2534:
1774:
1227:
2286:
2716:
1943:
2303:
2876:
1634:
3014:
860:
692:
1314:
3512:
1098:
588:
521:
445:
776:
239:
171:
2082:
2551:
1603:
1555:
1830:
1469:
3067:
2071:
1364:
1087:
1415:
1060:
303:
966:
929:
369:
1501:
1018:
339:
273:
1337:
2529:{\displaystyle {\frac {(7+2+1)^{2}}{3}}+{\frac {(7+6)^{2}}{2}}+{\frac {(11+6)^{2}}{2}}+{\frac {(10+7+3)^{2}}{3}}+{\frac {(5+3+4)^{2}}{3}}+{\frac {(11+4)^{2}}{2}}}
1627:
1435:
1384:
986:
888:
723:
389:
193:
125:
2733:
1979:
The following hypothetical example gives the yields of 15 plants subject to two different environmental variations, and three different fertilisers.
71:
1769:{\displaystyle Y_{ijk}=\mu _{ij}+\epsilon _{ijk}{\text{ with }}\epsilon _{ijk}{\overset {\mathrm {i.i.d.} }{\sim }}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}
1568:
Another equivalent way of describing the two-way ANOVA is by mentioning that, besides the variation explained by the factors, there remains some
3613:
2893:
781:
593:
1241:
79:
published procedures for the unbalanced case. Since then, an extensive literature has been produced. The topic was reviewed in 1993 by
3526:
1606:
3298:
1025:
3605:
3544:"Novel Likelihood Ratio Tests for Screening Gene-Gene and Gene-Environment Interactions with Unbalanced Repeated-Measures Data"
1968:
1222:{\displaystyle Y_{ijk}\,|\,\mu _{ij},\sigma ^{2}\;{\overset {\mathrm {i.i.d.} }{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\mu _{ij},\sigma ^{2})}
3599:
3632:
3313:
1961:
32:
3333:
Yates, Frank (March 1934). "The analysis of multiple classifications with unequal numbers in the different classes".
1629:
random variables are seen as deviations from the means, and are assumed to be independent and normally distributed:
3518:
526:
459:
1803:
the mean of the response variable is influenced additively (if not interaction term) and linearly by the factors;
1957:
396:
54:
1572:. This amount of unexplained variation is handled via the introduction of one random variable per data point,
2281:{\displaystyle 7^{2}+2^{2}+1^{2}+7^{2}+6^{2}+11^{2}+6^{2}+10^{2}+7^{2}+3^{2}+5^{2}+3^{2}+4^{2}+11^{2}+4^{2}}
1967:
Testing if the interaction term is significant can be difficult because of the potentially-large number of
732:
200:
132:
2711:{\displaystyle {\frac {(7+2+1+7+6)^{2}}{5}}+{\frac {(11+6+10+7+3)^{2}}{5}}+{\frac {(5+3+4+11+4)^{2}}{5}}}
80:
39:
1938:{\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}=\sum _{j}\beta _{j}=\sum _{i}\gamma _{ij}=\sum _{j}\gamma _{ij}=0}
3278:
3028:
1793:
1575:
36:
1506:
3452:
1029:
698:
43:
1444:
3461:
3428:
3410:
3350:
3045:
2049:
1953:
1342:
1233:
1065:
895:
46:
1393:
1035:
282:
3609:
3573:
3522:
3489:
3308:
1569:
453:
938:
901:
3563:
3555:
3479:
3471:
3420:
3401:
Gelman, Andrew (February 2005). "Analysis of variance? why it is more important than ever".
