7402:
6865:
1127:
1978:
42:
7397:{\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}}
1504:
7693:
5801:
1988:
1973:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}){\Biggr )}\\&=\Delta x\left({\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).\end{aligned}}}
6860:
293:
7566:
5368:
6053:. For very large dimension, the shows that Monte-Carlo integration is most likely a better choice, but for 2 and 3 dimensions, equispaced sampling is efficient. This is exploited in computational solid state physics where equispaced sampling over primitive cells in the reciprocal lattice is known as
5948:
Although some effort has been made to extend the Euler-Maclaurin summation formula to higher dimensions, the most straightforward proof of the rapid convergence of the trapezoidal rule in higher dimensions is to reduce the problem to that of convergence of
Fourier series. This line of reasoning shows
1066:
4660:
5443:
6158:
is another member of the same family, and in general has faster convergence than the trapezoidal rule for functions which are twice continuously differentiable, though not in all specific cases. However, for various classes of rougher functions (ones with weaker smoothness conditions), the
5060:
6651:
7559:
6512:
6644:
2371:(and thus has a positive second derivative), then the error is negative and the trapezoidal rule overestimates the true value. This can also be seen from the geometric picture: the trapezoids include all of the area under the curve and extend over it. Similarly, a
3978:
3597:
4243:
4095:
4779:
1347:
727:
811:
7688:{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{True Error}}{\text{True Value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}}
3112:
2375:
function yields an underestimate because area is unaccounted for under the curve, but none is counted above. If the interval of the integral being approximated includes an inflection point, the sign of the error is harder to identify.
3488:
5069:
7477:
3301:
3222:
288:
6181:
are generally far more accurate; Clenshaw–Curtis quadrature can be viewed as a change of variables to express arbitrary integrals in terms of periodic integrals, at which point the trapezoidal rule can be applied accurately.
4478:
4485:
3398:
2363:
2531:
6342:
2824:
6518:
315:, applying the trapezoidal rule to each subinterval, and summing the results. In practice, this "chained" (or "composite") trapezoidal rule is usually what is meant by "integrating with the trapezoidal rule". Let
4788:
2261:
5940:
and other functions with derivatives at integration limits that can be neglected. The evaluation of the full integral of a
Gaussian function by trapezoidal rule with 1% accuracy can be made using just 4 points.
1509:
5796:{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx}
3771:
468:
6855:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\right\}+f(b)\right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}}
3856:
7472:
1499:
7572:
7482:
6870:
6656:
6523:
6071:, the error bound given above is not applicable. Still, error bounds for such rough functions can be derived, which typically show a slower convergence with the number of function evaluations
6252:
1205:
585:
1412:
6324:
580:
133:
4128:
3983:
2608:
9315:
4665:
3863:
5871:
3644:
2927:
2662:
1118:
757:
498:
9303:
6051:
3686:
2870:
173:
6128:
4250:
783:
346:
5927:
806:
5835:
8230:
164:
4123:
2041:
2015:
6286:
6089:
6007:
5987:
5967:
5891:
5439:
5419:
5399:
3321:
2386:
2061:
1439:
1088:
518:
3117:
2922:
1160:
378:
2667:
9425:
9310:
5937:
1061:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).}
2070:
9451:
3493:
9293:
9288:
2561:
It is argued that the speed of convergence of the trapezoidal rule reflects and can be used as a definition of classes of smoothness of the functions.
2280:
9298:
9283:
8397:
1123:
As discussed below, it is also possible to place error bounds on the accuracy of the value of a definite integral estimated using a trapezoidal rule.
31:
8585:
9278:
5363:{\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}
2550:
8895:
8649:
8077:
7554:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{t}&={\text{True Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}}
3326:
8308:
7409:
1444:
7947:
Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks".
