112:
9103:
9102:
6046:, where one outcome is certain.
5550:Entropy and Fisher's Information
2593:based on a random sample is the
2530:The Bernoulli distributions for
1455:
41:
7501:Uspensky, James Victor (1937).
6205:for a Bernoulli random variable
5899:
2617:of a Bernoulli random variable
2387:
2277:
1425:{\displaystyle {\frac {1}{pq}}}
7334:of the Bernoulli distribution.
7299:
7293:
7244:
7232:
7195:
7183:
7114:with success probability
6964:
6952:
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6910:
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6842:
6787:
6781:
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6674:
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6534:
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6400:
6388:
6284:
6271:
6255:
6243:
6157:
6151:
6094:upon which the probability of
5968:The entropy is maximized when
5948:
5936:
5921:
5909:
5893:
5863:
5850:
5844:
5834:
5831:
5819:
5807:
5795:
5786:
5774:
5762:
5750:
5744:
5735:
5729:
5723:
5711:
5683:
5677:
5647:
5641:
5526:
5523:
5501:
5479:
5442:
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5202:
5199:
5180:
5158:
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3556:
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3539:
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3403:
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3359:
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3300:
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3055:
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3034:
3021:
2989:
2977:
2959:
2953:
2853:
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2826:
2814:
2805:
2799:
2764:
2752:
2723:
2711:
2659:
2653:
2384:
2372:
2369:
2357:
2342:
2330:
2262:
2249:
2233:
2221:
2208:This can also be expressed as
2117:
2105:
2034:
2022:
2001:
1989:
1522:Collectively exhaustive events
1257:{\displaystyle -q\ln q-p\ln p}
1082:
1070:
1027:
1015:
330:
318:
281:
269:
227:
215:
178:
166:
124:
112:
75:
63:
1:
9144:Conjugate prior distributions
2555:{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
392:{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
7464:consisting of a sequence of
5225:The first six cumulants are
4396:The central moment of order
4162:Higher moments and cumulants
2571:maximum likelihood estimator
471:{\displaystyle k\in \{0,1\}}
350:{\displaystyle P(x=1)=0{.}5}
301:{\displaystyle P(x=0)=0{.}5}
247:{\displaystyle P(x=1)=0{.}2}
198:{\displaystyle P(x=0)=0{.}8}
144:{\displaystyle P(x=1)=0{.}8}
95:{\displaystyle P(x=0)=0{.}2}
7702:Encyclopedia of Mathematics
7561:Introduction to Probability
6049:
5549:
2917:of a Bernoulli distributed
1100:{\displaystyle 2p(1-p)=2pq}
9165:
8936:Wrapped asymmetric Laplace
7907:Extended negative binomial
2776:{\displaystyle \Pr(X=0)=q}
2735:{\displaystyle \Pr(X=1)=p}
1927:{\displaystyle p\neq 1/2.}
9098:
8595:Generalized extreme value
8375:Relativistic Breit–Wigner
7772:Probability distributions
7680:Peatman, John G. (1963).
7110:) random variables, all
5579:with success probability
2067:probability mass function
1845:. Such questions lead to
1400:
1363:
1348:{\displaystyle q+pe^{it}}
1316:
1272:
1217:
1163:
1115:
1057:
1042:{\displaystyle p(1-p)=pq}
1005:
870:
725:
697:
580:
486:
440:
366:
39:Probability mass function
37:
7720:"Bernoulli Distribution"
7321:categorical distribution
5599:and failure probability
4993:{\displaystyle \mu _{3}}
4966:{\displaystyle \mu _{2}}
1692:Law of total probability
1687:Conditional independence
1576:Exponential distribution
1561:Probability distribution
1301:{\displaystyle q+pe^{t}}
8590:Generalized chi-squared
8534:Normal-inverse Gaussian
7697:"Binomial distribution"
7665:(2nd ed.). Wiley.
7482:Binary decision diagram
7477:Binary entropy function
7445:Rademacher distribution
6362:Log-Likelihood Function
4225:{\displaystyle 0^{k}=0}
4192:{\displaystyle 1^{k}=1}
1857:whose value is success/
1671:Conditional probability
9139:Discrete distributions
8902:Univariate (circular)
8463:Generalized hyperbolic
7892:Conway–Maxwell–Poisson
7882:Beta negative binomial
7437:
7408:
7339:geometric distribution
7309:
7251:
7202:
7163:
7100:
7045:
7025:
6996:
6750:
6599:
6489:
6465:
6350:
6330:
6307:
6219:
6186:
6128:
6108:
6088:
6068:
6040:
6014:
5988:
5959:
5654:
5625:
5593:
5573:
5540:
5216:
4994:
4967:
4937:
4508:
4410:
4387:
4226:
4193:
4152:
3679:
3659:
3624:
3604:
3572:
3511:
3430:
3387:
3320:
3189:
3109:
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2931:
2899:
2777:
2736:
2695:
2672:
2631:
2605:
2587:
2556:
2517:
2483:
2454:
2421:
2308:
2199:
2082:
2056:
1970:
1946:two-point distribution
1928:
1831:
1799:
1771:Bernoulli distribution
1613:Continuous or discrete
1566:Bernoulli distribution
1426:
1386:
1349:
1302:
1258:
1203:
1149:
1101:
1043:
991:
856:
711:
683:
566:
472:
426:
393:
351:
302:
248:
199:
145:
96:
33:Bernoulli distribution
18:Two point distribution
8947:Bivariate (spherical)
8445:Kaniadakis κ-Gaussian
7733:Interactive graphic:
7557:Bertsekas, Dimitri P.
7438:
7409:
7310:
7252:
7210:binomial distribution
7203:
7143:
7124:binomial distribution
7101:
7055:Related distributions
7046:
7026:
7024:{\displaystyle p=0.5}
7005:It is maximized when
6997:
6751:
6600:
6490:
6466:
6351:
6331:
6308:
6220:
6187:
6129:
6109:
6089:
6069:
6041:
6015:
5989:
5987:{\displaystyle p=0.5}
5960:
5655:
5626:
5624:{\displaystyle q=1-p}
5594:
5574:
5541:
5217:
4995:
4968:
4938:
4509:
4411:
4388:
4227:
4194:
4153:
3680:
3660:
3625:
3605:
3573:
3512:
3431:
3388:
3321:
3190:
3110:
2997:
2932:
2900:
2778:
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