3381:
3342:
1090:
344:
88:
16:
Statistical test examining influence of two categorical variables on one continuous variable
1474:
991:
312:
246:
1822:
1322:
932:
1800:
the data points are relevant with respect to the scientific question under investigation;
3595:
3568:
3543:
3484:
3447:
1612:
1420:
1369:
971:
873:
708:
374:
178:
110:
2871:{\displaystyle {\frac {(7+2+1+11+6+5+3+4)^{2}}{8}}+{\frac {(7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{7}}}
3626:
3508:
3432:
3386:
3369:
3303:
1789:
1785:
84:
66:
3346:
3293:
729:, allowing to fully distinguish the effects of both factors. We hence can write
76:
50:
3424:
20:
891:
3577:
3493:
100:
3559:
3354:
3475:
3415:
3283:
3009:{\displaystyle {\frac {(7+2+1+11+6+5+3+4+7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{15}}}
1825:
of parameters, we can add the following "sum-to-zero" constraints:
855:{\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}={\frac {n_{i+}\cdot n_{+j}}{n}}}
687:{\displaystyle n=\sum _{i,j}n_{ij}=\sum _{i}n_{i+}=\sum _{j}n_{+j}}
3466:
1309:{\displaystyle \mu _{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\gamma _{ij}}
3514:
Data
Analysis Using Regression and Multilevel/Hierarchical Models
1232:
Specifically, the mean of the response variable is modeled as a
898:
may be used to describe such variation". Let us hence denote by
107:
which are potential sources of variation. The first factor has
1739:
1182:
3027:
Finally, the sums of squared deviations required for the
1956:(that the factors have no effect) is achieved via their
103:
for which a dependent variable may be influenced by two
1792:, the assumptions of the ANOVA, and more generally the
53:
of each independent variable but also if there is any
3048:
2896:
2736:
2554:
2306:
2085:
2052:
1833:
1637:
1615:
1578:
1509:
1477:
1447:
1423:
1396:
1372:
1345:
1325:
1244:
1101:
1068:
1038:
994:
974:
941:
904:
876:
784:
735:
711:
705:
if each treatment has the same number of replicates,
596:
529:
462:
399:
377:
347:
315:
285:
249:
203:
181:
135:
113:
1471:
is the non-additive interaction effect of treatment
87:
proposed a different approach of ANOVA, viewed as a
69:mentions the two-way ANOVA in his celebrated book,
49:. The two-way ANOVA not only aims at assessing the
3061:
3008:
2870:
2710:
2528:
2280:
2065:
1937:
1768:
1621:
1597:
1549:
1495:
1463:
1429:
1409:
1378:
1358:
1331:
1308:
1221:
1081:
1054:
1012:
980:
960:
923:
882:
854:
770:
717:
686:
582:
515:
439:
383:
363:
333:
297:
267:
233:
187:
165:
119:
590:, and the total number of replicates is equal to
725:. In such a case, the design is also said to be
391:be the index of the replicate in this treatment
3335:Journal of the American Statistical Association
35:that examines the influence of two different
8:
583:{\displaystyle n_{+j}=\sum _{i=1}^{I}n_{ij}}
516:{\displaystyle n_{i+}=\sum _{j=1}^{J}n_{ij}}
434:
406:
228:
210:
160:
142:
3370:"Two-way ANOVA models with unbalanced data"
3299:Multivariate analysis of variance (MANOVA)
1796:, are, in decreasing order of importance:
1179:
1151:
797:
748:
3567:
3483:
3465:
3414:
3385:
3053:
3047:
2994:
2897:
2895:
2856:
2807:
2792:
2737:
2735:
2696:
2659:
2644:
2607:
2592:
2555:
2553:
2514:
2495:
2480:
2455:
2440:
2415:
2400:
2381:
2366:
2347:
2332:
2307:
2305:
2272:
2259:
2246:
2233:
2220:
2207:
2194:
2181:
2168:
2155:
2142:
2129:
2116:
2103:
2090:
2084:
2057:
2051:
1920:
1910:
1894:
1884:
1871:
1861:
1848:
1838:
1832:
1757:
1738:
1737:
1715:
1710:
1698:
1689:
1677:
1661:
1642:
1636:
1614:
1583:
1577:
1538:
1508:
1476:
1452:
1446:
1441:-th column in the contingency table) and
1422:
1401:
1395:
1371:
1350:
1344:
1324:
1297:
1284:
1271:
1249:
1243:
1210:
1194:
1181:
1180:
1157:
1152:
1145:
1129:
1124:
1119:
1118:
1106:
1100:
1073:
1067:
1043:
1037:
993:
973:
946:
940:
909:
903:
875:
837:
821:
814:
802:
783:
753:
734:
710:
675:
665:
649:
639:
623:
607:
595:
571:
561:
550:
534:
528:
504:
494:
483:
467:
461:
440:{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n_{ij}\}}
425:
398:
376:
352:
346:
314:
284:
248:
202:
180:
134:
112:
3542:Yi-An Ko; et al. (September 2013).
3448:"Statistical inference: The big picture"
3033:
2034:
1981:
72:Statistical Methods for Research Workers
3325:
305:treatments. We represent the number of
1024:models all these variables as varying
2032:Five sums of squares are calculated:
1417:is the additive main effect of level
1366:is the additive main effect of level
771:{\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}=K}
7:
1812:the errors are normally distributed.
1390:-th row in the contingency table),
234:{\displaystyle j\in \{1,\ldots ,J\}}
166:{\displaystyle i\in \{1,\ldots ,I\}}
870:Upon observing variation among all
3446:Kass, Robert E (1 February 2011).
1809:the errors have the same variance;
1728:
1722:
1716:
1170:
1164:
1158:
785:
736:
14:
3604:. Springer Texts in Statistics.