3691:
8223:
4655:{\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}
3776:
383:
8447:
6193:
3229:
9393:
9252:
8133:
5378:
6507:{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack }
8807:
8723:
8527:
6639:{\displaystyle {\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}}
9388:
9320:
8945:
8800:
8768:
5055:{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}
3403:
8349:
8323:
8086:
Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule",
6178:
9021:
8713:
8216:
8998:
8318:
8313:
296:
An animation that shows what the trapezoidal rule is and how the error in approximation decreases as the step size decreases
84:
9111:
9049:
8844:
8718:
8390:
2067:
The error of the composite trapezoidal rule is the difference between the value of the integral and the numerical result:
8298:
9420:
8597:
8575:
8270:
8203:
30:
This article is about a rule for approximating integrals. For the trapezoidal rule used for initial value problems, see
9405:
8303:
8785:
8607:
8188:
9171:
5893:
th
Bernoulli polynomial. Due to the periodicity, the derivatives at the endpoint cancel and we see that the error is
8790:
8560:
7730:
8339:
8247:
7710:
6147:
9209:
9156:
1352:
8617:
523:
9325:
9096:
8644:
8383:
6294:
2555:
312:
9091:
8763:
1991:
An animation showing how the trapezoidal rule approximation improves with more strips for an interval with
9219:
9101:
8922:
8870:
8676:
8654:
8522:
1070:
The approximation becomes more accurate as the resolution of the partition increases (that is, for larger
1342:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},}
722:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.}
9345:
9204:
9116:
8773:
8708:
8681:
8671:
8592:
8565:
8537:
8239:
7770:"Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph"
6143:
2572:
74:
8580:
6130:
behaviour given above. Interestingly, in this case the trapezoidal rule often has sharper bounds than
5840:
1126:
9161:
8780:
8627:
8364:
8069:
6258: Use the composite trapezoidal rule to estimate the value of this integral. Use three segments.
2613:
9181:
9106:
8993:
8950:
8701:
8686:
8517:
8505:
8492:
8452:
8432:
8344:
8290:
8280:
8162:
7720:
7705:
6174:
8131:
Weideman, J. A. C. (January 2002), "Numerical
Integration of Periodic Functions: A Few Examples",
5377:
The trapezoidal rule converges rapidly for periodic functions. This is an easy consequence of the
1093:
732:
473:
9270:
9245:
9076:
9029:
8970:
8935:
8930:
8910:
8865:
8812:
8795:
8570:
8555:
8500:
8359:
8150:
8111:
7797:
3604:
8905:
8900:
8696:
8467:
6012:
3649:
2829:
41:
6094:
762:
318:
9410:
9234:
9166:
8988:
8965:
8839:
8832:
8735:
8550:
8442:
8265:
8260:
8103:
8073:
7964:
7924:
7789:
7725:
6163:
6155:
6131:
5942:
5933:
5896:
1173:
788:
9368:
9151:
9064:
9044:
8975:
8885:
8827:
8753:
8666:
8427:
8422:
8354:
8142:
8095:
7956:
7916:
7781:
7715:
5806:
4238:{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}
2545:
35:
7769:
4090:{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}
9430:
9415:
9199:
9054:
9034:
9003:
8980:
8960:
8854:
8510:
8457:
6338:
The solution using the composite trapezoidal rule with 3 segments is applied as follows.
4774:{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}
3973:{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}
140:
8275:
4102:
2533:
Further terms in this error estimate are given by the Euler–Maclaurin summation formula.
2020:
1994:
9340:
9239:
9086:
9039:
8940:
8743:
6264:
6074:
5992:
5972:
5952:
5876:
5424:
5404:
5384:
3306:
3107:{\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}
2540:
2046:
1424:
1073:
503:
137:
The trapezoidal rule works by approximating the region under the graph of the function
2875:
1133:
1130:
Illustration of "chained trapezoidal rule" used on an irregularly-spaced partition of
729:
When the partition has a regular spacing, as is often the case, that is, when all the
351:
9445:
9214:
9069:
8955:
8659:
8634:
8115:
7801:
6151:
311:, and is sometimes defined this way. The integral can be even better approximated by
8019:
3592:{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}
9224:
9194:
9059:
8622:
8198:
7960:
7406:
The exact value of the above integral can be found by integration by parts and is
2372:
283:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).}
6173:
For non-periodic functions, however, methods with unequally spaced points such as
4473:{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left-\int _{a}^{b}f(x)dx.}
17:
8472:
8414:
308:
305:
301:
9189:
9121:
8875:
8748:
8612:
8602:
8545:
7920:
6066:
2368:
8107:
7968:
7928:
9383:
9131:
9126:
8437:
7785:
7750:
167:
7793:
7731:
Volterra integral equation § Numerical
Solution using Trapezoidal Rule
300:
The trapezoidal rule may be viewed as the result obtained by averaging the
2526:{\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big }+O(N^{-3}).}
9378:
8880:
8758:
8406:
8000:
3217:{\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}
1186:
78:
58:
8208:
6159:
trapezoidal rule has faster convergence in general than
Simpson's rule.
2819:{\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}
9229:
8482:
8154:
8099:
6162:
Moreover, the trapezoidal rule tends to become extremely accurate when
1987:
1182:
1178:
2256:{\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left}
785:
the formula can be simplified for calculation efficiency by factoring
9398:
8462:
8146:
292:
8477:
8204:
An implementation of trapezoidal quadrature provided by Boost.Math
7907:
Goodwin, E. T. (1949). "The evaluation of integrals of the form".
1986:
1441:
equally spaced panels, considerable simplification may occur. Let
1125:
291:
40:
2358:{\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}
463:{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}
8163:"Sharp Error Bounds for the Trapezoidal Rule and Simpson's Rule"
2536:
Several techniques can be used to analyze the error, including:
8379:
8212:
7909:
Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
7894:
Numerical
Analysis, volume 181 of Graduate Texts in Mathematics
5932:
A similar effect is available for peak-like functions, such as
3296:{\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,}
2872:
is the error of the trapezoidal rule on one of the intervals,
1202:
When the grid spacing is non-uniform, one can use the formula
5945:
requires 1.8 times more points to achieve the same accuracy.
8375:
53:) (in blue) is approximated by a linear function (in red).
3483:{\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}
6142:
The trapezoidal rule is one of a family of formulas for
8199:
Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature
8170:
3393:{\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )}
7467:{\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387}
6297:
6267:
1494:{\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}}
233:
8001:"Euler-Maclaurin Summation Formula for Multiple Sums"
7570:
7569:
7480:
7412:
6868:
6654:
6521:
6345:
6196:
6097:
6077:
6015:
5995:
5975:
5955:
5899:
5879:
5843:
5809:
5446:
5427:
5407:
5387:
5072:
4791:
4668:
4488:
4253:
4131:
4105:
3986:
3866:
3779:
3694:
3652:
3607:
3496:
3406:
3329:
3309:
3232:
3120:
2930:
2878:
2832:
2670:
2616:
2575:
2389:
2283:
2073:
2049:
2023:
1997:
1507:
1447:
1427:
1355:
1208:
1136:
1096:
1076:
814:
791:
765:
735:
588:
526:
506:
476:
386:
354:
321:
176:
143:
87:
8047:
6170:. A similar effect is available for peak functions.
6009:
continuous derivatives, the speed of convergence is
1177:
paper reports that the trapezoid rule was in use in
9358:
9269:
9262:
9180:
9142:
9014:
8921:
8853:
8734:
8536:
8491:
8413:
8332:
8289:
8246:
3766:{\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}
7687:
7553:
7466:
7396:
6854:
6638:
6506:
6318:
6280:
6246:
6122:
6083:
6045:
6001:
5981:
5961:
5921:
5885:
5865:
5829:
5795:
5433:
5413:
5393:
5362:
5054:
4773:
4654:
4472:
4237:
4117:
4089:
3972:
3851:{\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}
3850:
3765:
3680:
3638:
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3482:
3392:
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2864:
2818:
2656:
2602:
2525:
2357:
2255:
2063:increases, so too does the accuracy of the result.
2055:
2035:
2009:
1972:
1493:
1433:
1406:
1341:
1154:
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1060:
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340:
282:
158:
127:
1833:
1673:
7879:
6247:{\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}}
6167:
6166:are integrated over their periods, which can be
8122:Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2011),
7949:Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems
5421:times continuously differentiable with period
1181:before 50 BCE for integrating the velocity of
8391:
8224:
6648:Using the composite trapezoidal rule formula
6134:for the same number of function evaluations.