3288:Includes a one-way ANOVA example
890:data points, for instance via a
452:From these data, we can build a
1598:{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
1557:from both factors (cell at row
3347:10.1080/01621459.1934.10502686
3111:Fertiliser × Environment
3080:Fertiliser × Environment
2991:
2900:
2853:
2810:
2789:
2740:
2693:
2662:
2641:
2610:
2589:
2558:
2511:
2498:
2477:
2458:
2437:
2418:
2397:
2384:
2363:
2350:
2329:
2310:
2298:Fertilizer × Environment
1763:
1744:
1550:{\displaystyle k=1,...,n_{ij}}
1490:
1478:
1236:of the explanatory variables:
1216:
1187:
1120:
1007:
995:
328:
316:
262:
250:
1:
75:(chapters 7 and 8). In 1934,
3387:10.1016/0012-365X(93)90410-U
3368:Fujikoshi, Yasunori (1993).
1464:{\displaystyle \gamma _{ij}}
1062:, with a constant variance,
25:two-way analysis of variance
3062:{\displaystyle \sigma ^{2}}
2066:{\displaystyle \sigma ^{2}}
1960:which requires calculating
1952:In the classical approach,
1806:the errors are independent;
1565:in the contingency table).
1359:{\displaystyle \alpha _{i}}
1082:{\displaystyle \sigma ^{2}}
3649:
3519:Cambridge University Press
3425:10.1214/009053604000001048
3314:Tukey's test of additivity
1410:{\displaystyle \beta _{j}}
988:-th measure for treatment
1055:{\displaystyle \mu _{ij}}
298:{\displaystyle I\times J}
31:) is an extension of the
3403:The Annals of Statistics
1437:from the second factor (
3309:Repeated measures ANOVA
1954:testing null hypotheses
1386:from the first factor (
961:{\displaystyle y_{ijk}}
924:{\displaystyle Y_{ijk}}
3063:
3010:
2872:
2712:
2530:
2282:
2067:
1939:
1770:
1623:
1599:
1551:
1497:
1465:
1431:
1411:
1380:
1360:
1333:
1310:
1223:
1083:
1056:
1014:
982:
962:
925:
884:
856:
772:
719:
688:
584:
566:
517:
499:
441:
385:
365:
364:{\displaystyle n_{ij}}
335:
299:
269:
235:
189:
167:
121:
3064:
3011:
2873:
2713:
2531:
2283:
2068:
1940:
1771:
1624:
1600:
1552:
1498:
1496:{\displaystyle (i,j)}
1466:
1432:
1412:
1381:
1361:
1334:
1311:
1224:
1084:
1057:
1015:
1013:{\displaystyle (i,j)}
983:
963:
935:which observed value
926:
885:
857:
773:
720:
689:
585:
546:
518:
479:
442:
386:
366:
336:
334:{\displaystyle (i,j)}
300:
270:
268:{\displaystyle (i,j)}
236:
190:
168:
122:
40:independent variables
3633:Analysis of variance
3548:Genetic Epidemiology
3511:(18 December 2006).
3374:Discrete Mathematics
3279:Analysis of variance
3046:
3029:analysis of variance
2894:
2734:
2552:
2304:
2083:
2050:
1831:
1817:Parameter estimation
1794:general linear model
1635:
1613:
1576:
1507:
1475:
1445:
1421:
1394:
1370:
1343:
1332:{\displaystyle \mu }
1323:
1242:
1099:
1066:
1036:
992:
972:
939:
902:
874:
782:
733:
709:
594:
527:
460:
397:
375:
345:
313:
283:
247:
201:
179:
133:
111:
3453:Statistical Science
3247:Degrees of freedom
3223:Squared deviations
3031:can be calculated.
1339:is the grand mean,
699:experimental design
243:. Each combination
175:and the second has
3601:Statistical design
3560:10.1002/gepi.21744
3521:. pp. 45–46.
3059:
3006:
2868:
2708:
2526:
2278:
2063:
1969:degrees of freedom
1948:Hypothesis testing
1935:
1915:
1889:
1866:
1843:
1766:
1619:
1595:
1547:
1493:
1461:
1427:
1407:
1376:
1356:
1329:
1306:
1234:linear combination
1219:
1079:
1052:
1010:
978:
958:
921:
880:
852:
768:
715:
684:
670:
644:
618:
580:
513:
437:
381:
361:
331:
295:
265:
231:
185:
163:
117:
81:Yasunori Fujikoshi
47:dependent variable
3615:978-0-387-75965-4
3598:(18 April 2008).
3476:10.1214/10-sts337
3270:
3269:
3025:
3024:
3004:
2866:
2802:
2706:
2654:
2602:
2524:
2490:
2450:
2410:
2376:
2342:
2030:
2029:
1906:
1880:
1857:
1834:
1735:
1692:
1622:{\displaystyle n}
1570:statistical noise
1430:{\displaystyle j}
1379:{\displaystyle i}
1177:
981:{\displaystyle k}
883:{\displaystyle n}
850:
718:{\displaystyle K}
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