4247:Summing all of the local error terms we find
3323:is sufficiently smooth. It then follows that
2490:
2446:
8:
8020:"Numerical Integration over Brillouin Zones"
7863:
7374:
7192:
7126:
6291: Find the absolute relative true error
5562:
5548:
335:
322:
1407:{\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.}
9266:
8398:
8384:
8376:
8231:
8217:
8209:
8161:Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, C. J. (2002),
6838:
6837:
6836:
6835:
6834:
6833:
6832:
6831:
6830:
6829:
6828:
6827:
6319:{\textstyle \left|\varepsilon _{t}\right|}
1501:the approximation to the integral becomes
575:{\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}
170:and calculating its area. It follows that
9426:Regiomontanus' angle maximization problem
7641:
7604:
7583:
7571:
7568:
7510:
7502:
7489:
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7411:
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7227:
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7064:
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6266:
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4978:
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4567:
4556:
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3704:
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3693:
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2831:
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2675:
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2282:
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2072:
2048:
2022:
1996:
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1927:
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1831:
1822:
1794:
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1738:
1713:
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1672:
1671:
1656:
1632:
1604:
1583:
1572:
1553:
1539:
1521:
1516:
1508:
1506:
1473:
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1446:
1426:
1389:
1376:
1363:
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1308:
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1261:
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560:
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410:
397:
385:
353:
329:
320:
232:
204:
186:
181:
175:
142:
115:
97:
92:
86:
32:Trapezoidal rule (differential equations)
8042:
8040:
7987:
7851:
7839:
7827:
7814:
5064:Therefore the total error is bounded by
8774:Differentiating under the integral sign
7760:
7742:
7982:
7980:
7978:
7874:
7872:
7768:Ossendrijver, Mathieu (Jan 29, 2016).
128:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
8650:Inverse functions and differentiation
8066:An Introduction to Numerical Analysis
7942:
7940:
7938:
313:partitioning the integration interval
7:
7753:for more information on terminology.
7563:The absolute relative true error is
2367:It follows that if the integrand is
9452:Numerical integration (quadrature)
8448:Free variables and bound variables
8189:Trapezium formula. I.P. Mysovskikh
7677:
7661:
7624:
6190:The following integral is given:
6154:is similar to the trapezoid rule.
2603:{\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}
1848:
1659:
1556:
1464:
1448:
1356:
1323:
1097:
855:
792:
766:
736:
703:
527:
477:
25:
9253:The Method of Mechanical Theorems
8134:The American Mathematical Monthly
5873:is the periodic extension of the
5379:Euler-Maclaurin summation formula
2551:Euler–Maclaurin summation formula
2379:An asymptotic error estimate for
8808:Partial fractions in integration
8724:Stochastic differential equation
8309:Gauss–Kronrod quadrature formula
8048:Cruz-Uribe & Neugebauer 2002
5866:{\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}
8946:Jacobian matrix and determinant
8801:Tangent half-angle substitution
8769:Fundamental theorem of calculus
5938:Exponentially modified Gaussian
9022:Arithmetico-geometric sequence
8714:Ordinary differential equation
7961:10.1016/j.chemolab.2018.06.001
7369:
7363:
7334:
7329:
7323:
7297:
7288:
7283:
7277:
7251:
7240:
7234:
7208:
7189:
7183:
7174:
7168:
7156:
7150:
7138:
7132:
7105:
7099:
7089:
7074:
7040:
7034:
6986:
6980:
6970:
6955:
6915:
6909:
6845:
6839:
6819:
6813:
6798:
6781:
6736:
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6684:
6678:
6496:
6490:
6480:
6463:
6423:
6417:
6371:
6365:
6138:Applicability and alternatives
6117:
6101:
6065:For functions that are not in
6040:
6019:
5916:
5903:
5851:
5783:
5777:
5772:
5766:
5758:
5744:
5732:
5691:
5681:
5675:
5672:
5666:
5661:
5646:
5635:
5629:
5624:
5609:
5601:
5592:
5583:
5519:
5513:
5486:
5477:
5330:
5317:
5314:
5308:
5272:
5266:
5168:
5162:
5153:
5147:
5105:
5099:
5027:
5021:
4998:
4992:
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4881:
4872:
4866:
4812:
4806:
4746:
4740:
4707:
4701:
4633:
4627:
4589:
4583:
4530:
4524:
4458:
4452:
4347:
4341:
4332:
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4207:
4190:
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4146:
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4007:
4001:
3951:
3945:
3928:
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3887:
3881:
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3836:
3814:
3808:
3760:
3754:
3729:
3723:
3669:
3663:
3627:
3621:
3574:
3568:
3551:
3545:
3517:
3511:
3477:
3471:
3457:
3438:
3424:
3418:
3387:
3381:
3362:
3343:
3282:
3276:
3252:
3246:
3208:
3189:
3098:
3079:
3070:
3051:
3021:
3018:
2999:
2990:
2977:
2971:
2911:
2879:
2858:
2854:
2848:
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2806:
2800:
2756:
2753:
2734:
2725:
2712:
2706:
2687:
2681:
2657:{\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}
2648:
2636:
2517:
2501:
2485:
2479:
2465:
2459:
2417:
2404:
2352:
2346:
2311:
2298:
2169:
2163:
2154:
2148:
2106:
2100:
1955:
1942:
1900:
1887:
1878:
1865:
1828:
1815:
1806:
1787:
1769:
1756:
1744:
1731:
1719:
1706:
1694:
1681:
1638:
1625:
1616:
1597:
1536:
1530:
1421:For a domain discretized into
1314:
1301:
1292:
1273:
1233:
1227:
1149:
1137:
1047:
1034:
1025:
1006:
988:
975:
963:
950:
938:
925:
913:
900:
888:
875:
839:
833:
694:
681:
672:
653:
613:
607:
367:
355:
274:
271:
265:
256:
250:
244:
226:
214:
201:
195:
153:
147:
112:
106:
1:
8845:Integro-differential equation
8719:Partial differential equation
8064:Atkinson, Kendall E. (1989),
3860:Using these results, we find
2043:. As the number of intervals
7880:Rahman & Schmeisser 1990
1113:{\displaystyle \Delta x_{k}}
752:{\displaystyle \Delta x_{k}}
493:{\displaystyle \Delta x_{k}}
27:Numerical integration method
8999:Generalized Stokes' theorem
8786:Integration by substitution
8193:Encyclopedia of Mathematics
8126:(9th ed.), Brooks/Cole
5373:Periodic and peak functions
3639:{\displaystyle g_{k}'(0)=0}
9468:
8528:(ε, δ)-definition of limit
8350:Clenshaw–Curtis quadrature
8324:Chebyshev–Gauss quadrature
8068:(2nd ed.), New York:
6261: Find the true error
6179:Clenshaw–Curtis quadrature
6055:Monkhorst-Pack integration
6046:{\displaystyle O(h^{p/d})}
3681:{\displaystyle g_{k}(0)=0}
2865:{\displaystyle |g_{k}(h)|}
2826:be the function such that
520:-th subinterval (that is,
77:, i.e., approximating the
29:
9421:Proof that 22/7 exceeds π
9336:
9210:Gottfried Wilhelm Leibniz
9157:e (mathematical constant)
8319:Gauss–Legendre quadrature
8314:Gauss–Laguerre quadrature
8271:Adaptive Simpson's method
7921:10.1017/S0305004100024786
7864:Burden & Faires (2011
6123:{\displaystyle O(N^{-2})}
778:{\displaystyle \Delta x,}
341:{\displaystyle \{x_{k}\}}
9172:Stirling's approximation
8645:Implicit differentiation
8593:Rules of differentiation
8299:Gauss–Hermite quadrature
6168:analyzed in various ways
5989:-dimensional space with
5922:{\displaystyle O(h^{p})}
2556:Polynomial interpolation
1193:Numerical implementation
801:{\displaystyle \Delta x}
9406:Euler–Maclaurin formula
9311:trigonometric functions
8764:Constant of integration
8304:Gauss–Jacobi quadrature
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